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【e精卷】系列：原创2026~2027广东省第五章二次函数单元检测卷（基础卷）北师大版九年级上册（2026新）解析版
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题（共30分）
1．（本题3分）若点都在二次函数的图象上，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】y=ax 的图象和性质
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质、二次函数图象上点的坐标特征等知识点，根据二次函数的解析式得出函数图象的对称轴是y轴（直线），图象的开口向上，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，再比较即可．
【详解】解∶ 二次函数的对称轴为y轴，开口向上，
∴当时， y随x的增大而增大，
∵点都在二次函数的图象上，且，
∴，
故选∶A．
2．（本题3分）将二次函数的图象在轴下方的部分以轴为对称轴翻折到轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是（ ）
A．图象与轴的交点坐标是 B．当时，函数取得最大值
C．图象与轴两个交点之间的距离为 D．当时，的值随值的增大而增大
【答案】C
【知识点】y=ax +bx+c的图象与性质、求x轴与抛物线的截线长、y=ax +bx+c的最值、求抛物线与y轴的交点坐标
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，以及图象的翻折变换，图象的翻折变化对函数图象的影响变化，正确分析变换前后点的坐标，函数的最值，以及增减性是解决本题的关键．
先求出二次函数翻折前图象与轴的交点坐标，即可求解翻折后图象与轴的交点坐标，判断A选项即可；根据图象可知函数的最大值，判断B选项即可；求解出二次函数与轴的交点坐标，求解距离判断C选项；根据函数图象即可判断D选项．
【详解】解：A选项，二次函数，
令，解得，
∴原二次函数与轴的交点坐标为，
翻折后新函数图象与轴的交点坐标是，A选项错误；
B选项，二次函数，
对称轴为，
将代入函数解析式可得，
∴原二次函数顶点坐标为，
翻折后新函数图象的对称轴不变，为，
在处，函数没有最大值，B选项错误；
C选项，二次函数，
令，则有，
即，解得，，
∴原二次函数与轴的交点坐标为，，
翻折后新函数图象与轴的交点坐标不变，为，，
∴图象与轴两个交点之间的距离为，C选项正确；
D选项，新函数图象的对称轴为，
由图象可知，函数在时，的值随值的增大而减小，
当时，的值随值的增大而增大，D选项错误．
故选：C ．
3．（本题3分）已知一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如下表，
x … 0 3 5 …
y … 0 …
则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ 　　 ）
A．图象的开口向上 B．当时，y的值随x的值增大而增大
C．图象经过第二、三、四象限 D．图象的对称轴是直线
【答案】D
【知识点】y=ax +bx+c的图象与性质、待定系数法求二次函数解析式
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质．先利用待定系数法求得二次函数解析式，再根据二次函数的性质逐一判断即可．
【详解】解：由题意得，解得，
∴二次函数的解析式为，
∵，
∴图象的开口向下，故选项A不符合题意；
图象的对称轴是直线，故选项D符合题意；
当时，y的值随x的值增大而增大，当时，y的值随x的值增大而减小，故选项B不符合题意；
∵顶点坐标为且经过原点，图象的开口向下，
∴图象经过第一、三、四象限，故选项C不符合题意；
故选：D．
4．（本题3分）二次函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】一次函数、二次函数图象综合判断
【分析】本题考查了一次函数和二次函数图象的综合判断；
分别根据一次函数和二次函数的图象，判断出a，c与0的大小关系，看是否矛盾即可．
【详解】解：A、一次函数的图象与y轴交于负半轴，；二次函数的图象开口向上，，相矛盾，故A错误；
B、一次函数的图象过一、二、四象限，，；二次函数的图象开口向上，顶点为，在第四象限，，，故B正确；
C、二次函数的对称轴为，在y轴右侧，故C错误；
D、一次函数的图象过一、二、三象限，；抛物线的顶点在第四象限，，相矛盾，故D错误；
故选：B．
5．（本题3分）如图，抛物线的对称轴为，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．当时，随的增大而减小 D．当时，随的增大而减小
【答案】C
【知识点】y=ax +bx+c的图象与性质
【分析】由图像可知，抛物线开口向上，因此a＞0．由图像与y轴的交点在y轴负半轴上得c＜0．根据图像可知，在对称轴左侧y随x的增大而减小，在对称轴右侧y随x的增大而增大．
【详解】抛物线开口向上，因此a＞0，故A选项不符合题意．
抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，因此c＜0，故B选项不符合题意．
抛物线开口向上，因此在对称轴左侧，y随x的增大而减小，故C选项符合题意．
抛物线开口向上，因此在对称轴右侧y随x的增大而增大，故D选项不符合题意．
故选C
【点睛】本题考查了二次函数图像的性质，掌握二次函数图像的性质是解题的关键．
6．（本题3分）函数与的图象如图所示，当（ ）时，，均随着的增大而减小．
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】反比例函数、二次函数图象综合判断
【分析】本题考查了二次函数以及反比例函数的图象和性质，利用数形结合的思想解决问题是关键．由函数图象可知，当时，随着的增大而减小；位于在一、三象限内，且均随着的增大而减小，据此即可得到答案．
【详解】解：由函数图象可知，当时，随着的增大而减小；
位于一、三象限内，且在每一象限内均随着的增大而减小，
当时，，均随着的增大而减小，
故选：D．
7．（本题3分）已知二次函数(a，b，c为常数，)图像的顶点坐标是，且经过，两点，．有下列结论：
①关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根；
②当时，y的值随x值的增大而减小；③；
④；⑤对于任意实数t，总有．
以上结论正确的有（　　）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】A
【知识点】根据二次函数的图象判断式子符号、一次函数、二次函数图象综合判断、y=ax +bx+c的图象与性质
【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，结合题意画出函数图像，结合函数图像一一判断即可得出答案．
【详解】解：∵二次函数(a，b，c为常数，)图像的顶点坐标是，
且经过，两点，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线，
∴，抛物线与x轴的交点为：和，
图象如下所示：
令，即把向下平移一个单位，
再结合函数图像可知有两个不相等的实数根，
故关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根；故①正确；
∵抛物线开口向下，对称轴为直线，
∴当时，y的值随x值的增大而减小，故②正确；
∵抛物线与x轴的交点为：和
∴二次函数为，
∴，
∵
∴，
解得，故③正确，
结合函数图像可知，当时，，故④正确，
∵
∴，
∴
，
∵，，
∴，
即对于任意实数t，，故⑤正确，
综上：①②③④⑤正确，
故选：A．
8．（本题3分）在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度（厘米/天）和光照强度（勒克斯）之间存在一定关系．在低光照强度范围（）内，与近似成一次函数关系；在中高光照强度范围内，与近似成二次函数关系．其部分图象如图所示．根据图象，下列结论正确的是（ ）

A．当时，随的增大而减小 B．当时，有最大值
C．当时， D．当时，
【答案】B
【知识点】y=ax +bx+c的图象与性质、利用不等式求自变量或函数值的范围、从函数的图象获取信息
【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质、二次函数与不等式等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键．
根据抛物线可直接判断A选项；根据抛物线以及相关数据可得抛物线的对称轴为，进而判定B选项；根据函数图象可判定C选项；根据二次函数的对称性可判定D选项．
【详解】解：A．当时，随的增大先增大、后减小，即A选项错误，不符合题意；
B．由函数图象可知：抛物线的对称轴为，即当时，有最大值，则B选项正确，符合题意；
C．由函数图象可知：当时，，即C选项错误，不符合题意；
D．当时，由图象知，对应的值有两个，即D选项错误，不符合题意．
故选B．
9．（本题3分）如图，二次函数的图象与轴交于两点，，且．下列结论：①；②；③；④若和是关于的一元二次方程的两根，且，则，；⑤关于的不等式的解集为．其中正确结论的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】y=ax +bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号、利用不等式求自变量或函数值的范围
【分析】本题考查了二次函数图象与性质，根据抛物线开口，对称轴，以及与轴的交点，确定的符号，即可判断①，根据二次函数的图象过，得出，进而判断对称轴，得出，进而判断②和③，根据函数图象判断④，将一般式写成交点式得出 ，化简不等式为，求得解集，即可求解．
【详解】解：∵抛物线开口向上，
∴，
∵对称轴在轴的右侧，
∴，
∴，
∵抛物线与轴交于负半轴，
∴，
∴，故①正确，
∵二次函数的图象过，
∴，
∵二次函数的图象与轴交于两点，，且．
∴对称轴，即，
∴，
∴，
∴，故②正确；
∵，
∴
，
∴，故③错误；
④如图，
关于的一元二次方程的两个根，即函数与的交点的横坐标，
∵，
∴若和是关于的一元二次方程的两根，且，则，；故④正确；
⑤∵二次函数的图象与轴交于两点，，
∴
，
∴，，
∴，，
∴可化为，
即，
∵，
∴，
解得：或，
∴关于的不等式的解集为或不是故⑤错误
故正确的有①②④，共3个，
故选：B
10．（本题3分）如图，在菱形中，，，动点从点出发沿边匀速运动，运动到点时停止，过点作的垂线，在点运动过程中，垂线扫过菱形（即阴影部分）的面积为，点运动的路程为．下列图象能反映与之间函数关系的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】动点问题的函数图象、图形运动问题(实际问题与二次函数)、用勾股定理解三角形、解直角三角形的相关计算
【分析】分三种情况：点E在上时，点E在上且l与相交时，点E在上且l与相交时，分别计算出阴影部分面积的表达式，即可求解．
【详解】解：当点E在上时，如图，
，，
，
，，
，
此时图象为开口上的抛物线的一部分，排除C，D选项；
当点E在上且l与相交时，作，如图，
，，
，
，，
，
此时图象为直线一部分；
当点E在上且l与相交时，如图，
，，，
，
，
，
此时图象为开口下的抛物线的一部分，排除B选项；
故选A．
【点睛】本题考查菱形上的动点问题，解直角三角形，勾股定理，二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质等，求出不同阶段y与x的解析式是解题的关键．
二、填空题（共15分）
11．（本题3分）已知二次函数的图象经过点，但不经过原点，则该二次函数的表达式可以是_____．（写出一个即可）
【答案】（答案不唯一）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【分析】本题考查待定系数法确定二次函数表达式，先由二次函数的图象经过点，得到，再由二次函数的图象不经过原点，得到，从而得确定，若取，即可得到，从而确定函数表达式．熟练掌握待定系数法确定函数表达式的方法是解决问题的关键．
【详解】解：二次函数的图象经过点，
，
二次函数的图象不经过原点，
，
则，
若取，则，
该二次函数的表达式可以是，
故答案为：（答案不唯一）．
12．（本题3分）若抛物线的顶点在直线上，则m的值为__________．
【答案】或
【知识点】求一次函数自变量或函数值、y=ax +bx+c的图象与性质、公式法解一元二次方程
【分析】本题考查了二次函数的顶点坐标，一次函数的性质，公式法进行解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先整理得出顶点坐标为，再把代入，得出，运用公式法进行解一元二次方程，即可作答．
【详解】解：∵，
∴对称轴为直线，
把代入，
得，
即顶点坐标为，
∵抛物线的顶点在直线上，
∴，
整理得，
则，
∴，
∴
故答案为：或．
13．（本题3分）如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线运行，其中是铅球离初始位置的水平距离，是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度为，则铅球掷出的水平距离为________．
【答案】
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、求抛物线与x轴的交点坐标、投球问题(实际问题与二次函数)
【分析】本题考查待定系数法求抛物线解析式，二次函数与轴的交点坐标，熟练掌握待定系数法和二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．由题得，代入，得出抛物线的解析式为，令，求解即可，
【详解】解：由题意，，
得，
将代入，
得：，
解得：，
∴，
令，得，
解得：，，
∴为，
故答案为：．
14．（本题3分）在平面直角坐标系中，，，是二次函数图像上三点．若，，则______（填“”或“”）；若对于，，，存在，则的取值范围是______．
【答案】
【知识点】y=ax +bx+c的图象与性质、求不等式组的解集
【分析】本题考查二次函数的性质、不等式的性质以及解不等式组，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键．先求得二次函数的对称轴，再根据二次函数的性质求解即可．
【详解】解：由得抛物线的对称轴为直线，开口向下，
∵，，
∴，
∴；
∵，，，
∴，
由题意可知，存在，
∴，且离对称轴最远，离对称轴最近，
∴，
∴且，
∵，，
∴且，
解得．
故答案为：，．
15．（本题3分）在平面直角坐标系中，一个图形上的点都在一边平行于轴的矩形内部（包括边界），这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形．例如：如图，函数的图象（抛物线中的实线部分），它的关联矩形为矩形．若二次函数图象的关联矩形恰好也是矩形，则________．

【答案】或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、求抛物线与y轴的交点坐标、坐标与图形、矩形性质理解
【分析】根据题意求得点，，，根据题意分两种情况，待定系数法求解析式即可求解．
【详解】由，当时，，
∴，
∵，四边形是矩形，
∴，
①当抛物线经过时，将点，代入，
∴
解得：
②当抛物线经过点时，将点,代入，
∴
解得：
综上所述，或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，理解新定义，最小矩形的限制条件是解题的关键．
三、解答题（共75分）
16．（本题5分）已知二次函数的图象经过点．
(1)求的值；
(2)求二次函数图象与轴的交点坐标．
【答案】(1)
(2)二次函数图象与轴的交点坐标为
【知识点】求抛物线与x轴的交点坐标、待定系数法求二次函数解析式
【分析】本题主要考查待定系数法求解析式，二次与坐标轴的交点，掌握以上知识及其计算是关键．
（1）把点代入计算即可求解；
（2）二次函数，令，解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：∵此函数的图象经过点，
∴将代入，
∴；
（2）解：二次函数，令，则有，
解得，
故二次函数图象与x轴的交点坐标为．
17．（本题5分）将二次函数的图象向下平移个单位长度可以得到一个新的抛物线．
(1)请你写出这个新抛物线的函数表达式；
(2)判断点是否在这个新抛物线上．
【答案】(1)新抛物线解析式为；
(2)点在这个新抛物线上．
【知识点】二次函数图象的平移、y=ax +k的图象和性质
【分析】本题考查的知识点是二次函数的平移规律、二次函数的图象与性质，解题关键是熟练掌握二次函数的平移规律．
（1）根据二次函数的平移规律：“左加右减，上加下减”，即可得解；
（2）将点的横坐标代入新抛物线解析式能得到纵坐标即可判断该点在新抛物线上．
【详解】（1）解：根据二次函数的平移规律可得：
的图象向下平移个单位长度后得到的新抛物线解析式为；
（2）解：将代入新抛物线解析式可得，
即点在抛物线上．
18．（本题5分）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在第二象限的抛物线上是否存在一点P，使得的面积最大．若存在，请直接写出点P坐标和的面积最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，，面积最大为
【知识点】y=ax +bx+c的最值、面积问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式
【分析】本题考查了二次函数的图像和性质，用待定系数法求函数解析式，三角形的面积的计算等，解题关键是熟练运用待定系数法和二次函数最值的求解方法．
（1）设出抛物线的解析式，利用待定系数法求解即可；
（2）通过分割图形法表示三角形面积，转化为二次函数最值问题，利用二次函数性质求解．
【详解】（1）解：将，代入．
得解得：，
；
（2）设点P的坐标为，且在第二象限内，
把代入，可得，
，
设直线的解析式为，
将代入上式，得，
解得，，
直线的解析式为，
过点P作垂直于x轴交于点Q，则，
，
，
，
当时，，，
．
19．（本题5分）已知抛物线．
(1)开口方向：__________；
(2)顶点坐标：__________；
(3)对称轴：__________；
(4)当__________时，的最__________值是__________；
(5)当__________时，随的增大而减小．
【答案】(1)向上
(2)
(3)直线
(4)，小，
(5)
【知识点】y=a（x-h） +k的图象和性质
【分析】本题主要考查二次函数顶点式的特点，掌握二次函数图象开口方向，顶点坐标，对称轴，增减性是解题的关键．
（1）中，开口向上，，开口向下；
（2）中顶点坐标为；
（3）中是对称轴；
（4）根据顶点坐标可得二次函数最值；
（5）根据增减性即可求解．
【详解】（1）解：，
∵，
∴函数图象开口向上；
（2）解：的顶点坐标为；
（3）解：的对称轴为；
（4）解：中当时，二次函数有最小值，最小值为；
（5）解：的对称轴为，开口向上，
∴当时，随的增大而减小．
20．（本题5分）某商店销售一种玩具，经市场调查发现，日销售量y（件）与每件的售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：
每件的售价x/元 … 25 28 31 …
日销售量y/件 … 15 12 9 …
(1)求y与x之间的函数表达式（不要求写出自变量x的取值范围）；
(2)当玩具日销售额为300元时，求每件玩具的售价．
【答案】(1)
(2)10元或30元
【知识点】求一次函数解析式、列二次函数关系式、销售问题(实际问题与二次函数)
【分析】本题考查了一次函数解析式的求解，二次函数解析式的求解，解决本题的关键是正确求解出一次函数与二次函数的解析式．
（1）先设出一次函数解析式，再根据待定系数法代值求解即可；
（2）先表示出日销售额的函数表达式，再令求解x的值即可．
【详解】（1）解：∵日销售量y（件）与每件的售价x（元）满足一次函数关系，
∴设函数表达式为，
∵当时，；当时，；
∴，解得，
∴，
∴y与x之间的函数表达式为；
（2）解：由（1）知，，
∴日销售额，
∵玩具日销售额为300元，
∴令，即，
整理可得，
解得，，
∴每件玩具的售价为10元或30元时，日销售额为300元．
21．（本题7分）某商店销售某种特产商品，以每千克12元购进，按每千克16元销售时，每天可售出100千克，经市场调查发现，单价每涨1元，每天的销售量就减少10千克．
(1)若该商店销售这种特产商品想要每天获利480元，并且尽可能让利于顾客，那么每千克特产商品的售价应为多少元？
(2)通过计算说明，每千克特产商品售价为多少元时，每天销售这种特产商品获利最大，最大利润是多少元？
【答案】(1)18元
(2)销售价格定为19时，才能使平均每天获得的利润最大，最大利润是490元
【知识点】配方法的应用、营销问题(一元二次方程的应用)、销售问题(实际问题与二次函数)
【分析】（1）设每千克水果应涨价x元，根据题意列出一元二次方程即可求出结果；
（2）设销售价格为x，用含x的式子表示所获利润，然后配方，利用平方的非负性即可求出最值．
【详解】（1）解：设每千克水果应涨价x元，根据题意，得：，
解得：，，
∵要尽可能让利于顾客，只能取，
∴售价应为（元），
答：每千克特产商品的售价应为18元；
（2）解：设每天获得的利润为W，销售价格为x，则
∴销售价格定为19时，才能使平均每天获得的利润最大，最大利润是490元．
【点睛】本题考查一元二次方程和配方法的应用，掌握实际问题中的等量关系和配方法是解题的关键．
22．（本题8分）某超市以每个元的价格进了一批新型儿童玩具，当每个售价为元时，超市平均每天可售出个．国庆期间为了扩大销售，增加盈利，在售价不低于进价的前提下超市决定采取降价促销方式招揽顾客，经调查发现：在一定范围内，当玩具的单价每降低元，超市每天可多售出个，设每个玩具售价下降了元，超市每天的销售利润为元．
(1)降价后超市平均每天可售出______个玩具；
(2)求与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；
(3)超市将每个玩具的售价定为多少元时，可使每天获得的利润最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)
(2)
(3)售价为元，最大利润为元
【知识点】列代数式、销售问题(实际问题与二次函数)
【分析】本题主要考查了列代数式、二次函数的应用等知识，理解题意，弄清数量关系是解题关键．
（1）根据“玩具的单价每降低元，超市每天可多售出个”即可获得答案；
（2）根据“利润等于单个玩具利润乘以销售量”，即可获得答案；
（3）将二次函数解析式化为顶点式，根据二次函数的性质即可获得答案．
【详解】（1）解：玩具的单价每降低元，超市每天可多售出个，
降价后超市平均每天可售出个玩具，
故答案为：；
（2）解：由题意，可得，
函数关系为，
即，
其中的取值范围是；
（3）解：，
，
∵，，
当时，有最大值为，
此时玩具的售价为：（元），
答：该超市将每个玩具的售价定为元时，可使每天获得的利润最大，最大利润是元．
23．（本题8分）篮球课上，小华和小明在距离篮筐中心水平距离的位置处，正对篮筐进行定点投篮练习．篮筐距离地面的高度为．篮球出手后，在空中的运动路线可以看作抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，篮球的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足二次函数关系．
(1)小华某次定点投篮练习时，篮球的水平距离与竖直高度的几组数据如下：
水平距离 0 1 2 3 4
竖直高度
①直接写出篮球的竖直高度的最大值；
②篮球的竖直高度与水平距离近似满足函数关系，求的值；
③小华本次投篮能否将篮球投进篮筐，请说明理由；
(2)小明进行定点投篮练习时，篮球的竖直高度与水平距离近似满足函数关系，篮球出手时竖直高度满足，若小明将篮球投进篮筐中心，直接写出的取值范围．
【答案】(1)①；
②；
③能，理由如下，
根据上述计算可得，，
∴当时，，
∴小华本次投篮能将篮球投进篮筐；
(2)
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、投球问题(实际问题与二次函数)、y=ax +bx+c的图象与性质
【分析】本题主要考查二次函数与投球的运用，理解并掌握抛物线的性质，顶点坐标，图形开口，水平距离与垂直高度的关系是解题的关键．
（1）①根据表格信息得到值的变化与值的变化情况即可求解；②根据题意，顶点坐标为，图象过，代入计算即可；③把代入计算得到小华投球的高度与篮筐高度进行比较即可求解；
（2）根据篮球出手时竖直高度满足，分类讨论：当经过函数关系的图象上时；当经过函数关系的图象上时；代入计算即可．
【详解】（1）解：①根据题意，顶点坐标为，
∴篮球的竖直高度的最大值为；
②根据题意，顶点坐标为，图象过，代入二次函数中得，
，
解得，；
③略
（2）解：篮球出手时竖直高度满足，篮筐中心水平距离的位置，篮筐距离地面的高度为，
∴当经过函数关系的图象上时，
，
解得，
当经过函数关系的图象上时，
，
解得，；
∴小明将篮球投进篮筐中心，的取值范围为．
24．（本题13分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线．
(1)求抛物线的表达式：
(2)点P是射线下方抛物线上的一动点，连接与射线交于点Q，点D，E为抛物线对称轴上的动点（点E在点D的下方），且，连接，．当取得最大值时，求点P的坐标及的最小值；
(3)在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点M为点P的对应点，点N为抛物线上的一动点．若，请直接写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．
【答案】(1)
(2)点P的坐标为，的最小值为
(3)点N的坐标为或
【知识点】线段周长问题(二次函数综合)、角度问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、解直角三角形的相关计算
【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的解析式；
（2）先求出直线的解析式，然后设点P的坐标为，过点P作轴交于点F，交x轴于点H，点F的坐标为，求出长，再证明，根据对应边成比例求出的最小值，把点P向上平移个单位长度得到点，点的坐标为，连接，即可得到，连接，则，是最小值，利用勾股定理计算解题；
（3）根据平移得到抛物线的解析式，然后过点P作轴于点Q，过点N作轴于点K，连接，即可得到，设点N的坐标为，根据列等式求出a的值即可解题．
【详解】（1）解：设抛物线的解析式为，
把代入得，
解得，
∴；
（2）解：令，则，
∴点C的坐标为，
设直线的解析式为，把和代入得：
，解得，
∴，
设点P的坐标为，过点P作轴交于点F，交x轴于点H，
则点F的坐标为，
∴，
∵轴，
∴，，
∴，
∴，
∴当时，取得最大值为，这时点P的坐标为，
把点P向上平移个单位长度得到点，点的坐标为，连接，
则四边形是平行四边形，
∴，
即，
由A，B关于对称性可得点A的坐标为，
连接，则的最小值为长，
即，
即的最小值为；
（3）解：∵，
∴，
∴将抛物线沿射线方向平移个单位长度即为向左平移两个单位长度，向下平移两个单位长度得到抛物线，即，
过点P作轴于点Q，过点N作轴于点K，连接，
设点N的坐标为，
由平移得，
∴，
如图所示，∵，
即，解得（舍去）或，
这时点N的坐标为；

如图所示，则∵，
即，解得或（舍去），
这时点N的坐标为；
综上所述，点N的坐标为或．
【点睛】本题是二次函数的综合，主要考查待定系数法，二次函数的线段问题，轴对称的最短路径问题，二次函数的平移，解直角三角形，利用数形结合和分类讨论思想求解是解答的关键．
25．（本题14分）在平面直角坐标系中，对于函数图象W给出如下定义，将函数图象W上的任这一点变化为点，则称点Q为点P的2倍位移点．如：的2倍位移点为，即函数图象W上所有点按上述方法变化后得到的点组成的图象记为函数图象K．称函数图象K为图象W的2倍位移图象，函数K为函数W的2倍位移函数．
(1)若点的2倍位移点在反比例函数上，则k的值为________；
(2)点A在直线上，点A的2倍位移点B在直线上，求点A的坐标；
(3)已知二次函数，函数是的2倍位移函数．
①求二次函数的2倍位移函数；
②取二次函数在的部分，在的部分，组成一个新的函数，当直线与函数的图象的交点有3个时，从左到右依次记为点E，F，G，当直线与函数的图象的交点有4个时，从左到右依次记为点M，N，L，R，请问是否存在，若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)① ；
② 存在，，理由如下：
根据题意，得
．
∵，，
如图所示，当直线与函数的图象的交点有3个时，从左到右依次记为点E，F，G，当直线与函数的图象的交点有4个时，从左到右依次记为点M，N，L，R，由图象可知， ，
当时，，
解得，
由图象可知，
∴，
当时，
∵关于直线对称，
∴,
当时，，
∴
【知识点】二次函数图象的平移、求反比例函数解析式
【分析】（1）根据定义求出点的2倍位移点并代入反比例函数解析式即可求出答案；
（2）设点的坐标为．求出点的2倍位移点的坐标为．代入直线即可求出答案；
（3）①根据平移规律即可求出答案；②求出函数解析式并画出函数图象进行解答即可．
【详解】（1）解：点的2倍位移点是，即，
将点代入，可得．
故答案为：6．
（2）∵点在直线上，
∴设点的坐标为．
∴点的2倍位移点的坐标为．
∵点在直线上，
∴．解得．
∴点的坐标为．
（3）①∵，
函数是二次函数的2倍位移函数，根据定义可知，函数的图象先向右平移3个单位长度，再向上平移6个单位长度得到函数的图象，
∴．
②略
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【e精卷】系列：原创2026~2027广东省第五章二次函数单元检测卷（基础卷）北师大版九年级上册（2026新）原卷版
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题（共30分）
1．（本题3分）（2024·广东·中考真题 2026新教材改编）若点都在二次函数的图象上，则（ ）
A． B． C． D．
2．（本题3分）（2025·山东青岛·中考真题 2026新教材改编）将二次函数的图象在轴下方的部分以轴为对称轴翻折到轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是（ ）
A．图象与轴的交点坐标是 B．当时，函数取得最大值
C．图象与轴两个交点之间的距离为 D．当时，的值随值的增大而增大
3．（本题3分）（原创精品）已知一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如下表，
x … 0 3 5 …
y … 0 …
则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ 　　 ）
A．图象的开口向上 B．当时，y的值随x的值增大而增大
C．图象经过第二、三、四象限 D．图象的对称轴是直线
4．（本题3分）（原创精品）二次函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象是（ ）
A．B．C． D．
5．（本题3分）（原创精品）如图，抛物线的对称轴为，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．当时，随的增大而减小 D．当时，随的增大而减小
6．（本题3分）（原创精品）函数与的图象如图所示，当（ ）时，，均随着的增大而减小．
A． B． C． D．
7．（本题3分）（原创精品）已知二次函数(a，b，c为常数，)图像的顶点坐标是，且经过，两点，．有下列结论：
①关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根；
②当时，y的值随x值的增大而减小；③；
④；⑤对于任意实数t，总有．
以上结论正确的有（　　）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
8．（本题3分）（原创精品）在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度（厘米/天）和光照强度（勒克斯）之间存在一定关系．在低光照强度范围（）内，与近似成一次函数关系；在中高光照强度范围内，与近似成二次函数关系．其部分图象如图所示．根据图象，下列结论正确的是（ ）

A．当时，随的增大而减小 B．当时，有最大值
C．当时， D．当时，
9．（本题3分）（原创精品）如图，二次函数的图象与轴交于两点，，且．下列结论：①；②；③；④若和是关于的一元二次方程的两根，且，则，；⑤关于的不等式的解集为．其中正确结论的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
10．（本题3分）（原创精品）如图，在菱形中，，，动点从点出发沿边匀速运动，运动到点时停止，过点作的垂线，在点运动过程中，垂线扫过菱形（即阴影部分）的面积为，点运动的路程为．下列图象能反映与之间函数关系的是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（共15分）
11．（本题3分）（2025·广东·中考真题 2026新教材改编）已知二次函数的图象经过点，但不经过原点，则该二次函数的表达式可以是_____．（写出一个即可）
12．（本题3分）（2025·广东广州·中考真题 2026新教材改编）若抛物线的顶点在直线上，则m的值为__________．
13．（本题3分）（原创精品）如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线运行，其中是铅球离初始位置的水平距离，是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度为，则铅球掷出的水平距离为________．
14．（本题3分）（原创精品）在平面直角坐标系中，，，是二次函数图像上三点．若，，则______（填“”或“”）；若对于，，，存在，则的取值范围是______．
15．（本题3分）（原创精品）在平面直角坐标系中，一个图形上的点都在一边平行于轴的矩形内部（包括边界），这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形．例如：如图，函数的图象（抛物线中的实线部分），它的关联矩形为矩形．若二次函数图象的关联矩形恰好也是矩形，则________．
三、解答题（共75分）
16．（本题5分）（原创精品）已知二次函数的图象经过点．
(1)求的值；
(2)求二次函数图象与轴的交点坐标．
17．（本题5分）（原创精品）将二次函数的图象向下平移个单位长度可以得到一个新的抛物线．
(1)请你写出这个新抛物线的函数表达式；
(2)判断点是否在这个新抛物线上．
18．（本题5分）（原创精品）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在第二象限的抛物线上是否存在一点P，使得的面积最大．若存在，请直接写出点P坐标和的面积最大值；若不存在，请说明理由．
19．（本题5分）（原创精品）已知抛物线．
(1)开口方向：__________；
(2)顶点坐标：__________；
(3)对称轴：__________；
(4)当__________时，的最__________值是__________；
(5)当__________时，随的增大而减小．
20．（本题5分）（2025·江苏淮安·中考真题）某商店销售一种玩具，经市场调查发现，日销售量y（件）与每件的售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：
每件的售价x/元 … 25 28 31 …
日销售量y/件 … 15 12 9 …
(1)求y与x之间的函数表达式（不要求写出自变量x的取值范围）；
(2)当玩具日销售额为300元时，求每件玩具的售价．
21．（本题7分）（原创精品）某商店销售某种特产商品，以每千克12元购进，按每千克16元销售时，每天可售出100千克，经市场调查发现，单价每涨1元，每天的销售量就减少10千克．
(1)若该商店销售这种特产商品想要每天获利480元，并且尽可能让利于顾客，那么每千克特产商品的售价应为多少元？
(2)通过计算说明，每千克特产商品售价为多少元时，每天销售这种特产商品获利最大，最大利润是多少元？
22．（本题8分）（原创精品）某超市以每个元的价格进了一批新型儿童玩具，当每个售价为元时，超市平均每天可售出个．国庆期间为了扩大销售，增加盈利，在售价不低于进价的前提下超市决定采取降价促销方式招揽顾客，经调查发现：在一定范围内，当玩具的单价每降低元，超市每天可多售出个，设每个玩具售价下降了元，超市每天的销售利润为元．
(1)降价后超市平均每天可售出______个玩具；
(2)求与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；
(3)超市将每个玩具的售价定为多少元时，可使每天获得的利润最大？最大利润是多少元？
23．（本题8分）（原创精品）篮球课上，小华和小明在距离篮筐中心水平距离的位置处，正对篮筐进行定点投篮练习．篮筐距离地面的高度为．篮球出手后，在空中的运动路线可以看作抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，篮球的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足二次函数关系．
(1)小华某次定点投篮练习时，篮球的水平距离与竖直高度的几组数据如下：
水平距离 0 1 2 3 4
竖直高度
①直接写出篮球的竖直高度的最大值；
②篮球的竖直高度与水平距离近似满足函数关系，求的值；
③小华本次投篮能否将篮球投进篮筐，请说明理由；
(2)小明进行定点投篮练习时，篮球的竖直高度与水平距离近似满足函数关系，篮球出手时竖直高度满足，若小明将篮球投进篮筐中心，直接写出的取值范围．
24．（本题13分）（原创精品）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线．
(1)求抛物线的表达式：
(2)点P是射线下方抛物线上的一动点，连接与射线交于点Q，点D，E为抛物线对称轴上的动点（点E在点D的下方），且，连接，．当取得最大值时，求点P的坐标及的最小值；
(3)在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点M为点P的对应点，点N为抛物线上的一动点．若，请直接写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．
25．（本题14分）（原创精品）在平面直角坐标系中，对于函数图象W给出如下定义，将函数图象W上的任这一点变化为点，则称点Q为点P的2倍位移点．如：的2倍位移点为，即函数图象W上所有点按上述方法变化后得到的点组成的图象记为函数图象K．称函数图象K为图象W的2倍位移图象，函数K为函数W的2倍位移函数．
(1)若点的2倍位移点在反比例函数上，则k的值为________；
(2)点A在直线上，点A的2倍位移点B在直线上，求点A的坐标；
(3)已知二次函数，函数是的2倍位移函数．
①求二次函数的2倍位移函数；
②取二次函数在的部分，在的部分，组成一个新的函数，当直线与函数的图象的交点有3个时，从左到右依次记为点E，F，G，当直线与函数的图象的交点有4个时，从左到右依次记为点M，N，L，R，请问是否存在，若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
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