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浙教版新版八上第二单元 新知超前
2.7.1 探索勾股定理——勾股定理（原卷版）
一、勾股定理的内容
1. ______：直角三角形两条直角边的______等于斜边的______。即______。
2. ______：我国古代称较短的直角边为______，较长的直角边为______，斜边为______。
3. ______：求斜边 c=；求直角边 a= 或 b=。
4. ______：勾股定理只适用于______，使用前必须确认三角形中有一个角是直角。
二、勾股数与面积关系
1. ______：满足a +b =c 的正整数组(a,b,c)，如______和______和______等。
2. ______：分别以直角三角形的三条边为边向外作正方形，则两个小正方形的面积之和等于______，即______。
3. 这一关系也推广到向外作等边三角形或半圆的情况。
三、勾股定理的实际应用
1. ______：坡比=垂直高度:水平距离，结合勾股定理求斜坡长度或高度。
2. ______：折叠前后对应边相等→构造直角三角形→用勾股定理列方程。
3. ______：构造含所求线段的直角三角形→测量已知边长→用勾股定理计算目标长度。
考点一 勾股定理的基本计算
例1．已知一个直角三角形的两直角边长分别为和，则第三边长是（ ）
A． B． C． D．
变式1．在中，已知，，，的对边分别是a，b，c，且，，则c的长为 _________________ ．
变式2．如图，在中， ，，， D 为斜边中点，连接，则的长为______．
考点二 勾股数与面积关系
例2．下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．7，8，10 B．8，24，25 C．3，4，5 D．5，10，13
变式1．如图，图中的三角形是直角三角形，四边形都是正方形，若正方形，的面积分别是，，则最大正方形的面积是（ ）
A． B． C． D．
变式2．如图所示，三个大小不一的正方形拼合在一起，中间形成一个直角三角形．已知其中两个正方形的面积分别为144，225，那么正方形A的面积是（ ）
A．225 B．144 C．81 D．369
考点三 勾股定理的实际应用
例3．如图，已知斜坡的坡比为，坡长米，则坡高________米．
变式1．如图，某公园里有一块长方形草坪，小明同学发现有极少数人不沿小路行走，直接践踏草坪沿行走．为了倡导人们爱护花草，于是建议公园管理人员在A处立一个标牌：“小草青青，脚下留情”．经过测量得知：A，C两处的距离为，B，C两处的距离为，则践踏草坪少走的距离仅仅为_____ m．
变式2．机械狗可用于开展水质监测工作，如图，机械狗从A点出发，计划沿与河岸垂直的方向到达B处，由于受水流的影响，实际上岸地点C与目的地B处相差50米，机械狗实际行走的路程为130米，则的长为_______米．
一、选择题
1．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）如图，中，，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26八年级下·山东济宁·阶段检测）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是勾股数的为（ ）
A．1，1， B．1.5，2，2.5 C．4，5，6 D．5，12，13
3．（2026·贵州遵义·二模）如图，在中，，，，D是边上一点，连接，将沿翻折，使点C落在边上的点E处，则的长是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．3.5
4．（23-24八年级下·福建龙岩·阶段检测）已知如图，折叠长方形的一边，使点D落在边的点F处，已知，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题
5．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）直角三角形的两条直角边长为5和12，则斜边上的中线长是______．
6．（25-26八年级下·浙江舟山·期中）如图，某拦水坝横截面如图所示，若迎水坡的坡比是，坝高，则迎水坡的长度是______m．
7．（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，在中， ，，，将沿所在直线折叠（点、分别在上），使点与的中点重合，则线段的长为_____．
三、解答题
8．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）渭河是黄河的最大支流，流经陕西省关中平原的宝鸡、咸阳、西安、渭南等地．如图，渭河一侧有一村庄，河边原有两个观景台A，B，其中，现建设美丽乡村，决定在渭河边新建一个观景台（点A，D，B在同一条直线上），并新修一条路，测得，，．
(1)通过计算说明，是从村庄到渭河边最短的路线；
(2)求原来的路线的长．
9．（25-26八年级上·贵州贵阳·期末）如图，劳动课时，小星将的空地种上两种不同品种的花卉，中间用小路隔开，经测量，，，，．
(1)判断与的位置关系，并说明理由；
(2)若空地种植花卉的费用为50元/，则需花费多少元？
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浙教版新版八上第二单元 新知超前
2.7.1 探索勾股定理——勾股定理（解析版）
一、勾股定理的内容
1. 勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。即a +b =c 。
2. 勾、股、弦：我国古代称较短的直角边为勾，较长的直角边为股，斜边为弦。
3. 变形：求斜边 c=；求直角边 a= 或 b=。
4. 前提：勾股定理只适用于直角三角形，使用前必须确认三角形中有一个角是直角。
二、勾股数与面积关系
1. 勾股数：满足a +b =c 的正整数组(a,b,c)，如3,4,5和6,8,10和5,12,13等。
2. 面积关系：分别以直角三角形的三条边为边向外作正方形，则两个小正方形的面积之和等于大正方形的面积，即S +S =S 。
3. 这一关系也推广到向外作等边三角形或半圆的情况。
三、勾股定理的实际应用
1. 斜坡问题：坡比=垂直高度:水平距离，结合勾股定理求斜坡长度或高度。
2. 折叠问题：折叠前后对应边相等→构造直角三角形→用勾股定理列方程。
3. 最短路径/实际测量：构造含所求线段的直角三角形→测量已知边长→用勾股定理计算目标长度。
考点一 勾股定理的基本计算
例1．已知一个直角三角形的两直角边长分别为和，则第三边长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵直角三角形的两直角边长分别为和，
∴第三边长为．
变式1．在中，已知，，，的对边分别是a，b，c，且，，则c的长为 _________________ ．
【答案】
【分析】本题考查勾股定理，正确识别直角三角形的斜边是解题关键，直接利用勾股定理计算即可．
【详解】解：∵在中，，
∴的对边是斜边，
根据勾股定理得，
将，代入得：．
变式2．如图，在中， ，，， D 为斜边中点，连接，则的长为______．
【答案】
【分析】先根据勾股定理求出的长，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可．
【详解】解：在中，，，，
，
点为的中点，
．
考点二 勾股数与面积关系
例2．下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．7，8，10 B．8，24，25 C．3，4，5 D．5，10，13
【答案】C
【分析】根据勾股数的定义，需验证三个正整数中，两较小数的平方和是否等于最大数的平方，由此判断即可．
【详解】A、，，，故不是勾股数，不符合题意；
B、，，，故不是勾股数，不符合题意；
C、，且三个数均为正整数，故是勾股数，符合题意；
D、，，，故不是勾股数，不符合题意；
变式1．如图，图中的三角形是直角三角形，四边形都是正方形，若正方形，的面积分别是，，则最大正方形的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设正方形A、B、C的边长为、、，利用勾股定理进行计算即可．
【详解】解：设正方形A、B、C的边长为、、，
由题意可得，，，
由勾股定理可得，，
∴正方形C的面积为．
变式2．如图所示，三个大小不一的正方形拼合在一起，中间形成一个直角三角形．已知其中两个正方形的面积分别为144，225，那么正方形A的面积是（ ）
A．225 B．144 C．81 D．369
【答案】C
【详解】解：正方形A的边是直角边，它的面积等于边长的平方，根据勾股定理，可知．
考点三 勾股定理的实际应用
例3．如图，已知斜坡的坡比为，坡长米，则坡高________米．
【答案】
【分析】根据坡比设，则，勾股定理求出，据此列出方程，求出的值，即可求解．
【详解】解：∵斜坡的坡比为，
∴，
设，则，
在中，，
即，
解得，
故（米）．
变式1．如图，某公园里有一块长方形草坪，小明同学发现有极少数人不沿小路行走，直接践踏草坪沿行走．为了倡导人们爱护花草，于是建议公园管理人员在A处立一个标牌：“小草青青，脚下留情”．经过测量得知：A，C两处的距离为，B，C两处的距离为，则践踏草坪少走的距离仅仅为_____ m．
【答案】4
【分析】由勾股定理得，，根据，计算求解即可．
【详解】解：∵，，
∴由勾股定理得，，
∴．
∴践踏草坪少走的距离为．
故答案为：4．
变式2．机械狗可用于开展水质监测工作，如图，机械狗从A点出发，计划沿与河岸垂直的方向到达B处，由于受水流的影响，实际上岸地点C与目的地B处相差50米，机械狗实际行走的路程为130米，则的长为_______米．
【答案】
【分析】由题意可得：米，再利用勾股定理进行计算即可．
【详解】解：由题意可得：，为130米
在中，（米）．
一、选择题
1．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）如图，中，，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据勾股定理进行求解即可.
【详解】解：∵，，，
∴.
2．（25-26八年级下·山东济宁·阶段检测）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是勾股数的为（ ）
A．1，1， B．1.5，2，2.5 C．4，5，6 D．5，12，13
【答案】D
【分析】勾股数需同时满足两个条件，一是三个数均为正整数，二是满足两个较小数的平方和等于最大数的平方，据此逐一验证选项即可．
【详解】解：∵勾股数需同时满足两个条件，一是三个数均为正整数，二是满足两个较小数的平方和等于最大数的平方，
选项A中不是正整数，故不满足勾股数的定义，故不符合题意；
选项B中1.5和2.5不是正整数，故不满足勾股数的定义，故不符合题意；
选项C中最大数为6，且，，，故不满足勾股数的定义，故不符合题意；
选项D中5，12，13都是正整数，且，故满足勾股数的定义，故符合题意．
3．（2026·贵州遵义·二模）如图，在中，，，，D是边上一点，连接，将沿翻折，使点C落在边上的点E处，则的长是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．3.5
【答案】B
【分析】由勾股定理可得，由折叠的性质可得，由此即可得出结果．
【详解】解：∵在中，，，，
∴，
由折叠的性质可得：，
∵点C落在边上的点E处，
∴．
4．（23-24八年级下·福建龙岩·阶段检测）已知如图，折叠长方形的一边，使点D落在边的点F处，已知，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】根据折叠的性质和勾股定理进行求解即可.
【详解】解：∵长方形，
∴，
∵折叠，
∴，
在中，，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理，得，
解得，
.
二、填空题
5．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）直角三角形的两条直角边长为5和12，则斜边上的中线长是______．
【答案】
【分析】先根据勾股定理求出斜边长，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可．
【详解】解：∵直角三角形的两条直角边长分别为5和12，
∴斜边长为．
∴斜边上的中线长为．
6．（25-26八年级下·浙江舟山·期中）如图，某拦水坝横截面如图所示，若迎水坡的坡比是，坝高，则迎水坡的长度是______m．
【答案】
【分析】由迎水坡的坡比是，坝高，，再根据勾股定理求解即可．
【详解】解：∵迎水坡的坡比是，坝高，
∴，
∴．
7．（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，在中， ，，，将沿所在直线折叠（点、分别在上），使点与的中点重合，则线段的长为_____．
【答案】4
【分析】设，则由折叠可得，，再对运用勾股定理建立方程求解．
【详解】解：设，则，
由折叠可得，
∵，点D为的中点，
∴，
∵，
∴
∴
解得，
∴线段的长为．
三、解答题
8．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）渭河是黄河的最大支流，流经陕西省关中平原的宝鸡、咸阳、西安、渭南等地．如图，渭河一侧有一村庄，河边原有两个观景台A，B，其中，现建设美丽乡村，决定在渭河边新建一个观景台（点A，D，B在同一条直线上），并新修一条路，测得，，．
(1)通过计算说明，是从村庄到渭河边最短的路线；
(2)求原来的路线的长．
【答案】(1)见解析
(2)原来的路线的长为
【分析】本题考查了勾股定理逆定理、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由勾股定理逆定理得出是直角三角形，即，即可得出结果；
（2）设，则在中，，，，最后结合勾股定理计算即可得出结果．
【详解】（1）解：在中，，，，
，，
∴，
是直角三角形，即，
是从村庄到渭河边的最短路线；
（2）解：设，
在中，，，，
由勾股定理，得，即，
解这个方程，得，
∴原来的路线的长为．
9．（25-26八年级上·贵州贵阳·期末）如图，劳动课时，小星将的空地种上两种不同品种的花卉，中间用小路隔开，经测量，，，，．
(1)判断与的位置关系，并说明理由；
(2)若空地种植花卉的费用为50元/，则需花费多少元？
【答案】(1)，理由见解析
(2)需花费2700元
【分析】本题考查了勾股定理及其应用，掌握勾股定理及其应用是解本题的关键．
（1）由题意可得，即可证得是直角三角形，进而证得；
（2）由勾股定理证得，再由“种植花卉的费用为50元/”即可解出．
【详解】（1）解：．
理由：在中，
，，，
，
即，
是直角三角形，
．
（2）由（1）得，
为直角三角形，
，，
，
，
（元）
答：需花费2700元．
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