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七年级数学
选择题(本大题共有8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答填卡相应位置上)
1.下列计算正确的是（▲）
A． B． C． D．
2.我国古代数学成就中蕴含了许多具有对称美的图案．在下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（▲）
A． B． C． D．
3.的值等于（▲）
A． B．8 C． D．
4.若，则下列结论一定成立的是（▲）
A． B． C． D．
5.学校计划租用若干辆汽车送七年级学生和带队教师外出进行研学活动．按照不浪费座位的原则，如果选用型客车，一辆车可乘坐人，那么有人没有车坐；如果选用型客车，一辆车可乘坐人，那么有一辆车只坐了人，并且还空出一辆车．设计划租用辆车，共有学生和带队教师人．则根据题意列方程组为（▲）
A． B． C． D．
6.如图，若∠1+∠2+∠3+∠4=280°，则∠5=（▲）°
A．100 B．105 C．110 D．115
7.用反证法证明“三角形中，至少有一个内角不大于60°”应首先假设：（▲）
A．每个内角都小于60° B．每个内角都大于60°
C．每个内角都不小于60° D．每个内角都不大于60°
8.如图，∠BAC=α°，点P为∠BAC内一点，M、N分别是射线AB、AC上的动点，连接PN、PM、MN，当PM+PN+MN最小时，∠MPN=（▲）°
A． 90 -α B． 90 +α C．180 - 3α D．180 -2α
二、填空题(本大题共有10小题，每小3分，共30分.不需写出解答过程,请把答案直接填写在答题卡相应位置上)
9.某AI芯片的微小元件厚度为0.0000021米，数据0.0000021用科学记数法表示为 ▲ ．
10.命题：“如果，那么”的逆命题是 ▲ 命题（填“真”或“假”）．
11.若，，则 ▲ ．
12.若，则mn的值是 ▲ ．
13.若是关于的一元一次不等式，则的值为 ▲ ．
14.如果关于，的方程组与有相同的解，那么的值是 ▲ ．
15.如图，长方形中，，沿EF折叠长方形，使A、D两点分别落在、处，若，则为 ▲ °．
16.如图，若∠A+∠B+∠C=210°，则∠D+∠E+∠F= ▲ °．
17.若关于的不等式组有解且最多有4个整数解，则的取值范围是 ▲ ．
18.已知关于、的方程组（为常数），给出下列结论：①当时，方程组的解也是方程的解；②不论取何值，的值始终为4；③方程组有且仅有三个正整数解；④的最大值为．以上结论正确的是 ▲ ．（填序号）
三、解答题(本大题共10小题，共96分.请将解答过程写在答题卡相应位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明)
19.（8分）计算：（1） （2）
20.（8分）解方程组：（1） （2）
21.（8分）（1）解不等式，并将它的解集表示在数轴上；
（2）解不等式组，并写出所有整数解的和．
22.（8分）先化简，再求值：，其中x、y互为倒数.
（10分）仅用无刻度直尺在如图所示的方格纸中作图.（保留作图痕迹，不写作法）
（1）沿AA1方向平移△ABC，使点A落在点A1处，画出平移后的△A1B1C1.其中，B的对应点是B1，C的对应点是C1；
（2）在（1）的条件下，若连接AA1,BB1，则线段AA1与线段BB1的关系是 ▲ ；
（3）画出△ABC关于点B对称的△A2BC2.其中，A的对应点是A2，C的对应点是C2；
（4）在（1）（3）的条件下，△A1B1C1与△A2BC2成中心对称，请作出对称中心点O；
（5）在MN上作一点P，使BP+CP最短.
24.（10分）2026马年央视春晚中，宇树科技的机器人《武BOT》展示了单腿连续后空翻、托马斯全旋等高难度动作，是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率．拟购买、两种型号智能机器人进行快递分拣．若买1台型机器人、3台型机器人，共需260万元；若买3台型机器人、2台型机器人，共需360万元．
(1)求、两种型号智能机器人的单价．
(2)该企业现计划用960万元采购型和型机器人，两种机器人均要购买且预算必须全部用完．请列出所有可能的购买方案．
25.（10分）如图，在△ABC中，∠1=∠2.
（1）如图1，若∠ACB=70°，求∠BPC的度数；
（2）如图2，过P点作PQ∥AC交BC于点Q，猜想∠PQC与∠BPC的数量关系，并说明理由.
26.（10分）同学们在学习七年级下册第八章《整式乘法》时，学习了重要的公式——完全平方公式，请解答下列各题：
【基础公式】请写出 ▲ ， ▲ ；
【公式变形】请写出、与的关系： ▲ ；
【公式应用】（1）已知：，，求的值；
（2）已知：，求的值．
27.（12分）代数推理是指依据代数知识（公式、法则、等式或不等式的性质等）进行运算或证明.请用代数推理解决如下问题：
(1)已知：a＞b＞0，求证：a2＞b2；
(2)已知：是一个三位数，各数位上数字a、b、c为三个连续整数且a＞b＞c，求证：能被13整除；
(3)已知：a+b+2c=8，2a-b=1，t=a+3b-2c，且a≤b≤c，求t的最大值和t的最小值.
28.（12分）在四边形ABCD中，AD∥BC，点G是CD延长线上一定点.
（1）尺规作图：在图1中作线段BC的中点M，连接GM交AD于点F，作∠BMG的平分线交AD于点E.（要求：保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，点N是线段AD上一动点，连接GN，NH平分∠ANG.
①如图2，当N与F重合时，求证：NH∥EM；
②如图3，当N在F右侧时，NH与EM交于点Q，∠MGN与∠MQN有怎样的数量关系，并说明理由；
③当N在线段EF上且N不与E、F重合时，直线NH与直线EM交于点Q，直接写出∠MGN与∠MQN的数量关系.
图1 图2
图3 备用图

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