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【e精卷】系列：原创2026~2027学年度北师大版第一学期初中九级
数学科目期中质量检测卷解析版
考试时间：120分钟，满分：120分。
一、单选题（共30分）
1．（本题3分）2026年央视春晚的图标如图所示，其可以看作是由其中一个基本图形经过下面哪种图形变换得到（ ）
A．平移 B．翻折 C．旋转 D．位似
【答案】A
【知识点】图形的平移、位似图形的识别、根据旋转的性质求解
【分析】根据平移只改变位置，不改变大小，形状和方向，即可得到结果．翻折、旋转可以改变方向，位似可以改变大小．
【详解】解：可以看作由如下的基本图形经过平移得到．
2．（本题3分）下列所述图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A．正六边形 B．矩形 C．正方形 D．等边三角形
【答案】D
【知识点】轴对称图形的识别、中心对称图形的识别、等边三角形的性质、矩形性质理解、正方形性质理解、正多边形概念辨析
【详解】解：A、正六边形是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、矩形是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、正方形是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项符合题意．
3．（本题3分）下列说法错误的是（ ）
A．对角线相等的平行四边形是正方形
B．对角线互相平分的四边形是平行四边形
C．对角线相等的平行四边形是矩形
D．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
【答案】A
【知识点】矩形的判定定理理解、正方形的判定定理理解、证明四边形是平行四边形、证明四边形是菱形
【详解】解：A选项，对角线相等的平行四边形是矩形，对角线相等且互相垂直的平行四边形才是正方形，说法错误，符合题意；
B选项，对角线互相平分的四边形是平行四边形，是平行四边形的判定定理，说法正确，不符合题意；
C选项，对角线相等的平行四边形是矩形，是矩形的判定定理，说法正确，不符合题意；
D选项，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，是菱形的判定定理，说法正确，不符合题意．
4．（本题3分）在我国南宋数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载着这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？也就是说，一块长方形田地的面积为平方步，宽比长小步，问：这块长方形田地的长和宽各为多少步？设这块长方形田地的长为步，则根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)
【详解】设长方形田地的长为步，宽比长小步，
宽为步，
长方形田地的面积为平方步，
可得方程．
5．（本题3分）如图，要使平行四边形是矩形，需要增加的一个条件可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】添一条件使四边形是矩形
【分析】明确基础图形是平行四边形，需回忆平行四边形判定为矩形的定理，包括对角线相关、内角相关的判定条件。逐一分析各选项对应的几何性质，结合判定定理匹配符合要求的选项．
【详解】解：选项A：矩形的判定定理为对角线相等的平行四边形是矩形，平行四边形中对角线，满足条件，可以判定它是矩形，该选项正确．
选项B：邻边相等（）的平行四边形是菱形，不能判定是矩形，该选项错误．
选项C：平行四边形本身就具有对边平行的性质，本来就是平行四边形的已有性质，无法判定它是矩形，该选项错误．
选项D：对角线互相垂直（）的平行四边形是菱形，不是矩形，该选项错误．
6．（本题3分）在菱形中，对角线与交于点，若，，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】利用菱形的性质求面积
【分析】利用菱形对角线互相垂直平分的性质，即可计算得到的面积．
【详解】解：如图，
∵四边形是菱形，
∴，，.
∵，，
∴，.
∴．
7．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，与关于原点位似，且，若的周长为2，则的周长为（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质综合、求两个位似图形的相似比
【分析】根据位似图形的性质可知与相似，由得出相似比，再利用相似三角形周长比等于相似比即可求解．
【详解】解：∵与关于原点位似，
∴，
∵，
∴和的相似比是2，
∴，
∵的周长为2，
∴的周长为4．
8．（本题3分）如图，在四边形中，，，过点作交于点，将沿翻折，得到．，分别与直线交于，两点，则与的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质综合、根据等角对等边证明边相等、利用平行四边形的判定与性质求解、折叠问题
【分析】首先证明四边形是平行四边形，得到，推出，由折叠得，，，，得到，证明，然后利用相似三角形的性质求解．
【详解】解：∵，
∴四边形是平行四边形
∴
∴
∴
由折叠得，，，
∵
∴，
∴
∴
∴
∴
∵
∴，
∴
∴
∴．
9．（本题3分）如图，在矩形中，于点E，若，，则的长为（ ）
A．4 B． C． D．6
【答案】C
【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、因式分解法解一元二次方程
【分析】根据矩形的性质得出，，，，设，则，根据勾股定理得出，解方程得出，（舍去），根据勾股定理求出即可．
【详解】解：∵四边形为矩形，
∴，，，，
∴，
∵，
∴，即，
设，则，
∵，
∴，
根据勾股定理得：，，
∴，
即，
解得：，（舍去），
∴，
∴，
∴．
10．（本题3分）定义：关于的一元二次方程与称为“同形二次方程”（）．现有关于的方程与方程是“同形二次方程”．则代数式的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】配方法的应用、一元二次方程的定义、不等式的性质
【分析】先由“同形二次方程”对变形，从而确定，得出关于的等式求解出的值，代入代数式，通过配方，结合平方非负性判断即可得到答案．
【详解】解：关于的方程与方程是“同形二次方程”，
则将方程变形为，
由“同形二次方程”定义可知，
“同形二次方程”定义中，
，
则两边同时除以得，
，
由②得，
将代入①得，
∴代数式．
二、填空题（共15分）
11．（本题3分）若关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是________．
【答案】/
【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数
【详解】解：关于的方程有两个不相等的实数根，
，
解得．
12．（本题3分）已知四边形是平行四边形，对角线，相交于点O，请你添加一个适当的条件，使四边形是菱形，则添加的条件可以是_______．（只需添加一个即可）
【答案】
（答案不唯一）
【知识点】添一个条件使四边形是菱形
【详解】解：∵邻边相等的平行四边形为菱形，对角线互相垂直的平行四边形为菱形，
∴可添加的条件为（答案不唯一）.
13．（本题3分）如图，矩形的对角线相交于点O，过点O的直线分别交、于点E、F．若，，则图中阴影部分的面积为___________．
【答案】6
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据矩形的性质求面积、根据矩形的性质求线段长
【分析】根据矩形的性质得到，，，利用证明，将转化为，最后得出阴影部分的面积．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴．
14．（本题3分）已知，与的面积之比为，则与的周长之比为______．
【答案】
【知识点】利用相似三角形的性质求解
【分析】相似三角形的面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比，先求出两个三角形的相似比，即可得到周长之比．
【详解】解：，与的面积之比为，
与的相似比为，
相似三角形的周长比等于相似比，
与的周长之比为．
15．（本题3分）如图，在菱形中，，对角线，相交于点，是线段上一点，连结，将沿翻折，点落在点处，交于点．若，，则菱形的面积为_______．
【答案】
15
【知识点】勾股定理与折叠问题、利用菱形的性质求面积、等腰三角形的性质和判定
【分析】根据折叠的性质可得，由可得，进而推出，得到，结合可得，在中利用勾股定理求出的值，最后根据菱形面积公式计算即可．
【详解】解：由折叠的性质可知，，即
∵，交于点，
∴
在中，，即
∴，即
在菱形中，，
∴在中，
∵，
∴
在中，，，
∴是等腰直角三角形，即
∵，
∴
在中，由勾股定理得，
即，
，即
∴ 菱形的面积
∴．
三、解答题（共75分）
16．（本题5分）解方程：
【答案】
，
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【详解】解：
，或，
解得：， ．
17．（本题5分）用适当的方法解方程：．
【答案】，
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【详解】解：，
∴ ，
∴或，
解得，．
18．（本题8分）已知关于的一元二次方程．
(1)求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根；
(2)若该方程的一个根为3，求的值和方程的另一个根．
【答案】(1)见解析
(2)；
【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、因式分解法解一元二次方程、由一元二次方程的解求参数
【分析】（1）求出判别式的符号，即可得出结论；
（2）把代入方程，求出的值，再解方程即可.
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：把代入方程，得，
解得，
∴方程化为，
∴，
∴；
故方程的另一个根为.
19．（本题10分）某网店销售一种成本为12元/件的小商品，通过市场调研发现，当售价定为15元/件时，日均销售量为90件，售价每上涨1元，日均销售量减少2件．设该商品的售价定为x元/件．
(1)用含x的式子表示出该商品每日的销售量：________．
(2)若规定该商品的售价不得高于30元/件，且网店计划每日销售该商品的利润为640元，求该商品的售价．
【答案】(1)
(2)该商品的售价为20元
【知识点】列代数式、营销问题(一元二次方程的应用)
【分析】（1）根据题意列式即可；
（2）根据题意列出一元二次方程求解即可．
【详解】（1）解：根据题意可得，该商品每日的销售量为；
（2）解：根据题意可得，，
解得，（舍去）．
答：该商品的售价为20元．
20．（本题10分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为个单位长度的正方形，的顶点都在格点上，建立平面直角坐标系．
(1)将先向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，得到，请在网格内画出；
(2)以为位似中心，将放大，使变换后得到的与对应边的比为，请在网格内画出．
【答案】(1)作图见解析
(2)作图见解析
【知识点】平移(作图)、画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形
【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出的对应点即可；
（2）利用位似变换的性质，分别作出的对应点即可．
【详解】（1）解：如图所示：
即为所求；
（2）解：如图所示：
即为所求．
21．（本题10分）阅读与理解
下面是王宇同学的一篇数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务．
正方形网格中“无刻度直尺作图”问题初探 正方形网格中使用无刻度直尺作图是一种经典的几何构造问题，其核心是仅用无刻度直尺和给定网格，通过有限的步骤完成特定的几何构造任务，如：构造线段上的特殊点或与线段相关的特殊角等．如图1，在正方形网格中，已知线段和的端点均为格点，利用无刻度的直尺解决下面的问题． 类型一：构造特殊点 问题1：求作线段的中点F． 思路：如图2，第一步：延长到E； 第二步：利用网格构造线段，满足且； 第三步：连接、、．与相交于点F． 则四边形是平行四边形（依据1）所以，点F即为线段中点．（依据2） 类型二：构造角平分线 问题2：求作的平分线． 思路：如图3，延长到D使得，利用网格构造线段，满足且，连接、，则为的平分线．
任务：
(1)问题1中“依据1”的内容是______；“依据2”的内容是：______．
(2)请用无刻度的直尺在图1中参照问题1的思路，作线段的中点M（保留作图痕迹）；
(3)请用无刻度的直尺在图4中参照问题2的思路，作的平分线（保留作图痕迹）．
【答案】(1)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；平行四边形的对角线互相平分；
(2)如图，点M即为所求；
(3)如图，即为所求．
【知识点】利用平行四边形性质和判定证明、根据菱形的性质与判定求角度、利用二次根式的性质化简、勾股定理与网格问题
【分析】（1）根据平行四边形的判定定理和性质求解；
（2）取格点D，E，连接交于点M即可；
（3）延长到格点D，取格点E，连接，，连接即可．
【详解】（1）略
（2）解：作图略；
证明：连接，，，
根据题意得，，
∴四边形是平行四边形
∴点M即为线段中点；
（3）作图略；
证明：由网格得，
∴四边形是菱形
∴平分．
22．（本题13分）如图，在矩形纸片中，，点是边的中点，沿折叠该纸片，点落在点处．
(1)若点在该纸片的边上，则 ；
(2)若点在该纸片内部，连接、，延长与相交于点．
①求证：四边形是平行四边形；
②当是以为腰的等腰三角形时，求的长．
【答案】(1)12
(2)解：①证明：设，
由翻折的性质可得，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵点是边的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形；
②或
【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、等腰三角形的性质和判定、证明四边形是平行四边形、相似三角形的判定与性质综合
【分析】（1）根据点在该纸片的边上作图，可得到点是边的中点，由此可求解的长度；
（2）①根据角度的关系得到，由此可得，再由，即可证明四边形是平行四边形；
②分类讨论时，与时两种情况，设出未知数，结合勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：当点在该纸片的边上，如图，
由题意可知，，
则四边形是矩形，
，
∴四边形是正方形，
，
∴点是边的中点，
∴，即；
（2）解：①略
②∵是以为腰的等腰三角形，
当时，过点作于点，如图，
设，则，
在中，，
∵，，
∴，
由（2）①可知，，
又∵，
∴，
∴，即，
∴，
令，则，
∴，即，
则有，
故（负值舍），
∴；
当时，连接，过点作于点，如图，
则有为的垂直平分线，
由（2）①可知，四边形是平行四边形，
∴，
∴四边形是矩形，
同理可得四边形是矩形，
∴，，
设，则，
∴，
在中，，
则有，即，
解得（负值舍），
∴，
综上，的长为或．
23．（本题14分）我们定义：有一组对角相等，且有一组邻边相等的凸四边形叫“双等四边形”．如图，在四边形中，若满足，，则四边形为“双等四边形”．
(1)判断命题“有一个内角为的双等四边形是正方形”是否正确，并说明理由．
(2)在中，在右侧平面内有一点，连结，以为对称轴将作轴对称变换得到，连接．
①如图，，，若四边形是“双等四边形”，且，求的长．
②如图，，，当四边形是“双等四边形”时，求的长．
【答案】(1)不正确，理由如下：
如图，，
故四边形为双等四边形，但四边形不是正方形；
故有一个内角为的双等四边形是正方形不正确；
(2)①3；②或.
【知识点】二次根式的混合运算、公式法解一元二次方程、全等的性质和SAS综合（SAS）、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、举例说明假（真）命题
【分析】（1）举反例进行说明即可；
（2）①根据题意，易得为等边三角形，进而得到，根据新定义得到，进而推出即可得出结果；②分和，两种情况进行讨论求解即可.
【详解】（1）略
（2）解：①∵以为对称轴将作轴对称变换得到，
∴，
又∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∵四边形是“双等四边形”，
∴，
∴，
∴；
②∵，，
∴，
∵四边形是“双等四边形”，且，
∴①当时，如图，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
②当时，
∵，
设，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
连接，作，，
则，，
，
∴，
设，则，，
∴，
在中，由勾股定理，得，
解得（舍去）；
∴；
综上：或.
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数学科目期中质量检测卷原卷版
考试时间：120分钟，满分：120分。
一、单选题（共30分）
1．（本题3分）2026年央视春晚的图标如图所示，其可以看作是由其中一个基本图形经过下面哪种图形变换得到（ ）
A．平移 B．翻折 C．旋转 D．位似
2．（本题3分）下列所述图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A．正六边形 B．矩形 C．正方形 D．等边三角形
3．（本题3分）下列说法错误的是（ ）
A．对角线相等的平行四边形是正方形
B．对角线互相平分的四边形是平行四边形
C．对角线相等的平行四边形是矩形
D．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
4．（本题3分）在我国南宋数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载着这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？也就是说，一块长方形田地的面积为平方步，宽比长小步，问：这块长方形田地的长和宽各为多少步？设这块长方形田地的长为步，则根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．（本题3分）如图，要使平行四边形是矩形，需要增加的一个条件可以是（ ）
A． B．
C． D．
6．（本题3分）在菱形中，对角线与交于点，若，，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
7．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，与关于原点位似，且，若的周长为2，则的周长为（ ）
A．2 B．4 C． D．
8．（本题3分）如图，在四边形中，，，过点作交于点，将沿翻折，得到．，分别与直线交于，两点，则与的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
9．（本题3分）如图，在矩形中，于点E，若，，则的长为（ ）
A．4 B． C． D．6
10．（本题3分）定义：关于的一元二次方程与称为“同形二次方程”（）．现有关于的方程与方程是“同形二次方程”．则代数式的最大值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（共15分）
11．（本题3分）若关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是________．
12．（本题3分）已知四边形是平行四边形，对角线，相交于点O，请你添加一个适当的条件，使四边形是菱形，则添加的条件可以是_______．（只需添加一个即可）
13．（本题3分）如图，矩形的对角线相交于点O，过点O的直线分别交、于点E、F．若，，则图中阴影部分的面积为___________．
14．（本题3分）已知，与的面积之比为，则与的周长之比为______．
15．（本题3分）如图，在菱形中，，对角线，相交于点，是线段上一点，连结，将沿翻折，点落在点处，交于点．若，，则菱形的面积为_______．
三、解答题（共75分）
16．（本题5分）解方程：
17．（本题5分）用适当的方法解方程：．
18．（本题8分）已知关于的一元二次方程．
(1)求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根；
(2)若该方程的一个根为3，求的值和方程的另一个根．
19．（本题10分）某网店销售一种成本为12元/件的小商品，通过市场调研发现，当售价定为15元/件时，日均销售量为90件，售价每上涨1元，日均销售量减少2件．设该商品的售价定为x元/件．
(1)用含x的式子表示出该商品每日的销售量：________．
(2)若规定该商品的售价不得高于30元/件，且网店计划每日销售该商品的利润为640元，求该商品的售价．
20．（本题10分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为个单位长度的正方形，的顶点都在格点上，建立平面直角坐标系．
(1)将先向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，得到，请在网格内画出；
(2)以为位似中心，将放大，使变换后得到的与对应边的比为，请在网格内画出．
21．（本题10分）阅读与理解
下面是王宇同学的一篇数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务．
正方形网格中“无刻度直尺作图”问题初探 正方形网格中使用无刻度直尺作图是一种经典的几何构造问题，其核心是仅用无刻度直尺和给定网格，通过有限的步骤完成特定的几何构造任务，如：构造线段上的特殊点或与线段相关的特殊角等．如图1，在正方形网格中，已知线段和的端点均为格点，利用无刻度的直尺解决下面的问题． 类型一：构造特殊点 问题1：求作线段的中点F． 思路：如图2，第一步：延长到E； 第二步：利用网格构造线段，满足且； 第三步：连接、、．与相交于点F． 则四边形是平行四边形（依据1）所以，点F即为线段中点．（依据2） 类型二：构造角平分线 问题2：求作的平分线． 思路：如图3，延长到D使得，利用网格构造线段，满足且，连接、，则为的平分线．
任务：
(1)问题1中“依据1”的内容是______；“依据2”的内容是：______．
(2)请用无刻度的直尺在图1中参照问题1的思路，作线段的中点M（保留作图痕迹）；
(3)请用无刻度的直尺在图4中参照问题2的思路，作的平分线（保留作图痕迹）．
22．（本题13分）如图，在矩形纸片中，，点是边的中点，沿折叠该纸片，点落在点处．
(1)若点在该纸片的边上，则 ；
(2)若点在该纸片内部，连接、，延长与相交于点．
①求证：四边形是平行四边形；
②当是以为腰的等腰三角形时，求的长．
23．（本题14分）我们定义：有一组对角相等，且有一组邻边相等的凸四边形叫“双等四边形”．如图，在四边形中，若满足，，则四边形为“双等四边形”．
(1)判断命题“有一个内角为的双等四边形是正方形”是否正确，并说明理由．
(2)在中，在右侧平面内有一点，连结，以为对称轴将作轴对称变换得到，连接．
①如图，，，若四边形是“双等四边形”，且，求的长．
②如图，，，当四边形是“双等四边形”时，求的长．
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