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【e精卷】系列：广东省2026~2027北师大版第一学期初中九年级
数学科目期中原创信息卷（A）解析版
本试卷共8页，25小题。满分120分。考试用时120分钟。
注意事项；1.答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号。将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”。
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用塑料橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的签字笔或钢笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、单选题
1．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义
【详解】解：A、含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；
B、不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意；
C、只含一个未知数，未知数最高次数为2，且是整式方程，是一元二次方程，符合题意；
D、未知数最高次数为1，是一元一次方程，不是一元二次方程，不符合题意.
2．正方形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）．
A．对角相等 B．邻边互相垂直 C．对角线相等 D．对角线互相垂直
【答案】D
【知识点】矩形性质理解、正方形性质理解
【分析】对比正方形和矩形的性质，逐一判断选项，即可得到答案．
【详解】解：对角相等、邻边互相垂直、对角线相等均为矩形的性质，
正方形是特殊的矩形，正方形也具有这三个性质，
选项A、B、C不符合题意，
正方形的对角线互相垂直，普通矩形的对角线不互相垂直，只有矩形为正方形时对角线才互相垂直，
对角线互相垂直是正方形具有而矩形不一定具有的性质．
3．下列说法错误的是（ ）
A．对角线相等的平行四边形是正方形
B．对角线互相平分的四边形是平行四边形
C．对角线相等的平行四边形是矩形
D．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
【答案】A
【知识点】证明四边形是平行四边形、矩形的判定定理理解、证明四边形是菱形、正方形的判定定理理解
【详解】解：A选项，对角线相等的平行四边形是矩形，对角线相等且互相垂直的平行四边形才是正方形，说法错误，符合题意；
B选项，对角线互相平分的四边形是平行四边形，是平行四边形的判定定理，说法正确，不符合题意；
C选项，对角线相等的平行四边形是矩形，是矩形的判定定理，说法正确，不符合题意；
D选项，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，是菱形的判定定理，说法正确，不符合题意．
4．如图，在平面直角坐标系中，是的位似图形，位似中心为点，位似比为，若点的对应点为，则点的坐标为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】求位似图形的对应坐标
【详解】∵是的位似图形，位似中心为点，位似比为，
∵如图，点的对应点为在第四象限，
∴的坐标为，即．
5．若关于x的一元二次方程没有实数根，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、求一元一次不等式的解集
【分析】根据一元二次方程根的判别式列出不等式，求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程没有实数根，
∴，
∴．
6．已知，是一元二次方程的两个实数根，则（ ）
A．3 B． C．10 D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求解，若是一元二次方程的两个实数根，则，直接代入系数即可得到结果．
【详解】解：∵ 是一元二次方程的两个实数根，
∴ 根据根与系数的关系得 ．
7．如图，要使成为矩形，给出下列条件：①；②；③，其中正确的是（ ）
A．①②③ B．②③ C．①② D．①③
【答案】B
【知识点】利用平行四边形的性质求解、添一条件使四边形是矩形、证明四边形是矩形
【分析】对于①，可得四边形为菱形；对于②，可得，继而可得四边形为矩形；对于③，根据定理可直接判定．
【详解】解：①，邻边相等的平行四边形为菱形，故①不符合题意；
②，
在中，，
（两直线平行，同旁内角互补），
，有一个内角为直角的平行四边形为矩形，故②符合题意；
③，对角线相等的平行四边形为矩形，故③符合题意；
综上，其中正确的是②③．
8．“菱花窗镂映晴光，雪韵冰晶故事长”．我国传统建筑中的窗棂（如图1）古典雅致，含蓄灵动．构成某扇窗棂的一个窗格可抽象成如图2所示的菱形，若测得，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长
【分析】利用菱形的性质，结合勾股定理求解即可；
【详解】解：设的交点为O，
菱形，且，，
则，，
故；
9．如图，在平面直角坐标系中，与是以点为位似中心的位似图形，已知，则点的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】求位似图形的对应坐标
【分析】在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．根据位似变换的性质计算，得到答案．
【详解】解：与是以点为位似中心的位似图形，相似比为，
点的坐标为，即．
10．定义：关于的一元二次方程与称为“同形二次方程”（）．现有关于的方程与方程是“同形二次方程”．则代数式的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义、配方法的应用、不等式的性质
【分析】先由“同形二次方程”对变形，从而确定，得出关于的等式求解出的值，代入代数式，通过配方，结合平方非负性判断即可得到答案．
【详解】解：关于的方程与方程是“同形二次方程”，
则将方程变形为，
由“同形二次方程”定义可知，
“同形二次方程”定义中，
，
则两边同时除以得，
，
由②得，
将代入①得，
∴代数式．
二、填空题
11．若关于x的一元二次方程的一个根是，则m的值为__________．
【答案】
【知识点】由一元二次方程的解求参数
【分析】根据一元二次方程根的定义，将已知根代入原方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值．
【详解】解：关于的一元二次方程的一个根是，
将代入方程得：，
整理得：，
解得：．
12．若是关于的一元二次方程（）的解，则代数式的值是_____．
【答案】
【知识点】已知式子的值，求代数式的值、由一元二次方程的解求参数
【分析】根据一元二次方程根的定义，将代入原方程，求出的值，再整体代入所求代数式计算即可．
【详解】解：∵是关于的一元二次方程（）的解，
，
整理得 ，
．
13．下列方程，是一元二次方程的有_________________________
①，②，③，④．
【答案】①④/④①
【知识点】一元二次方程的定义
【详解】解：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为的整式方程是一元二次方程．
①，只含有一个未知数，未知数最高次数为，且是整式方程，符合一元二次方程的定义；
②，含有和两个未知数，不符合一元二次方程的定义；
③，分母中含有未知数，不符合一元二次方程的定义；
④，只含有一个未知数，未知数最高次数为，且是整式方程，符合一元二次方程的定义；
综上所述，是一元二次方程的有①④．
14．如图，在平面直角坐标系中，与位似，位似中心是原点．若点，，，则点的坐标为______．
【答案】
【知识点】求两个位似图形的相似比、求位似图形的对应坐标
【分析】直接利用位似图形对应点坐标得出相似比，进而利用位似三角形的坐标特征得出答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∵与位似，位似中心是原点，
∴，
∵，
∴，即：.
15．如图，在正方形中，O是对角线与的交点，M是边上的动点（点M不与B，C重合），连接，作交于N，连接，．以下四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有______（填序号）．
【答案】①②③
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证明
【分析】先根据正方形的性质和已知条件可证可得可判断①；由可得，进而证明可得，再结合可得，即可判断②；根据线段的和差可得，然后分别在和中运用勾股定理可判断③．当点接近点时，点接近点，接近，此时，即④错误．
【详解】解：∵正方形，
∴,
∴,
∵交于，
∴，
∴,
∴，
∴，故①正确；
∵，
∴,
∵正方形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即②正确；
∵，
∴，即，
∵中，，
∴，
∵中，，
∴，
∴，即③正确；
当点接近点时，点接近点，接近，此时，故④错误．
综上，正确的有①②③．
三、解答题
16．解方程：
【答案】
，
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【详解】解：
，或，
解得：， ．
17．解方程：．
【答案】，
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【详解】解：，
，
或，
或，
即原方程的根是，．
18．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)任取一个符合条件的m的值，并求此一元二次方程的解．
【答案】(1)
(2)当时，，
【知识点】因式分解法解一元二次方程、根据一元二次方程根的情况求参数
【分析】（1）根据条件得出，即，即可得出结论；
（2）任取一个符合条件的m的值，并代入计算即可；
【详解】（1）解：∵，，
∴
，
∵方程有两个不相等的实数根，
∴，即，
∴；
（2）解：由（1）可知
∴当时，一元二次方程为，
解得，
19．已知关于的一元二次方程．
(1)求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根；
(2)若该方程的一个根为3，求的值和方程的另一个根．
【答案】(1)见解析
(2)；
【知识点】因式分解法解一元二次方程、根据判别式判断一元二次方程根的情况、由一元二次方程的解求参数
【分析】（1）求出判别式的符号，即可得出结论；
（2）把代入方程，求出的值，再解方程即可.
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：把代入方程，得，
解得，
∴方程化为，
∴，
∴；
故方程的另一个根为.
20．如图，在中，O为中点，过点O的直线分别交、于点E、F，连接、．
(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)若，，．求的度数．
【答案】(1)证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵O为中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形；
(2)
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边对等角、利用平行四边形性质和判定证明、证明四边形是菱形、根据菱形的性质与判定求线段长
【分析】（1）由题意得，，然后可得，则有，进而问题可求证；
（2）由题意证出四边形为菱形，则有，然后可得，进而问题可求解．
【详解】（1）略
（2）解：∵四边形为平行四边形，，
∴四边形为菱形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
21．如图，四边形为矩形（）
(1)请利用圆规在边上寻找一点，使得平分；（只限使用一次，并保留作图痕迹）．
(2)在（1）的条件下，连接，．若，且平分，求的长．
【答案】(1)如图所示，
(2)
【知识点】作垂线(尺规作图)、等腰三角形的性质和判定、角平分线的有关计算、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长
【分析】（1）以点为圆心，为半径作弧，交于点，连接，，可知，于是得到，又由四边形为矩形，得到，两直线平行内错角相等，即，可证得，即平分；
（2）四边形为矩形，平分，可知是等腰直角三角形，由勾股定理可得，由（1）可知，，即可求解的长．
【详解】（1）略
（2）解：如图所示，
∵四边形为矩形，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
由（1）可知，
又∵，
∴，
∴，
∴．
22．如图，在矩形中，，．动点从点出发，沿折线以的速度向终点运动．在运动过程中，连接．设点的运动时间为，扫过的图形面积为．
(1)求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围．
(2)当扫过的图形面积由矩形面积的扩大到矩形面积的时，点运动了多长时间？
【答案】(1)
(2)
【知识点】求一次函数解析式、根据矩形的性质求面积
【分析】（1）分和两种情况建立函数关系式即可；
（2）分别求出矩形面积的和矩形面积的，然后分别代入和求出对应的时间，再求解时间差即可．
【详解】（1）解：∵四边形是矩形，
∴，，
当时，；
当时，扫过的图形为四边形，此时
∴
∴；
（2）解：由题意得，，
当时，则，解得；
当时，则，解得
∴点运动了．
23．图1是广场上的矩形公益广告牌的示意图，数学小组借助平面镜测量公益广告牌的高度．
如图2，所在直线垂直地面于点，甲把光源放置于点处，垂直地面于点，点，在同一水平线上，乙沿方向移动平面镜，移到点时，从点发出的光线反射到点处；移到点时，从点发出的光线反射到点处．经测量：米，米，米，米，记点，处的法线分别为，，即，，根据光的反射定律，，．
(1)求证：；
(2)求此公益广告牌的高度．
【答案】(1)
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
(2)米
【知识点】实际问题中角度计算问题、垂线的定义理解、相似三角形实际应用
【分析】（1）根据垂直的意义得到，得到结合进行求证即可；
（2）通过和求出，再由求解即可．
【详解】（1）略
（2）解：由题意得，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵米，米，米，
∴，
∴（米），
同理可得，，
∴，
∵米，
∴，
∴（米），
∴（米）．
答：公益广告牌的高度为4.5米．
24．漳浦县自发布渔业生态保护相关通告后，本地养殖的黄翅鱼（黄鳍鲷）和石斑鱼在市场上热销，成为不少游客喜爱的伴手礼．2026年端午假期，小福同学旅游到此，并购买了若干黄翅鱼和石斑鱼，他用元买的黄翅鱼的数量比用同样价钱买石斑鱼的数量多斤，且石斑鱼的单价是黄翅鱼的倍．
(1)求黄翅鱼、石斑鱼两种鱼的单价分别为多少元/斤；
(2)两种鱼在得到一致好评后，小福决定再次购买这两种鱼作为“伴手礼”．由于商家对老顾客让利，其中黄翅鱼按照原单价购买，石斑鱼的单价每斤降低元，则购买的数量会比第一次购买石斑鱼的数量增加斤，第二次一共购买斤鱼共用了元．求的值．
【答案】(1)黄翅鱼单价为元/斤，石斑鱼单价为元/斤
(2)
【知识点】营销问题(一元二次方程的应用)、分式方程的经济问题
【分析】（1）设黄翅鱼的单价为元/斤，则石斑鱼的单价为元/斤，根据题意列出分式方程求解即可；
（2）根据题意得出第二次购买时，石斑鱼的数量为斤，黄翅鱼的数量为 斤，根据题意列出方程求解即可．
【详解】（1）解：设黄翅鱼的单价为元/斤，则石斑鱼的单价为元/斤．
根据题意，，
解得，
检验：当时，，
所以是原方程的解，
则石斑鱼的单价为：（元/斤）．
答：黄翅鱼单价为元/斤，石斑鱼单价为元/斤；
（2）解：第一次购买石斑鱼的数量：（斤），
第二次购买时，石斑鱼的数量为斤，黄翅鱼的数量为 斤；
石斑鱼的单价变为元/斤，黄翅鱼单价仍为元/斤．
根据题意，，
解得（不合题意，舍去）或．
答：的值为．
25．如图所示，将矩形按如下所示步骤进行折叠：
步骤一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；
步骤二：再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，同时得到线段，把纸片展平．
(1)请写出_____；
(2)若，，点为边上的一个动点，连接、．求的最小值；
(3)若，，且上述折叠能完成，求四边形面积的最大值．
【答案】(1)
(2)的最小值为；
(3)
【知识点】勾股定理与折叠问题、矩形与折叠问题、二次根式的混合运算、等边三角形的判定和性质、根据成轴对称图形的特征进行求解
【分析】（1）连接，证明是等边三角形，据此计算即可求解；
（2）由，要求的最小值，即要求得的最小值，作点关于的对称点，连接，据此计算即可求解；
（3）由折叠的性质知，求得，推出，据此计算即可求解．
【详解】（1）解：如图，连接，
由题意得，直线是的垂直平分线，
，由折叠可知，，
，
是等边三角形，
，
；
（2）解：由折叠的性质知，
∵，
要求的最小值，即要求得的最小值，
作点关于的对称点，连接，
∵，
∴，即的最小值为的长，
由题意得，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为；
（3）解：由折叠的性质知，
∴，
由（1）得，
∴，
∵，，即，
∴，
∴，同理，
∴，
∴，
∴当时，四边形面积的最大值为．
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数学科目期中原创信息卷（A）原卷版
本试卷共8页，25小题。满分120分。考试用时120分钟。
注意事项；1.答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号。将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”。
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用塑料橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的签字笔或钢笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、单选题
1．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．正方形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）．
A．对角相等 B．邻边互相垂直 C．对角线相等 D．对角线互相垂直
3．下列说法错误的是（ ）
A．对角线相等的平行四边形是正方形B．对角线互相平分的四边形是平行四边形
C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
4．如图，在平面直角坐标系中，是的位似图形，位似中心为点，位似比为，若点的对应点为，则点的坐标为（ ）．
A． B． C． D．
5．若关于x的一元二次方程没有实数根，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．已知，是一元二次方程的两个实数根，则（ ）
A．3 B． C．10 D．
7．如图，要使成为矩形，给出下列条件：①；②；③，其中正确的是（ ）
A．①②③ B．②③ C．①② D．①③
8．“菱花窗镂映晴光，雪韵冰晶故事长”．我国传统建筑中的窗棂（如图1）古典雅致，含蓄灵动．构成某扇窗棂的一个窗格可抽象成如图2所示的菱形，若测得，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在平面直角坐标系中，与是以点为位似中心的位似图形，已知，则点的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
10．定义：关于的一元二次方程与称为“同形二次方程”（）．现有关于的方程与方程是“同形二次方程”．则代数式的最大值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．若关于x的一元二次方程的一个根是，则m的值为__________．
12．若是关于的一元二次方程（）的解，则代数式的值是_____．
13．下列方程，是一元二次方程的有_________________________
①，②，③，④．
14．如图，在平面直角坐标系中，与位似，位似中心是原点．若点，，，则点的坐标为______．
15．如图，在正方形中，O是对角线与的交点，M是边上的动点（点M不与B，C重合），连接，作交于N，连接，．以下四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有______（填序号）．
三、解答题
16．解方程：
17．解方程：．
18．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)任取一个符合条件的m的值，并求此一元二次方程的解．
19．已知关于的一元二次方程．
(1)求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根；
(2)若该方程的一个根为3，求的值和方程的另一个根．
20．如图，在中，O为中点，过点O的直线分别交、于点E、F，连接、．
(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)若，，．求的度数．
21．如图，四边形为矩形（）
(1)请利用圆规在边上寻找一点，使得平分；（只限使用一次，并保留作图痕迹）．
(2)在（1）的条件下，连接，．若，且平分，求的长．
22．如图，在矩形中，，．动点从点出发，沿折线以的速度向终点运动．在运动过程中，连接．设点的运动时间为，扫过的图形面积为．
(1)求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围．
(2)当扫过的图形面积由矩形面积的扩大到矩形面积的时，点运动了多长时间？
23．图1是广场上的矩形公益广告牌的示意图，数学小组借助平面镜测量公益广告牌的高度．
如图2，所在直线垂直地面于点，甲把光源放置于点处，垂直地面于点，点，在同一水平线上，乙沿方向移动平面镜，移到点时，从点发出的光线反射到点处；移到点时，从点发出的光线反射到点处．经测量：米，米，米，米，记点，处的法线分别为，，即，，根据光的反射定律，，．
(1)求证：；
(2)求此公益广告牌的高度．
24．漳浦县自发布渔业生态保护相关通告后，本地养殖的黄翅鱼（黄鳍鲷）和石斑鱼在市场上热销，成为不少游客喜爱的伴手礼．2026年端午假期，小福同学旅游到此，并购买了若干黄翅鱼和石斑鱼，他用元买的黄翅鱼的数量比用同样价钱买石斑鱼的数量多斤，且石斑鱼的单价是黄翅鱼的倍．
(1)求黄翅鱼、石斑鱼两种鱼的单价分别为多少元/斤；
(2)两种鱼在得到一致好评后，小福决定再次购买这两种鱼作为“伴手礼”．由于商家对老顾客让利，其中黄翅鱼按照原单价购买，石斑鱼的单价每斤降低元，则购买的数量会比第一次购买石斑鱼的数量增加斤，第二次一共购买斤鱼共用了元．求的值．
25．如图所示，将矩形按如下所示步骤进行折叠：
步骤一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；
步骤二：再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，同时得到线段，把纸片展平．
(1)请写出_____；
(2)若，，点为边上的一个动点，连接、．求的最小值；
(3)若，，且上述折叠能完成，求四边形面积的最大值．
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