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4.2.1　第2课时　等差数列的性质及应用
A组 基础训练
1．在等差数列{an}中，a2＋a9＝10，a1＝2，则a10＝(　　)
A．8 B．9
C．11 D．12
2．在等差数列{an}中，若a2＋a5＋a8＝3，则2a4＋a7＝(　　)
A．6 B．5
C．4 D．3
3．在a和b两数之间插入n个数，使它们与a，b组成等差数列，则该数列的公差为(　　)
A． B．
C． D．
4．已知等差数列{an}是递增数列，且满足a3＋a5＝14，a2a6＝33，则a1a7等于(　　)
A．33 B．16
C．13 D．12
5．(传统文化)《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为：已知A，B，C，D，E五人分5钱，A，B两人所得与C，D，E三人所得相同，且A，B，C，D，E每人所得成等差数列．问，五人各得多少钱？在这个问题中，E所得为(　　)
A． 钱 B． 钱
C． 钱 D． 钱
6．已知等差数列{an}满足a1＋a3＋a5＋a7＋a9＝＝36，则a11的值为________．
7．已知数列{an}满足an＋1＋an－1＝2an(n≥2)，且a2＝5，a5＝13，则a8＝________．
8．在等差数列{an}中，a12＝23，a42＝143，an＝239，求n及公差d.
B组 拔高提升
1．我国古代天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度)．二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始．已知雨水的晷长为9.5尺，立冬的晷长为10.5尺，则冬至的晷长为(　　)
A．11.5尺 B．13.5尺
C．12.5尺 D．14.5尺
2．如果点(n，an)(n∈N*)都在直线3x－y－24＝0上，那么在数列{an}中，有(　　)
A．a7＋a9>0 B．a7＋a9<0
C．a7＋a9＝0 D．a7a9＝0
3．已知公差不为0的等差数列{an}满足am＋ap＝2a5，则的最小值为(　　)
A．1 B．
C． D．2
4．(多选)设正项等差数列{an}满足(a1＋a10)2＝2a2a9＋20，则(　　)
A．a2a9的最大值为10
B．a2＋a9的最大值为2
C．的最大值为
的最小值为200
5．设数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则数列{an＋bn}的第37项为________．
6．已知在等差数列{an}中，a1＝1，a2＋2a3＋a4＝12.
(1)求a5＋a7的值；
(2)若数列{bn}满足bn＝a2n－1，证明：数列{bn}是等差数列．
7．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中λ为常数．
(1)证明：an＋2－an＝λ；
(2)是否存在λ，使得{an}为等差数列？请说明理由．
4.2.1　第2课时　等差数列的性质及应用
A组 基础训练
1．A　解析：因为a1＋a10＝a2＋a9＝10，所以10＝2＋a10，解得a10＝8．故选A．
2．D　解析：由等差数列的性质可得a2＋a5＋a8＝3a5＝3，则a5＝1，2a4＋a7＝a3＋a5＋a7＝3a5＝3．故选D．
3．B　解析：在a和b两数之间插入n个数，使它们与a，b组成等差数列，则这个数列共有(n＋2)项．设该数列的公差为d，则d＝.故选B．
4．C　解析：设等差数列{an}的公差为d.
由等差数列的性质，得a2＋a6＝a3＋a5＝14.
由解得或
又{an}是递增数列，
所以
所以公差d＝＝2.
所以a1a7＝(a2－d)(a6＋d)＝1×13＝13．故选C．
5．A　解析：由题意，设A所得为a－4d，B所得为a－3d，C所得为a－2d，D所得为a－d，E所得为a，则解得故E所得为 钱．故选A．
6． 11　解析：设等差数列{an}的公差为d.
因为a1＋a3＋a5＋a7＋a9＝5a5＝10，
所以a5＝2.
因为＝(a8＋a2)(a8－a2)＝2a5×6d＝36，
所以d＝.
所以a11＝a5＋6d＝2＋9＝11.
7． 21　解析：由an＋1＋an－1＝2an(n≥2)，知数列{an}是等差数列．
由等差数列的性质，得a2＋a8＝2a5，所以a8＝2a5－a2＝2×13－5＝21.
8．解：由题意可得，d＝＝4，
所以a1＝a12－11d＝－21.
因为an＝a1＋(n－1)d＝－21＋4(n－1)＝239，
解得n＝66.
综上，n＝66，d＝4.
B组 拔高提升
1．B　解析：设相邻两个节气晷长减少或增加的量为d(d>0)，则立冬到冬至晷长增加3d，冬至到雨水晷长减少4d.设冬至的晷长为x尺，则解得故选B．
2．C　解析：因为3n－an－24＝0，
所以an＝3n－24(n∈N*)．
所以{an}为等差数列．
所以a7＋a9＝2a8＝0．故选C．
3．C　解析：根据等差数列的性质可得m＋p＝10，则(m＋2)＋p＝12，
所以(m＋2＋p)＝.当且仅当，即p＝4，m＝6时，等号成立．故选C．
4．ABD　解析：因为正项等差数列{an}满足(a1＋a10)2＝2a2a9＋20，
所以(a2＋a9)2＝2a2a9＋20，即＝20.
对于A，a2a9≤＝10，当且仅当a2＝a9＝时，等号成立，故选项A正确；
对于B，由于＝10，所以，当且仅当a2＝a9＝时，等号成立，故选项B正确；
对于C，，当且仅当a2＝a9＝时，等号成立，所以的最小值为，故选项C错误；
对于D，结合A选项的结论，有2－≥400－2×102＝200，当且仅当a2＝a9＝时，等号成立，故选项D正确．故选ABD．
5． 100　解析：因为{an}，{bn}是等差数列，
所以{an＋bn}是等差数列．
因为a1＋b1＝100，a2＋b2＝100，
所以数列{an＋bn}的公差d＝0，所以a37＋b37＝100.
6．
(1)解：设等差数列{an}的公差为d.
因为a2＋a4＝2a3，a2＋2a3＋a4＝4a3＝12，
所以a3＝3.
因为a3＝a1＋2d，即1＋2d＝3，所以d＝1.
所以a5＋a7＝2a1＋10d＝12.
(2)证明：由(1)可知an＝n，
所以bn＝a2n－1＝2n－1.
因为bn－bn－1＝(2n－1)－[2(n－1)－1]＝2(n≥2)，
b1＝a2－1＝1，
所以数列{bn}是首项为1，公差为2的等差数列．
7．
(1)证明：由题意知，anan＋1＝λSn－1，an＋1an＋2＝λSn＋1－1，
两式相减得an＋1(an＋2－an)＝λan＋1.
由于an＋1≠0，所以an＋2－an＝λ.
(2)解：存在．理由如下：
由题意知，a1＝1，a1a2＝λS1－1，可得a2＝λ－1.
由(1)知，a3＝λ＋1.
令2a2＝a1＋a3，
解得λ＝4.
故an＋2－an＝4，由此可得
{a2n－1}是首项为1，公差为4的等差数列，a2n－1＝4n－3；
{a2n}是首项为3，公差为4的等差数列，a2n＝4n－1.
所以an＝2n－1，an＋1－an＝2.
因此存在实数λ＝4，使得数列{an}为等差数列．

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