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1.5.1全称量词与存在量词 学习案
一、概念填空
1．全称量词与全称量词命题
全称量词 “任意”“所有”“每一个”等
符号表示 ______
全称量词命题 含有全称量词的命题
形式 “对的_________一个元素，有成立”，用符号简单地表示为“_________”
【答案】 任意 ，
2．存在量词与存在量词命题
存在量词 “存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“对某些”“有的”等
符号表示 ___________
存在量词命题 含有___________的命题
形式 “存在M中的元素x，成立”可用符号简记为“___________”
【答案】 存在量词 ，成立
3概念理解，判断正误．
（1）命题“任意一个自然数都是正整数”是全称量词命题．( )
（2）命题“三角形的内角和是”是全称量词命题．( )
（3）命题“梯形有两边平行”不是全称量词命题．( )
【答案】 正确 正确 错误
考点归纳
①判断命题是否为全称量词命题；②用全称量词改写命题；③判断全称量词命题的真假；④根据全称量词命题的真假求参数；⑤判断命题是否为存在量词命题；⑥用存在量词改写命题；⑦判断存在量词命题的真假；⑧根据存在量词命题的真假求参数.
巩固训练
一、单选题
1．下列命题中全称量词命题的个数是（ ）
①任意一个自然数都是正整数；
②有的平行四边形也是菱形；
③n边形的内角和是．
A．0 B．1 C．2 D．3
2．将“x2+y2≥2xy”改写成全称命题，下列说法正确的是（　　）
A． x，y∈R，都有x2+y2≥2xy
B． x，y∈R，都有x2+y2≥2xy
C． x＞0，y＞0，都有x2+y2≥2xy
D． x＜0，y＜0，都有x2+y2≤2xy
3．下列命题既是全称量词命题又是真命题的是（ ）
A．所有的素数都是奇数 B．，使
C．矩形都有外接圆 D．都有平方根
4．使为真命题的一个充分条件是（ ）
A． B． C． D．
5．下列命题中，是存在量词命题的是（ ）
A．正方形的四条边相等
B．有两个角是的三角形是等腰直角三角形
C．正数的平方根不等于0
D．至少有一个正整数是偶数
6．“关于x的不等式有解”等价于（ ）
A． ，使得成立
B． ，使得 成立
C． ，成立
D． ，成立
7．下列是存在量词命题且是真命题的是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知命题“存在，使得等式成立”是假命题，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．或
C． D．或
二、多选题
9．已知集合，，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
10．下列命题为真命题的有（　　）
A． B．
C． D．
11．下列选项中能证明命题“”为真命题的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
12．1＝12
1＋3＝22
1＋3＋5＝32
1＋3＋5＋7＝42
1＋3＋5＋7＋9＝52
……
根据以上事实写出含有量词的全称量词命题为_______________________
13．若命题，使是真命题，则的取值范围为______．
14．“，都有恒成立”是真命题，则实数的取值范围是____________；
四、解答题
15．用量词“ ”表达下列命题：
(1)实数都能写成小数形式;
(2)凸n边形的外角和等于360°;
(3)任意一个实数乘 都等于它的相反数．
16．用符号“ ”表示下列含存在量词的命题．
（1）有的自然数的平方不大于零；
（2）圆x2＋y2＝r2上有到圆心的距离大于r的点；
（3）存在一对整数x，y，使得2x＋4y＝3；
（4）存在一个无理数，它的立方是有理数．
17．用量词符号“ ”“ ”表述下列命题，并判断真假.
（1）所有实数x都能使x2+x+1＞0成立；
（2）对所有实数a，b，方程ax+b＝0恰有一个解；
（3）一定有整数x，y，使得3x﹣2y＝10成立；
（4）所有的有理数x都能使x2x+1是有理数.
18．已知集合，．
(1)若命题，是真命题，求实数m的取值范围；
(2)若命题，是真命题，求实数m的取值范围．
19．设命题，，命题，.
(1)命题为真，求实数的取值范围；
(2)若都为真命题，求实数的取值范围.
四、参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 C A C A D A D D AD ABC ABD
1．C
【详解】①③是全称量词命题．
2．A
【分析】根据两个实数变量x，y的取值对不等式成立无影响，再结合全称命题的定义改写即可．
【详解】因对于任意实数x，y，不等式x2+y2≥2xy都成立，于是将“x2+y2≥2xy”改写成全称命题为：“，都有x2+y2≥2xy”.
故选：A
3．C
【分析】根据全称量词命题的定义即可知选项B不合题意，再判断出ACD选项中命题的真假即可得出结论.
【详解】A选项，素数2不是奇数，“所有的素数都是奇数”是全称量词命题，但是假命题，A选项错误；
B选项，“，使”是存在量词命题，B选项错误；
C选项，矩形的对角互补，都有外接圆，“矩形都有外接圆” 既是全称量词命题又是真命题，C选项正确；
D选项，负整数没有平方根，“都有平方根” 是全称量词命题，但是假命题，D选项错误；
故选：C
4．A
【分析】根据命题为真有求出充要条件，再由充分性的定义确定命题为真的一个充分条件即可.
【详解】要使为真命题，则只需，可得，
结合各项知，只有A中是该命题为真的一个充分条件.
故选：A
5．D
【分析】根据存在量词命题的定义即可得出答案．
【详解】D含有存在量词，至少有一个，为存在量词命题， ABC含有全称量词：任意的或者包含所有的意思，为全称量词命题.
故选：D
6．A
【分析】根据存在性量词的命题即可求解.
【详解】“关于x的不等式有解”等价于“ ，使得成立”，
故选:A．
7．D
【分析】先根据全称量词命题和存在量词命题进行区分，再判断命题的真假即可．
【详解】由题知，AC是全称量词命题，不符合题意；BD为存在量词命题；
对于B，恒成立，故不存在，使得，故B为假命题，故B不符合题意；
对于D，时，，则是真命题，符合题意．
故选：D．
8．D
【分析】假设命题为真命题，可得实数m的取值范围是，再取补集即可得结果.
【详解】假设命题“存在，使得等式成立”为真命题，
可得，且，则实数m的取值范围是，
若命题“存在，使得等式成立”是假命题，
则实数m的取值范围即为集合在上的补集，
所以实数m的取值范围是或.
故选：D.
9．AD
【分析】首先判断两个集合的包含关系，然后根据全称量词命题与存在量词命题的知识确定正确答案.
【详解】因为，，所以是的真子集，
所以，；，；即AD选项正确，BC选项错误.
故选：AD
10．ABC
【分析】运用全称和特称量词的命题的知识逐项分析并判断即可得.
【详解】对A：由，所以为非负整数，即自然数.故对，故A正确；
对B：例如取，则，故，故B正确；
对C：当时，，当时，，
故，故C正确；
对D：由，
故不存在，使得，故D错误.
故选：ABC
11．ABD
【分析】代入检验可得结果.
【详解】A：当时，，为真命题；
B：当时，，为真命题；
C：当时，，为假命题；
D：当时，，为真命题；
故选：ABD.
12．
【分析】将前五个等式进行变形，归纳出一般结论，即可得出结论.
【详解】∵
由此可归纳得出：
故答案为：
13．
【分析】利用判别式求参数范围.
【详解】若是真命题，则 ，解得．所以的取值范围为．
故答案为： .
【点睛】考查利用判别式与一元二次方程的根的情况之间的关系.
14．
【分析】全称量词的命题为真命题等价于，求出最小值即可.
【详解】因为，要使“恒成立”，
只需，因为的最小值为，即，
故答案为：.
15．(1)，x能写成小数形式．
(2)是凸n边形， ，且}，x的外角和等于360°．
(3)， ．
【分析】根据全称命题以及特称命题的形式，即可求解.
【详解】（1），x能写成小数形式．
（2）是凸n边形， ，且}，x的外角和等于360°．
（3）， ．
16．答案见解析
【分析】把没有“存在”的命题用“存在”叙述，然后用符号“ ”表示存在即可．
【详解】（1） x∈N，使x2≤0；
（2）圆x2＋y2＝r2的圆心为O， 点P在圆上，使|OP|＞r；
（3） 一对整数x，y，使得2x＋4y＝3；
（4） x∈，使得x3是有理数．
17．（1） x∈R，x2+x+1＞0；真命题；（2） a，b∈R，ax+b＝0恰有一个解；假命题；（3） x，y∈Z，3x﹣2y＝10；真命题；（4） x∈Q，x2x+1是有理数；真命题.
【分析】对于题目中的命题，先用量词符号“ ”“ ”表述命题，再判断真假性即可.
【详解】解：对于（1），所有实数x都能使x2+x+1＞0成立，改写为： x∈R，x2+x+1＞0，
因为判别式＝1﹣4＝﹣3＜0，所以x2+x+1＞0，（1）是真命题；
对于（2），对所有实数a，b，方程ax+b＝0恰有一个解，改写为： a，b∈R，ax+b＝0恰有一个解，因为a＝0，b≠0时，方程ax+b＝0无解，所以（2）是假命题；
对于（3），一定有整数x，y，使得3x﹣2y＝10成立，改写为： x，y∈Z，3x﹣2y＝10，
因为x＝4，y＝1时，3×4﹣2×1＝10，所以（3）是真命题；
对于（4），所有的有理数x都能使x2x+1是有理数，改写为： x∈Q，x2x+1是有理数，因为、、1和x都是有理数，所以x2x+1是有理数，（4）是真命题.
18．(1)
(2)
【详解】解：（1）由于，是真命题，所以，所以，解得，故m的取值范围是．
（2）由题意，所以，即，解得．当时，或，解得．所以当时，．故m的取值范围是．
19．(1)
(2)
【分析】（1）由题意可得，计算即可得；
（2）结合（1）中所得，再解出即可得.
【详解】（1）命题为真时，有，解得，
（2）命题为真时，有，解得，
又命题为真时，，故都为真命题时，.试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页

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