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安徽亳州市谯城区联考2025-2026学年七年级下学期6月期末数学试题
一、单选题
1．下列各数中，是无理数的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列运算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．“人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开”，每年四、五月间，桃花在枝头竞相开放，漫山遍野，如海如潮，最是壮观．桃花花粉直径约0.00003米，这里“0.00003”用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．若，则下列变形不正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．若分式的值为0，则x的值等于（ ）
A． B． C．2 D．0
6．下列属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图表示的是关于的不等式的解集，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．下列说法中：①同位角相等；②两条直线没有交点，则这两条直线平行；③直线外一点到这条直线的垂线段，叫作点到直线的距离；④同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．七年级学生去距学校50的合肥渡江战役纪念馆参观，一部分学生骑自行车先出发，过了30分钟，其余学生乘中巴车出发，结果他们同时到达．已知中巴车平均速度比自行车的平均速度每小时多20千米．设自行车的平均速度为，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
10．对于实数a，b，我们规定，若，则的值为（ ）
A．5 B．7 C．9 D．10
二、填空题
11．的平方根是_______．
12．因式分解：______．
13．若关于，的方程组的解满足，则的取值范围是__________．
三、解答题
14．如图，一张长方形纸片，先将纸片沿折叠，再将折叠后的纸片沿折叠，使得与重合．
（1）与是否平行_______；（填“是”或“否”）
（2）若，则的度数为__________．（用含的代数式表示）
15．解不等式组：
16．解分式方程：
17．如图，已知直线和直线相交于点，平分，于点．
(1)若，求的度数；
(2)若，求的度数．
18．如图，在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，三角形的顶点均在格点（网格线的交点）上．
(1)将三角形先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到三角形，画出三角形，
(2)线段与线段之间的关系是（ ）
A．平行 B．相等 C．平行且相等
19．计算求值
(1)已知，求x，y的值；
(2)先化简：，再在（1）的条件下求值．
20．观察下列等式：
第1个等式：
第2个等式：
第3个等式：；
请根据上述规律，解答下面的问题：
(1)请写出第4个等式；
(2)请猜想出第n（n是正整数）个等式（用含n的式子表示），并请证明你的猜想．
21．项目学习
【背景】了解某项工程各工程队单独完成需要的时间和如何安排施工队进行施工．
【素材】
素材1：某项工程，乙工程队单独完成所需天数是甲工程队单独完成所需天数的2倍．若甲工程队单独做10天后，再由乙工程队单独做14天，恰好完成该工程；
素材2：甲工程队每天的施工费用为5万元，乙工程队每天的施工费用为3万元；
素材3：施工过程中，由甲、乙工程队先后施工了共10天去完成部分工程量，并要求工程费用控制在45万元以内（含45万元）．
【任务】
(1)单独完成此项工程，甲、乙两工程队各需要多少天？
(2)在两个工程队先后施工的10天中，最多安排甲工程队施工多少天？
22．【探索发现】
如图1，是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
(1)用含m，n的代数式表示图2中阴影部分的面积为 ；
(2)请观察图2，写出三个代数式，，之间的等量关系： ：
【解决问题】
(3)若，，且，则 ； ；
【实际应用】
(4)2026年第三届安徽省大学生节能减排社会实践与科技竞赛于4月18日～19日在合肥工业大学举行总决赛，赛事组委会为各选手准备的比赛场地如图3所示，已知于点O，，．计划在三角形和三角形区域内设置表演区，在三角形 和三角形区域内设置观众区和主舞台，经测量表演区的面积和为80平方米，米，则主舞台和观众区的面积和为多少平方米．
23．综合与探究
【背景】一副三角板中有如，，和等一些特殊角，利用一副三角板的叠合、旋转可以命制与角度的计算有关的问题．
【初步研究】一副三角板三角形和三角形，，，，按如图所示的方法叠合在一起，与相交于点，求的度数．
小明是这样做的：过点作······
(1)请你按小明的思路，写出完整的解答过程；
【深入探究】将图中的三角形固定，把三角形绕点以每秒的速度顺时针旋转，如图，当落在射线上时即停止运动．设三角形运动时间为．
(2)（i）若，则 ；
（ii）若，则 ；
(3)如图，直线经过点且，所在的直线与直线交于点，连接，，若三角形中有两个内角相等，求的值．
参考答案
1．C
【详解】∵无理数是无限不循环小数，有理数是整数和分数的统称；
逐个化简判断各选项：
选项A：，是整数，属于有理数；
选项B：，是整数，属于有理数；
选项C：是无限不循环小数，因此也是无限不循环小数，属于无理数；
选项D：是分数，属于有理数；
∴是无理数的是选项C．
2．D
【详解】解：A、，A错误；
B、，B错误；
C、，C错误；
D、，D正确．
3．B
【详解】解：．
4．C
【详解】解：对选项A：∵，∴，又，∴，A变形正确；
对选项B：不等式两边乘同一个负数，不等号方向改变.∵，∴，B变形正确；
对选项C：不等式两边除以同一个正数，不等号方向不变.∵，∴，不等式两边减同一个数，不等号方向不变，∴，与选项中变形不符，C变形不正确；
对选项D：不等式两边减同一个数，不等号方向不变.∵，∴，D变形正确．
5．C
【详解】解：∵分式的值为0，
∴，
解得．
故选C．
6．D
【详解】解：根据因式分解的定义逐一判断：
∵ 选项A是将整式乘积化为多项式，属于整式乘法，不是因式分解．
∴ A错误．
∵ 选项B的结果为，不是整式乘积的形式，仍为和的形式．
∴ B错误．
∵ 选项C等式右边的不是整式，不符合要求．
∴ C错误．
∵ 选项D将多项式化为两个整式与的乘积，符合因式分解的定义．
∴ D正确．
7．C
【详解】由数轴可知，原不等式的解集为 ．
原不等式可变形为：，
解集的不等号方向与原不等式相反，
，解得，
此时，即 ，符合题意．
的取值范围是．
8．A
【详解】解：①只有两直线平行时，同位角才相等，缺少前提条件，故①错误；
②只有同一平面内，两条直线没有交点，这两条直线才平行，缺少“同一平面内”的前提条件，故②错误；
③直线外一点到这条直线的垂线段的长度，才叫做点到直线的距离，不是垂线段本身，故③错误；
④同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，符合垂线的基本性质，故④正确；
综上，正确的说法只有1个．
9．C
【详解】解：∵设自行车的平均速度为，中巴车平均速度比自行车每小时多20千米
∴中巴车的平均速度为．
自行车走完全程的时间为小时，中巴车走完全程的时间为小时．
∵骑自行车的学生先出发30分钟，两车同时到达，
自行车行驶时间比中巴车多小时
∴可列方程为．
10．B
【详解】解：设，，
∴变形得，，
∵，
∴，
∵，
∵，
∴，
∴，
∴．
11．±2
【详解】解：∵
∴的平方根是±2．
故答案为±2．
12．
【详解】解：
，
故答案为：．
13．
【详解】，
得，即，
，
，
解得．
14． 是
【详解】解：（1）沿折叠，
，
．
又沿折叠，
，且与重合，
．
长方形中，
，，
．
（2）长方形中，，
，，
根据折叠性质，，，，
，
，
，
．
15．
【详解】解：，
解不等式①可得：，
解不等式②可得：，
该不等式组的解集为．
16．原分式方程无解
【详解】解：去分母得：，
去括号得：，
移项，合并同类项得：，
系数化为得：，
经检验：当时，，
∴原方程无解．
17．(1)
(2)
【详解】（1）解：平分，，
，
，
，
，
；
（2）设，，
平分，
，
，
，解得
，
．
18．(1)
(2)
【详解】（1）略；
（2）解：依据平移性质，平移前后对应线段平行且相等．
19．(1)，
(2)化简结果为，值为
【详解】（1）解：已知
∵ ，，且两者的和为0
∴
解得
（2）
将，代入得：
20．(1)
(2)解：第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
根据以上规律，
第个等式为，
∵等式左边，
等式右边，
∴等式左边＝等式右边，
∴猜想成立．
【详解】（1）解：观察第1至第3个等式中相同位置数的变化规律，
可知第4个等式为；
（2）略．
21．(1)
甲工程队单独完成需要17天，乙工程队单独完成需要34天
(2)
最多安排甲工程队施工7天
【详解】（1）解：设甲工程队单独完成此项工程需要天，则乙工程队单独完成此项工程需要天，
则有，
解得，
经检验得是原分式方程的解，且符合题意；
∵，
∴甲工程队单独完成需要17天，乙工程队单独完成需要34天；
（2）解：设安排甲工程队施工天，则乙工程队施工天，
则有，
解得，
∵，
∴，
∵为整数，
∴的最大值为，
即最多安排甲工程队施工天．
22．(1)或
(2)或或
(3)6，48
(4)120平方米
【详解】（1）解：由图可得，阴影部分为边长是的正方形，则阴影部分面积为；
也可以看成最大的正方形的面积减去4个长方形的面积，即；
∴图2中阴影部分的面积表示为或．
（2）解：由图可得，图中阴影部分可以表示为，也可以表示为，
∴或或．
（3）解：由（2）可得，，
∵，
∴，
∴，
∴．
（4）解：设米，米，则米，
∵，
∴，
∵，
∴（平方米）．
23．(1)解：，
，，
．
(2)，
(3)，，
【详解】（1）略
（2）（i）解：如图，，
，
，
，
，
三角形运动时间为．
（ii）解：如图，，过点作，则，
，
，
，
，
，
，
三角形运动时间为．
（3）解：，
，
如图，当，
，，
，
，
三角形运动时间为；
如图，当，
，
，
，
，
，
三角形运动时间为;
如图，当，延长至点，
，
，
，
，
，
，
，
，
三角形运动时间为，
综上，的值为，，．

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