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第1章《 三角形》单元测试卷
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。）
1．在下列长度的四条线段中，能与长和的两条线段围成一个三角形的是（ ）
A． B． C． D．
2．在中，三个内角的度数如图所示，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，则的面积是（ ）
A．15 B．30 C．45 D．60
4．如图，，点D在边上，与相交于点O．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．如图所示，有三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ）
A．在两边高线的交点处 B．在两边中线的交点处
C．在两边垂直平分线的交点处 D．在两内角平分线的交点处
6．数学兴趣小组计划用一根米的标杆测量旗杆的高度．他们的方案如下：如图，在旗杆前空地上选取一点P，使点P到旗杆底端B的水平距离为米，此时测得，然后前后移动标杆（在移动过程中始终保持点B，P，C在同一条直线上），使得，此时测得标杆底端C到旗杆底端B的水平距离为米．根据以上信息，可求得该旗杆的高度是（ ）
A．米 B．米 C．米 D．21米
7．如图，的度数为（　　）
A． B． C． D．
8．如图1所示，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角r等于入射角i．这就是光的反射定律．如图2所示，李明同学将支架平面镜放置在水平桌面上，镜面的调节角，激光笔发出的光束射到平面镜上，若激光笔与水平天花板（直线）的夹角，则反射光束与天花板所形成的角的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，已知平分，于E，，则下列结论：①；②；③；④；其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，在长方形的中，已知，点以的速度由点向点运动，同时点以的速度由点向点运动，若以，，为顶点的三角形和以，，为顶点的三角形全等，则的值为（ ）
A．4或 B．6 C．或1 D．4
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．）
11．如图，平分，，垂足分别为D，E，，则 ．
12．在中，，D为的中点．则边上的中线的取值范围是 ．
13．如图，已知，与分别是外角和外角的角平分线，若，则 °．
14．如图，在中，的周长为17，则的周长为 ；
15．如图，已知是的平分线，，若，则的面积等于 ．
16．在中，，的平分线交于点，的外角平分线所在直线与的平分线相交于点，与的外角平分线相交于点，则下列结论一定正确的是 ．（填写所有正确结论的序号）
①；②；③；④
三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（8分）如下图，在中，，BD平分，于点E，，BD，CE相交于点F．求和的度数．
18．（8分）如下图，点，，，在同一条直线上，且，，．
(1)求证：．
(2)若，求的度数．
19．（8分）如图，地块中，边，．
(1)尺规作图：现要在地块中修建绿化带，使是的角平分线，请作出，保留作图痕迹；
(2)若地块的面积为，求地块的面积．
20．（8分）阅读下列学习内容：
(1)如图1，在四边形中，，，，E，F分别是、上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系．
探究思路如下：延长到点G，使，连接．
则由探究结果可知，图中线段、、之间的数量关系为________．
(2)根据上面的方法，解决问题：如图2，若在四边形中，，，E、F分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由；
(3)如图3，在四边形中，，，点M、N分别在边、上，且，若，，请求直接写出的长度．
21．（8分）如图，是经过顶点C的一条直线，，点E，F是直线上两点，且．若直线经过的内部，且点E，F在射线上，请解决下面两个问题：
(1)如图1，若，问，成立吗？说明理由．
(2)如图2，将（1）中的已知条件改成，，问仍成立吗？说明理由．
22．（10分）综合与探究
在和中，，，．
【模型呈现】
（1）如图1，A，O，D三点共线，试判断与的数量关系，并说明理由．
【模型应用】
（2）如图2，设，相交于点P，，相交于点Q，若，求的度数．
【拓展延伸】
（3）如图3，，M，N分别为，的中点，连接，，，试说明且．
23．（10分）根据以下探究过程，完成所提出的问题．
(1)探究1：如图1，在中，平分，平分，与相交于点P，若，则________度．
(2)探究2：如图2，与是的两个外角，平分，平分，与相交于点P，求与的数量关系．
(3)拓展：如图3，与是四边形的两个外角，平分，平分，和相交于点P，设．
①求出与α的数量关系；
②根据α的值的情况，判断的形状（按角分类）．
24．（12分）【问题发现】
（1）如图1，在四边形中，，，、分别是、上的点，且，试猜想图中与的数量关系．
小王同学解决此问题的方法是：延长到点，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是______；
【问题探究】
（2）如图2，在四边形中，，．、分别是、上的点，且，试探究、、之间的数量关系，并说明理由：
【拓展延伸】
（3）如图3，在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，如图所示，仍然满足，请写出与的数量关系，并说明理由．
参考答案
一、选择题
1．B
解：设第三边长度为，
则第三边的取值范围是，即．
∴能与长和的两条线段围成一个三角形的是．
故选：B．
2．B
解：在中，
的度数为55°，
故选：B ．
3．B
解：作于E，如图，
由题意得平分，而
∴，
∴的面积．
故选：B．
4．C
解：∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选C
5．C
根据线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，可知超市应建在，两边垂直平分线的交点处，
故选：．
6．A
解：∵，
，
，
，
在和中
，
，
米，
答：该旗杆的高度是米，
故选：A．
7．A
解：如图：
∵，，
∴．
故选：A．
8．C
解：过点G作，过点G作，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
9．D
解：如图，作交的延长线于点F，
∵平分，于E，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故①正确；
在和中，
，
∴，
∴，，
故③正确；
∵，
∴，
∴，
故②正确；
∵，，，
∴，
故④正确，
综上所述，正确的有①②③④，一共4个．
故选：D．
10．A
解：设点运动的时间为，
由题意知：，，则，
当时，，
即，
解得，
当时，，，
即，，
解得，
故，
解得，
故的值为或，
故选：A．
二、填空题
11．3
解：∵平分，，
∴，
故答案为：3．
12．
解：延长到，使，连接，
是的中点，
，
在和中，
，
，
，
在中，，
，
，
故答案为：．
13．56
解：∵，
∴，
∵与分别是外角和外角的角平分线，
∴，
∴，
∴，
故答案为：56．
14．25
解：由作图可得垂直平分，
∴，，
∵为17，
∴
∴的周长为，
故答案为：25．
15．
解：如图所示，延长，交于点，
，
，
∵是的角平分线，
，
在和中，
，
，
，
，
∵和同底等高，
，
，
，
故答案为： ．
16．①②④
解∵，的平分线交于点O，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故①正确；
∵平分，
∴，
∵，
∴，
故②正确；
如图，∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
故③错误；
∵，
∴，
∵，
∴．
故④正确；
综上正确的有：①②④．
故答案为：①②④．
三、解答题
17．解：，，
．
平分，
，
．
，
．
又，
．
18．（1）证明：，
，即．
在和中，
；
（2），
，
，
，
．
19．（1）解：如图，线段即为所求；
（2）解：作，，垂足分别为，；
∵是的角平分线，
∴，
∵边，，地块的面积为，
∴，
解得：，
∴，
∴的面积为．
20．（1）解：，
∴，
故答案为：；
（2）结论仍然成立；
理由：延长到点，使，连结，如图，
在和中，
，
，
，
，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：∵四边形中，，，
∴四边形是正方形，
如图，旋转至位置，
， ，
在和中，
，
，
，
．
21．（1）解：成立，理由如下：
，
，
，
，
，
（），
，，
．
（2）解：成立，理由如下：
，
，
，
，
．
，
，
，
（），
，，
．
22．解：（1），理由如下：
∵，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴．
（2）设与的交点为Q．
∵，
∴，
在和中，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
（3）证明：∵，
∴，，
∵M，N分别为，的中点，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴ ，
∴，，
∵，
即，
∴，
即
∴．
23．（1）解：∵平分，平分，
∴，．
∵，
，
故答案为：．
（2）解：∵与是的两个外角，
∴，．
∴
．
∵平分，..平分，
∴，．
∵
∴
∴．
（3）解：①延长、交于点M．
∵平分，平分，由（2）得，．
∵
．
∴
．
②∵与是四边形的两个内角，
∴．
当时，，为直角三角形；
当时，，为锐角三角形；
当时，，为钝角三角形．
24．解：（1）；理由：
如图，延长到点，使，连接，
在和中，
，
，
，，
，，
，
，
，
．
，
，
故答案为：；
（2）如图2，延长到点，使，连接，
，，
，
又，
，
，，
，，
，
；
（3），理由如下，
证明：如图，在延长线上取一点，使得，连接，
，，
，
又，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
即，

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