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浙教版新版八上第二单元 新知超前
2.7.2 探索勾股定理——勾股定理的逆定理（原卷版）
一、勾股定理的逆定理
1. ______：如果三角形中______，即______，那么这个三角形是______。
2. ______：①找出______；②验证是否满足______；③若是→Rt△（∠C=90°）；若否→不是Rt△。
3. ______：勾股定理是性质（已知直角→边关系），逆定理是判定（已知边关系→直角），互逆。
4. ______：满足a +b =c 的正整数组(a,b,c)。
二、常见判定方法
1. ______：给出三边长→计算较短两边的平方和→与最长边的平方比较。
2. ______：非负和(绝对值+平方)求三边→再判定。
3. ______：∠A+∠B=∠C→∠C=90°；∠A:∠B:∠C→配合内角和180°判定。
4. ______：航海方位+距离→反推角度判定方向；正方形面积S1+S2=S3→逆定理判断三角形形状。
考点一 逆定理的基本判定
例1．下列各组数据中，能组成直角三角形的是（ ）
A．5，12，13 B．4，4，5 C．5，7，11 D．，，2
变式1．下面是三角形的各组边长，其中为直角三角形的是（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
变式2．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）
A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．4，5，6
考点二 勾股数与条件判定
例2．观察下列勾股数组：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…．若a，144，145是其中的一组勾股数，则根据你发现的规律， ______．
变式1．已知的三条边分别为a，b，c，下列条件中，哪个不能够判断是直角三角形（ ）
A． B．
C． D．
变式2．已知，，是的三边长，且满足关系，则的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
考点三 逆定理的实际应用
例3．如图，在港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东的方向以每小时海里速度前进，乙船沿南偏东某方向以每小时海里的速度前进，小时后甲船到岛，乙船到岛，两岛相距海里，则乙船沿________方向航行．
变式1．如图，某港口在南北方向的海岸线上，快、慢两艘船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，已知快、慢两船每小时分别航行12海里和5海里，2小时后两船分别位于点 ，处，且相距26海里，如果知道快船沿北偏西方向航行，那么慢船沿__________方向航行．
变式2．如图，分别以各边为边在外作正方形，，，分别表示这三个正方形的面积，已知，，，则是__________三角形．
一、选择题
1．（25-26八年级下·贵州遵义·期中）的三边长分别为，由下列条件能判断为直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（25-26八年级上·浙江台州·期中）在中，，，．下列条件中：①，②，③，④，⑤．能确定是直角三角形的有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
3．（25-26八年级上·浙江嘉兴·期中）若的三个顶点所对的边分别为， 则下列条件中能判断是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．，，
4．（23-24八年级上·陕西西安·期中）已知、、是三角形的三边长，如果满足，则三角形的形状是（ ）
A．底与边不相等的等腰三角形 B．等边三角形
C．钝角三角形 D．直角三角形
5．（23-24八年级上·浙江温州·期中）由下列条件不能判断是直角三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题
6．（23-24八年级上·福建宁德·期中）在中，，则的面积为_______．
7．（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期中）在中，，如果满足，则的形状是_______．
8．（23-24八年级下·广东潮州·期末）若三角形的三边长分别等于、、，则这个三角形是______三角形．
三、解答题
9．（24-25八年级下·浙江台州·阶段检测）如图，在中，点D是边上一点，，，，．
(1)求证：是直角三角形．
(2)求的长．
10．（24-25八年级下·湖南永州·期中）已知：如图，，，，，．求的面积．
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浙教版新版八上第二单元 新知超前
2.7.2 探索勾股定理——勾股定理的逆定理（解析版）
一、勾股定理的逆定理
1. 逆定理：如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，即a +b =c ，那么这个三角形是直角三角形。
2. 判定步骤：①找出最长边c；②验证是否满足a +b =c ；③若是→Rt△（∠C=90°）；若否→不是Rt△。
3. 与勾股定理的关系：勾股定理是性质（已知直角→边关系），逆定理是判定（已知边关系→直角），互逆。
4. 勾股数：满足a +b =c 的正整数组(a,b,c)。
二、常见判定方法
1. 三边直接判定：给出三边长→计算较短两边的平方和→与最长边的平方比较。
2. 含条件的三边关系：非负和(绝对值+平方)求三边→再判定。
3. 角度条件转化：∠A+∠B=∠C→∠C=90°；∠A:∠B:∠C→配合内角和180°判定。
4. 实际应用：航海方位+距离→反推角度判定方向；正方形面积S1+S2=S3→逆定理判断三角形形状。
考点一 逆定理的基本判定
例1．下列各组数据中，能组成直角三角形的是（ ）
A．5，12，13 B．4，4，5 C．5，7，11 D．，，2
【答案】A
【分析】根据勾股定理逆定理，若三角形两条较短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形是直角三角形，据此逐项计算验证即可．
【详解】解：A.∵，，
∴，能构成直角三角形；
B.∵，，
∴，不能构成直角三角形；
C.∵，，
∴，不能构成直角三角形；
D.∵，，
∴，不能构成直角三角形．
变式1．下面是三角形的各组边长，其中为直角三角形的是（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
【答案】C
【分析】本题考查勾股定理的逆定理．若三角形三边长中两短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形，据此判断即可．
【详解】解：A．，故不是直角三角形，不符合题意，
B．，故不是直角三角形，不符合题意，
C．，故是直角三角形，符合题意，
D．，故不是直角三角形，不符合题意，
故选：C．
变式2．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）
A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．4，5，6
【答案】C
【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理以及三角形的三边关系，根据三角形的三边关系和勾股定理的逆定理对各选项进行判断即可．
【详解】解：A、因为，不能构成三角形，不符合题意；
B、因为，所以不能构成直角三角形，不符合题意；
C、因为，所以能构成直角三角形，符合题意；
D、因为，所以不能构成直角三角形，不符合题意；
故选：C．
考点二 勾股数与条件判定
例2．观察下列勾股数组：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…．若a，144，145是其中的一组勾股数，则根据你发现的规律， ______．
【答案】17
【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理．它们三个一组，都是勾股数，一组勾股数中，并且第一个都是奇数，并且从3开始的连续奇数，每一组勾股数的第二，第三个数是连续整数，第二个数是第一个数的平方减去一除以二．据此求解即可．
【详解】解：①3，4，5中；
②5，12，13中；
③7，24，25中；
④9，40，41中；
…．
∴，
∴，
（负值已舍）．
故答案为：17．
变式1．已知的三条边分别为a，b，c，下列条件中，哪个不能够判断是直角三角形（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查直角三角形的判定，可利用三角形内角和定理及勾股定理的逆定理逐一分析选项即可．
【详解】解：A．∵，且，
∴，即，
∴是直角三角形，故本选项不符合题意；
B．∵，
∴，
由勾股定理的逆定理可知是直角三角形，故本选项不符合题意；
C．设，，，
∵，即
由勾股定理的逆定理可知是直角三角形，故本选项不符合题意；
D．设，，，
∵，，，
不满足勾股定理的逆定理
∴不是直角三角形，故本选项符合题意．
故选：D．
变式2．已知，，是的三边长，且满足关系，则的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
【分析】先利用非负数的性质求出三角形三边长，再根据勾股定理的逆定理判断三角形形状即可．
【详解】解：∵平方、绝对值、算术平方根都是非负数，且
∴，，，
解得：，，，
又∵，，
∴，
根据勾股定理的逆定理可得，是直角三角形．
考点三 逆定理的实际应用
例3．如图，在港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东的方向以每小时海里速度前进，乙船沿南偏东某方向以每小时海里的速度前进，小时后甲船到岛，乙船到岛，两岛相距海里，则乙船沿________方向航行．
【答案】南偏东
【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，以及方向角，解题关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形．
首先根据速度和时间计算、的路程，再根据勾股定理逆定理证明，进而可得答案．
【详解】解：由题意得：甲船的路程：（海里），
乙船的路程：（海里），
∵，
∴，
∵是北偏东方向，
∴是南偏东．
故答案为：南偏东．
变式1．如图，某港口在南北方向的海岸线上，快、慢两艘船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，已知快、慢两船每小时分别航行12海里和5海里，2小时后两船分别位于点 ，处，且相距26海里，如果知道快船沿北偏西方向航行，那么慢船沿__________方向航行．
【答案】南偏西
【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理及方位角，熟练掌握勾股定理的逆定理及方位角是解题的关键．
根据勾股定理逆定理求出，进而可得，然后问题可求解．
【详解】解：如图所示，
由题意得：（海里），（海里），，海里，
∴，
∴，
∴，
∴乙船沿南偏西方向航行．
故答案为：南偏西．
变式2．如图，分别以各边为边在外作正方形，，，分别表示这三个正方形的面积，已知，，，则是__________三角形．
【答案】直角
【分析】本题考查直角三角形的判定，正方形的面积边长边长，则，由所给数据可知，结合勾股定理逆定理的知识求解即可．
【详解】解：，，，
，
，
是直角三角形．
故答案为：直角．
一、选择题
1．（25-26八年级下·贵州遵义·期中）的三边长分别为，由下列条件能判断为直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】解：A、，不能构成三角形，不符合要求；
B、，，，不能构成直角三角形，不符合要求；
C、，，能构成直角三角形，符合要求；
D、，，，不能构成直角三角形，不符合要求．
2．（25-26八年级上·浙江台州·期中）在中，，，．下列条件中：①，②，③，④，⑤．能确定是直角三角形的有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】C
【分析】本题考查了三角形内角和定理，勾股定理的逆定理，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
根据直角三角形的定义和勾股定理的逆定理解答．
【详解】解：对于条件①：∵，且，
∴，即，
∴是直角三角形．
对于条件②：设，则，
∴，
∴，
∴不是直角三角形．
对于条件③：∵ ，
∴由勾股定理逆定理，是直角三角形．
对于条件④：∵，即，
∴，
∴，
∴不是直角三角形．
对于条件⑤：设，则，
∴，
∴是直角三角形．
∴能确定是直角三角形的条件有①、③、⑤，共 3 个．
故选：C
3．（25-26八年级上·浙江嘉兴·期中）若的三个顶点所对的边分别为， 则下列条件中能判断是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．，，
【答案】D
【分析】本题考查直角三角形的判定，涉及三角形内角和定理和勾股定理逆定理等知识，熟记直角三角形的判定相关知识是解决问题的关键．
通过计算角度和或边长平方关系判断是否为直角三角形即可得到答案．
【详解】解：A、设，则由三角形内角和定理可得，解得，从而得到最大角，则不是直角三角形，不符合题意；
B、由三角形内角和定理可知，则不是直角三角形，不符合题意；
C、由可知，，则由勾股定理的逆定理得不是直角三角形，不符合题意；
D、由，，可知，，则由勾股定理的逆定理得是直角三角形，符合题意；
故选：D．
4．（23-24八年级上·陕西西安·期中）已知、、是三角形的三边长，如果满足，则三角形的形状是（ ）
A．底与边不相等的等腰三角形 B．等边三角形
C．钝角三角形 D．直角三角形
【答案】D
【分析】本题考查非负数的性质以及勾股定理的逆定理，解题关键是根据几个非负数的和为0，则这几个非负数都为0．求出三角形三边的长度，再利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状．
【详解】解：，
，，，
，，
，，
，，
，即
三角形的形状是直角三角形，
故选：D．
5．（23-24八年级上·浙江温州·期中）由下列条件不能判断是直角三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理的应用，判断三角形是否为直角三角形，可利用勾股定理的逆定理和直角三角形的定义判断，此题比较容易．利用直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐项判断即可．
【详解】解：A、∵，且，可求得，故不是直角三角形；
B、不妨设，此时，故是直角三角形；
C、，且，可求得，故是直角三角形；
D、，满足勾股定理的逆定理，故是直角三角形；
故选：A．
二、填空题
6．（23-24八年级上·福建宁德·期中）在中，，则的面积为_______．
【答案】
【分析】根据已知三边长，利用勾股定理的逆定理判断为直角三角形，再根据直角三角形面积公式计算面积．
【详解】解：，，，
，
根据勾股定理的逆定理可知是直角三角形，为直角，
则．
7．（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期中）在中，，如果满足，则的形状是_______．
【答案】直角三角形
【分析】本题考查勾股定理的逆定理，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．由，推出，根据勾股定理的逆定理判断三角形的形状．
【详解】解：，
，
即，
是直角三角形．
故答案为：直角三角形．
8．（23-24八年级下·广东潮州·期末）若三角形的三边长分别等于、、，则这个三角形是______三角形．
【答案】直角
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理， 解题关键是熟练掌握勾股定理的逆定理．
根据勾股定理的逆定理可知， 当三角形中三边的关系为，则该三角形为直角三角形 ．
【详解】解：，
三角形是直角三角形．
故答案为：直角．
三、解答题
9．（24-25八年级下·浙江台州·阶段检测）如图，在中，点D是边上一点，，，，．
(1)求证：是直角三角形．
(2)求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，二次根式的化简，解题的关键是掌握以上知识点．
（1）根据勾股定理的逆定理求解即可；
（2）根据勾股定理求解即可．
【详解】（1）证明：∵，，，
∴，
∴是直角三角形．
（2）解：∵是直角三角形，
∴
∵，，
∴．
10．（24-25八年级下·湖南永州·期中）已知：如图，，，，，．求的面积．
【答案】30
【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，勾股定理求出的长，勾股定理逆定理得到，再利用三角形的面积公式进行计算即可．
【详解】解：∵，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴的面积．
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