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人教版2026年九年级上册第25章《一元二次方程》单元检测题
满分100分 时间90分钟
一、选择题（共30分）
1．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
2．将一元二次方程化为一般形式，正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．用配方法解方程 ，变形后的结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．若是关于的方程的一个根，则的值是（ ）
A．2023 B．2024 C．2025 D．2026
5．下列关于的一元二次方程中有两个不相等的实数根的是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知实数a，b满足，则的值为（ ）
A．5或 B．或2 C．5 D．2
7．2026年湖北省城市足球联赛（简称“楚超”）是省内最大的群众足球赛事．楚超有支代表队参赛，常规赛采取单循环形式（每两支球队之间比赛1场），共需进行136场比赛，则可列方程（ ）
A． B．
C． D．
8．三角形的两边长分别为3和5，第三边的长是方程的一个根，则这个三角形的周长为（ ）
A． B． C．或 D．
9．关于的方程有一个小于的非负数解，那么的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
10．对于一元二次方程，下列说法正确的个数为（ ）
①若方程的两个根为和1，则；
②若，则方程一定有解；
③若，且，则方程的两实数解一定互为相反数；
④若，则
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（共15分）
11．若关于x的方程是一元二次方程，则______．
12．方程的根是__________．
13．对于非零的两个实数、，规定．若，则的值为____________．
14．“积幻方”由传统的和幻方衍生而来，在积幻方中，个小方格中的正整数互不相等，且每行、每列、每条对角线上的三个数的乘积相等．如图，已知一个“积幻方”只呈现了个小方格中的数，则其中的值是____．
15．已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的最小值是______________．
三、解答题（共55分）
16．（6分）解方程：
(1)；
(2)．
17．（7分）已知关于 的一元二次方程
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程的两个根均为整数，求 的值．
18．（8分）已知关于的方程 其中．
(1)利用判别式判断该方程的根的情况；
(2)C是线段上一点， ，的长是该方程的一个根， 且．
①求证；
②确定点在线段上的位置，并说明理由．
19．（8分）某学校计划利用一片空地建一个学生自行车车棚，其中一面靠墙，这堵墙的长度为．计划建造车棚的面积为，已知现有的木板材料可使新建板墙的总长为，为了方便学生出行，学校决定在与墙平行的一面开一个宽的门．
(1)求这个车棚的三边长分别应为多少米？
(2)如图，为了方便学生取车，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路，使得停放自行车的面积为，那么小路的宽度是多少米？
20．（8分）根据以下素材，完成探索任务．
探索果园土地规划和销售利润问题
素材1 某农户承包了一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为米，中间部分种植水果．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过12米，且不小于5米．
素材2 该农户在种植园区种植草莓，经市场调查，草莓培育一年可产果，若每平方米的草莓销售平均利润为元，每月可销售的草莓；受天气原因，农户为了快速将草莓出手，决定降价，若每平方米草莓平均利润下调5元，每月可多销售草莓．果园每月的承包费为2万元．
(1)解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响．若中间种植的面积是，求道路宽度x的值．
(2)解决果园种植的预期利润问题（总利润销售利润承包费）．若农户预期一个月该草莓的总利润为万元，则从购买草莓客户的角度考虑，每平方米草莓平均利润应该降价多少元？
21．（9分）已知不等边的三条边分别为，，．
(1)若，求的值；
(2)已知为边上一点，连接，若与的周长相等，求的长；
(3)若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，且，求证：为直角三角形．
22．（9分）阅读与思考
下面是小康同学的学习笔记的部分内容，请你认真阅读，并完成相应的任务．
“相似系”一元二次方程 【概念理解】在一元二次方程中，当时，我们把这样的一元二次方程称为“相似系”一元二次方程．例如，一元二次方程就是“相似系”一元二次方程． 【问题1】若关于的一元二次方程是“相似系”一元二次方程，则▲． 【问题2】若关于的方程为“相似系”一元二次方程，且它的一个根为，求出的值． 解：方程为“相似系”一元二次方程， ， ……
任务：
(1)问题1中，“▲”应填写_____．
(2)补全问题2中剩余部分的解答过程．
(3)已知（）的三边分别是，，，且关于的方程为“相似系”一元二次方程．求证：．
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C A B D C A D D C
二、填空题
11．
12．，
13．或
14．16
15．
三、解答题
16．（1）解：
解得：，；
（2）解：
或
解得：，．
17．(1)证明：方程为一元二次方程，故即，
判别式，
方程总有两个实数根．
（2）解：由求根公式得

计算得，，
两根均为整数，为整数，
，
解得或 ．
18．(1)该方程有两个不相等的实数根
(2)①证明：∵的长是该方程的一个根，
∴．即．①
∵，
∴．②
①+②，得．
∴．
②解：在线段靠近的三等分点处，即．
∵，
∴．
∴．
19．（1）设车棚的靠墙一面的长为x米，即有，
则车棚的另一边的长度为：，
根据车棚的面积：，
解得：（不符合题意舍去），
则车棚的另一边的长度为：，
即：这个车棚的三边长分别应为米、米、米；
（2）设小路的宽为a米，即有，如图，将小路平移，
则根据题意有：，
解得：（不符合题意舍去），
即小路的宽度是1米．
20．（1）解：根据题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
道路宽度为10米；
（2）设每平方米草莓平均利润下调y元，
整理得：．
解得：，，
又从客户的角度考虑，要让利于顾客，
．
答：每平方米草莓平均利润下调元．
21．(1)1
(2)
(3)证明：设一元二次方程的两根为、，
∴，
∴，，
∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，即，
∴，
，即，
，
∴，，
即，
∴，
，，
即，
，
设，则,
，即为直角三角形．
22．（1）解：一元二次方程是“相似系”一元二次方程，
由题意可知，
解得：；
（2）解：是方程的一个根，
，，
，
整理得：，
解得：，，
的值为或；
（3）证明：方程为“相似系”一元二次方程，
，
在中，
由勾股定理得，
，
，
，
．

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