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2025-2026学年江苏省南京市鼓楼区金陵中学高一（下）期末数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.计算：=（　　）
A. B. 1 C. D.
2.设向量=（m,1），=（2，m），则“m=”是“∥”的（　　）
A. 充分不必要条件 B. 充要条件
C. 既不充分也不必要条件 D. 必要不充分条件
3.样本数据11，12，14，14，15，22，24，30，46的30%分位数为（　　）
A. 14 B. 16 C. 18 D. 20
4.空间中有两个不同的平面α，β和两条不同的直线m,n,则下列命题正确的是（　　）
A. 若α⊥β，m⊥α，m⊥n,则n∥β
B. 若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n
C. 若α⊥β，n⊥β，则n∥α
D. 若n α，n∥β，m β，m∥α，则α∥β
5.某段道路在一天中的汽车时速的频率分布直方图如图所示，则（　　）
A. a=0.1
B. 时速的众数估计值是60
C. 时速的中位数估计值是62.5
D. 时速的平均数估计值大于其中位数的估计值
6.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,下列结论错误的是（　　）
A. 若sinA＞sinB，则a＞b
B. 若B=60°，，c=2，则符合条件的三角形有且仅有1个
C. 若sin2A=sin2B，则A=B
D. 若△ABC的面积，则
7.一正四棱台的上底边长与侧棱长相等，且为下底边长的一半，侧面积为，则该正四棱台的体积为（　　）
A. B. C. D.
8.在四棱锥S-ABCD中，DA，DC，DS两两垂直，∠ASB=∠BSC=∠CSD=∠DSA，若∠ASC=α，∠BSD=β，AS与平面DCS所成的角为γ，则以下结论正确的是（　　）
A. β＜α＜γ B. β＜γ＜α C. γ＜β＜α D. γ＜α＜β
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.若，，，则（　　）
A. 事件A与B不互斥 B. 事件A与B对立 C. 事件A与B相互独立 D.
10.已知复数，z1，z2（i为虚数单位），则下列结论中正确的是（　　）
A. 1+ω+ω2=0 B. ω3=1
C. 若=，则|z1|=|z2| D. 若|z1-z2|=|z1+z2|，则z1z2=0
11.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，P是侧面ADD1A1内的一点（包含边界），E是棱CC1上的一点（包含端点），则下列说法正确的是（　　）
A. 当P为A1D的中点时，不存在点E，使得A1E⊥平面PB1D1
B. 存在点P，E，使得平面B1D1P∥平面EBD
C. 过点A，P，E的平面截正方体所得的截面图形可能为五边形
D. 当E与C重合且时，点P的轨迹长度为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知正三棱柱的底面边长为，高为20，则该棱柱内部能容纳的体积最大的球的表面积为 .
13.若函数f（x）=2sin2ωx+sin2ωx（ω＞0）在区间（0，π）上恰有两个零点，则ω的最大值是 .
14.三棱锥D-ABC中，AB⊥BC，AB=BC=，△ADC为正三角形，二面角D-AC-B的大小为，则三棱锥D-ABC的外接球的表面积为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
一个不透明的袋子中装有m个红球和n个绿球（m,n∈N*），这些球除颜色外都相同.现有放回地从袋中依次取2个球.
（1）当m=2，n=1时，记两个红球为Ri（i=1，2），绿球为G，写出试验的样本空间Ω和样本点个数n（Ω）；
（2）若m=3，且取出的2个球都是红球的概率为.
①求n的值；
②求取到的2个球颜色不同的概率.
16.(本小题15分)
如图，在菱形ABCD中，E是CD的中点，AE交BD于点F，设=，=.
（1）用向量，表示和；
（2）若AB=3，∠BAD=60°，求cos∠BFE.
17.(本小题15分)
如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的体积为6，D是AB的中点.
（1）求证：BC1∥平面A1CD；
（2）已知E为A1B1中点，平面A1CD与平面A1B1C1的交线为l,求证：l∥C1E；
（3）求三棱锥B-A1CD的体积.
（注：本题用空间向量作答不给分）
18.(本小题17分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,且.
（1）求A；
（2）若点D是边BC上靠近点B的三等分点，且，求的值；
（3）若△ABC是锐角三角形，且a=3，求△ABC面积的取值范围.
19.(本小题17分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，平面PAC⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，且PA=2，AB=4，AC⊥BC.
（1）求证：PA⊥平面ABCD；
（2）当AC=2时，求直线PD与平面PAB所成角的正弦值；
（3）当1≤AC≤2时，求二面角A-PB-C的正弦值的取值范围.（注：本题用空间向量作答不给分）
1.【答案】D
2.【答案】A
3.【答案】A
4.【答案】B
5.【答案】C
6.【答案】C
7.【答案】B
8.【答案】D
9.【答案】AC
10.【答案】ABC
11.【答案】BCD
12.【答案】4π
13.【答案】
14.【答案】13π
15.【答案】Ω={R1R1，R1R2，R1G，R2R1，R2R2，R2G，GR1，GR2，GG}，
n（Ω）=9 ①n=4，②
16.【答案】=+，=- -
17.【答案】证明：连接AC1交A1C于点O，连接OD，则O为AC1的中点，
因为D是AB的中点，所以OD∥BC1，又因为OD 面A1CD，BC1 面A1CD，
所以BC1∥平面A1CD； 证明：因为D，E分别为AB，A1B1的中点，
所以DE∥AA1∥CC1，DE=AA1=CC1，所以四边形CC1ED为平行四边形，
因此CD∥C1E，又因C1E 面A1CD，CD 面A1CD，所以C1E∥面A1CD，
而面A1CD∩面A1B1C1=l，C1E 面A1B1C1，所以C1E∥l； 1
18.【答案】
19.【答案】证明：因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAC⊥平面ABCD，
且平面PAB∩平面PAC=PA，
所以PA⊥平面ABCD
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