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高三数学培优专题训练3
立几-几何法求解三个角
题型一 线线角（平移法）
1．在正四棱柱中，，点分别是的中点，则直线与所成夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】如图，在正四棱柱中，取的中点，连接，
又因为是的中点，所以，且，
所以四边形是平行四边形，所以，且，
所以与所成的角就是与所成的角，即．
因为是的中点，所以是四边形的中心，所以，
取的中点，连接，则，且，
在矩形中，，所以，则，
在中，，所以在中，.故选：B．
2．如图，三棱柱的所有棱长都为，且，、、分别为、、的中点，则异面直线和所成角的余弦值为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【详解】连接、，如下图所示：
因为、分别为、的中点，所以，且，
因为且，所以，四边形为平行四边形，所以，且，
因为为的中点，所以，且，
所以，四边形为平行四边形，则，
故异面直线和所成角等于或其补角，
在菱形中，，，，
由余弦定理可得，
在中，，，，
由余弦定理可得，
在中，，，，所以，，故，
所以，.因此，异面直线和所成角的余弦值为.故选：D.
3．在正四面体中，分别是棱中点，则直线与所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】把正四面体放置在一个正方体中，如图所示，
因为点分别是棱中点，则在正方体中，分别为上下底面正方形的对角线的中点，
因为，所以，所以四边形为平行四边形，所以，
则异面直线与所成角，即为直线与所成角，设正方体的棱长为，可得，
在直角中，可得，
在直角中，可得，
在中，可得，
因为，所以.故选：A.
题型一 线线角（向量法）
1.在空间四边形中，，，则，________．
【答案】
【解答】解：，且，，
，
所以．故答案为．
2.已知，，是球的球面上三点，，，，若异面直线与所成角的余弦值为，则球的表面积为
A. B. C. D.
【答案】A
【解答】解：由题意知，在中，，
，，外接圆的圆心是的中点，
易知平面设，长方体如图所示，易知，且，四边形是平行四边形，则，为异面直线与所成角或补角，
易知，，则在等腰中，解得，
则球的半径，球的表面积为．
3．如图，设地球半径为，点在赤道上，为地心，点在北纬的纬线（为其圆心）上，且点共面，若，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】如图，延长交球于点，连接，则，
所以.又，所以四边形是平行四边形，
所以，所以是和所成的角或其补角，
在中，，所以.
在中，，所以.
所以在中，.故选：A.
题型二 线面角（三垂线法）
1．如图五边形由一个长方形和等腰三角形构成，其中，，D是的中点，将，，折起，使A、B、C三点重合于点P，则与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题意可知形成三棱锥，如图：
取的中点，连接，，过点作于点，连接，
因为，所以，，，
平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面，
又平面平面，，平面，所以平面，
故为与平面所成角，
又，，，平面，所以平面，
又平面，所以，且，
因为，所以，又，
所以，在直角三角形中，，
所以与平面所成角的正弦值为.故选：D
2．（25-26高三上·山西太原·月考）已知正四棱台的体积为，，，则与平面所成角的正切值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】设棱台的高为，则，解得，
连接，交于点O，过作，垂足为，连接，，
由正四棱台性质可得，且平面，即，
所以是与平面所成的角.
因为在正四棱台中，，，则，，
所以，则，
所以在中，，
所以在中，.故选：A.
3．如图，在三棱锥中，，，，则与平面所成角的正弦值为 ．
【答案】/
【详解】作，连接，设，
则，因为，所以，
根据余弦定理，
所以，即，又面，所以面，
设点到平面的距离为与平面的所成角为，
由，即，
，所以与平面所成角的正弦值为．故答案为：
题型三 二面角（三垂线法）
1．如图，在空间四边形中，是正三角形，是等腰直角三角形，且，又二面角为直二面角，则二面角的正切值为 .
【答案】
【详解】过作于，∵二面角为直二面角，
∴面，面，所以，
取中点，为中点，连接，则，
∵是正三角形，∴，
∴，面，面，，
所以面，面，得，
∴为二面角的平面角，
令，则，∴，
∴在中,即二面角的正切值为
2．（2025·河北·模拟预测）如图正三棱柱底面边长为2，高为6，点分别在棱上，且，若平面恰好将正三棱柱体积均分，则平面和平面夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为，即，，
又平面恰好将正三棱柱体积均分，所以点为的中点，
延长与的延长线交于点，延长与的延长线交于点，连接，
则为平面与平面的交线，因为，，，，，
所以，即，解得，所以；
，即，解得，所以，
在中由余弦定理
，所以，所以，即，
又平面，平面，所以，
又，平面，所以平面，
又平面，所以，
所以为平面和平面夹角，又，所以，
即平面和平面夹角的余弦值为.故选：A
3．《九章算术》是中国古代的一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，成于公元一世纪左右.它是一本综合性的历史著作，是当时世界上最简练有效的应用数学，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系.《九章算术》中将由四个直角三角形组成的四面体称为“鳖臑”，已知在三棱锥中，平面.
（1）从三棱锥中选择合适的两条棱填空：________________，则三棱锥为“鳖臑”；
（2）如图，已知，垂足为，，垂足为，.
（i）证明：平面平面；
（ii）设平面与平面交线为，若，，求二面角的大小.
【答案】（1）或或或；（2）证明见解析；（3）.
【详解】（1）因为“鳖臑”是由四个直角三角形组成的四面体，又平面，所以，，；即，为直角三角形；
若，由，平面，可得：平面；
所以，即，为直角三角形；满足四个面都是直角三角形；
同理，可得或或，都能满足四个面都是直角三角形；
故可填：或或或；
（2）（i）证明：∵平面，平面，∴，
又，，平面，∴平面，
又平面，∴，
又，，平面，
∴平面，又平面，∴，
又，，平面，∴平面，
又平面，∴平面平面.
（ii）由题意知，在平面中，直线与直线相交.
如图所示，设，连结，则即为.
∵平面，平面，∴，
∵平面，平面，∴，
又，平面，∴平面，
又平面，∴，.∴即为二面角的一个平面角.
在中，，，，∴，
又，∴，∴，
∴，∴二面角的大小为.

4．（25-26高三上·陕西西安·开学考试）《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．在如图所示的四面体中，平面，平面平面．
(1)试判断该四面体是否为鳖臑，并说明理由；
(2)若分别是棱的中点，且，二面角的余弦值为，求四面体的全面积．
【答案】(1)该四面体是鳖臑，理由见解析(2)
【详解】（1）该四面体是鳖臑，理由如下：
平面，平面，，，
，均为直角三角形，过点作于点，
平面平面，平面平面，
平面，平面，又平面，，
平面，平面，，
又，平面，平面，
又平面，，，
，均为直角三角形，
，，，均为直角三角形，该四面体为鳖臑.
（2）设中点为，连接，
分别为的中点，是的中位线，，
平面，平面，
平面，，
又是的中点，均为直角三角形，，
是等腰三角形，，
从而二面角的平面角为，即，
分别为的中点，是的中位线，，
又平面，平面，平面，，
则，解得，，
，又，，
，，四面体的全面积.
5.2023天津卷在三棱台中，若平面，分别为中点．
求证：平面；
求平面与平面所成角的余弦值；
求点到平面的距离；
求点到直线的距离．
【答案】证明见解析
【答案】【详解】连接 ，
因为 分别为 中点，所以 且 ，
又因 且 ，所以 且 ，
所以四边形 是平行四边形，所以 ，
又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ；
-方法1：过作，垂足为，过作，垂足为，连接．
由面，面，故，又，，平面，则平面．
由平面，故，又，，平面，于是平面，
由平面，故．
于是平面与平面 所成角即．
又，，则，
故，在中，，
则，于是．
-方法2：如图，以点 为原点建立空间直角坐标系，
则 ，故 ，
设平面 的法向量为 ，则有 ，可取 ，
因为 轴垂直平面 ，则可取平面 的法向量为 ，
则 ，所以平面 与平面 所成角的余弦值为 ；
，则 ，
则点 到平面 的距离为 ；
，
则 ，
故 ，
所以点 到直线 的距离为 ．
题型三 二面角（法向量法）
如图，水平放置的正方形的边长为1，先将正方形绕直线向上旋转，得到正方形，再将所得的正方形绕直线向上旋转，得到正方形，则平面与平面所成的角的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由已知条件中的旋转，可将正方形放于两个全等正方体的公共面上，正方形ABCD和正方形的位置如图所示，
连接，如图所示，
平面与平面平面所成的锐二面角可转化为平面与平面所成的锐二面角，
平面，平面，，
正方形中，，
平面，，平面，
同理平面，
平面与平面所成的锐二面角，等于直线AP与AN所成的角，
由为等边三角形，可得所求锐二面角的平面角为.故选：C.
题型四 立几中几何法综合应用（包括动点问题）
1.如图，已知正三棱柱，，，分别是棱，上的点．记与所成的角为，与平面所成的角为，二面角的平面角为，则 ( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】如图，过点作于点，连接由题知，正三棱柱的各棱长都相等，易知，则即为与所成的角，则，，且，所以在上取，过点作于点，连接，，，则，所以与之间的距离又，，所以，所以，所以，故选A．
2.在如图所示的直四棱柱中，底面是边长为的正方形，点是侧面内的动点不含边界，，则与平面所成角的正切值可以为( )
A. B. C. D.
【答案】AD
【解答】解：由题意建系如图，
因为底面 是边长为的正方形， ，则 ， ，设 ，
可得 ， ，由题意得 ，故 ，
可得 ，
故 点轨迹是以 为圆心，为半径的圆在正方形 内的部分不含边界，
由题可知 为 的中点，如图，
根据圆的几何性质可得：
当 共线时， 取得最小值为 ，
而 ，所以 ，
因为 平面 ，所以 与平面 所成角即为 ，
所以 ，所以正确选项有．故选：．
3.如图，在侧棱垂直底面的三棱柱中，，，，分别是棱，的中点，是棱上的一动点，记二面角的大小为，则在从运动到的过程中，的变化情况为( )
A. 增大
B. 减小
C. 先增大再减小
D. 先减小再增大
【答案】D
【解析】解：如图，平面固定，由向平面作垂线，垂足在边的四等分点处，
只需考虑清楚垂足到直线的变化情况，如下图所示，当垂直交于正方形外的时候，距离先变大，
再到垂直相交于正方形内的时候，距离变小，记二面角的大小为，
则在从运动到的过程中，的变化情况为先减小再增大．故选：．
平面固定，由向平面作垂线，垂足在边的四等分点处，只需考虑清楚垂足到直线的变化情况，可以判断在从运动到的过程中，的变化情况．
*4. 如图，在三棱锥中，，，，，，，的中点分别为，，，，点在上，．
证明：平面；
证明：平面平面；
求二面角的大小．
【答案】解：证明：连结，
设，则，，因为，
故
解得，即为的中点．因为，，，的中点分别为，，，
所以，，则，平面，平面，平面．
由知，，得
故，故，所以，又，，
，所以平面，又，所以平面平面；
过点作交于点，，且，
故为二面角的平面角．
设，为三角形的重心，所以，
得，同理可得．
，故，可得，
，，
由余弦定理得，二面角的大小为．
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立几-几何法求解三个角
题型一 线线角（平移法）
1．在正四棱柱中，，点分别是的中点，则直线与所成夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，三棱柱的所有棱长都为，且，、、分别为、、的中点，则异面直线和所成角的余弦值为（ ）

A． B． C． D．
3．在正四面体中，分别是棱中点，则直线与所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
题型二 线线角（向量法）
1.在空间四边形中，，，则，________．
2.已知，，是球的球面上三点，，，，若异面直线与所成角的余弦值为，则球的表面积为
A. B. C. D.
3．如图，设地球半径为，点在赤道上，为地心，点在北纬的纬线（为其圆心）上，且点共面，若，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
题型二 线面角（三垂线法）
1．如图五边形由一个长方形和等腰三角形构成，其中，，D是的中点，将，，折起，使A、B、C三点重合于点P，则与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26高三上·山西太原·月考）已知正四棱台的体积为，，，则与平面所成角的正切值为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在三棱锥中，，，，则与平面所成角的正弦值为 ．
题型三 二面角（三垂线法）
1．如图，在空间四边形中，是正三角形，是等腰直角三角形，且，又二面角为直二面角，则二面角的正切值为 .
2．（2025·河北·模拟预测）如图正三棱柱底面边长为2，高为6，点分别在棱上，且，若平面恰好将正三棱柱体积均分，则平面和平面夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
3．《九章算术》是中国古代的一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，成于公元一世纪左右.它是一本综合性的历史著作，是当时世界上最简练有效的应用数学，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系.《九章算术》中将由四个直角三角形组成的四面体称为“鳖臑”，已知在三棱锥中，平面.
（1）从三棱锥中选择合适的两条棱填空：_____________，则三棱锥为“鳖臑”；
（2）如图，已知，垂足为，，垂足为，.
（i）证明：平面平面；
（ii）设平面与平面交线为，若，，求二面角的大小.
4．（25-26高三上·陕西西安·开学考试）《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．在如图所示的四面体中，平面，平面平面．
(1)试判断该四面体是否为鳖臑，并说明理由；
(2)若分别是棱的中点，且，二面角的余弦值为，求四面体的全面积．
5.2023天津卷在三棱台中，若平面，分别为中点．
求证：平面；
求平面与平面所成角的余弦值；
求点到平面的距离；
求点到直线的距离．
题型三 二面角（法向量法）
如图，水平放置的正方形的边长为1，先将正方形绕直线向上旋转，得到正方形，再将所得的正方形绕直线向上旋转，得到正方形，则平面与平面所成的角的大小为（ ）
A． B． C． D．
题型四 立几中几何法综合应用（包括动点问题）
1.如图，已知正三棱柱，，，分别是棱，上的点．记与所成的角为，与平面所成的角为，二面角的平面角为，则 ( )
A. B. C. D.
2.在如图所示的直四棱柱中，底面是边长为的正方形，点是侧面内的动点不含边界，，则与平面所成角的正切值可以为( )
A. B. C. D.
3.如图，在侧棱垂直底面的三棱柱中，，，，分别是棱，的中点，是棱上的一动点，记二面角的大小为，则在从运动到的过程中，的变化情况为( )
A. 增大
B. 减小
C. 先增大再减小
D. 先减小再增大
*4. 如图，在三棱锥中，，，，，，，的中点分别为，，，，点在上，．
证明：平面；
证明：平面平面；
求二面角的大小．
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