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广东东莞实验中学等校2025-2026学年第二学期期中教学质量自查高二数学
1．计算：（　　）
A．120 B．90 C．60 D．30
2．函数的单调递增区间是（　　）
A． B． C． D．
3．的展开式中常数项是（　　）
A．8 B．16 C．24 D．32
4．端午节是中国四大传统节日之一，端午节当天，3名同学要从超市购买粽子，现有4种不同口味的粽子，每名同学只购买其中一种口味的粽子，则不同的购买方式种数是（　　）
A．4 B．16 C．32 D．64
5．函数的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
6．若直线是曲线与曲线的公切线，则（　　）
A．0 B．1 C． D．
7．已知定义在上的函数满足，则（　　）
A． B． C． D．
8．已知函数有两个极值点，求的取值范围（　　）
A． B． C． D．
9．下列结论正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．若，则正整数x的值是1
10．已知，且第5项与第8项的二项式系数相等，则（　　）
A． B．展开式的二项式系数和为
C．展开式的各项系数和为 D．
11．已知函数，则（　　）
A．函数在上单调递减，在上单调递增
B．
C．若，则实数的取值范围是
D．当时，若方程有且只有一个根，则
12．从0，1，2，3中任取3个数字，可以组成没有重复数字的三位数的个数是　 　．（用数字作答）
13．展开式中，的系数为　 　.
14．对于三次函数给出定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”，某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心。给定函数；，请你根据上面探究结果，计算　 　．
15．已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求在区间上的最值．
16．某校志愿者团队共派出6人参加志愿服务活动，其中男生4人，女生2人．
（1）从这6人中选出男、女队长各1人参加志愿服务活动，共有多少种选法？
（2）从这6人中选出3人完成本次活动的宣传工作，其中至少需要1名女生和1名男生，共有多少种选法？
（3）活动后6人排成一排拍照，男生甲在女生乙左边，有多少种不同的排法？
（4）现要将6名志愿者分配到三所学校参加志愿服活动，每所学校至少分配1人，共有多少种不同的安排方法？
17．为响应国家“乡村振兴”政策，某村在对口帮扶单位的支持下拟建一个生产农机产品的小型加工厂.经过市场调研，生产该农机产品当年需投入固定成本万元，每年需另投入流动成本（万元）与成正比（其中（台）表示产量），并知当生产台该产品时，需要流动成本万元，每件产品的售价与产量（台）的函数关系为（万元）（其中）.记当年销售该产品台获得的利润（利润销售收入生产成本）为万元.
（1）求函数的解析式；
（2）当产量为何值时，该工厂的年利润最大？最大利润是多少？（结果精确到0.1）
18．已知的展开式中仅第5项的二项式系数最大，且第4项 第5项 第6项的系数成等差数列.
（1）求和的值；
（2）若，且，求被5除的余数；
（3）若，求的展开式中系数最大的项.
19．已知函数．
（1）讨论单调性；
（2）若恒成立，求的值；
（3）当时，证明：当时，恒成立．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】排列数的基本计算
【解析】【解答】解：.
故答案为：A
【分析】本题考查排列数与阶乘运算，思路：先用排列公式算出、算出，再相乘得到结果。
2．【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：易知函数的定义域为，，
又，令，解得.
所以函数的单调递增区间为.
故答案为：C
【分析】本题利用导数求函数单调递增区间，先借助乘积求导法则算出，再结合，解不等式得到递增区间。
3．【答案】B
【知识点】二项式定理；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：的展开式的通项为，，
令，解得，则常数项为.
故答案为：B.
【分析】写出展开式的通项，利用通项求解即可.
4．【答案】D
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：端午节当天，3名同学要从超市购买粽子，现有4种不同口味的粽子，每名同学只购买其中一种口味的粽子，则每位同学都有4种不同的购买方式种数，故总共有种不同的购买方式种数.
故答案为：D.
【分析】 每名同学只购买其中一种口味的粽子， 3名同学可以买同一种，根据分步乘法计数原理计算即可.
5．【答案】A
【知识点】函数的图象；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：函数，
令，解得，
当或时，；当时，，故排除B、D；
函数定义域为，求导可得，
令，解得；令，解得或，
则在上单调递增，在和上单调递减，故排除C.
故答案为：A.
【分析】令，解得，分区间判断函数符号排除BD；再求导，利用导数判断函数的单调性排除C.
6．【答案】A
【知识点】导数的几何意义；导数的四则运算；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：设，，设切点为，则切线斜率为，
则切线方程为，即，
由题意得，即，解得，
即与的公切线为，
，，设切点为，则切线斜率为，
则切线方程为，即，
由题意得，即，解得，
故答案为：A.
【分析】本题为公切线问题，思路：对求导，设切点写出切线方程，结合截距为求出与公切线方程；再对求导，设切点写出切线方程，对照已得公切线的斜率、截距，列方程组求。
7．【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：构造函数，定义域为，
求导可得，因为，
所以恒成立，
则在上单调递增，
故，即.
故答案为：B.
【分析】构造函数，，求导结合已知条件得到其单调性，即可得，化简即可求解.
8．【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：，，
依题意得有两个左右异号的实根，
即有两个左右异号的实根，
所以和在上有两个交点，
，，
记，，
显然在上恒成立，即在上单调递减，且，
当时，，，所以在上单调递增，
当时，，，所以在上单调递减，
所以，当趋向0时，趋向，当趋向时，趋向0，
综上，当，即时，和在上有两个交点.
故答案为： A.
【分析】通过构造函数，利用导数研究其单调性和值域，进而确定参数的取值范围.
9．【答案】A,B,C
【知识点】排列及排列数公式；组合及组合数公式；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：A、 ，A正确；
B、 ， ，B正确；
C、 ，，，C正确；
D、若，则或得正整数或，D错误.
故答案为：ABC.
【分析】A、根据排列数公式判断；B、根据组合数公式求解判断；C、根据二项式系数的性质求解判断；D、根据组合数公式和性质求解判断.
10．【答案】A,D
【知识点】二项式系数的性质；二项式系数
【解析】【解答】A，第5项二项式系数，第8项二项式系数，由得，故A正确；
B，，二项式系数和固定为，故B错误；
C，令，各项系数和，故C错误；
D，令，得；令，，
移项：，故D正确。
故答案为：AD。
【分析】A：利用组合数对称性求；B：二项式系数和公式：；C：赋值求全部系数和；D：两次赋值（求常数项、构造目标式），变形化简。
11．【答案】B,C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】A，求导，令得；时，函数递减；时，函数递增，递减区间不是，故A错误；
B，，，在单调递增，因此，即，故B正确；
C，，设，，令得；
时递减，时递增，，故，C正确；
D，，，，
方程仅有一根等价于或，与选项范围不符，故D错误。
故答案为：BC。
【分析】A：求导找极值点，确定单调区间，核对区间端点；B：变形自变量，利用单调性比较函数值大小；C：构造新函数，求最值，由恒成立求参数范围；D：参变分离，结合新函数图象与端点极值分析的取值。
12．【答案】
【知识点】分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：先排首位，在选一个，有3种；
十位、个位从剩下的3个数中选2个数全排，有种，
故可以组成种没有重复数字的三位数.
故答案为：.
【分析】根据分步乘法计数原理求解即可.
13．【答案】
【知识点】二项展开式
【解析】【解答】解：展开式中，的项为，则的系数为.
故答案为：
【分析】本题考查多项式因式展开与组合计数求项的系数，关键是分类凑出x3的组成形式，分三类因式选取方案，再利用组合数分别计算各类系数后相加。
14．【答案】
【知识点】奇偶函数图象的对称性；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：由题意，，，
由，得，解得，而，
所以函数关于点，对称，
所以，
.
故答案为：.
【分析】本题考查三次函数拐点与中心对称性质、倒序分组求和，关键是利用二阶导数求出对称中心，得到，再分组配对计算求和式。
15．【答案】（1）解：对函数求导，，
，
所求得的切线方程为，
即
（2）解：由（1）有，
令，解得：或，
故函数在递增，在递减，
故函数在取最大值，
，，
故函数在的最大值为4，最小值为0．
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）切线方程：导数的几何意义是切线斜率，结合点斜式求方程.
（2）区间最值：通过导数符号判断单调性，找到极值点，再结合端点值比较，确定最值.
（1）对函数求导，，
，
所求得的切线方程为，
即；
（2）由（1）有，
令，解得：或，
故函数在递增，在递减，
故函数在取最大值，
，，
故函数在的最大值为4，最小值为0．
16．【答案】（1）解：从这6人中选出男、女队长各1人参加志愿服务活动，分两步完成，
第一步从男生4人中选1人有4种选法，第二步从女生2人中选1人共2种选法，故有种选法；
（2）解：从这6人中选出3人完成本次活动的宣传工作，其中至少需要1名女生和1名男生，共有2种情况：
第一种：男生选2人，女生选1人，共有种选法，
第一种：男生选1人，女生选2人，共有种选法，
则共有种选法；
（3）解：活动后6人排成一排拍照共有种排法，男生甲与女生乙有2种排法，满足顺序排法相同，
所以活动后6人排成一排拍照，男生甲在女生乙左边共有排法；
（4）解：现要将6名志愿者分配到三所学校参加志愿服活动，每所学校至少分配1人，则三所学校分配志愿者人数为：，
若人数为，则有种安排方法，
若人数为，则有种安排方法，
若人数为，则有种安排方法，
根据分类加法计数原理共有种安排方法.
【知识点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【分析】（1）易知从这6人中选出男、女队长各1人参加志愿服务活动，需要分两步完成，利用分步乘法计数原理求解即可；
（2）由题意可得：分男生选2人，女生选1人和男生选1人，女生选2人，采用计数原理求解即可；
（3）根据定序问题计算即可；
（4）易知三所学校分配志愿者人数为：，利用平均分组、部分均分以及分类加法计数原理计算即可.
（1）从这6人中选出男、女队长各1人参加志愿服务活动，分两步完成，
第一步从男生4人中选1人有4种选法，第二步从女生2人中选1人共2种选法，故有种选法；
（2）从这6人中选出3人完成本次活动的宣传工作，其中至少需要1名女生和1名男生，共有2种情况：
第一种：男生选2人，女生选1人，共有种选法，
第一种：男生选1人，女生选2人，共有种选法，
故总共有种选法；
（3）活动后6人排成一排拍照共有种排法，男生甲与女生乙有2种排法，满足顺序排法相同，
所以活动后6人排成一排拍照，男生甲在女生乙左边共有排法；
（4）现要将6名志愿者分配到三所学校参加志愿服活动，每所学校至少分配1人，则三所学校分配志愿者人数为：，
若人数为，则有种安排方法，
若人数为，则有种安排方法，
若人数为，则有种安排方法，
根据分类加法计数原理共有种安排方法.
17．【答案】（1）解：设，代入可得，所以，
所以，
所以；
（2）解：因为，
所以，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以万元，
所以当时有最大利润为万元.
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】（1）设，利用待定系数法求得，再根据利润定义确定即可；
（2）由（1）的解析式，求导，利用导数判断函数的单调性，求的最大值以及对应的值即可.
（1）设，代入可得，所以，
所以，
所以.
（2）因为，
所以，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以万元，
所以当时有最大利润为万元.
18．【答案】（1）解：由二项式系数性质，仅第5项最大，则 为偶数且，解得.
第4、5、6项系数、、，成等差数列得.
由，，，
整理得，解得 或.
故， 或；
（2）解：由 (1) 知， 或.因为，所以.
又，则
，
故 被5除的余数为.
（3）解：由 (1) 知， 或.因为，所以.
展开式通项为，系数为，.
设第 项系数最大，则满足，
由，得，即.
由组合数计算公式得，故，因为，所以.
由 得，即.
故，因为，所以，所以.
综上，即 或.
故系数最大的项为第3项和第4项：，；
【知识点】二项式系数的性质；二项式定理的应用；二项式系数
【解析】【分析】(1) 由仅第5项二项式系数最大确定，利用第4、5、6项系数成等差数列列式，解方程求出；
(2) 根据筛选的值，代入化简底数，借助二项式定理配凑的倍数，求除以的余数；
(3) 由确定，写出通项的系数表达式，列不等式组确定，算出系数最大项。
（1）由二项式系数性质，仅第5项最大，则 为偶数且，解得.
第4、5、6项系数、、，成等差数列得.
由，，，
整理得，解得 或.
故， 或；
（2）由 (1) 知， 或.因为，所以.
又，则
，
故 被5除的余数为.
（3）由 (1) 知， 或.因为，所以.
展开式通项为，系数为，.
设第 项系数最大，则满足，
由，得，即.
由组合数计算公式得，故，因为，所以.
由 得，即.
故，因为，所以，所以.
综上，即 或.
故系数最大的项为第3项和第4项：，；
19．【答案】（1）解：由函数，可得其定义域为，且，
①当时，，故在单调递增；
②当时，令，解得，
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
（2）解：由函数的定义域为．
①若，由（1）知在单调递增，
因为，所以不满足恒成立；
②若，由（1）知，在单调递减，在单调递增，
故在时取得最小值，所以，
令，则，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
又因为，所以，当且仅当时取到等号，
所以的解为，故所以实数的值为.
（3）证明：当，且时，则，可得．
要证明，即证，
而，
令，只需证明即可，
由，再令，可得，
由于函数在上单调递增，所以在上单调递增，
则，即在上单调递增，
可得，即在上单调递增，
故，得证.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】(1) 求导整理，按分类，依据导函数正负划分单调区间；
(2) 举反例否定恒成立，利用单调性得最小值，构造新函数研究最小值非负的条件，求出；
(3) 由放缩，将原不等式转化为证明，构造函数两次求导判定单调性，由端点值大于0完成证明。
（1）解：由函数，可得其定义域为，且，
①当时，，故在单调递增；
②当时，令，解得，
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
（2）解：由函数的定义域为．
①若，由（1）知在单调递增，
因为，所以不满足恒成立；
②若，由（1）知，在单调递减，在单调递增，
故在时取得最小值，所以，
令，则，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
又因为，所以，当且仅当时取到等号，
所以的解为，故所以实数的值为.
（3）证明：当，且时，则，可得．
要证明，即证，
而，
令，只需证明即可，
由，再令，可得，
由于函数在上单调递增，所以在上单调递增，
则，即在上单调递增，
可得，即在上单调递增，
故，得证.
1 / 1广东东莞实验中学等校2025-2026学年第二学期期中教学质量自查高二数学
1．计算：（　　）
A．120 B．90 C．60 D．30
【答案】A
【知识点】排列数的基本计算
【解析】【解答】解：.
故答案为：A
【分析】本题考查排列数与阶乘运算，思路：先用排列公式算出、算出，再相乘得到结果。
2．函数的单调递增区间是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：易知函数的定义域为，，
又，令，解得.
所以函数的单调递增区间为.
故答案为：C
【分析】本题利用导数求函数单调递增区间，先借助乘积求导法则算出，再结合，解不等式得到递增区间。
3．的展开式中常数项是（　　）
A．8 B．16 C．24 D．32
【答案】B
【知识点】二项式定理；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：的展开式的通项为，，
令，解得，则常数项为.
故答案为：B.
【分析】写出展开式的通项，利用通项求解即可.
4．端午节是中国四大传统节日之一，端午节当天，3名同学要从超市购买粽子，现有4种不同口味的粽子，每名同学只购买其中一种口味的粽子，则不同的购买方式种数是（　　）
A．4 B．16 C．32 D．64
【答案】D
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：端午节当天，3名同学要从超市购买粽子，现有4种不同口味的粽子，每名同学只购买其中一种口味的粽子，则每位同学都有4种不同的购买方式种数，故总共有种不同的购买方式种数.
故答案为：D.
【分析】 每名同学只购买其中一种口味的粽子， 3名同学可以买同一种，根据分步乘法计数原理计算即可.
5．函数的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】函数的图象；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：函数，
令，解得，
当或时，；当时，，故排除B、D；
函数定义域为，求导可得，
令，解得；令，解得或，
则在上单调递增，在和上单调递减，故排除C.
故答案为：A.
【分析】令，解得，分区间判断函数符号排除BD；再求导，利用导数判断函数的单调性排除C.
6．若直线是曲线与曲线的公切线，则（　　）
A．0 B．1 C． D．
【答案】A
【知识点】导数的几何意义；导数的四则运算；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：设，，设切点为，则切线斜率为，
则切线方程为，即，
由题意得，即，解得，
即与的公切线为，
，，设切点为，则切线斜率为，
则切线方程为，即，
由题意得，即，解得，
故答案为：A.
【分析】本题为公切线问题，思路：对求导，设切点写出切线方程，结合截距为求出与公切线方程；再对求导，设切点写出切线方程，对照已得公切线的斜率、截距，列方程组求。
7．已知定义在上的函数满足，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：构造函数，定义域为，
求导可得，因为，
所以恒成立，
则在上单调递增，
故，即.
故答案为：B.
【分析】构造函数，，求导结合已知条件得到其单调性，即可得，化简即可求解.
8．已知函数有两个极值点，求的取值范围（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：，，
依题意得有两个左右异号的实根，
即有两个左右异号的实根，
所以和在上有两个交点，
，，
记，，
显然在上恒成立，即在上单调递减，且，
当时，，，所以在上单调递增，
当时，，，所以在上单调递减，
所以，当趋向0时，趋向，当趋向时，趋向0，
综上，当，即时，和在上有两个交点.
故答案为： A.
【分析】通过构造函数，利用导数研究其单调性和值域，进而确定参数的取值范围.
9．下列结论正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．若，则正整数x的值是1
【答案】A,B,C
【知识点】排列及排列数公式；组合及组合数公式；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：A、 ，A正确；
B、 ， ，B正确；
C、 ，，，C正确；
D、若，则或得正整数或，D错误.
故答案为：ABC.
【分析】A、根据排列数公式判断；B、根据组合数公式求解判断；C、根据二项式系数的性质求解判断；D、根据组合数公式和性质求解判断.
10．已知，且第5项与第8项的二项式系数相等，则（　　）
A． B．展开式的二项式系数和为
C．展开式的各项系数和为 D．
【答案】A,D
【知识点】二项式系数的性质；二项式系数
【解析】【解答】A，第5项二项式系数，第8项二项式系数，由得，故A正确；
B，，二项式系数和固定为，故B错误；
C，令，各项系数和，故C错误；
D，令，得；令，，
移项：，故D正确。
故答案为：AD。
【分析】A：利用组合数对称性求；B：二项式系数和公式：；C：赋值求全部系数和；D：两次赋值（求常数项、构造目标式），变形化简。
11．已知函数，则（　　）
A．函数在上单调递减，在上单调递增
B．
C．若，则实数的取值范围是
D．当时，若方程有且只有一个根，则
【答案】B,C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】A，求导，令得；时，函数递减；时，函数递增，递减区间不是，故A错误；
B，，，在单调递增，因此，即，故B正确；
C，，设，，令得；
时递减，时递增，，故，C正确；
D，，，，
方程仅有一根等价于或，与选项范围不符，故D错误。
故答案为：BC。
【分析】A：求导找极值点，确定单调区间，核对区间端点；B：变形自变量，利用单调性比较函数值大小；C：构造新函数，求最值，由恒成立求参数范围；D：参变分离，结合新函数图象与端点极值分析的取值。
12．从0，1，2，3中任取3个数字，可以组成没有重复数字的三位数的个数是　 　．（用数字作答）
【答案】
【知识点】分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：先排首位，在选一个，有3种；
十位、个位从剩下的3个数中选2个数全排，有种，
故可以组成种没有重复数字的三位数.
故答案为：.
【分析】根据分步乘法计数原理求解即可.
13．展开式中，的系数为　 　.
【答案】
【知识点】二项展开式
【解析】【解答】解：展开式中，的项为，则的系数为.
故答案为：
【分析】本题考查多项式因式展开与组合计数求项的系数，关键是分类凑出x3的组成形式，分三类因式选取方案，再利用组合数分别计算各类系数后相加。
14．对于三次函数给出定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”，某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心。给定函数；，请你根据上面探究结果，计算　 　．
【答案】
【知识点】奇偶函数图象的对称性；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：由题意，，，
由，得，解得，而，
所以函数关于点，对称，
所以，
.
故答案为：.
【分析】本题考查三次函数拐点与中心对称性质、倒序分组求和，关键是利用二阶导数求出对称中心，得到，再分组配对计算求和式。
15．已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求在区间上的最值．
【答案】（1）解：对函数求导，，
，
所求得的切线方程为，
即
（2）解：由（1）有，
令，解得：或，
故函数在递增，在递减，
故函数在取最大值，
，，
故函数在的最大值为4，最小值为0．
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）切线方程：导数的几何意义是切线斜率，结合点斜式求方程.
（2）区间最值：通过导数符号判断单调性，找到极值点，再结合端点值比较，确定最值.
（1）对函数求导，，
，
所求得的切线方程为，
即；
（2）由（1）有，
令，解得：或，
故函数在递增，在递减，
故函数在取最大值，
，，
故函数在的最大值为4，最小值为0．
16．某校志愿者团队共派出6人参加志愿服务活动，其中男生4人，女生2人．
（1）从这6人中选出男、女队长各1人参加志愿服务活动，共有多少种选法？
（2）从这6人中选出3人完成本次活动的宣传工作，其中至少需要1名女生和1名男生，共有多少种选法？
（3）活动后6人排成一排拍照，男生甲在女生乙左边，有多少种不同的排法？
（4）现要将6名志愿者分配到三所学校参加志愿服活动，每所学校至少分配1人，共有多少种不同的安排方法？
【答案】（1）解：从这6人中选出男、女队长各1人参加志愿服务活动，分两步完成，
第一步从男生4人中选1人有4种选法，第二步从女生2人中选1人共2种选法，故有种选法；
（2）解：从这6人中选出3人完成本次活动的宣传工作，其中至少需要1名女生和1名男生，共有2种情况：
第一种：男生选2人，女生选1人，共有种选法，
第一种：男生选1人，女生选2人，共有种选法，
则共有种选法；
（3）解：活动后6人排成一排拍照共有种排法，男生甲与女生乙有2种排法，满足顺序排法相同，
所以活动后6人排成一排拍照，男生甲在女生乙左边共有排法；
（4）解：现要将6名志愿者分配到三所学校参加志愿服活动，每所学校至少分配1人，则三所学校分配志愿者人数为：，
若人数为，则有种安排方法，
若人数为，则有种安排方法，
若人数为，则有种安排方法，
根据分类加法计数原理共有种安排方法.
【知识点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【分析】（1）易知从这6人中选出男、女队长各1人参加志愿服务活动，需要分两步完成，利用分步乘法计数原理求解即可；
（2）由题意可得：分男生选2人，女生选1人和男生选1人，女生选2人，采用计数原理求解即可；
（3）根据定序问题计算即可；
（4）易知三所学校分配志愿者人数为：，利用平均分组、部分均分以及分类加法计数原理计算即可.
（1）从这6人中选出男、女队长各1人参加志愿服务活动，分两步完成，
第一步从男生4人中选1人有4种选法，第二步从女生2人中选1人共2种选法，故有种选法；
（2）从这6人中选出3人完成本次活动的宣传工作，其中至少需要1名女生和1名男生，共有2种情况：
第一种：男生选2人，女生选1人，共有种选法，
第一种：男生选1人，女生选2人，共有种选法，
故总共有种选法；
（3）活动后6人排成一排拍照共有种排法，男生甲与女生乙有2种排法，满足顺序排法相同，
所以活动后6人排成一排拍照，男生甲在女生乙左边共有排法；
（4）现要将6名志愿者分配到三所学校参加志愿服活动，每所学校至少分配1人，则三所学校分配志愿者人数为：，
若人数为，则有种安排方法，
若人数为，则有种安排方法，
若人数为，则有种安排方法，
根据分类加法计数原理共有种安排方法.
17．为响应国家“乡村振兴”政策，某村在对口帮扶单位的支持下拟建一个生产农机产品的小型加工厂.经过市场调研，生产该农机产品当年需投入固定成本万元，每年需另投入流动成本（万元）与成正比（其中（台）表示产量），并知当生产台该产品时，需要流动成本万元，每件产品的售价与产量（台）的函数关系为（万元）（其中）.记当年销售该产品台获得的利润（利润销售收入生产成本）为万元.
（1）求函数的解析式；
（2）当产量为何值时，该工厂的年利润最大？最大利润是多少？（结果精确到0.1）
【答案】（1）解：设，代入可得，所以，
所以，
所以；
（2）解：因为，
所以，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以万元，
所以当时有最大利润为万元.
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】（1）设，利用待定系数法求得，再根据利润定义确定即可；
（2）由（1）的解析式，求导，利用导数判断函数的单调性，求的最大值以及对应的值即可.
（1）设，代入可得，所以，
所以，
所以.
（2）因为，
所以，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以万元，
所以当时有最大利润为万元.
18．已知的展开式中仅第5项的二项式系数最大，且第4项 第5项 第6项的系数成等差数列.
（1）求和的值；
（2）若，且，求被5除的余数；
（3）若，求的展开式中系数最大的项.
【答案】（1）解：由二项式系数性质，仅第5项最大，则 为偶数且，解得.
第4、5、6项系数、、，成等差数列得.
由，，，
整理得，解得 或.
故， 或；
（2）解：由 (1) 知， 或.因为，所以.
又，则
，
故 被5除的余数为.
（3）解：由 (1) 知， 或.因为，所以.
展开式通项为，系数为，.
设第 项系数最大，则满足，
由，得，即.
由组合数计算公式得，故，因为，所以.
由 得，即.
故，因为，所以，所以.
综上，即 或.
故系数最大的项为第3项和第4项：，；
【知识点】二项式系数的性质；二项式定理的应用；二项式系数
【解析】【分析】(1) 由仅第5项二项式系数最大确定，利用第4、5、6项系数成等差数列列式，解方程求出；
(2) 根据筛选的值，代入化简底数，借助二项式定理配凑的倍数，求除以的余数；
(3) 由确定，写出通项的系数表达式，列不等式组确定，算出系数最大项。
（1）由二项式系数性质，仅第5项最大，则 为偶数且，解得.
第4、5、6项系数、、，成等差数列得.
由，，，
整理得，解得 或.
故， 或；
（2）由 (1) 知， 或.因为，所以.
又，则
，
故 被5除的余数为.
（3）由 (1) 知， 或.因为，所以.
展开式通项为，系数为，.
设第 项系数最大，则满足，
由，得，即.
由组合数计算公式得，故，因为，所以.
由 得，即.
故，因为，所以，所以.
综上，即 或.
故系数最大的项为第3项和第4项：，；
19．已知函数．
（1）讨论单调性；
（2）若恒成立，求的值；
（3）当时，证明：当时，恒成立．
【答案】（1）解：由函数，可得其定义域为，且，
①当时，，故在单调递增；
②当时，令，解得，
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
（2）解：由函数的定义域为．
①若，由（1）知在单调递增，
因为，所以不满足恒成立；
②若，由（1）知，在单调递减，在单调递增，
故在时取得最小值，所以，
令，则，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
又因为，所以，当且仅当时取到等号，
所以的解为，故所以实数的值为.
（3）证明：当，且时，则，可得．
要证明，即证，
而，
令，只需证明即可，
由，再令，可得，
由于函数在上单调递增，所以在上单调递增，
则，即在上单调递增，
可得，即在上单调递增，
故，得证.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】(1) 求导整理，按分类，依据导函数正负划分单调区间；
(2) 举反例否定恒成立，利用单调性得最小值，构造新函数研究最小值非负的条件，求出；
(3) 由放缩，将原不等式转化为证明，构造函数两次求导判定单调性，由端点值大于0完成证明。
（1）解：由函数，可得其定义域为，且，
①当时，，故在单调递增；
②当时，令，解得，
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
（2）解：由函数的定义域为．
①若，由（1）知在单调递增，
因为，所以不满足恒成立；
②若，由（1）知，在单调递减，在单调递增，
故在时取得最小值，所以，
令，则，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
又因为，所以，当且仅当时取到等号，
所以的解为，故所以实数的值为.
（3）证明：当，且时，则，可得．
要证明，即证，
而，
令，只需证明即可，
由，再令，可得，
由于函数在上单调递增，所以在上单调递增，
则，即在上单调递增，
可得，即在上单调递增，
故，得证.
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