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浙教版新版八上第二单元 新知超前
2.8 直角三角形全等的判定（原卷版）
一、HL定理的内容
1. ______：______和一条______对应相等的两个直角三角形全等，简称______。
2. ______：①两个三角形都是______；②______相等；③______相等。
3. ______：SSA在一般三角形中______判定全等，但当角为直角时（即HL），可以判定。
4. ______：直角三角形全等既可用HL判定，也可用一般方法判定。根据条件选择最简方法。
二、HL的应用
1. ______：先证两个Rt△全等（HL）→得对应边相等/对应角相等→进一步推理。
2. ______：角的内部，到角两边______的点在这个角的______。证明核心：构造Rt△+公共边+HL→全等→角相等。
3. ______：不可直接测量的距离（测河宽/池塘距离）→构造直角三角形→HL判定→等量转化。滑梯等长模型→HL证全等→角相等。
考点一 HL定理的认识
例1．用三角尺可以画角平分线：如图所示，在已知的两边上分别取点M，N，使，再过点画的垂线，过点画的垂线，两垂线交于点，那么射线就是的平分线．小明发现说明此画法的合理性时需要证明与全等，其依据是（ ）
A． B． C． D．
变式1．如图,已知,,则判定最直接的依据是（ ）
A． B． C． D．
变式2．如图，，，则的依据是（ ）
A． B． C． D．
考点二 HL的直接应用
例2．如图，于于则（ ）
A． B． C． D．
变式1．如图，点D在上，若于点E，于点F，则对于和的大小关系，下列说法正确的是（ ）
A．一定相等 B．一定不相等
C．当时相等 D．当时相等
变式2．如图，在与中，于点E，于点D，，，则可判定的理由是（ ）
A． B． C． D．
考点三 HL的拓展应用
例3．为了测量无法直接测量的池塘两端A，B的距离，小王同学设计了一个测量A，B距离的方案．如图，先确定直线，过点B作直线，在直线上找可以直接到达点A的一点D，连接，作，交直线于点C，可以说明，最后测量的长即得．那么判断的原理是（ ）
A． B． C． D．
变式1．如图，点是内一条射线上的一点，且于点于点，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
变式2．如图，在和中，，要使，若根据“”判定，则还需要添加条件：______．
选择题
1．（25-26八年级上·安徽池州·期末）如图，能直接用“”判定的条件是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．（24-25八年级下·甘肃平凉·阶段检测）在和中，，下列条件中能利用判定的是（）
A． B．
C． D．
3．（24-25八年级下·陕西榆林·期中）如图，在和中，，，，则能直接判断的依据是（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25八年级上·全国·期中）如图，为的高，E为上一点，交于点F，且有，，要证明需要的判定方法是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
5．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，已知，证明，则应添加的条件是________．
6．（25-26八年级上·河北石家庄·阶段检测）在课堂上，李老师发给每人一张印有（如图1）的卡片，然后要求同学们画一个，使得．小宏同学先画出了之后，后续画图的主要过程如图所示，这种画图方法的依据是______．
7．（23-24八年级下·山东枣庄·开学考试）如图，已知于点，于点，且，，，则__________．
三、解答题
8．（25-26八年级上·陕西安康·阶段检测）如图，在与中，，，求证：．

9．（23-24八年级上·重庆铜梁·阶段检测）如图，有两个长度相等的滑梯和，左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的长度相等，判断两滑梯倾斜角和之间的数量关系？请说明理由．
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浙教版新版八上第二单元 新知超前
2.8 直角三角形全等的判定（解析版）
一、HL定理的内容
1. HL定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简称"斜边、直角边"或"HL"。
2. 条件：①两个三角形都是直角三角形（∠C=∠C'=90°）；②斜边相等（AB=A'B'）；③一条直角边相等（AC=A'C'或BC=B'C'）。
3. 与一般三角形判定的区别：SSA（边边角）在一般三角形中不能判定全等，但当角为直角时（即HL），可以判定。
4. HL + SSS/SAS/ASA/AAS：直角三角形全等既可用HL判定，也可用一般方法判定。根据条件选择最简方法。
二、HL的应用
1. HL→证全等→推结论：先证两个Rt△全等（HL）→得对应边相等/对应角相等→进一步推理。
2. 角平分线逆定理：角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上。证明核心：构造Rt△+公共边+HL→全等→角相等。
3. 实际应用：不可直接测量的距离（测河宽/池塘距离）→构造直角三角形→HL判定→等量转化。滑梯等长模型→HL证全等→角相等。
考点一 HL定理的认识
例1．用三角尺可以画角平分线：如图所示，在已知的两边上分别取点M，N，使，再过点画的垂线，过点画的垂线，两垂线交于点，那么射线就是的平分线．小明发现说明此画法的合理性时需要证明与全等，其依据是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据判定定理“”即可求证，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
【详解】解：由题意得，，，
∵，
∴，
故选：．
变式1．如图,已知,,则判定最直接的依据是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查全等三角形的判定．根据题意可知和是直角三角形,根据全等判定定理,有一条斜边和直角边分别对应相等即可判定,继而选出本题答案．
【详解】解:∵,,
∴和均为直角三角形,
∴在和中,
,
∴．
故选:D．
变式2．如图，，，则的依据是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键；根据可证明，据此解答即可．
【详解】解：，，，
，
故选：．
考点二 HL的直接应用
例2．如图，于于则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了角平分线判定定理的应用，注意：到角的两边的距离相等的点在角平分线上．
根据角平分线判定定理得出P在的角平分线上，推出，求出即可．
【详解】解：∵于M，于N，，
∴P在的角平分线上，
∵
∴．
故选C．
变式1．如图，点D在上，若于点E，于点F，则对于和的大小关系，下列说法正确的是（ ）
A．一定相等 B．一定不相等
C．当时相等 D．当时相等
【答案】D
【分析】此题主要考查角平分线性质的逆定理：到角的两边距离相等的点在角的平分线上．
根据角平分线性质的逆定理求解即可．
【详解】∵，
∴当时，．
故选D．
变式2．如图，在与中，于点E，于点D，，，则可判定的理由是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查全等三角形判定．根据题意利用判定即可得到本题答案．
【详解】证明：∵，，
∴，
在和中，
，
∴．
故选：C．
考点三 HL的拓展应用
例3．为了测量无法直接测量的池塘两端A，B的距离，小王同学设计了一个测量A，B距离的方案．如图，先确定直线，过点B作直线，在直线上找可以直接到达点A的一点D，连接，作，交直线于点C，可以说明，最后测量的长即得．那么判断的原理是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查全等三角形的实际应用，运用全等三角形的知识解决实际问题成为解题的关键．
根据全等三角形的判定方法进行判断即可解答．
【详解】解：由题意，可知：，，
又∵，
∴，
∴．
故选A．
变式1．如图，点是内一条射线上的一点，且于点于点，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了角平分线的判定， 利用角平分线的判定定理得到平分，再利用角平分线的定义求解即可．
【详解】解：∵，，，
∴平分，
∵，
∴．
故选D．
变式2．如图，在和中，，要使，若根据“”判定，则还需要添加条件：______．
【答案】（或）
【分析】根据题意，是公共边，只需添加或即可解答．
本题考查了三角形全等的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．
【详解】解：根据题意，是公共边，只需添加或．
故答案为：或．
一、选择题
1．（25-26八年级上·安徽池州·期末）如图，能直接用“”判定的条件是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【分析】本题考查全等三角形的判定．
利用“”判定即可．
【详解】解：根据题意，当，时，，故选项A符合题意．
故选：A．
2．（24-25八年级下·甘肃平凉·阶段检测）在和中，，下列条件中能利用判定的是（）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查全等三角形的判定，根据全等三角形的判定定理逐个判断，即可作出选择，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
【详解】A．，加上，可利用证明，故不符合题意；
B．，加上，可利用证明，故不符合题意；
C．，加上，可利用证明，故不符合题意；
D．，可利用证明，故符合题意；
故选：D．
3．（24-25八年级下·陕西榆林·期中）如图，在和中，，，，则能直接判断的依据是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，解题关键是理解并掌握全等三角形的判定定理：，，，，等．根据全等三角形的判定定理，即可获得答案．
【详解】解：∵，，，
∴，即判断的依据是“”．
故选：A．
4．（24-25八年级上·全国·期中）如图，为的高，E为上一点，交于点F，且有，，要证明需要的判定方法是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了直角三角形全等的判定.
根据是三角形的高，得到，故可根据可以判定．
【详解】解：∵是三角形的高，
∴，
∵，，
∴（），
故选A．
二、填空题
5．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，已知，证明，则应添加的条件是________．
【答案】答案不唯一，如．
【分析】本题考查了全等三角形的判定，解题关键是掌握全等三角形的判定．根据全等三角形的判定求解．
【详解】解：∵，
∴，
又，
添加条件，可根据证明；
添加条件，可根据证明；
添加，可根据证明；
添加，可根据证明，
故答案为：答案不唯一，如．
6．（25-26八年级上·河北石家庄·阶段检测）在课堂上，李老师发给每人一张印有（如图1）的卡片，然后要求同学们画一个，使得．小宏同学先画出了之后，后续画图的主要过程如图所示，这种画图方法的依据是______．
【答案】
【分析】本题考查尺规作图，全等三角形的判定．根据演示由尺规作图的方法确定作图的具体步骤，即可判断．
【详解】解：由图示知，小宏第一步为截取线段，第二步为作线段，判定方法为；
故答案为：．
7．（23-24八年级下·山东枣庄·开学考试）如图，已知于点，于点，且，，，则__________．
【答案】/45度
【分析】本题考查了角平分线的判定定理，三角形的外角的性质，掌握知识点是解题的关键．
先证明是的平分线，可得，再根据三角形的外角等于不相邻的两个内角的和，即可得出答案．
【详解】解：由题意得：，，且，
∴是的平分线，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
三、解答题
8．（25-26八年级上·陕西安康·阶段检测）如图，在与中，，，求证：．

【答案】见详解
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握直角三角形中斜边直角边判定三角形全等是解题的关键．
根据直角三角形中斜边直角边判定，由全等三角形的性质即可求解．
【详解】证明：在与中，，
，
∴，
∴．
9．（23-24八年级上·重庆铜梁·阶段检测）如图，有两个长度相等的滑梯和，左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的长度相等，判断两滑梯倾斜角和之间的数量关系？请说明理由．
【答案】
【分析】此题考查了全等三角形的应用．做题时要注意找已知条件，根据已知选择方法得出全等三角形是解题关键．由条件信息可得，与均是直角三角形，由已知可根据判定两三角形全等，再根据全等三角形的对应角相等，不难求解．
【详解】解：，证明如下：
由题意可得：与均是直角三角形，且．
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
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