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第二章《特殊三角形》单元测试卷
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。）
1．2026年4月23日第31个世界读书日主题“阅读：通往未来的桥梁”．下列图书馆标志图形中，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．如图，如果直线m是多边形的对称轴，其中，那么的度数等于（ ）
A． B． C． D．
3．下列每组三个数能构成直角三角形的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，一架靠墙摆放的梯子长10米，底端离墙角的距离为6米，则梯子顶端离地面的距离为（ ）米
A．8 B．7 C．6 D．5
5．小方画了一个两边长分别为和的等腰三角形，则这个等腰三角形的周长为（ ）
A． B． C． D．或
6．如图，等边三角形的边长为，D，E分别是上的点，将沿直线折叠，点A落在点处，且点在外部，则阴影部分图形的周长为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，已知是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且，则（ ）
A． B． C． D．
8．如图，已知为内一点，平分，若，，则的长为（ ）
A．1 B． C．2 D．3
9．如图，将一根长为的吸管置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设吸管露在杯子外的长为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，等腰，斜边，分别以的边为直径画半圆，所得两个月形图案和的面积之和是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．）
11．已知在中，，，的平分线交于点，那么 ．
12．如图，已知 ，点D在边上，，则的度数是 ．
13．如图，校园内有一块长方形草坪，已知，，学校为了方便学生上学，从点A到点C修建一条笔直小路，则学生沿着走比原来少走 ．
14．如图是一株美丽的勾股树．所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形边长为，则正方形、、、的面积的和是 ．
15．如图，在中，和的平分线相交于点，过点作，交于点，交于点，若，，则线段的长为 ．
16．如图，圆柱的高为3米，底面圆的周长为5米．将一条彩带从底面A点开始绕圆柱1圈后，挂在点A的正上方点B处，彩带最短需要 米．
三、解答题（本题共8小题，共72分．）
17．（8分）如图，在中，，，点D、E、F分别在，，边上，且，．
(1)若，求的长度；
(2)求的度数．
18．（8分）如图，中，，垂足为D．
(1)求作的平分线，分别交于P，Q两点．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
(2)判断的形状，并证明．
19．（8分）如图，在中，的垂直平分线分别交、于点、，的垂直平分线分别交、于点、．
(1)若，求的周长；
(2)若，求的度数．
20．（8分）【合作探究】如图①，在中，，过点作交于点，求的长．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路，完成解答过程．
（1）设，则___________（用含的代数式表示）；
（2）请根据勾股定理，利用作为“桥梁”，建立方程，并求出的值；
【类比应用】如图①，在中，，求的面积．
21．（8分）为了绿化环境，我市某中学有一块四边形的空地，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量，求出空地的面积．
22．（10分）【资料】如图①，这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，该图通过对图形的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理．
【拓展】根据以上材料，老师将图①进行了拓展：
(1)如图①，若黄实的面积为1，所拼得的大正方形的面积为25，每个朱实的面积是_____；
(2)如图②，将长方形的四边、、、分别延长至、、、，使得，，连接、、、．
①求证：；
②若，，则图中阴影部分图形的面积为_____．
23．（10分）【问题提出】（1）如图1，在中，，BD是AC边上的高，点E为线段BC上一点，，连接DE，求证：为等边三角形；
【问题解决】
（2）2025年4月28日，党中央隆重召开全国劳动模范和先进工作者庆祝表彰大会．为加强劳动教育，落实五育并举，某校计划在校内修建劳动实践基地，如图，四边形为基地平面示意图，、边靠墙，为一条通道，区域为果蔬栽培区，区域为花卉栽培区，根据规划要求，是等边三角形，，学校计划沿、修建栅栏，沿修建灌溉水渠，为了合理预算，需要知道、、之间的数量关系，请你帮助学校确定、、之间的数量关系，并说明理由．
24．（12分）小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．
(1)问题发现：如图1，若和均是顶角为的等腰三角形，分别是底边，求证：；
(2)拓展探究：如图2，若和均为等边三角形，点A、D、E在同一条直线上，连接，则的度数为______；线段与之间的数量关系是______．
(3)解决问题：如图3，若和均为等腰直角三角形，，点A、D、E在同一条直线上，为中边上的高，连接
①请求出的度数；
②线段之间的数量关系为______．
参考答案
一、选择题
1．A
解：A、是轴对称图形，故本选项符合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意．
故选：A．
2．D
解：由轴对称性质可知：．
故选：D．
3．C
解：A：∵，，
∴，不能构成直角三角形，故该选项不合题意；
B：∵，，
∴，不能构成直角三角形，故该选项不合题意；
C：∵，，
∴，能构成直角三角形，故该选项符合题意；
D：∵，，
∴，不能构成直角三角形，故该选项不合题意．
故选：C ．
4．A
解：由题意得，梯子顶端离地面的距离为米，
故选：A．
5．D
解：当腰长为时 ：
底边为，三边分别为，
验证三角形三边关系：（，成立），（，成立），满足条件，
周长为：
当腰长为8时：
底边为，三边分别为，
验证三角形三边关系：（，成立），（，成立），满足条件，
周长为：
综上，等腰三角形的周长可能为或，
故答案为：D.
6．A
解：∵等边三角形的边长为，
∴，
∵将沿直线折叠，点A落在点处，
∴，
∴阴影部分图形的周长为：
．
故选：A
7．D
解： 是等边三角形，
，
，
，
，
．
故选：D．
8．A
解：延长与交于点E，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
又平分，
∴，
∴
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
9．B
解：当吸管与圆柱母线平行时，最长，
此时()；
当吸管与圆柱的轴截面的对角线重合时，最短，
∴，解得：或（舍去），
∴的取值范围是，
故选：B．
10．A
解：如图，过点作于点,
∵等腰，斜边，
∴，
∵以等腰的边为直径画半圆，
∴ ，， ，
∴，
∴所得两个月形图案和的面积之和为，
∵的面积，
∴所得两个月形图案和的面积之和为，
故选：．
二、填空题
11．
解：，，
，
又为的平分线，
，
．
故答案为：．
12．
解： ，
，
，
，
．
故答案为：
13．40
解：由题意得，，
∴，
∴．
∴学生沿着走比原来少走．
故答案为：40．
14．/49平方厘米
解：如图所示，在中，由勾股定理得，
由正方形的面积计算公式可得，
∴，
同理可得，，
∴，
故答案为：．
15．3
解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
故答案为：3．
16．
解：由题意得：彩带最短为长方形对角线长度，
∵圆柱的高为3米，底面圆的周长为5米，
∴ 米，
故答案为：．
三、解答题
17．（1）解：∵，
∴，
在和中，
，
∴（），
∴；
（2）∵≌，
∴，
∴
．
18．（1）解：如图，角平分线即为所求．
（2）解：为等腰三角形，证明如下：
∵是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴为等腰三角形．
19．（1）解：是的垂直平分线，是的垂直平分线，
，，
的周长；
（2）解：，
，
，，
，，
，
．
20．（1）解：设，
故答案为：．
（2）由勾股定理，得，
，
故，
解得．
类比应用：
如图，过点作交的延长线于点，
则，
即，
解得，
所以，
所以．
21．解：如图，连接，
在中，，
在中，，而，即，
为直角三角形，
，
，
答：空地的面积．
22．（1）解：∵黄实的面积为1，所拼得的大正方形的面积为25，
∴，
∴，
∴每个朱实的面积，
故答案为：6；
（2）①证明：∵四边形是长方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②解：∵，
∴，
∴阴影部分图形的面积，
故答案为：37．
23．（1）证明：∵
为等边三角形，，
∵是边上的高，
∴．
∵，
∴，
∴是等边三角形．
（2）理由如下：
如图，延长到点，使得．连接，
，
，
又 ，
是等边三角形，
，
是等边三角形，
，
，
，即，
在和中，
，
，
，
．
24．（1）证明：和均是顶角为的等腰三角形，
，，，
，
，
，
；
（2）解：和均是等边三角形，
，，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
故答案为：；；
（3）解：①，理由如下：
同（1）（2）的方法得， ，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
；
②，，
，
，
，
故答案为：

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