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人教版2026年八年级上册第13章《三角形》单元检测题
满分100分 时间90分钟
一、选择题（共30分）
1．下列由三条线段组成的图形是三角形的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，四个图形中，线段是的高的图是（ ）
A． B．
C． D．
3．图中共有（ ）个三角形
A．2 B．4 C．6 D．8
4．在中，若，则是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上三种情况都有可能
5．李师傅做了一个三角形的工件，其中两边长分别为和，则第三边的长可能是（ ）
A． B． C． D．
6．等腰三角形的一个角是，则它的底角是（ ）
A． B． C．或 D．
7．如图，在中，是边上的一点（不与点，重合），点，是线段的三等分点，记的面积为，的面积为，若，则的面积为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
8．如图，将三角形纸片沿折叠，点落在处．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，为线段上一点，分别以，为边在线段同侧作和，且．若的平分线与的平分线交于点，则与的数量关系为（ ）
A． B．
C． D．
10．已知等腰三角形有两条边的长分别是，，则这个等腰三角形的腰长为（ ）
A．2 B．12 C．2或5 D．5
二、填空题（共18分）
11．的三边为，且满足关系，则是___________三角形．
12．已知三角形的两边长为3和7，则第三边x的取值范围是______．
13．如图，在中，是斜边上的高，，则为________．
14．如图，为的中线，为的中线．若的面积为20，则的面积是______．
15．如图，在中，，，则_______°．
16．如图，若，则________．
三、解答题（共52分）
17．（8分）已知的三边长分别为a，b，c．
(1)若，，且c为整数，求周长的最大值．
(2)化简：．
18．（8分）如图，，分别是的高和角平分线．
(1)若，，求和的度数；
(2)若，，且，直接写出和的度数（用含，的代数式表示）．
19．（8分）通过对现象的观察、分析，从特殊到一般的探索这类现象的规律、提出猜想的思想方法称为归纳法．运用归纳法探求如下规律：
在三角形的内部取个点，连同三角形的3个顶点，逐步连接这些点，保证所有的连线不再产生新的点，直到三角形内部所有区域都变成三角形．那么最多可以得到多少个三角形（不计被分割的三角形）
如图，为了解决这个问题，我们可以从、、等具体简单的情形入手，探索最多可得到三角形个数的变化规律：

统计几种简单的情况如下表：
三角形内点的个数 1 2 3 …
最多三角形的个数 3 5 …
(1)________，当三角形的内部取4个点时，最多可以得到________个三角形；
(2)观察和比较下面的式子：，，，则下一个式子为______；
分析可知：三角形内的点每增加1个，最多可得到的三角形增加________个；
归纳可知：当三角形内点的个数为时，最多可以得到________个三角形；
(3)请你尝试用上面的方法探索：在十边形的内部取个点，连同十边形的10个顶点，逐步连接这些点，保证所有的连线不再产生新的点，直到十边形内部所有区域都变成三角形．那么最多可以得到多少个三角形（不计被分割的三角形）
20．（8分）某校七年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的量关系”进行了探究：
(1)如图，在中，与的平分线交于点，，则________；
(2)如图，的内角的平分线与的外角的平分线交于点，其中，求的度数．
(3)如图，、为的外角，、的平分线交于点，其中．求________（用表示）
(4)如图，外角、的平分线交于点，、的平分线交于点，则延长至点，的平分线与的延长线相交于点，则与的数量关系为________．
21．（10分）【问题背景】
如图，在和中，点E、H、C在一条直线上，点B、H、D在一条直线上，且，A为右侧、上方一点，连接，于点．
【问题发现】
（1）如图1，连接，则四边形的内角和为________°；
【深入探究】
（2）如图2，连接，若，平分，试说明：；
【拓展延伸】
（3）如图3，连接，若，的平分线与的平分线交于点F，交于点，探究与的数量关系，并证明你的结论．
22．（10分）【课本再现】
八年级上册课本上有一道题：如图1，在中，，，则的高与的比是多少？
(1)请解答上述问题；
【问题探究】
爱思考的小东做完这道题后发现三角形的面积与边长之间存在一定的数量关系．他提出了以下猜想：如图，若中，是边上的点，则．
(2)你认为小东的猜想正确吗？如果正确，请证明；如果不正确，请说明理由；
【拓展应用】
(3)如图3，中，，分别是边，上的点，与交于点．若，，请直接写出的值．
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D C A B B D C A D
二、填空题
11．等腰
12．
13．35
14．5
15．
16．
三、解题题
17．（1）解：∵，，
，即，
∵c为整数，
∴当，周长的最大值为；
（2）解：的三边长为a，b，c，
，，，
∴
．
18．（1）解：在中，由三角形内角和定理得：，
是的角平分线，
，
在中，由三角形内角和定理得：，
是的高，
，
在中，，
；
（2）解：在中，由三角形内角和定理得：，
是的角平分线，
，
在中，由三角形内角和定理得：，
是的高，
，
在中，，
．
19．（1）解：依题意，三角形内点的个数，最多三角形的个数是，如图所示：
依题意，三角形内点的个数，最多三角形的个数是7，如图所示：
∴，
同理：三角形内点的个数，最多三角形的个数是9，如图所示：
即当三角形的内部取4个点时，最多可以得到9个三角形；
（2）解：观察和比较下面的式子：，，，
则下一个式子为
分析可知：三角形内的点每增加1个，最多可得到的三角形增加2个；
归纳可知：当三角形内点的个数为时，最多可以得到个三角形；
（3）解：当时，如图所示：
此时最多三角形的个数为，
当时，如图所示：
此时最多三角形的个数为，
当时，如图所示：
此时最多三角形的个数为，
……
依次类推：十边形内点的个数为时，则最多三角形的个数，
即保证所有的连线不再产生新的点，直到十边形内部所有区域都变成三角形．那么最多可以得到个三角形．
20．（1）解： ，
，
与的平分线交于点，
，，
，
；
（2）解： ，
，即，
的平分线与的平分线交于点，
，，
，
；
（3）解： ，，，
，
、的平分线交于点，
，，
；
（4）解：，理由如下：
、的平分线交于点，
同理（1）可得，
的平分线与的平分线的延长线相交于点，
同理（2）可得，
．
21．解：（1）连接，
有，
，
故答案为：；
（2），
.
平分，
，
，
，
，
又，
，
又，
，
；
（3）.
由（2）知，
，
，
，
平分，平分，
，，
，
，
．
22．（1）解：∵，
∴，
∴，
∴．
（2）略
（3）连接，
设，．
∵，
∴，
∵，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．即，
∴，
∴．
∴，．
∴．
∴的值为．

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