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高三数学培优专题训练2
导数证明不等式
1．已知函数，，设.
(1)若，求的最大值；
(2)求在上的最小值；
(3)若有两个不同的零点，求证：.
【详解】（1）依题意，函数，其定义域为，
当时，，求导得，
当时，，；当时，，，
函数在上单调递增，在上单调递增减，
所以的最大值为.
（2）函数，求导得，当时，；当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，而，
因此函数在上单调递增，在上单调递减，又，
所以当时，；当时，.
（3）依题意，不妨令，，即，
两式相减得，
不等式，
令，则，
令函数，，函数在上单调递增，
因此，即，则，
所以.
2．已知函数．
(1)若恒成立，求的取值范围；
(2)当时，（i）求的最小值；（ii）证明：．
【详解】（1）因为函数的定义域为，
当时，恒成立，
当时，，所以此时不恒成立，
当时，求导得，
当时，，所以在上单调递减；
当时，，所以在上单调递增；
所以，
即不等式恒成立，等价于，
综上，的取值范围为.
（2）（i）当时，，则，
当时，，所以在上单调递减；
当时，，所以在上单调递增；
所以，
（ii）由，则要证明，只需要证明，
构造，则，
所以在上单调递增，
即，所以有，
即成立．
4.已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若，，求的取值范围；
(3)若，数列的前项积为，求证：.
【详解】(1)，，
，
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递减；
当时，由，得，
由，得，
所以在上单调递减，在上单调递增；
综上所述：当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
(2)，，
即
令，且，
而，
令，则
①当时，，在单调递增；
又，所以当，即；
②当，即时，，
，即在单调递增；
又，所以当，即；
③当时，有两根，.
因为，
所以，.
可得：由，即，得，
由，即，得，
所以单调递增区间为；单调递减区间为.
又，即存在，使得，不符合题意，舍去；
综上所述，的取值范围是
(3)由(2)知，当时，
在成立，
令，
则，
则，即
所以
所以，得证.
5.已知函数．
(1)若是单调递减函数，求实数的取值范围；
(2)当时，证明：．
【详解】(1)解法一：因为是单调递减函数，
所以恒成立，
所以恒成立，即，
令，则，
所以在上单调递减，
所以，所以．
解法二：由题意得，，
令，所以，
所以在上单调递减，当，
即时，，即，所以在上单调递减．
当，即时，，
使得在时，，即，
所以在定义域上单调递减不成立．所以．
(2)证法一：令，
所以，因为，
所以，
令，则，
因为，所以，所以在单调递增，
所以，所以，所以，
所以，
因为，所以，所以在上单调递减，
所以，所以．
证法二：因为，所以，
欲证，所以只需证，
所以只需证，
令，则，
令，则，
因为，所以，所以在单调递增，
所以，即，所以，
所以，
因为在上单调递减，
所以的最大值为，令，则的最小值为，
所以，即．
6.已知函数f(x)＝ex﹣1﹣x﹣ax2．
(1)当a＝0时，求f(x)的单调区间；
(2)当x≥0时，若不等式f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围；
(3)若x＞0，证明：(ex﹣1)ln(x+1)＞x2．
【详解】(1)当a＝0时，f(x)＝ex﹣1﹣x，函数定义域为R，
可得f′(x)＝ex﹣1，
当x＜0时，f′(x)＜0；当x＞0时，f′(x)＞0，
所以f(x)在(﹣∞，0]上单调递减，在[0，+∞)上单调递增；
(2)已知f′(x)＝ex﹣1﹣2ax，
令h(x)＝ex﹣1﹣2ax，函数定义域为R，
可得h′(x)＝ex﹣2a，
当2a≤1，即时，
此时h′(x)≥0，h(x)单调递增，
所以h(x)≥h(0)，
即f′(x)≥f′(0)＝0，
所以f(x)在[0，+∞)上为增函数，
此时f(x)≥f(0)＝0，满足条件；
当2a＞1时，
当0≤x＜ln2a时，h′(x)＜0，h(x)单调递减，
所以h(x)＜h(0)＝0，
即f′(x)＜f′(0)＝0，
所以f(x)在(0，ln2a)上单调递减，
此时f(x)＜f(0)＝0，不满足题意，
综上，实数a的取值范围为；
(3)证明：由(2)得，当且x＞0时，，
即，
要证(ex﹣1)ln(x+1)＞x2，
需证，
即证，
要证，
设，
可得，
当x＞0时，F′(x)＞0恒成立，
所以F(x)在(0，+∞)上单调递增，
因为F(0)＝0．
所以F(x)＞0恒成立，原不等式成立．
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导数证明不等式
1．已知函数，，设.
(1)若，求的最大值；
(2)求在上的最小值；
(3)若有两个不同的零点，求证：.
2．已知函数．
(1)若恒成立，求的取值范围；
(2)当时，（i）求的最小值；（ii）证明：．
4.已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若，，求的取值范围；
(3)若，数列的前项积为，求证：.
5.已知函数．
(1)若是单调递减函数，求实数的取值范围；
(2)当时，证明：．
6.已知函数f(x)＝ex﹣1﹣x﹣ax2．
(1)当a＝0时，求f(x)的单调区间；
(2)当x≥0时，若不等式f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围；
(3)若x＞0，证明：(ex﹣1)ln(x+1)＞x2．
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证明：一
2024
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与的大小关系
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