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高三数学培优专题训练4
空间角的几何求法
1．在正四面体ABCD中，M，N分别是棱AB，CD的中点，则直线AN与CM所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】将正四面体ABCD中置于正方体中，如图，
易得，，
所以四边形为平行四边形，则，
则异面直线AN与CM所成角即为直线AN与NE所成角，
即为直线AN与CM所成角（或补角），
设正方体的棱长为2，则，，
在中，由余弦定理可得，，
因此直线AN与CM所成角的余弦值为.
2．已知三棱锥满足，且，则该三棱锥外接球的表面积为 ，异面直线与所成夹角的余弦值为 ．
【详解】由题意可知都是直角三角形，可补形为长方体如下图所示：
则三棱锥的外接球即为长方体的外接球，故球心为体对角线的中点，且，
即外接球半径，故该外接球的表面积；
补形如图，
作，故与所成夹角即为或的补角，
在中，易求，
则．
3．如图五边形由一个长方形和等腰三角形构成，其中，，D是的中点，将，，折起，使A、B、C三点重合于点P，则与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题意可知形成三棱锥，如图：
取的中点，连接，，过点作于点，连接，
因为，所以，，，
平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面，
又平面平面，，平面，所以平面，
故为与平面所成角，
又，，，平面，所以平面，
又平面，所以，且，
因为，所以，又，
所以，在直角三角形中，，
所以与平面所成角的正弦值为.
4．如图，在三棱锥中，，，，则与平面所成角的正弦值为 ．
【详解】作，连接，设，
则，
因为，所以，
根据余弦定理，
所以，即，
又面，
所以面，
设点到平面的距离为与平面的所成角为，
由，即，
，所以与平面所成角的正弦值为．
5．如图，在三棱锥中AB，AC，AP两两垂直，E，F分别为BC，PC的中点，且，则二面角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】在三棱锥中AB，AC，AP两两垂直，，则平面，
取中点，连接，由为的中点，得，则平面，
平面，则有，过作于，连接，显然平面，
则平面，平面，于是，是二面角的平面角，
，由，解得，
又，在中，，则，，
所以二面角的余弦值为.
故选：B
6．已知正四棱台的体积为，底面边长，则侧面与底面所成二面角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】如图所示，取正四棱台的上下底面中心为，
连接，则与正四棱台的上下底面垂直，即为棱台的高，设，
取的中点分别为，连接，
在直角梯形中，过点作交于点，
在等腰中，由，可得，
在等腰梯形中，由分别为的中点，可得，
所以为正四棱台的侧面与底面所成角的平面角，
因为且正四棱台的体积为，
可得，解得，即，
在直角中，可得，
所以，即侧面与底面所成的二面角的余弦值为.
故选：A.
7．如图，在空间四边形中，是正三角形，是等腰直角三角形，且，又二面角为直二面角，则二面角的正切值为 .
【答案】
【详解】过作于，
∵二面角为直二面角，
∴面，面，所以，
取中点，为中点，连接，则，
∵是正三角形，∴，∴，
面，面，，
所以面，面，得，
∴为二面角的平面角，
令，则，
∴，
∴在中,
即二面角的正切值为
8．如图，菱形ABCD的边长为2，，E为AC的中点，将沿AC翻折使点D至点.
(1)求证：平面平面ABC；
(2)若三棱锥的体积为，求二面角的余弦值.
【详解】（1）证明：在菱形中，，∴和均为等边三角形，
又∵E为AC的中点，∴，，，平面，∴平面，
又∵平面ABC，∴平面平面ABC.
（2）过作于点，∵平面平面ABC，平面，∴平面ABC.
∴.
过M作于点，连接，
∵平面ABC，∴，∵平面，∴平面，
∵平面，∴.
∴即为二面角的平面角，
，∴，，
∴，∴.
故二面角的余弦值为.
9．如图，在三棱锥中，是等边三角形，，，，，，分别，的中点.
(1)求证：平面平面；
(2)求二面角的余弦值.
【详解】（1）因为是等边三角形，点是的中点，，
所以，且，
点分别是的中点，所以，
中，，且，，
所以，，
所以，即，
且，且平面，
所以平面，平面,
所以平面平面；
（2）中，，，，，
所以，
过点作，
因为平面平面，且平面平面；
所以平面，
作，连结，
因为平面，所以，
且，平面，
所以平面，平面，
所以，
则为二面角的平面角，
中，，
中，，
所以，，
所以二面角的余弦值为.
10．如图与所在平面垂直，且，，则二面角的余弦值为 .
【答案】
【分析】根据题意以及面面垂直的性质定理，可作出在平面内的射影，再利用摄影面积法求出二面角的余弦值，再根据所求角与二面角互补即可求得结果.
【详解】过 A作的延长线于E， 连结 DE，
∵平面平面，平面平面，
∴ 平面
∴ E点即为点A在平面内的射影，
∴ 为在平面内的射影，
设，则，
∴由余弦定理可得，∴，
∴ ，
又，∴ ，
设二面角为，∴ .
而二面角与互补，
∴二面角 的余弦值为.
故答案为：
11．在四棱锥中，四边形为正方形，平面，，求平面与平面所成二面角的大小．
【答案】
【分析】根据题意画出图形，利用投影法从而可求解.
【详解】如图，
平面，平面，
，，
，，平面，
平面，又平面，所以，
又，且，平面，
平面，又因为，
所以平面.
在平面上的射影为，
设平面与平面所成二面角为，
，
.
故平面与平面所成二面角的大小为.
12．已知是二面角内的一点，垂直于于垂直于于，则二面角的大小为 ．
【答案】
【分析】设平面交直线于点，连接，，可证得即二面角的平面角，在由余弦定理求出，即可求出二面角的大小．
【详解】解：设平面交直线于点，连接，，由于，，，，
故，，又，平面，
故平面，又，平面，故，，
所以为二面角的平面角，
由于，，，，故，，
故在四边形中，与互补，
又，，
在中由余弦定理，
即，解得，
又，所以，
故，则二面角的大小为．
故答案为：．
13．如图，已知二面角，且，，，C，D是垂足，平面PCD与AB交于点H．
(1)求证：AB⊥平面PCD；
(2)若PC＝PD＝CD＝1，试求二面角的大小．
【答案】(1)证明见解析
(2)120°
【分析】（1）先证得PC⊥AB．同理PD⊥AB，利用线面垂直的判定定理证得结论；（2）先证得∠CHD是二面角的平面角，然后在四边形PCHD中求得结果.
【详解】（1）证明：因为，，所以PC⊥AB．同理PD⊥AB．
又，故AB⊥平面PCD．
（2）∵P，C，D，H四点共面，所以由（1）可得AB⊥平面CDH，AB⊥DH，AB⊥CH，
∴∠CHD是二面角的平面角；
∴在四边形PCHD中，∠PCH＝∠PDH＝90°，又根据已知条件∠CPD＝60°；
∴∠CHD＝120°；
即二面角的大小是120°．
14．如图，在正方体中，分别为、的中点，则平面与平面所成二面角的平面角的正弦值为 ．
【答案】
【分析】根据二面角的定义及正方体的性质找到平面与平面所成二面角的平面角，即可求二面角的正弦值.
【详解】设棱长为1，延长、、交于一点，
所以，，，则，故．
同理，则即为所求二角的平面角，而，
所以，其正弦值为．
故答案为：
15．如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，二面角为直二面角．，，M，N分别为AP，AC的中点．求平面BMN与平面PCD夹角的余弦值．
【答案】
【分析】连接MF，ND，由面面垂直的性质定理、线面垂直的判定定理和性质定理可得平面BMN与平面PCD夹角为，再由可得答案.
【详解】∵，，∴，
∵面面，面面，
又∵底面为正方形，
∴，，，
又面，则面PBC，故面PBC，面，
∴，且面ABCD为正方形，如下图，作，，连接MF，ND，
∴四边形、四边形为矩形，则，
∵M、N分别为AP和AC的中点，
∴B、M、F三点共线，B、N、D三点共线，
易知：面与面为同一个平面，且面面，
所以平面平面，
∵，，又面
∴面，结合，故面，
又面，则，在矩形中，
由面，面，故平面BMN与平面PCD夹角为，
∵，，，∴，
∴，
∴平面BMN与平面PCD夹角的余弦值为．
16．如图，在四棱锥中，为边上的中点，为边上的中点，平面平面，．

(1)求证：平面；
(2)求证：平面；
(3)若直线与底面所成角的余弦值为，求二面角的正切值．
【详解】（1）证明：法一：连接，

在中，因为为对应边上的中点，
所以为中位线，，
又平面平面，
平面；
法二：设中点为中点为，连接，

在中，因为为对应边上的中点，
所以为中位线，且，
同理，在中，且，
且，
四边形为平行四边形，
，
又平面平面，
平面；
（2）在四边形中，，
所以都为等腰直角三角形，即，
又因为平面平面，平面平面，平面，
所以直线平面，
又平面，所以，
又平面，所以平面．
（3）直线与底面所成角的余弦值为，且平面，
直线与底面所成的角为，又，
则，
在中，，
，
设的中点为，连接，过点作的垂线交于，连接，

由（1）知，，且平面，
则平面，平面，，
平面，平面，
平面，，又，
则是二面角的平面角，
，
，
设二面角的平面角为，则二面角的正切值为．
立体几何压轴多选题精练
1.（多选题）如图，在正四面体中，已知，为棱的中点. 现将等腰直角三角形绕其斜边旋转一周（假设可以穿过正四面体内部），则在旋转过程中，下列结论正确的是（ ）
A．三角形绕斜边旋转一周形成的旋转体体积为
B．四点共面
C．点到的最近距离为
D．异面直线与所成角的范围为
【答案】BCD
【解析】对于A：因为，所以等腰直角三角形的直角边为，斜边的高为1；
旋转后的几何体为两个大小相等的圆锥组合体，其圆锥的底面半径为1，高为1；
所以几何体的体积为，A错误；
对于B: 在正四面体中，各个侧面都是等边三角形，又因为为棱的中点，
所以，又相交于点，又都在平面内，
所以平面，又，与平面有一个公共点，
所以在平面内，所以四点共面，故B正确；
对于C: 在图1中，令为的中点，为的中点，则点在以为圆心，1为半径的圆上运动，
由图可知当三点共线，且当运动到的位置时，到的距离最小，
在中，，所以，C正确
对于D:由B、C可知，在圆锥的底面内，如图1，由圆锥轴截面中，，
由线面角的概念可知，与圆锥底面中的直线所成最小角就是，最大角一定为
由此可知异面直线与所成角的范围为，正确
2.（多选题）已知正方体棱长为为正方体内切球的直径，点为正方体表面上一动点，则下列说法正确的是（ ）
A．当为中点时，与所成角余弦值为
B．当面时，点的轨迹长度为
C．的取值范围为
D．与所成角的范围为
【答案】ABC
【解析】根据题意，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，
对于A，如下图所示：
易知，则,
可得，
即当为中点时，与所成角余弦值为，可得A正确；
对于B，易知是边长为的正三角形，故其面积为，
由三棱锥的体积为，可得点到平面的距离为，
即点在与平面平行且距离为的平面内，连接，如下图所示：
由正方体性质可得平面平面，且两平面间的距离等于，所以点平面，
又面，平面平面，即可得点的轨迹即是线段，
因此点的轨迹长度为，即可得B正确；
对于C，依题意可知即为正方体的中心，如下图所示：
，
又因为为球的直径，所以，
即可得，
又易知当点为正方体与球的切点时，最小；当点为正方体的顶点时，最大；
即，因此可得的取值范围为，即C正确；
对于D，易知的中点即为球心，如下图所示：
当与球相切时，与所成的角最大，此时，
显然，结合两直线所成角的范围可知与所成角的范围为错误，即D错误.
3.（多选题）（24-25高三上·河南·开学考试）如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为线段上的动点，为底面内的动点，则（ ）

A．若，则
B．若，则动点的轨迹长度为
C．若直线与平面所成的角为，则点的轨迹为双曲线的一部分
D．若直线与平面所成的角为，则点的轨迹为椭圆的一部分
【答案】ABC
【解析】对于A项，连接，，则，
作，交于点，易证，
由，得，，所以，，
所以，
同理，所以，所以，故A正确；
由，，
所以，
即点的轨迹是以A为圆心，为半径的圆在正方形内的部分，，
设该圆交棱于S点，交棱于点，则，
又，为锐角，所以，所以，
故所求轨迹长度为，故B正确；
如图，以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，
设，，易得平面的一个法向量为，
因为直线与平面所成的角为，所以，
所以，
化简得，故C正确，D错误．
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高三数学培优专题训练4
空间角的几何求法
1．在正四面体ABCD中，M，N分别是棱AB，CD的中点，则直线AN与CM所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
2．已知三棱锥满足，且，则该三棱锥外接球的表面积为 ，异面直线与所成夹角的余弦值为 ．
3．如图五边形由一个长方形和等腰三角形构成，其中，，D是的中点，将，，折起，使A、B、C三点重合于点P，则与平面所成角的正弦值为（ ）
B．
C． D．
4．如图，在三棱锥中，，，，则与平面所成角的正弦值为 ．
5．如图，在三棱锥中AB，AC，AP两两垂直，E，F分别为BC，PC的中点，且，则二面角的余弦值为（ ）
B．
C． D．
6．已知正四棱台的体积为，底面边长，则侧面与底面所成二面角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在空间四边形中，是正三角形，是等腰直角三角形，且，又二面角为直二面角，则二面角的正切值为 .
8．如图，菱形ABCD的边长为2，，E为AC的中点，将沿AC翻折使点D至点.
(1)求证：平面平面ABC；
(2)若三棱锥的体积为，求二面角的余弦值.
9．如图，在三棱锥中，是等边三角形，，，，，，分别，的中点.
(1)求证：平面平面；
(2)求二面角的余弦值.
10．如图与所在平面垂直，且，，则二面角的余弦值为 .
11．在四棱锥中，四边形为正方形，平面，，求平面与平面所成二面角的大小．
12．已知是二面角内的一点，垂直于于垂直于于，则二面角的大小为 ．
13．如图，已知二面角，且，，，C，D是垂足，平面PCD与AB交于点H．
(1)求证：AB⊥平面PCD；
(2)若PC＝PD＝CD＝1，试求二面角的大小．
14．如图，在正方体中，分别为、的中点，则平面与平面所成二面角的平面角的正弦值为 ．
15．如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，二面角为直二面角．，，M，N分别为AP，AC的中点．求平面BMN与平面PCD夹角的余弦值．
16．如图，在四棱锥中，为边上的中点，为边上的中点，平面平面，．

(1)求证：平面；
(2)求证：平面；
(3)若直线与底面所成角的余弦值为，求二面角的正切值．
立体几何压轴多选题精练
1.（多选题）在正四面体中，已知，为棱的中点. 现将等腰直角三角形绕其斜边旋转一周（假设可以穿过正四面体内部），则在旋转过程中，下列结论正确的是（ ）
A．三角形绕斜边旋转一周形成的旋转体体积为
B．四点共面
C．点到的最近距离为
D．异面直线与所成角的范围为
2.（多选题）已知正方体棱长为为正方体内切球的直径，点为正方体表面上一动点，则下列说法正确的是（ ）
A．当为中点时，与所成角余弦值为
B．当面时，点的轨迹长度为
C．的取值范围为
D．与所成角的范围为
3.（多选题）（24-25高三上·河南·开学考试）如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为线段上的动点，为底面内的动点，则（ ）
A．若，则
B．若，则动点的轨迹长度为
C．若直线与平面所成的角为，则点的轨迹为双曲线的一部分
D．若直线与平面所成的角为，则点的轨迹为椭圆的一部分
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