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　4.2.1　第1课时　等差数列的概念
A组 基础训练
1．已知a＝，则a与b的等差中项为(　　)
A．2 B．
C．1 D．
2．已知数列{an}满足，且a1＝1，a2＝，则a2 024＝(　　)
A． B．
C． D．
3．(多选)下列数列是等差数列的是(　　)
A．1，4，7，10
B．lg 2，lg 4，lg 8，lg 16
C．25，24，23，22
D．10，8，6，4，2
4．在等差数列{an}中，a4＋a8＝20，a7＝12，则a4＝(　　)
A．2 B．4
C．6 D．8
5．已知在等差数列{an}中，a1＝－1，公差d＝2，若an－1＝15(n >2)，则n的值为(　　)
A．7 B．8
C．9 D．10
6．在等差数列{an}中，a1＝8，a5＝2．若在相邻两项之间各插入一个数，使之成一个新的等差数列，则新等差数列的公差为(　　)
A． B．－
C．－ D．－1
7．已知等差数列{an}：40，37，34，…，则该数列的第一个负数项是(　　)
A．第13项
B．第14项
C．第15项
D．第16项
8．(多选)下列命题正确的是(　　)
A．给出数列的有限项就可以唯一确定这个数列的通项公式
B．若等差数列{an}的公差d>0，则{an}是递增数列
C．若a，b，c成等差数列，则可能成等差数列
D．若数列{an}是等差数列，则数列{an＋2an＋1}也是等差数列
9．已知等差数列{an}．
(1)若a5＝4，a10＝－9，求a20；
(2)若a5－a3＝12，a12＝20，求a1和公差d；
(3)若a3a4＝－7，a4－a3＝8，求a7.
B组 拔高提升
1．若等差数列{an}的首项为70，公差为－9，则这个数列中绝对值最小的一项为(　　)
A．a8 B．a9
C．a10 D．a11
2．已知数列{an}的各项均为正数，且满足a1＝1，＝1(n≥2，n∈N*)，则a1 024＝(　　)
A． B．
C． D．
3．(多选)已知四个数成等差数列，它们的和为28，中间两项的积为40，则这四个数依次为(　　)
A．－2，4，10，16 B．16，10，4，－2
C．2，5，8，11 D．11，8，5，2
4．(多选)设d为正项等差数列{an}的公差．若d>0，a3＝2，则(　　)
A．a2·a4<4
C．>1 D．a1·a5>a2·a4
5．已知△ABC内有2024个点，其中任意三点不共线，把这2024个点与△ABC的三个顶点共2027个点作为顶点构造互不相叠的小三角形，则一共可构造的小三角形的个数为________．
6．在数列{an}中，a1＝2，对任意m，n∈N*，有am＋n＝am＋an，若akak＋1＝440，则正整数k＝________．
7．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1－2an＝2n+1，则数列{an}的通项公式为________．
8．数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＋2＝2an＋1－an＋2.
(1)求a3，a4的值；
(2)设bn＝an＋1－an，证明：{bn}是等差数列．
　4.2.1　第1课时　等差数列的概念
A组 基础训练
1．B　解析：由已知可得，a＋b＝.
设a与b的等差中项为m，
根据等差中项的定义，有m＝.故选B．
2．C　解析：由，得，所以数列为等差数列．
又＝3，所以数列的公差d＝3－1＝2，所以＝1＋2(n－1)＝2n－1，所以an＝，所以a2 024＝.故选C．
3．ABD　解析：A，B，D均满足等差数列的定义，是等差数列；
C中，因为24－25≠23－24≠22－23，不满足等差数列的定义，所以不是等差数列．故选ABD．
4．C　解析：由题意知
解得所以a4＝a1＋3d＝0＋3×2＝6．故选C．
5．D　解析：an－1＝a1＋(n－2)d＝－1＋2(n－2)＝2n－5＝15，所以n＝10．故选D．
6．B　解析：由题意，在新等差数列中，首项为8，第9项为2，所以新公差d′＝.故选B．
7．C　解析：由37－40＝－3可知等差数列{an}的公差为－3，又首项为40，则通项公式为an＝40＋(n－1)·(－3)＝43－3n.令43－3n<0，解得n>，故第一个负数项是第15项．故选C．
8．BCD　解析：A选项中，给出数列的有限项不一定可以唯一确定通项公式；B选项中，由等差数列的函数特性，知d>0时{an}必是递增数列；C选项中，a＝b＝c＝1时，＝1，此时成等差数列；D选项中，设数列{an}的公差为d，所以an＋2an＋1＝a1＋(n－1)d＋2a1＋2nd＝3a1＋(3n－1)d，{an+2an+1 }也是等差数列．故选BCD．
9．
解：设等差数列{an}的公差为d.
(1)由a5＝4，a10＝－9，
得解得
所以a20＝a1＋19d＝－35.
(2)因为a5－a3＝12，所以公差d＝6．又a12＝20，所以a1＋11d＝20，解得a1＝－46．所以a1＝－46，d＝6.
(3)因为a4－a3＝8，所以d＝8.
又因为a3a4＝－7，所以a3(a3＋8)＝－7，解得a3＝－1或a3＝－7.
当a3＝－1时，a7＝a3＋4d＝31；
当a3＝－7时，a7＝a3＋4d＝25.
综上，a7的值为31或25.
B组 拔高提升
1．B　解析：由已知得an＝a1＋(n－1)d＝70＋(n－1)×(－9)＝79－9n，
所以a8＝7，a9＝－2，a10＝－11，故绝对值最小的一项为a9．故选B．
2．D　解析：因为数列{an}的各项均为正数，且满足a1＝1，＝1(n≥2，n∈N*)，
所以数列是首项为1，公差为1的等差数列．
所以＝1＋(n－1)＝n，解得an＝.
所以a1 024＝.故选D．
3．AB　解析：设这四个数分别为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，
则
解得或
所以这四个数依次为－2，4，10，16或16，10，4，－2．故选AB．
4．ABC　解析：由题意知解得0a2·a4＝(2－d)·(2＋d)＝4－d 2<4，A正确；
＋a4＝(2－d)2＋(2＋d)＝d2－3d＋6＝>，B正确；
>1，C正确；
a1·a5－a2·a4＝(2－2d)·(2＋2d)－(2－d)·(2＋d)＝－3d 2<0，所以a1·a5故选ABC．
5． 4 049　解析：设△ABC内有n个点时，小三角形有an个．
现增加一个点，则此点必落入某一个小三角形内，
且此点与小三角形三个顶点的连线把此小三角形分成三个小三角形，故三角形总数多出了两个，即an＋1＝an＋2.
因此数列{an}是以3为首项，2为公差的等差数列，所以an＝3＋(n－1)×2＝2n＋1，于是a2 024＝2×2 024＋1＝4 049.
6． 10　解析：由a1＝2，am＋n＝am＋an，令m＝1，则an＋1－an＝a1＝2，
所以数列{an}是以2为首项，2为公差的等差数列，即an＝2＋(n－1)×2＝2n.
又k为正整数，所以akak＋1＝2k×2(k＋1)＝440，即k(k＋1)＝110，解得k＝10或k＝－11(舍去)．
7． an＝n·2n　解析：由an＋1－2an＝2n+1得＝1，且＝1，故为等差数列，首项为1，公差为1，所以＝1＋(n－1)＝n，所以an＝n·2n.
8．
(1)解：数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＋2＝2an＋1－an＋2，
所以a3＝2a2－a1＋2＝2×2－1＋2＝5，a4＝2a3－a2＋2＝2×5－2＋2＝10.
(2)证明：因为bn＋1－bn＝(an＋2－an＋1)－(an＋1－an)＝an＋2－2an＋1＋an＝2，
所以{bn}为等差数列．

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