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第2章《特殊三角形》单元测试卷
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。）
1．下列长度（单位：）的各组线段中，能组成直角三角形的是（ ）
A．2，3，4 B．2，2，2 C．3，4，5 D．6，6，8
2．如图，在中，，与关于直线EF对称，，连接，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，是等边三角形，高与交于点O，则等于（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在中，，是的中点，，则的长为（　　）
A．7 B．6 C．5 D．4
5．将一束平行光射向凸透镜，得到如图所示的光路图．已知，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，某公司举行周年庆典，准备在门口长米，高米的台阶上铺设红地毯，已知台阶的宽为米，则共需购买（ ）的红地毯．
A． B． C． D．
7．如图，，点A在上，且．按下列要求画图：以A为圆心，1为半径向右画弧交于点，得第1条线段；再以为圆心，1为半径向右画弧交于点，得第2条线段；再以为圆心，1为半径向右画弧交于点，得第3条线段；……这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n的值是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
8．如图所示，已知和都是等边三角形．下列结论：①；②；③平分；④，⑤是等边三角形；⑥．其中正确的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
9．如图，在中，，分别垂直平分和，垂足为，，且分别交于点，．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在中，，，点C在边BO延长线上一点，过点B作交CA的延长线于点D，若，则（ ）
A． B．2 C． D．
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．）
11．如图，在和中，，要使≌，则需再添加一个条件为 ．（写出一个即可）
12．如图所示的是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图．此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中，则的值是 ．
13．如图所示，在数轴上点所表示的数为，则的值为 ．
14．如图a是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图b，再沿折叠成图c，则图c中的的度数是 °（用含α的代数式表示）．
15．如图，在等腰中，，以为直角边作等腰，以为直角边作等腰，…，则的长度为 ．
16．如图，在等腰中，，于点，两动点分别在线段上运动，若，则当取得最小值时，的度数为 ．
三、解答题（本题共8小题，共72分．）
17．（8分）如下图，某开发区有一块四边形空地，现计划在这块空地上种植草皮，经测量，，，，，．若种植每平方米草皮需要元，则在这块空地上种植草皮共需要多少元？
18．（8分）如图，是等腰直角三角形，，点F在线段上，点C在的延长线上，连接，，且．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
19．（8分）如图，在中的垂直平分线分别交于点D，E，且．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
20．（8分）几何直观 【阅读理解】
（1）若一个三角形的三边长a，b，c满足，则我们称该三角形为“变异直角三角形”．如图①，在中，，则 ________“变异直角三角形”（填“是”或“不是”）．
【变式迁移】（2）如图②，在与中，，．试说明：以线段，，的长为边长的三角形是“变异直角三角形”．
【拓展创新】（3）如图③，在四边形中，，E为线段上一点，以为边向外作正方形．若以线段，，的长为边长的三角形是“变异直角三角形”，请求出正方形的面积．
21．（8分）如图，在等腰中，，为的中点，，垂足为，过点作交的延长线于点，连接，交于点．
(1)求证：是线段的中点；
(2)求证：；
(3)连接，试判断的形状，并说明理由．
22．（10分）【任务一】某小区要在街道旁修建一个奶站，向居民区A，B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使A，B到它的距离之和最短？该问题给牛奶公司造成了困扰，现向居民们征求意见．
小明同学将小区和街道抽象出的平面图形，并用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题．
如图1，作A关于直线m的对称点，连接与直线m交于点C，点C就是所求的位置．
请你在下列阅读、应用的过程中，完成解答并填空：
证明：如图2，在直线m上另取任一点D，连结AD，，BD，
∵直线m是点A，的对称轴，点C，D在m上，
∴______，________，
∴_____
在中，
∵，
∴．
∴，即最小，
【任务二】如图3，有两条公路AO和BO经过村庄，它们的夹角，现要在距离村庄500米的种植园P处新建如图所示的三条小路PM，PN，MN，使三条小路刚好围成一个三角形，周长的最小值为_____米．
【任务三】实践应用：如图4，在中，，，，，AD平分，M、N分别是AD、AC边上的动点，求的最小值．
23．（10分）如图，在中，，，，动点从点出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为．
(1)若点运动到的中点时，的值为_______；
(2)若，求的长；
(3)当为直角三角形时，求的值．
24．（12分）【探究发现】
（1）如图1，在四边形中，对角线，垂足是O，求证：
【拓展迁移】
（2）如图2，以三角形的边、为边向外作正方形和正方形，求证：
（3）如图3，在（2）小题条件不变的情况下，连接，若，，，求
参考答案
一、选择题
1．C
解：A：，此选项不符合题意；
B：，此选项不符合题意；
C：，此选项符合题意；
D：，此选项不符合题意；
故选：C．
2．C
∵在中，，
∴，，
∵与关于直线对称，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
故选：C．
3．C
解：∵是等边三角形，
∴，
∵高与交于点O，
∴，
∴．
故选：C．
4．D
解：在中，是的中点，
，
故选：D．
5．C
解：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：C．
6．C
解：依题意图中直角三角形一直角边为米，斜边为米，
另一直角边长：（米），
需购买红地毯的长为（米），
红地毯的宽则是台阶的宽米，
红地毯面积是：（平方米）．
故选：C．
7．D
解：由题意可知：，，…，
则，，…，
∵，
∴，，，，…，
∴，
解得，
∵n为整数，
∴．
故选：D．
8．C
解：∵和都是等边三角形，
∴，，，
∴，即，，故⑥正确；
∴，
∴，，故①正确；
∵，
∴，
∴，故②正确；
∴为等边三角形，故⑤正确；
如图，作于，于，
∵，
∴，
∵，，,
∴，
∵，，
∴点在的角平分线上，
∴平分，故③正确；
∵，
∴，故④错误，
综上所述，正确的有①②③⑤⑥，共个，
故选：C．
9．B
解：∵垂直平分垂直平分
∴（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）．
∴（等边对等角）．
设．
在 中，（三角形内角和定理），
即①．
∵，且
∴②．
将①中代入②，得，
即，
解得．
故选：B．
10．B
解：如图，延长交于点，
∵ ，
∴，
∴ ，
∴，
∴，，
∴，
在和中：
，
∴
∵，
∴
在和中：
∴ ，
∴，
∴
故选：B.
二、填空题
11．（答案不唯一）
解：条件可以是：；
证明：∵，
∴，
即，
∵，
∴，
在和中，
，
∴≌．
故答案为： （答案不唯一）．
12．
解：由题意可知，四个直角三角形全等，，，
，，
同理，可得，
在中，应用勾股定理得到：
．
故答案为：．
13．
解：如图，
∵，，
设点表示的数是，
∴，
∴，
∴，
故答案为；
14．
解：根据图a，，
，
，
根据图b，，
根据图c，，
故答案为：．
15．
解： 是等腰三角形，
，
同理可得：，
，
故答案为：．
16．
解：如图所示，连接，
∵，，
∴，，
又∵是公共边，
∴，
∴，
∴，
∴当、、三点共线且时最小，即此时最小，
过点作于点，交于点，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
同理可得，
∵，
∴，
∴，
∴当取得最小值时，的度数为，
故答案为：．
三、解答题
17．解：如下图所示，连接，
，
为直角三角形，
，，
，
，
，，
，
为直角三角形，且，
这块空地的面积为
，
在这块空地上种植草皮共需要元．
18．（1）证明：∵是等腰直角三角形，，
∴，
∵点C在的延长线上，点F在线段上，
∴，
在和中，
，
∴．
（2）解：由（1）得，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴的长为17．
19．（1）证明：连接
∵是的垂直平分线
∴（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）
∵，且
∴
即
∴是直角三角形，且（勾股定理的逆定理）
即
（2）解：设的长为x
∵
∴
∵
∴
在中，由勾股定理得：
即
展开得：
化简得：,即
∴
∴的长为．
20．解：（1），
，
是“变异直角三角形”，
故答案为：是；
（2）如图②，连接．
，
，
，
，
．
，
，
，
，
，
故以线段，，的长为边长的三角形是“变异直角三角形”．
（3）如图③，连接，过点C作，交的延长线于点M．
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
E为线段上一点，
，
，
，
以线段，，的长为边长的三角形是“变异直角三角形”，
分两种情况讨论：
①当时，得，不符合题意，舍去；
②当时，．
综上所述，正方形的面积为8．
21．（1）证明： ，
，
，
，
，即，
，
，
，
，
，
∴，即E是线段的中点．
（2）证明：由（1）可得．
，D为的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，即．
（3）解： 为等腰三角形．
理由：如图，连接，
∵E是线段的中点，，
，
由（2），得，
，
，
∴为等腰三角形．
22．任务一：证明：如图2，在直线上另取任一点，连结，，，
直线是点，的对称轴，点，在上，
，，
．
在△中，
，
．
，
即最小，
故答案为：，，；
任务二：作点关于直线的对称点，作点关于直线的对称点，连接，
分别交、于、，如图：
，，
的周长为，
此时的周长取得最小值，且最小值为，
由轴对称的性质得：，，
，，
，，
，，
△为边长为500的等边三角形，
，
△的周长的最小值为500米，
故答案为：500；
任务三：如图，过点作交于点，交于点，过点作于点，
是的平分线．
，
，
这时有最小值，即的长度，
，，，，
，
，
即的最小值为．
23．（1）解：∵在中，，，，
∴，
若点运动到的中点，则，
则．
（2）解：由题知，
如图，当时，，，
在中，，
∴，
解得，
∴．
（3）解：如图①，当为直角时，点P与点C重合，，即；
如图②，当为直角时，，，
在中，，
在中，，
即，
解得 ．
故或时，为直角三角形．
24．（1）证明： 于点O，
，
，，，，
，，
（2）证明：四边形和四边形都是正方形，
，，，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
（3）解：如图3，连接，
由得，
，
，，，
，，
，，
，
，，
，
，

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