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山东省大联考2025-2026学年高一下学期素养测评（四）
数学试题
一、单选题
1．已知（其中i为虚数单位），则（ ）．
A．5 B．7 C．9 D．25
2．已知，则（ ）
A． B． C． D．
3．《天工开物》是我国明代科学家宋应星所著的一部综合性科学技术著作，书中记载了一种制造瓦片的方法．首先，准备一个圆桶模具，圆桶底面外圆的直径为30cm，高为10cm，在圆桶的外侧面均匀包上一层厚度为3cm的粘土，然后，沿圆桶母线方向将粘土层分割成四等份（如图），等粘土晾干后，即可得到大小相同的4片瓦．若需要制作800片这种瓦片，则所需粘土的体积为（ ）

A． B． C． D．
4．已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）
A．，，，
B．，，
C．，，
D．，
5．已知一组数据，，，…，的平均数为，将这组数据分别加上它们的平均数，得到一组新数据，，，…，，则新数据与原数据相比（ ）
A．平均数不变 B．方差不变 C．极差变大 D．中位数不变
6．在直三棱柱中，侧棱长为3，底面是边长为4的正三角形，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，一个正四棱台的上底边长是下底边长的一半，经过点的平面与直线交于点，则（ ）
A． B． C． D．
8．在中，，，则为（ ）
A．等边三角形 B．等腰非等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
二、多选题
9．设，均为复数，下列命题中正确的有（ ）
A． B．
C．若，则 D．若，则
10．下列说法正确的是（ ）
A．若，，则
B．在中，若，，则
C．已知a，b，c为的内角A，B，C的对边，则“”的充要条件是“”
D．已知向量，，与的夹角为钝角，则实数x的取值范围是
11．已知正方体的棱长为2，点为侧面（含边界）内的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．三棱锥的体积为定值
B．当为中点时，过点，，的平面截该正方体所得的截面面积为
C．当时，点到点距离的最小值为
D．当直线与平面所成角为时，点的轨迹长度为
三、填空题
12．已知，，，则点的坐标为________．
13．某工厂利用随机数表法对生产的50个零件进行抽样测试，先将50个零件进行编号，编号分别为01，02，…，50，从中抽取5个样本，下面提供随机数表的第1行到第2行：
66 67 40 37 14 64 15 71 11 05 65 09 95 86 68 76 83 20 37 90
57 16 03 11 63 14 90 84 45 21 75 73 88 05 90 52 23 59 43 10
若从随机数表的第1行第6列开始向右依次读取数据，则得到的样本中，第5个个体的编号是________．
14．在三棱锥中，，，，且三棱锥的体积为，则该三棱锥外接球的表面积为___________．
四、解答题
15．如图，在平行四边形中，.

(1)用向量，表示，；
(2)若，证明：，，三点共线.
16．如图，正方体的棱长为6，且分别为，的中点.
(1)证明：平面平面；
(2)平面将正方体截成两部分，若这两部分的体积分别为，求的值.
17．某学校组织高二数学挑战赛，现从参加挑战赛的学生中随机选取100人，将其成绩（百分制）分成，，…，六组，得到频率分布直方图（如下图），请完成下列问题：
(1)求频率分布直方图中a的值，并估计参加挑战赛的学生成绩的分位数；
(2)已知落在区间的样本平均分是63，方差是5；落在区间的样本平均分是78，方差是4，求两组样本成绩合并后的平均分和方差.
18．在中，内角，，的对边分别为，，，为的面积，且．
(1)求的值．
(2)若为锐角三角形．
①求的取值范围；
②当，求周长的取值范围．
19．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面平面，且，，，．

(1)求证：平面；
(2)当时，求点到平面的距离；
(3)当时，求二面角正切值的取值范围．
参考答案
1．A
【详解】因为，所以，
则.
故选：A
2．C
【详解】由得，
又因为，代入解得，
由，
因为，所以.
故选：C.
3．D
【详解】由圆柱的体积公式，可得四片瓦需要的粘土量为，
所以800片瓦需要的粘土量为．
故选：D．
4．C
【详解】对于A：当时，满足，，，，则与有可能相交，故A错误；
对于B：当时，，，，故B错误；
对于C：若一直线同时平行两平面，则与两平面的交线平行，故C正确；
对于D：满足，，则或，故D错误．
故选：C．
5．B
【详解】对于A，设新数据的平均数为，
则，故A错误；
对于B，设新数据的方差为，原数据的方差为，
则
，故B正确；
对于C，假设原数据中最大的数为，最小的数为，则原数据的极差为；
则新数据中最大的数为，最小的数为，
则新数据的极差为，即极差不变，故C错误；
对于D，假设原数据为1，2，3，则平均数为2，中位数为2；
则新数据为3，4，5，中位数为4，
所以两组数据的中位数不等，故D错误.
6．D
与所成角或所成角补角，然后由题意及余弦定理可得答案.
【详解】如图，取中点分别为，连接.
则，从而为异面直线与所成角或所成角补角.
由题目数据，可得.
取中点为，连接，则.
从而，又异面直线夹角范围为.
则异面直线与所成角的余弦值为.
故选：D

7．A
【详解】连接，且，连接并延长交直线于，连接，如下图所示，
因为，所以面，所以面，
由正四棱台性质可知，，所以四点共面，
所以直线和直线相交，交点即为经过点的平面与直线交于点；
因为正四棱台的上底边长是下底边长的一半，则，则，
所以，可得.
故选：A.
8．A
【详解】记单位向量，则，
，
解得，
，
，
由正弦定理，则，
，
故，，
则，
故，即，
故是等腰三角形，
又，
故是等边三角形．
9．ABC
【详解】对于A：设，，其中，，，，
则，，，
所以，故A正确；
对于B：设，，其中，，，，
则，
，
所以，故B正确；
对于C：若，则，
同理可得，故C正确；
对于D：若，取，，满足条件，
但，故D错误.
故选：ABC.
10．BC
【详解】对于A，因为向量有方向，所以不能像实数一样比较大小，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，由正弦定理，可知，故C正确；
对于D，由即
解得，故D错误.
故选：BC
11．ACD
【详解】对于A，因为平面平面，所以点到平面的距离恒等于，
故，
故A正确；

对于B，取的中点，易证，
所以四边形即为过点，，的平面截该正方体所得的截面，
四边形为等腰梯形，
过点作，垂足为，
，，，所以，
所以，
所以四边形的面积为，
故B错误；

对于C，过点作，垂足为，过点作，垂足为，
因为，故，
又，，平面，
所以平面，
又平面，所以，
设，，
所以，，
由题意得，解得，
即，所以点位于靠近点的四等分点时，最小，
所以点到点距离的最小值为，
故C正确；

对于D，
因为平面平面，
所以直线与平面所成角等于直线与平面所成角，
又因为平面，
所以直线与平面所成角即为，即，
在，因为，所以，
所以点的轨迹为以为圆心，为半径的四分之一圆周，
所以点的轨迹长度为，
故D正确.
故选：ACD.

12．
【详解】因为，，设，
所以 ， ，
而 ，所以，，
解得，，
因此.
13．10
【详解】从随机数表第1行的第6列数字开始由左向右每次连续读取2个数字，
删除超出范围及重复的编号，符合条件的编号有03，46，41，11，10，
所以选出来的第5个个体的编号为10.
14．
【详解】如图：

在中，，，所以.
取中点，则为外接圆的圆心，且外接圆半径为.
连接，因为，所以.
又（）.
所以，即.
又平面，，所以平面.
所以.
所以三棱锥外接球的球心在线段上，设为，再设三棱锥外接球的半径为，
在中，，，,
由.
所以三棱锥外接球的表面积为.
故答案为：
15．(1)，
(2)证明见详解
【详解】（1）由平行四边形，可得;
，，
，即.
（2）由（1），又，
所以，
所以三点共线.
16．(1)证明见解析；
(2).
【详解】（1）连接，则因为分别为的中点，所以，
由且，则四边形为平行四边形，则，
所以且，四边形是平行四边形，所以，
由，又平面，而不在平面内，
所以平面，平面，
又平面，所以平面平面.
（2）取的中点，连接，又是的中点，则，
由且，则四边形为平行四边形，则，
所以，故平面即为平面在正方体中的截面，
因为正方体的棱长为6，所以正方体的体积为，
由图易知为棱台，其体积，
所以，则.
17．(1)，分位数为
(2)；
【详解】（1）因为频率分布直方图中所有小矩形面积之和为，
所以.
成绩小于分的占比，成绩小于分的占比，
所以参加挑战赛的学生成绩的分位数在小组中，
而，所以分位数为；
（2）成绩在，内的人数分别为，．
．
设学生成绩在区间内的数据记为，，…，，学生成绩在内的数据记为，，…，，所以
.
18．(1)
(2)①；②
【详解】（1）因为，
，
根据余弦定理得，即，
，又因为，
所以，解得或，但是，
所以.
（2）①因为，所以，
根据正弦定理.
因为为锐角三角形．，且单调递减，单调递增，
所以，
因此.
②因为，所以，
因为，
所以，且在时单调递增，
所以，
因为周长，所以.
19．(1)由，，，得，则.
因为平面平面，平面平面，平面，所以平面.
因为平面，所以.又因为，所以.
又因为，平面，所以平面.
(2)
(3)
【详解】（1）略
（2）在四边形中，，平面，平面，
则平面，所以点到平面的距离等于点到平面的距离.
如图，在平面内过点作于点.
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面.
在中，，，，
则，所以，
所以点到平面的距离为.
（3）如图，在平面内，过点作于点；在平面内，作于点，连接.
由(1)得，平面，又平面，所以平面平面.
又因为平面平面，所以平面.
又因为平面平面，所以.
又因为平面，所以平面.
又因为平面，所以.
则即为二面角的平面角.
设.
由(1)得，则.
在中，由，得.
在中，由，得；
在中，
所以.
由，得，则
所以二面角的正切值的取值范围为.

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