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黑龙江哈尔滨市第九中学校2025-2026学年高二下学年6月阶段性测试数学试卷
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知，，则“”是“且”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知函数，则（ ）
A．4 B． C．2 D．
4．函数在上的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5．已知，，且，则的最小值为（ ）
A． B．5 C．4 D．3
6．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
7．过点的直线与曲线相切，则直线的斜率为（ ）
A．1 B．-1 C．3或1 D．3或
8．已知函数，，若对任意的，存在，使，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．在下列四个命题中，正确的是（ ）
A．命题“，使得”的否定是“，都有”
B．命题“，”是真命题
C．集合与集合表示同一集合
D．已知集合，若，则的值为
10．下列能够取得最小值为4的函数有（ ）
A．函数 B．函数
C．函数 D．函数
11．已知函数有两个极值点，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
12．若，则的取值范围为______．
13．已知定义域为的函数满足，且，则不等式的解集是________．
14．若对恒成立，则正实数的最小值是______．
四、解答题
15．已知集合，.
(1)若，求，；
(2)“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围.
16．如图，在三棱台中，四边形为直角梯形，，平面平面，为的中点，．
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成的角的正弦值．
17．随着移动互联网技术的发展，直播带货已经成为一种热门的销售方式，某电商直播带货后从7月份到11月份每个月线上的销售量(万件)()的数据如下所示:
月份 7 8 9 10 11
月份代码x 1 2 3 4 5
销售量y 2.2 2.5 2.7 3.1 3.5
(1)从这5个月中随机选取3个月，记月销售量不少于3万件的月份的个数为X，求随机变量X的分布列及期望；
(2)利用最小二乘法求y关于x的经验回归方程，并预测当年12月份的月销售量.
附:经验回归方程=x+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为=，=-
18．已知．
(1)若在恒成立，求的取值范围；
(2)若在恒成立，求的取值范围；
(3)若有两个零点，，证明：．
19．已知函数．
(1)若函数有两个零点，求实数的取值范围；
(2)若，求证：；
(3)若，，关于的不等式恒成立，求的最大值．
试卷第4页，共4页
《黑龙江哈尔滨市第九中学校2025-2026学年高二下学年6月阶段性测试数学试卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B C D C A D C AD BCD
题号 11
答案 ACD
1．B
解析：由题可得：
2．B
解析：由，且，可得；
反之，由不一定得到，且，比如，时，，
所以“”是“，且”的必要不充分条件．
3．C
解析：函数，有，
令，得，解得.
故选：C.
4．D
解析：因为，所以，
令，得，
令，得或；令，得，
所以，在上单调递增，在上单调递减，
故在上单调递减，上单调递增，则.
5．C
解析：已知，，且，
，
当且仅当，结合得时等号成立，
的最小值为．
6．A
解析：比较与的大小：
构造函数，定义域为，
求导得，当时，，
故，在上单调递增，
因此，即，整理得；
比较与的大小：
构造函数，定义域为，求导得，
当时，，故，所以在上单调递增，
因此，即，整理得，
所以．
7．D
解析：解：因为，所以，，
当为切点时，；
当不为切点时，设切点为，，
所以，
所以切线方程为，
又切线过点，
所以，
即，即，
解得或（舍去），所以切点为，
所以．
综上所述，直线l的斜率为3或．
8．C
解析：若对任意的，存在，使，则.
由已知得，
可知，当时，，即在上单调递减；
当时，，即在上单调递增.
故当时，.
因为函数的对称轴为，
所以在上单调递减，
所以当时，.
于是，解得.
9．AD
解析：选项：由命题的性质得，命题“，使得”的否定是“，都有”，故正确；
选项：因为，所以，则不存在实数满足，故不正确；
选项：集合是点集，集合是数集，则集合与集合表示的不是同一集合，故不正确；
选项：因为，
若，得，此时，不符合已知条件的集合含有2个元素，故不符合；
若，得，（舍去），此时，符合已知条件的集合含有2个元素，故符合，故正确.
10．BCD
解析：对A：，
当且仅当，即时等号成立，故A错误；
对B：，当且仅当，即时等号成立，故B正确；
对C：，
当且仅当，即时等号成立，故C正确；
对D：，
当且仅当，即时等号成立，故D正确.
11．ACD
解析：A选项，定义为R，且，
由题意得有两个变号零点，
令，即有两个不同的根，
令，则，
当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得极大值，也是最大值，且，
又当时，，当时，，
画出的图象，如下，
故，A正确；
B选项，由A选项可知，，且，
故，B错误；
C选项，由A选项可知，，且，
，C正确；
D选项，设，，
则，
因为，所以，，则，
故，
故在上单调递增，
又，
而，故，即，
又，所以，
其中，，
而由A选项可知，在上单调递减，
所以，即，D正确.
故选：ACD
12．
解析：因为，
所以，，
根据同向不等式可加性得．
故答案为：．
13．
解析：设，则.
因为，
所以，即在上单调递减.
又，
则，
即不等式的解集.
14．
解析：因为，则等价于，
可得，且，
令，，可得，
因为在定义域内单调递增，则，可得，
令，，则，
当时，；当时，；
可知在内单调递增，在内单调递减，则，
可得，所以正实数的最小值是.
15．(1)，或；
(2).
解析：（1）当时，，
所以或，
又，解不等式得，
所以，
所以，或；
（2）因为“”是“”的充分不必要条件，所以是的真子集，
又，，
所以或，解得或，
故实数a的取值范围是.
16．(1)证明如下：
法一：取的中点，连接，
因为分别是的中点，可得，且，
在三棱台中，可得，所以，
又因为，所以，
所以四边形是平行四边形，则，
因为平面，平面，所以平面．
法二：在三棱台中，为的中点，且，
因为，所以，
所以四边形为平行四边形，所以，
又因为平面，且平面，于是平面．
(2)
解析：（1）略
（2）解：因为平面平面，平面平面，
且，平面，所以平面，
又因为平面，所以，
因为，以为坐标原点，以所在的直线分别为轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
可得，
则．
设平面的法向量为，则，
令，可得．所以．
设直线与平面所成的角为，则，
所以直线与平面所成的角正弦值为．
17．(1)分布列见解析，
(2)3.76万件
解析：（1）因为月销售量不少于3万件的月份有2个，所以X的所有可能取值为0，1，2，
，
，
，
所以X的分布列为：
0 1 2

所以.
（2）因为，，
，
所以===，
=-=，
故y关于x的经验回归方程为，
又当年12月份对应的月份代码为6，所以，
所以预测当年12月份的月销售量为3.76万件.
18．(1)
(2)
(3)方法一：
若 有两个零点，设两个零点为 ，不妨设
由于所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
故两个零点分别在 和 内，即，
由，得,
整理得 ，即，
令则 ，代入上式：，
所以，故，
要证即证即证
令则
那么 ，所以 在 上单调递增，
故，即，所以
方法二：
若 有两个零点，设两个零点为 ，不妨设
由于所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
故两个零点分别在 和 内，即，
设，则，
，
，
当时，，
所以，即，
在上单调递减，即，
由，可得 ，
由可得，又在 上单调递增，
所以，，故
解析：（1）若在恒成立，
则在恒成立，即 对一切恒成立，
令，则，
令得，令得，
所以 在上单调递减，在 上单调递增，处取极小值，也是最小值，
，故，
所以的取值范围为.
（2）若在恒成立，即在恒成立，
设，那么，，
在恒成立，即恒成立，
当时，在恒成立，在上单调递增，
，不满足题意，舍去；
当时，令，得；令，得，
在上单调递增，在上单调递减，
若即，则在上单调递减，，满足题意；
若即，则在上单调递增，在上单调递减，
在区间上，有，不满足题意，舍去；
综上所述，的取值范围为.
（3）略
19．(1)
(2)证明：因为，所以，
故要证，需证，即证，
即证（*），
令，则．
令，则；令，则．
所以在上单调递减，在上单调递增，
故，即，
令，从而由（*）只需证．
令，则，
所以在上单调递增，故，
所以，从而恒成立．
(3)
解析：（1）的定义域为，令，即，
即，即，
设，则．
当时，，在上单调递增；
当时，，在单调递减，所以．
又，当时，；时，．
画出的大致图象如图所示．
函数有两个零点，等价于函数的图像与直线有两个交点，则需使,
由图象可得，实数a的取值范围为．
（2）略．
（3）时，恒成立，即恒成立，
也即恒成立．
设函数，
（ⅰ）当时，因为函数，在上均为减函数，所以函数在上单调递减．
且当时，，与题意不符；
（ⅱ）当时，，
当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减．
所以，
依题意，，即，
所以，
令，则，
当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减．
所以当时，取得最大值，最大值为．
故，
所以，当，时等号成立．
综上所述，的最大值为．
答案第12页，共14页
答案第13页，共14页

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