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4.2.2　第1课时　等差数列的前n项和
A组 基础训练
1．(多选)若等差数列{an}的前5项和S5＝25，且a2＝3，则(　　)
A．a1＝1 B．a7＝13
C．公差d＝2 D．公差d＝3
2．设{an}是公差为－2的等差数列，且a4＋2a6＝4，则{an}的前10项和S10＝(　　)
A．－8 B．－10
C．8 D．10
3．已知等差数列{an}的前n项和为Sn.若a1＝2，且S3＝S19，则S21＝(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
4．记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a2＋a6＝10，a4a8＝45，则S5＝(　　)
A．25 B．22
C．20 D．15
5．已知一个有限项的等差数列{an}，前4项的和是40，最后4项的和是80，所有项的和是210，则此数列的项数为(　　)
A．12 B．14
C．16 D．18
6．已知{an}为等差数列，a1＋a4＋a7＝39，a3＋a6＋a9＝27，则前9项和S9＝________．
7．等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝30，S6＝100，则S9＝________.
8．在等差数列{an}中，Sn是其前n项和，a1＝－11，＝2，则S11＝________．
9．在等差数列{an}中，a1＋a3＝6，a9＝17.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{an}的前n项和Sn.
B组 拔高提升
1．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若，则＝(　　)
A． B．
C． D．
2．(多选)等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1>0，则下列命题正确的是(　　)
A．若a3＋a7＝4，则S9＝18
B．若S15>0，S16<0，则
C．若a1＋a2＝5，a3＋a4＝9，则a7＋a8＝17
D．若a8＝S10，则S9>0，S10<0
3．(多选)记Sn为等差数列{an}的前n项和，则下列命题正确的是(　　)
A．S6＝3(S4－S2)
B．若{an}的公差不为0，S15＝5(a4＋a8＋ak)，则k＝10
C．S2n，S4n－S2n，S6n－S4n成等差数列
D．是等差数列
4．在等差数列{an}中，Sn为其前n项和．已知S3＝9，a4＋a5＋a6＝7，则S9－S6＝________．
5．(新定义)形如M＝mn(m，n∈N*)的正整数表示为各项都是整数、公差为2的等差数列的前m项和，称作“对M的m项划分”．例如：9＝32＝1＋3＋5称作“对9的3项划分”；64＝43＝13＋15＋17＋19称作“对64的4项划分”．据此，对324的18项划分中最大的项是________．
6．已知等差数列{an}的首项a1＝－1，公差d>1．记{an}的前n项和为Sn(n∈N*)．若S4－2a2a3＋6＝0，求Sn.
7．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a2＋a4＝48，a5＝28．若Sn＋30>nλ对任意n∈N*恒成立，求λ的取值范围．
8．已知Sn为等差数列{an}的前n项和，且S2＝2，S3＝－6.
(1)求数列{an}的通项公式和前n项和Sn.
(2)是否存在n，使Sn，Sn＋2＋2n，Sn＋3成等差数列？若存在，求出n的值；若不存在，说明理由．
4.2.2　第1课时　等差数列的前n项和
A组 基础训练
1．ABC　解析：设等差数列{an}的公差为d.
因为所以
所以a7＝a1＋6d＝13．故选ABC．
2．D　解析：{an}是公差为－2的等差数列，且a4＋2a6＝4，则(a1－6)＋2(a1－10)＝4，解得a1＝10．所以S10＝10a1＋d＝10×10－2×45＝10．故选D．
3．B　解析：(方法一)因为S3＝S19，所以S19－S3＝a4＋a5＋…＋a19＝8(a4＋a19)＝0，所以a4＋a19＝0，所以S21＝a1＋a2＋a3＋(a4＋a5＋…＋a19)＋a20＋a21＝a1＋a2＋a3＋a20＋a21＝a1＋2(a4＋a19)＝a1＝2．故选B．
(方法二)由于Sn＝An2＋Bn符合二次函数f (x)＝Ax2＋Bx的形式，当x＝n时，Sn＝f (n)．根据二次函数图象的对称性及S3＝S19可知，f (x)的图象关于直线x＝11对称，因此S21＝S1＝a1＝2．故选B．
4．C　解析：(方法一)设等差数列{an}的公差为d，依题意可得
a2＋a6＝a1＋d＋a1＋5d＝10，即a1＋3d＝5，
又a4a8＝(a1＋3d)(a1＋7d)＝45，解得d＝1，a1＝2，
所以S5＝5a1＋d＝5×2＋10＝20．故选C．
(方法二)设等差数列{an}的公差为d.因为a2＋a6＝2a4＝10，a4a8＝45，所以a4＝5，a8＝9，
从而d＝＝1，于是a3＝a4－d＝5－1＝4，
所以S5＝5a3＝20.
故选C．
5．B　解析：由题意知a1＋a2＋a3＋a4＝40，an＋an－1＋an－2＋an－3＝80，两式相加整理得a1＋an＝30．又因为Sn＝＝210，所以n＝14．故选B．
6． 99　解析：在等差数列{an}中，由a1＋a4＋a7＝39，a3＋a6＋a9＝27，两式相加可得a1＋a4＋a7＋a3＋a6＋a9＝66.
由等差数列的性质可得a1＋a9＝a4＋a6＝a7＋a3＝2a5，
故可得6a5＝66，解得a5＝11，故S9＝＝9a5＝99.
7． 210　解析：因为S3，S6－S3，S9－S6成等差数列，
即30，70，S9－100成等差数列，
所以140＝30＋S9－100，所以S9＝210.
8．－11　解析：由题意知，是等差数列，首项为＝－11.
设其公差为d，则＝2d＝2，所以d＝1，
所以＝－11＋10×1＝－1．所以S11＝－11.
9．
解：设等差数列{an}的公差为d.
(1)因为a1＋a3＝2a2＝6，所以a2＝3，
所以d＝＝2，
则an＝a2＋(n－2)d＝3＋(n－2)×2＝2n－1.
(2)由(1)可得a1＝1，
所以Sn＝na1＋＝n2.
B组 拔高提升
1．B　解析：由等差数列的性质知S5，S10－S5，S15－S10，S20－S15，…是等差数列．
由，可设S5＝t(t≠0)，则S10＝3t，于是S5，S10－S5，S15－S10，S20－S15，…依次为t，2t，3t，4t，…，所以S20＝t＋2t＋3t＋4t＝10t，所以.故选B．
2．ACD　解析：对于A，a3＋a7＝4，S9＝＝18，故A正确；
对于B，S15＝＝15a8>0，则a8>0，S16＝＝8(a8＋a9)<0，则a8＋a9<0，a9<－a8<0，因此＝(a8＋a9)(a8－a9)<0，即，故B错误；
对于C，a5＋a6＝2(a3＋a4)－(a1＋a2)＝13，则a7＋a8＝2(a5＋a6)－(a3＋a4)＝17，故C正确；
对于D，设{an}的公差为d，由a8＝S10，得a1＋7d＝10a1＋45d，解得d＝－a1，
则S9＝9a1＋36d＝9>0，
S10＝10a1＋45d＝5<0，故D正确．
故选ACD．
3．ACD　解析：设{an}的公差为d.
对于A，S6＝6a1＋15d，3(S4－S2)＝3[4a1＋6d－(2a1＋d)]＝6a1＋15d，所以S6＝3(S4－S2)，故A正确；
对于B，S15＝15a1＋d＝15a1＋105d，5(a4＋a8＋ak)＝5[a1＋3d＋a1＋7d＋a1＋(k－1)d]＝15a1＋5(k＋9)d，
又因为d≠0，所以S15＝5(a4＋a8＋ak) 105＝5(k＋9)，解得k＝12，故B错误；
对于C，S2n＝2na1＋×d＝2na1＋(2n2－n)d，S4n＝4na1＋×d＝4na1＋(8n2－2n)d，S6n＝6na1＋×d＝6na1＋(18n2－3n)d，
所以S2n＋S6n－S4n＝2na1＋(2n2－n)d＋6na1＋(18n2－3n)d－[4na1＋(8n2－2n)d]＝4na1＋(12n2－2n)d，S4n－S2n＝4na1＋(8n2－2n)d－[2na1＋(2n2－n)d]＝2na1＋(6n2－n)d，
所以S2n＋S6n－S4n＝2(S4n－S2n)，所以S2n，S4n－S2n，S6n－S4n成等差数列，故C正确；
对于D，因为d，所以＝d，所以是公差为d的等差数列，故D正确．
故选ACD．
4． 5　解析：因为S3，S6－S3，S9－S6成等差数列，而S3＝9，S6－S3＝a4＋a5＋a6＝7，所以S9－S6＝5.
5． 35　解析：设对324的18项划分中最小的项为a1，最大的项为a18，
则解得
6．解：因为S4－2a2a3＋6＝0，a1＝－1，
所以－4＋6d－2(－1＋d)(－1＋2d)＋6＝0，
整理得d2－3d＝0.
又d>1，所以d＝3，所以an＝3n－4，
所以Sn＝.
7．解：由题意得a2＋a4＝a1＋a5＝48，因为a5＝28，
所以a1＝20，则公差d＝＝2，
所以Sn＝20n＋×2＝n(n＋19)．
由n(n＋19)＋30>nλ，得λ<＋19恒成立．
设f (x)＝x＋＋19，令x＝，解得x＝±.
易知当x∈时，f (x)单调递减；当x∈时，f (x)单调递增．
又因为5<<6，f (5)＝f (6)＝30，
所以当n＝5或n＝6时，n＋＋19取得最小值30，
所以λ<30，即λ的取值范围是(－∞，30)．
8．
解：(1)设{an}的公差为d，
则
解得
所以an＝4－6(n－1)＝10－6n，
Sn＝na1＋d＝7n－3n2.
(2)存在．Sn＋Sn＋3＝7n－3n2＋7(n＋3)－3(n＋3)2＝－6n2－4n－6，
Sn＋2＝7(n＋2)－3(n＋2)2＝－3n2－5n＋2，
2(Sn＋2＋2n)＝2(－3n2－5n＋2＋2n)＝－6n2－6n＋4.
若存在n，使Sn，Sn＋2＋2n，Sn＋3成等差数列，
则－6n2－4n－6＝－6n2－6n＋4，解得n＝5.
所以存在n＝5，使Sn，Sn＋2＋2n，Sn＋3成等差数列．

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