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第一章《三角形》单元测试卷
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．下列各组图形中，是全等图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，点E，F在线段上，，，，那么的长度是（ ）
A．2 B．3 C．5 D．8
3．下列每组三条线段的长度，能用它们组成三角形的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
4．下列能表示的边上的高的是（ ）
A． B．
C． D．
5．到三角形各顶点距离相等的点是（ ）
A．三条边垂直平分线交点 B．三个内角平分线交点
C．三条中线交点 D．三条高交点
6．如图，在中，垂直平分．若，，则的长是（ ）
A．6 B．8 C．9 D．10
7．在中，，的平分线交于点，过点作，垂足为，若，，则的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．如图，仪器可以用来平分一个角，其中，，将仪器上的点A与的顶点R重合，调整和，使它们落在角的两边上，沿画一条射线，就是的平分线，则这个平分角的仪器的制作原理是（ ）
A．边边边 B．边角边 C．角角边 D．角边角
9．为说明命题“若，则”是假命题，所列举反例正确的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
10．如图，中，，点、分别是、上的点，，，连接、交于点，当四边形的面积为7时，则线段长度的最小值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．）
11．如图，已知与全等，那么 ．
12．在数学活动课上，小丽同学将含角的直角三角板的一个顶点按如图方式放置在直尺的一边上，测得，则的度数是
13．如图，小红为了测量池塘两边A，B两点间的距离，做了如下的操作：①取一个能够直接到达A，B两点的点D；②连接并延长到E，使；连接并延长到C，使；③连接，那么，要知道的长度，应该测量线段 ．
14．如图所示，，，，，，则 ．
15．如图，P是直线l外一点，按以下步骤作图：①以点P为圆心，适当长为半径画弧，交直线l于点B，D；②分别以点B、点D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点E；③作直线交于点F．

若，，则四边形的面积为 ．
16．在学习完“探索三角形全等的条件”这节课后，某班学生总结出很多全等三角形的模型，他设计了以下问题给班里学生解决：如图，做一个“U”字形框架，其中，足够长，于点A，于点B，点D从点B出发向点A运动，同时点E从点B出发向点N运动，且D，E运动的速度之比为，当个两点运动到某一瞬间同时停止，此时在射线上取点C，使与全等，则线段的长为 ．
三、解答题（本题共8小题，共72分．）
17．（8分）如下图，在中，D是上一点，交于点E，，，，．求的长．
18．（8分）如图，在中，，垂直平分，交于点，交于点，且．
(1)求证：；
(2)若的周长为，，求的长．
19．（8分）如图，绕着点B旋转（顺时针）到，且．
(1)和是否全等？如果全等，请指出对应边和对应角．
(2)直线与直线有怎样的位置关系？请说明理由．
20．（8分）如图，在中，．
(1)在边上找到一点E，使它到两点A、B的距离相等．（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）；
(2)在（1）的条件下，连接，若，，求的周长．
21．（8分）【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围．小丽在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长到点M，使，连接，可证，从而把，，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围．
【方法总结】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，有时需要考虑倍长中线（或与中点有关的线段）构造全等三角形，把分散的已知条件和所求集中到同一个三角形中．我们把这种添加辅助线解题的方法称为“倍长中线法”．
【问题解决】
(1)直接写出图1中的取值范围：______；
(2)猜想图2中与的数量关系和位置关系，并加以证明；
(3)如图3，是的中线，，，，判断线段和线段的数量关系和位置关系，并加以证明．
22．（10分）如图，中，分别是边上的点，．
(1)若，求证：；
(2)把（1）中的条件和结论反过来，即若，则，这个命题是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
23．（10分）如图，在中，P是线段上的一个动点，且不与B，C重合，，．
(1)已知，．
① ；
②若，则 ；
(2)如图②，已知，作，试探究，，之间的关系．
24．（12分）如图1，，，，垂足分别为A、B，．点P在线段上以3的速度由点A向点B运动，同时点Q从点B出发在射线上运动，它们运动的时间为（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．
(1)若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，与是否全等？此时线段PC和线段PQ有怎样的位置关系？请分别说明理由；
(2)如图2，若“，”改为“”，点的运动速度为x，其他条件不变，当与全等时，求出相应的与的值．
参考答案
一、选择题
1．C
解：A选项：两个圆的直径不相等，不能完全重合，
两个圆不能完全重合，
两个圆不是全等图形，故A选项不符合题意；
B选项：一个直角三角形，一个钝角三角形，
两个三角形不能完全重合，
两个三角形不是全等图形，故B选项不符合题意；
C选项：两个图形可以完全重合，
两个图形是全等图形，故C选项符合题意；
D选项：两个正方形的边长不相等，
两个正方形不能完全重合，
两个图形不是全等图形，故D选项不符合题意．
故选：C．
2．A
解：∵，，
∴，
∴，
故选：A．
3．B
解：∵，
∴，，不能用它们组成三角形，故A不符合；
∵，
∴，，能用它们组成三角形，故B符合；
∵，
∴，，不能用它们组成三角形，故C不符合；
∵，
∴，，不能用它们组成三角形，故D不符合，
故选：B．
4．B
解：A、图形中，不能表示的边上的高，本选项不符合题意；
B、图形中，能表示的边上的高，本选项符合题意；
C、图形中，不能表示的边上的高，本选项不符合题意；
D、图形中，不能表示的边上的高，本选项不符合题意；
故选：B．
5．A
解：到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的三条边的垂直平分线的交点．
故选：A．
6．A
解：∵垂直平分，
∴，
∴，
故选：A．
7．B
解：在中，，是的平分线，
．
又，
故选：B ．
8．A
解：在和中，
∵，，，
∴ ，
∴，
∴就是的平分线.
故选：A
9．B
解：A、当时，，满足，但，是错误的反例，此项不符题意；
B、当时，，满足，但，是正确的反例，此项符合题意；
C、当时，，满足，但，是错误的反例，此项不符题意；
D、当时，不满足，是错误的反例，此项不符题意；
故选：B．
10．D
解：如图所示，过点作于点，连接，
设，，，
∴，
∵，，
∴，，，
∴，，
联立，
∴，
∵，
∴，
∴当时，最小为．
故选：D．
二、填空题
11．72
解：∵与全等，和是对应边，
∴，
故答案为：72．
12．
解：如图，三角板与直尺分别交于点、．
，
．
，
．
13．/
解：∵，，，
∴，
∴，
即要知道的长度，应该测量线段．
故答案为：
14．/55度
解：，
，
，
在和中，
，
，
，
，
故答案为：．
15．12
解：由作图步骤可知，
步骤①中，以点P为圆心画弧，交直线l于点B，D，
，
步骤②中，分别以点B、点D为圆心，大于的长为半径作弧相交于点E，
直线是线段的垂直平分线，
，
，
四边形的对角线与互相垂直，
，
故答案为：12．
16．或
解：设点D，E运动的速度分别为，，它们运动的时间为，则，，，
于点A，于点B，
，
当，时， ，
即，
，
；
当，时， ，
即，
，
；
综上所述，的长为或
故答案为：或
三、解答题
17．解：，，．
在和中，，
，
．
，
．
一题多解法：
，
．
在和中，，
，
．
，
．
18．（1）证明：连接．
垂直平分，
，
，，
∴垂直平分，
，
；
（2）的周长为21cm，
，
，
，
，，
，
．
19．（1）解：；
∵绕着点B旋转（顺时针）到，
∴，
∴对应边为：与与与；
对应角为：与与与；
（2）直线与相互垂直，理由如下：
延长交于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴直线与相互垂直．
20．（1）解：如图所示：点E即为所求；
（2）垂直平分，
，
的周长．
21．（1）解：延长到点M，使，连接，
D是中点，
，
在和中， ，
，
，
在中，，
，即，
又，
，即．
故答案为：．
（2），．理由如下：
，
，，
．
（3），．证明如下：
如图，延长到点Q，使得，连接．
同理可证，
，．
，
．
在中，，
，
．
，
，
．
在和中
，
，．
如图，延长交于点P．
，
，
，
，
．
，
．
，
．
综上所述，，．
22．（1）解：如图1所示：
由三角形的外角定理可知：，
且，，
，
在和中，，
；
（2）解：成立，理由如下：
过点、分别作于点M，于点N，如图2所示：
，，
，
又，
在和中，
．
，
又，
，
，
又，．
．
即若，则此命题成立．
23．（1）解：①∵，，
∴；
∵，，
∴，
∴；
②∵，
设，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，，
∵，
∴；
（2）解：，理由见解析；
∵，，，
∴，，，
∵，
∴,
∴.
24．（1）解：当时，与全等；线段和线段的位置关系是：，理由如下：
∵点Q的运动速度与点P的运动速度相等，都是3，且运动的时间，
∴，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∵，，
∴，
在与中，
，
∴（），
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴；
（2）依题意得：，，
∵，
∴，
又∵，，
当，时，，
由，得：，
解得：，
由，得：，
解得：，
②当，时，，
由，得：，
解得：，
由，得：，
，
解得：，
综上所述：当时， ；当时， ．

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