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广东茂名市第一中学等九校2025-2026学年高二下学期4月学情调研数学试题
1．（　　）
A． B．2 C． D．2026
2．曲线在点处的切线方程为（　　）
A． B． C． D．
3．设是的导函数，已知，则（　　）
A．1 B． C．2 D．
4．甲计划按照一定的先后顺序写一篇介绍8个文化地标的文章，若第一个介绍的是地标，且地标的介绍顺序必须相邻（中间不能插入其他地标，内部顺序可自由调整），则该文章关于这8个文化地标的介绍顺序共有（　　）
A．360种 B．720种 C．1440种 D．2160种
5．某次考试共有12个选择题，每个选择题的分值为5分，每个选择题四个选项且只有一个选项是正确的，学生对12个选择题中每个题的四个选择项都没有把握，最后选择题的得分为分，学生对12个选择题中每个题的四个选项都能判断其中有一个选项是错误的，对其它三个选项都没有把握，选择题的得分为分，则的值为
A． B． C． D．
6．函数的大致图象为（　　）
A． B．
C． D．
7．设，分别为随机事件A，B的对立事件，已知，则下列说法不正确的是（　　）
A．
B．
C．若A，B是相互独立事件，则
D．若A，B是互斥事件，则
8．设，则（　　）
A． B． C． D．
9．已知均为正整数，且，则（　　）
A． B．
C． D．
10．关于的展开式，下列说法正确的是（　　）
A．展开式共有8项
B．展开式的二项式系数之和为256
C．展开式中没有常数项
D．展开式的第5项的二项式系数最大
11．已知函数，则（　　）
A．为奇函数 B．
C． D．在上单调递增
12．若函数，则　 　.
13．若，则　 　.
14．某Livehouse舞台的环形氛围灯被设计为如图所示的4个环形相邻灯区.现有5种霓虹灯光色可供选择，要求每个灯区只使用一种颜色，且相邻灯区颜色不相同，则该舞台灯区共有　 　种不同的颜色搭配方案.
15．记等差数列的前项和为，已知.
（1）求数列的通项公式；
（2）证明：.
16．已知函数.
（1）判断的单调性；
（2）若关于的方程只有1个实数解，求实数的取值范围.
17．某高校新媒体社团有7位同学，他们计划对短视频剪辑、直播运营、图文排版、创意脚本撰写这4个当下热门的新媒体展开学习调研，要求每个模型至少有一人负责，且每人只能选择一个.
（1）若从社团中选出4人去调研，共有多少种不同的调研安排方案？
（2）若7位同学同时参与调研，其中的甲、乙、丙3位同学调研同一个模型，共有多少种不同的安排方案？
18．已知函数．
（1）当时，求的极值；
（2）若对恒成立，求的取值范围；
（3）若，证明：当时，．
19．甲、乙两人进行乒乓球比赛，采用五局三胜制（先胜三局者获胜），每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局结果相互独立．比赛计分规则如下：
若一方以或获胜，则胜者得3分，败者得0分；
若一方以获胜，则胜者得2分，败者得1分．
（1）求甲获得3分的概率；
（2）若，设甲的总得分为随机变量，求的分布列和数学期望；
（3）已知甲在比赛中的总得分的分布列由决定．定义意外指数为．
①求的表达式，并比较和的大小关系；
②求在上的最大值及取得最大值时的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】排列数的基本计算；组合数的基本计算
【解析】【解答】解：．
故答案为：B
【分析】本题考查排列数与组合数的计算公式，核心是利用公式化简求解比值。
2．【答案】C
【知识点】导数的几何意义；简单复合函数求导法则；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：因为，所以，所以，又，
所以曲线在点处的切线方程为，
即.
故答案为：C
【分析】本题考查导数的几何意义，解题核心是先求函数在点x=0处的导数值（切线斜率）和函数值，再用点斜式写出切线方程。
3．【答案】A
【知识点】导数的四则运算；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：由，求导得，则，解得.
故答案为：A
【分析】本题考查导数的运算，核心思路是先对函数求导，再将x=1代入导函数，建立关于f'(1)的方程求解。
4．【答案】B
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：第一个介绍的是地标，则只需要排列剩下个文化地标，
先将这三个地标捆绑，再和其他4个地标排列，共有种．
故答案为：B
【分析】本题考查排列组合中的捆绑法，解题核心是先固定第一个元素，再将相邻元素捆绑，分步计算排列数。
5．【答案】A
【知识点】二项分布；离散型随机变量的方差
【解析】【解答】解：设学生答对题的个数为，得分（分），满足，，则，
同理设学生答对题的个数为，，，
，则.故答案为：A.
【分析】设、学生答对题的个数分别为、，由题意可知两位同学正确数量满足二项分布，利用二项分布的方差公式求解即可.
6．【答案】D
【知识点】函数的奇偶性；函数的图象；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：由函数的定义域为，
且，
所以为奇函数，其图象关于原点对称，
当时，，则，
令，可得；令，可得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
当时，，
故答案为：D
【分析】本题考查函数图象识别，关键先判断函数奇偶性排除选项，再研究x>0时的单调性与特殊点函数值，结合最值逐一排除错误图像。
7．【答案】B
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】A，由条件概率公式变形：，故A正确；
B，若满足相互独立关系，则、，可得，由可知，故B错误；
C，已知互为相互独立事件，满足，
代入条件概率公式：，故C正确；
D，已知为互斥事件，则，，因此，故D正确。
故答案为：B。
【分析】A：依托同条件下与对立事件概率和的性质，结合条件概率分式化简推导；B：借用独立事件的条件概率定值特征，代入举反例推翻等式；C：将独立事件乘法公式代入条件概率定义式进行化简验证；D：利用互斥事件交集概率为0的特点，直接计算对应条件概率。
8．【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：令，则，
令，得；令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
即，
得，故，
所以，即.
故答案为：D
【分析】本题考查利用构造函数结合导数单调性比较指数式与分式的大小，关键是构造辅助函数，求导确定单调区间，代入对应自变量得到两两大小关系，最后完成三个代数式的排序。
9．【答案】A,C,D
【知识点】排列数的基本计算；组合数的基本计算
【解析】【解答】A，由组合数对称性质，，可得，故A正确；
B，由排列数公式，，两个乘积因式末项不恒相等，式子不一定成立，故B错误；
C，展开左右两端：，
，
左右相等，因此，C正确；
D，，等式成立，故D正确。
故答案为：ACD。
【分析】A：利用组合数互补下标恒等公式直接验证；B：展开排列数因式形式，对比因式尾项说明不一定相等；C：分别拆开组合数、排列数表达式，化简后对比两边；D：带入阶乘表达式变形化简，验证等式恒成立。
10．【答案】B,C,D
【知识点】二项式系数的性质；二项展开式
【解析】【解答】解：由题可知展开式共有9项，故A错误；
展开式的二项式系数之和为，故B正确；
展开式的通项为，
令0，得不是整数，所以展开式中没有常数项，故C正确；
当时，二项式系数最大，所以展开式的第5项的二项式系数最大，故D正确.
故答案为：BCD
【分析】本题考查二项式定理的相关性质，关键依托二项展开式项数规律、二项式系数和公式、通项公式，分别验证项的个数、系数和、常数项存在性、二项式系数最大值。
11．【答案】A,D
【知识点】函数的奇偶性；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】A：函数定义域为，且，故为奇函数，A正确；
B：，显然不等于，B错误；
C：，显然不等于，C错误；
D：对求导：
当时，，故，，单调递增，D正确。
故答案为：AD。
【分析】A：利用奇函数定义验证；B、C：代入诱导公式计算、，与或对比；D：通过求导判断导数符号，分析函数单调性。
12．【答案】2
【知识点】函数的值；导数的四则运算
【解析】【解答】解：由题可得，
则.
故答案为：2
【分析】本题考查多因式乘积的求导法则，解题核心是利用乘积求导公式求导后代入计算。
13．【答案】240
【知识点】二项式系数的性质；二项式系数
【解析】【解答】解：由多项式的展开式中，
对于含的项中，当为奇数时，系数为负，当为偶数时，系数为正，
所以，
对于，
令，得；
令，得，
所以.
故答案为：240
【分析】本题考查多项式赋值法求系数绝对值和，关键先判断各项系数符号，将绝对值和转化为交替系数和，再通过分别赋值、，代入展开式列式计算。
14．【答案】260
【知识点】分步乘法计数原理；基本计数原理的应用
【解析】【解答】解：第1个灯区有5种颜色可选，第2个灯区不能与第1个灯区同色，有4种颜色可选，
若第3个灯区与第1个灯区同色，则只有1种颜色可选，此时第4个灯区不能与第1，3个灯区同色，有4种颜色可选；
若第3个灯区与第1个灯区颜色不同，也不能与第2个灯区同色，则有3种颜色可选，此时第4个灯区不能与第1，3个灯区同色，有3种颜色可选，
所以该舞台灯区共有种不同的颜色搭配方案.
故答案为：260
【分析】本题考查分步乘法计数原理与分类讨论计数，关键按顺序依次排布灯区颜色，以第 3 个灯区是否与第 1 个同色分成两类，分别算出两类选法数再汇总计算总方案。
15．【答案】（1）解：设等差数列的公差为，因为
可得，解得，
所以，即数列的通项公式为.
（2）证明：由（1）知：，可得，可得，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，
因为，所以.
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】(1) 设等差数列首项与公差，利用等差数列前项和公式与通项公式列方程组，解出，进而写出通项公式；
(2) 把通项代入分式，判定新数列为等比数列，用等比数列求和公式化简前项和，结合指数范围完成不等式放缩证明。
（1）解：设等差数列的公差为，因为
可得，解得，
所以，即数列的通项公式为.
（2）解：由（1）知：，可得，可得，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，
因为，所以.
16．【答案】（1）解：因为，
所以，
则当或时，单调递减；
当时，单调递增，
所以在上单调递减，在上单调递增.
（2）解：，
由（1）知当时，单调递减，且趋近于时，趋近于，从负半轴趋近于0时，趋近于；
当时，单调递减，时，单调递增，且从正半轴趋近于0时，趋近于，趋近于时，趋近于；
又，作出的大致图象如图所示，
因为关于的方程只有1个实数解，所以的图象与直线只有1个交点，结合图象可知，
所以实数的取值范围为．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】(1) 先化简函数表达式，再求导，根据导数的正负判断函数的单调性；
(2) 结合 (1) 的单调性，分析函数的极值与图像趋势，再根据方程只有 1 个实数解的条件，确定m的取值范围。
（1）因为，
所以，
则当或时，单调递减；
当时，单调递增，
所以在上单调递减，在上单调递增.
（2），
由（1）知当时，单调递减，且趋近于时，趋近于，从负半轴趋近于0时，趋近于；
当时，单调递减，时，单调递增，且从正半轴趋近于0时，趋近于，趋近于时，趋近于；
又，作出的大致图象如图所示，
因为关于的方程只有1个实数解，所以的图象与直线只有1个交点，结合图象可知，
所以实数的取值范围为．
17．【答案】（1）解：先从7位同学中选出4人，有种选法；
再将选出的4人分配到4个，要求每个至少1人，则有种分配方法，
由分步计数原理得，共有种不同的调研安排方案.
（2）解：将甲、乙、丙3位同学视为一个整体（一个元素），此时相当于5个元素分配到4种模型，每种模型至少1个元素，
则5个元素需分为“2，1，1，1”四组，有种分法；
再将这四组对应4种模型进行全排列，有种方法，
所以甲、乙、丙3位同学调研同一模型，共有种不同的安排方案.
【知识点】分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【分析】(1) 分两步：先从7人中选出4人，再将选出的4人全排列分配到4个调研项目，分步相乘得到方案总数；
(2) 捆绑甲、乙、丙视作一个整体，剩余4人，合计5个元素，按分组“2，1，1，1”拆分，先选2人凑组，再把4组全排列分配给4个项目，分步计算总数。
（1）解：先从7位同学中选出4人，有种选法；
再将选出的4人分配到4个，要求每个至少1人，则有种分配方法，
由分步计数原理得，共有种不同的调研安排方案.
（2）解：将甲、乙、丙3位同学视为一个整体（一个元素），此时相当于5个元素分配到4种模型，每种模型至少1个元素，
则5个元素需分为“2，1，1，1”四组，有种分法；
再将这四组对应4种模型进行全排列，有种方法，
所以甲、乙、丙3位同学调研同一模型，共有种不同的安排方案.
18．【答案】（1）解：当时，，
则，
令，得或；
令，得或，
在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
的极大值为，极小值为．
（2）解：由，得，
化简得，
设，
则，
当，即时，单调递增，
，符合题意；
当，即时，当时，，
不满足对恒成立，不符合题意，
综上，的取值范围为．
（3）证明：若，则由（2）得当时，，
要证，可证，
令，
则
，
令，得，则，
设，
则当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
，
，
，则，
，则，即，
，得证，
当时，．
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的极值；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】(1) 代入得到解析式，求导并因式分解，根据导数正负划分单调区间，进而代入极值点算出极大、极小值；
(2) 对恒成立不等式移项构造新函数，求导分析导函数符号，分与两种情况讨论，结合端点与极限确定参数范围；
(3) 由第(2)问结论得到，将原不等式转化为证明，构造辅助函数求导找极值点，通过三角函数关系估算最小值大于0，完成证明。
（1）当时，，
则，
令，得或；
令，得或，
在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
的极大值为，极小值为．
（2）由，得，
化简得，
设，
则，
当，即时，单调递增，
，符合题意；
当，即时，当时，，
不满足对恒成立，不符合题意，
综上，的取值范围为．
（3）若，则由（2）得当时，，
要证，可证，
令，
则
，
令，得，则，
设，
则当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
，
，
，则，
，则，即，
，得证，
当时，．
19．【答案】（1）解：根据题意，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局结果相互独立．
所以甲以获胜的概率为，
甲以获胜的概率为，
所以甲获得3分的概率为；
（2）解：由题意可知，随机变量为甲的总得分，其所有可能取值为、、、，
若，即甲、乙获胜的概率都是，
所以，，
，，
所以随机变量的分布列为：
所以；
（3）①解：由题意，，，
所以
，
则，
所以；
②解：由①可得，，
令，，
因为，可得恒成立，所以单调递增，
又当时，取得最大值，即，
所以，
即当时，取得最大值.
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】(1) 甲得3分对应、取胜，分别用独立重复概率公式列式相加，化简得到所求概率；
(2) 确定可取，结合比分规则分别计算四种取值对应的概率，列出分布列，再利用期望公式求和算出数学期望；
(3)① 分别写出（甲落败）、（甲取胜）的概率，相加化简得到，代入验证与大小；② 对变形换元，结合二次函数最值，求出最大值与对应。
（1）根据题意，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局结果相互独立．
所以甲以获胜的概率为，
甲以获胜的概率为，
所以甲获得3分的概率为；
（2）由题意可知，随机变量为甲的总得分，其所有可能取值为、、、，
若，即甲、乙获胜的概率都是，
所以，，
，，
所以随机变量的分布列为：
所以；
（3）①由题意，，，
所以
，
则，
所以；
②由①可得，，
令，，
因为，可得恒成立，所以单调递增，
又当时，取得最大值，即，
所以，
即当时，取得最大值.
1 / 1广东茂名市第一中学等九校2025-2026学年高二下学期4月学情调研数学试题
1．（　　）
A． B．2 C． D．2026
【答案】B
【知识点】排列数的基本计算；组合数的基本计算
【解析】【解答】解：．
故答案为：B
【分析】本题考查排列数与组合数的计算公式，核心是利用公式化简求解比值。
2．曲线在点处的切线方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】导数的几何意义；简单复合函数求导法则；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：因为，所以，所以，又，
所以曲线在点处的切线方程为，
即.
故答案为：C
【分析】本题考查导数的几何意义，解题核心是先求函数在点x=0处的导数值（切线斜率）和函数值，再用点斜式写出切线方程。
3．设是的导函数，已知，则（　　）
A．1 B． C．2 D．
【答案】A
【知识点】导数的四则运算；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：由，求导得，则，解得.
故答案为：A
【分析】本题考查导数的运算，核心思路是先对函数求导，再将x=1代入导函数，建立关于f'(1)的方程求解。
4．甲计划按照一定的先后顺序写一篇介绍8个文化地标的文章，若第一个介绍的是地标，且地标的介绍顺序必须相邻（中间不能插入其他地标，内部顺序可自由调整），则该文章关于这8个文化地标的介绍顺序共有（　　）
A．360种 B．720种 C．1440种 D．2160种
【答案】B
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：第一个介绍的是地标，则只需要排列剩下个文化地标，
先将这三个地标捆绑，再和其他4个地标排列，共有种．
故答案为：B
【分析】本题考查排列组合中的捆绑法，解题核心是先固定第一个元素，再将相邻元素捆绑，分步计算排列数。
5．某次考试共有12个选择题，每个选择题的分值为5分，每个选择题四个选项且只有一个选项是正确的，学生对12个选择题中每个题的四个选择项都没有把握，最后选择题的得分为分，学生对12个选择题中每个题的四个选项都能判断其中有一个选项是错误的，对其它三个选项都没有把握，选择题的得分为分，则的值为
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二项分布；离散型随机变量的方差
【解析】【解答】解：设学生答对题的个数为，得分（分），满足，，则，
同理设学生答对题的个数为，，，
，则.故答案为：A.
【分析】设、学生答对题的个数分别为、，由题意可知两位同学正确数量满足二项分布，利用二项分布的方差公式求解即可.
6．函数的大致图象为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】函数的奇偶性；函数的图象；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：由函数的定义域为，
且，
所以为奇函数，其图象关于原点对称，
当时，，则，
令，可得；令，可得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
当时，，
故答案为：D
【分析】本题考查函数图象识别，关键先判断函数奇偶性排除选项，再研究x>0时的单调性与特殊点函数值，结合最值逐一排除错误图像。
7．设，分别为随机事件A，B的对立事件，已知，则下列说法不正确的是（　　）
A．
B．
C．若A，B是相互独立事件，则
D．若A，B是互斥事件，则
【答案】B
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】A，由条件概率公式变形：，故A正确；
B，若满足相互独立关系，则、，可得，由可知，故B错误；
C，已知互为相互独立事件，满足，
代入条件概率公式：，故C正确；
D，已知为互斥事件，则，，因此，故D正确。
故答案为：B。
【分析】A：依托同条件下与对立事件概率和的性质，结合条件概率分式化简推导；B：借用独立事件的条件概率定值特征，代入举反例推翻等式；C：将独立事件乘法公式代入条件概率定义式进行化简验证；D：利用互斥事件交集概率为0的特点，直接计算对应条件概率。
8．设，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：令，则，
令，得；令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
即，
得，故，
所以，即.
故答案为：D
【分析】本题考查利用构造函数结合导数单调性比较指数式与分式的大小，关键是构造辅助函数，求导确定单调区间，代入对应自变量得到两两大小关系，最后完成三个代数式的排序。
9．已知均为正整数，且，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A,C,D
【知识点】排列数的基本计算；组合数的基本计算
【解析】【解答】A，由组合数对称性质，，可得，故A正确；
B，由排列数公式，，两个乘积因式末项不恒相等，式子不一定成立，故B错误；
C，展开左右两端：，
，
左右相等，因此，C正确；
D，，等式成立，故D正确。
故答案为：ACD。
【分析】A：利用组合数互补下标恒等公式直接验证；B：展开排列数因式形式，对比因式尾项说明不一定相等；C：分别拆开组合数、排列数表达式，化简后对比两边；D：带入阶乘表达式变形化简，验证等式恒成立。
10．关于的展开式，下列说法正确的是（　　）
A．展开式共有8项
B．展开式的二项式系数之和为256
C．展开式中没有常数项
D．展开式的第5项的二项式系数最大
【答案】B,C,D
【知识点】二项式系数的性质；二项展开式
【解析】【解答】解：由题可知展开式共有9项，故A错误；
展开式的二项式系数之和为，故B正确；
展开式的通项为，
令0，得不是整数，所以展开式中没有常数项，故C正确；
当时，二项式系数最大，所以展开式的第5项的二项式系数最大，故D正确.
故答案为：BCD
【分析】本题考查二项式定理的相关性质，关键依托二项展开式项数规律、二项式系数和公式、通项公式，分别验证项的个数、系数和、常数项存在性、二项式系数最大值。
11．已知函数，则（　　）
A．为奇函数 B．
C． D．在上单调递增
【答案】A,D
【知识点】函数的奇偶性；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】A：函数定义域为，且，故为奇函数，A正确；
B：，显然不等于，B错误；
C：，显然不等于，C错误；
D：对求导：
当时，，故，，单调递增，D正确。
故答案为：AD。
【分析】A：利用奇函数定义验证；B、C：代入诱导公式计算、，与或对比；D：通过求导判断导数符号，分析函数单调性。
12．若函数，则　 　.
【答案】2
【知识点】函数的值；导数的四则运算
【解析】【解答】解：由题可得，
则.
故答案为：2
【分析】本题考查多因式乘积的求导法则，解题核心是利用乘积求导公式求导后代入计算。
13．若，则　 　.
【答案】240
【知识点】二项式系数的性质；二项式系数
【解析】【解答】解：由多项式的展开式中，
对于含的项中，当为奇数时，系数为负，当为偶数时，系数为正，
所以，
对于，
令，得；
令，得，
所以.
故答案为：240
【分析】本题考查多项式赋值法求系数绝对值和，关键先判断各项系数符号，将绝对值和转化为交替系数和，再通过分别赋值、，代入展开式列式计算。
14．某Livehouse舞台的环形氛围灯被设计为如图所示的4个环形相邻灯区.现有5种霓虹灯光色可供选择，要求每个灯区只使用一种颜色，且相邻灯区颜色不相同，则该舞台灯区共有　 　种不同的颜色搭配方案.
【答案】260
【知识点】分步乘法计数原理；基本计数原理的应用
【解析】【解答】解：第1个灯区有5种颜色可选，第2个灯区不能与第1个灯区同色，有4种颜色可选，
若第3个灯区与第1个灯区同色，则只有1种颜色可选，此时第4个灯区不能与第1，3个灯区同色，有4种颜色可选；
若第3个灯区与第1个灯区颜色不同，也不能与第2个灯区同色，则有3种颜色可选，此时第4个灯区不能与第1，3个灯区同色，有3种颜色可选，
所以该舞台灯区共有种不同的颜色搭配方案.
故答案为：260
【分析】本题考查分步乘法计数原理与分类讨论计数，关键按顺序依次排布灯区颜色，以第 3 个灯区是否与第 1 个同色分成两类，分别算出两类选法数再汇总计算总方案。
15．记等差数列的前项和为，已知.
（1）求数列的通项公式；
（2）证明：.
【答案】（1）解：设等差数列的公差为，因为
可得，解得，
所以，即数列的通项公式为.
（2）证明：由（1）知：，可得，可得，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，
因为，所以.
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】(1) 设等差数列首项与公差，利用等差数列前项和公式与通项公式列方程组，解出，进而写出通项公式；
(2) 把通项代入分式，判定新数列为等比数列，用等比数列求和公式化简前项和，结合指数范围完成不等式放缩证明。
（1）解：设等差数列的公差为，因为
可得，解得，
所以，即数列的通项公式为.
（2）解：由（1）知：，可得，可得，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，
因为，所以.
16．已知函数.
（1）判断的单调性；
（2）若关于的方程只有1个实数解，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：因为，
所以，
则当或时，单调递减；
当时，单调递增，
所以在上单调递减，在上单调递增.
（2）解：，
由（1）知当时，单调递减，且趋近于时，趋近于，从负半轴趋近于0时，趋近于；
当时，单调递减，时，单调递增，且从正半轴趋近于0时，趋近于，趋近于时，趋近于；
又，作出的大致图象如图所示，
因为关于的方程只有1个实数解，所以的图象与直线只有1个交点，结合图象可知，
所以实数的取值范围为．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】(1) 先化简函数表达式，再求导，根据导数的正负判断函数的单调性；
(2) 结合 (1) 的单调性，分析函数的极值与图像趋势，再根据方程只有 1 个实数解的条件，确定m的取值范围。
（1）因为，
所以，
则当或时，单调递减；
当时，单调递增，
所以在上单调递减，在上单调递增.
（2），
由（1）知当时，单调递减，且趋近于时，趋近于，从负半轴趋近于0时，趋近于；
当时，单调递减，时，单调递增，且从正半轴趋近于0时，趋近于，趋近于时，趋近于；
又，作出的大致图象如图所示，
因为关于的方程只有1个实数解，所以的图象与直线只有1个交点，结合图象可知，
所以实数的取值范围为．
17．某高校新媒体社团有7位同学，他们计划对短视频剪辑、直播运营、图文排版、创意脚本撰写这4个当下热门的新媒体展开学习调研，要求每个模型至少有一人负责，且每人只能选择一个.
（1）若从社团中选出4人去调研，共有多少种不同的调研安排方案？
（2）若7位同学同时参与调研，其中的甲、乙、丙3位同学调研同一个模型，共有多少种不同的安排方案？
【答案】（1）解：先从7位同学中选出4人，有种选法；
再将选出的4人分配到4个，要求每个至少1人，则有种分配方法，
由分步计数原理得，共有种不同的调研安排方案.
（2）解：将甲、乙、丙3位同学视为一个整体（一个元素），此时相当于5个元素分配到4种模型，每种模型至少1个元素，
则5个元素需分为“2，1，1，1”四组，有种分法；
再将这四组对应4种模型进行全排列，有种方法，
所以甲、乙、丙3位同学调研同一模型，共有种不同的安排方案.
【知识点】分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【分析】(1) 分两步：先从7人中选出4人，再将选出的4人全排列分配到4个调研项目，分步相乘得到方案总数；
(2) 捆绑甲、乙、丙视作一个整体，剩余4人，合计5个元素，按分组“2，1，1，1”拆分，先选2人凑组，再把4组全排列分配给4个项目，分步计算总数。
（1）解：先从7位同学中选出4人，有种选法；
再将选出的4人分配到4个，要求每个至少1人，则有种分配方法，
由分步计数原理得，共有种不同的调研安排方案.
（2）解：将甲、乙、丙3位同学视为一个整体（一个元素），此时相当于5个元素分配到4种模型，每种模型至少1个元素，
则5个元素需分为“2，1，1，1”四组，有种分法；
再将这四组对应4种模型进行全排列，有种方法，
所以甲、乙、丙3位同学调研同一模型，共有种不同的安排方案.
18．已知函数．
（1）当时，求的极值；
（2）若对恒成立，求的取值范围；
（3）若，证明：当时，．
【答案】（1）解：当时，，
则，
令，得或；
令，得或，
在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
的极大值为，极小值为．
（2）解：由，得，
化简得，
设，
则，
当，即时，单调递增，
，符合题意；
当，即时，当时，，
不满足对恒成立，不符合题意，
综上，的取值范围为．
（3）证明：若，则由（2）得当时，，
要证，可证，
令，
则
，
令，得，则，
设，
则当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
，
，
，则，
，则，即，
，得证，
当时，．
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的极值；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】(1) 代入得到解析式，求导并因式分解，根据导数正负划分单调区间，进而代入极值点算出极大、极小值；
(2) 对恒成立不等式移项构造新函数，求导分析导函数符号，分与两种情况讨论，结合端点与极限确定参数范围；
(3) 由第(2)问结论得到，将原不等式转化为证明，构造辅助函数求导找极值点，通过三角函数关系估算最小值大于0，完成证明。
（1）当时，，
则，
令，得或；
令，得或，
在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
的极大值为，极小值为．
（2）由，得，
化简得，
设，
则，
当，即时，单调递增，
，符合题意；
当，即时，当时，，
不满足对恒成立，不符合题意，
综上，的取值范围为．
（3）若，则由（2）得当时，，
要证，可证，
令，
则
，
令，得，则，
设，
则当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
，
，
，则，
，则，即，
，得证，
当时，．
19．甲、乙两人进行乒乓球比赛，采用五局三胜制（先胜三局者获胜），每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局结果相互独立．比赛计分规则如下：
若一方以或获胜，则胜者得3分，败者得0分；
若一方以获胜，则胜者得2分，败者得1分．
（1）求甲获得3分的概率；
（2）若，设甲的总得分为随机变量，求的分布列和数学期望；
（3）已知甲在比赛中的总得分的分布列由决定．定义意外指数为．
①求的表达式，并比较和的大小关系；
②求在上的最大值及取得最大值时的值．
【答案】（1）解：根据题意，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局结果相互独立．
所以甲以获胜的概率为，
甲以获胜的概率为，
所以甲获得3分的概率为；
（2）解：由题意可知，随机变量为甲的总得分，其所有可能取值为、、、，
若，即甲、乙获胜的概率都是，
所以，，
，，
所以随机变量的分布列为：
所以；
（3）①解：由题意，，，
所以
，
则，
所以；
②解：由①可得，，
令，，
因为，可得恒成立，所以单调递增，
又当时，取得最大值，即，
所以，
即当时，取得最大值.
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】(1) 甲得3分对应、取胜，分别用独立重复概率公式列式相加，化简得到所求概率；
(2) 确定可取，结合比分规则分别计算四种取值对应的概率，列出分布列，再利用期望公式求和算出数学期望；
(3)① 分别写出（甲落败）、（甲取胜）的概率，相加化简得到，代入验证与大小；② 对变形换元，结合二次函数最值，求出最大值与对应。
（1）根据题意，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局结果相互独立．
所以甲以获胜的概率为，
甲以获胜的概率为，
所以甲获得3分的概率为；
（2）由题意可知，随机变量为甲的总得分，其所有可能取值为、、、，
若，即甲、乙获胜的概率都是，
所以，，
，，
所以随机变量的分布列为：
所以；
（3）①由题意，，，
所以
，
则，
所以；
②由①可得，，
令，，
因为，可得恒成立，所以单调递增，
又当时，取得最大值，即，
所以，
即当时，取得最大值.
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