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2026-2027学年高中数学人教A版选择性必修一课时作业 1.1 空间向量及其运算
一、选择题
1．在斜三棱柱中,( )
A. B. C. D.
2．已知空间向量,,则在上的投影向量的模为( )
A. B.2 C.1 D.
3．已知A，B，C三点共线，O为空间任一点，则①；②存在三个不为0的实数λ，m，n，使，那么使①②成立的μ与的值分别为( )
A.1，-1 B.1，0 C.0，1 D.-1，0
4．四面体中，，，，且，，则等于( )
A. B.
C. D.
5．如图,在底面为正方形的平行六面体 的棱中,与向量模相等的向量有( )
A.0个 B.3个 C.7个 D.9个
6．已知平面向量，且，，，则一定共线的三点是( )
A.A，B，D B.A，B，C C.B，C，D D.A，C，D
7．已知,,若,则( )
A.2 B. C. D.
8．在空间直角坐标系中，已知，，，，则直线AB与CD的位置关系是( )
A.异面 B.平行 C.垂直 D.相交但不垂直
二、多项选择题
9．下列命题中,是真命题的为( )
A.若两个空间向量相等,则它们的起点相同,终点也相同
B.若空间向量满足,则
C.若空间向量满足,则
D.在正方体中,必有
10．如图,已知平行六面体,点E是的中点,下列结论中正确的是( ).
A. B.
C. D.
11．若构成空间的一个基底,则下列向量不共面的是( )
A.,, B.,,
C.,, D.,,
三、填空题
12．已知,,,则的余弦值是_______________.
13．O为空间任意一点,若,若A,B,C,P四点共面,则实数等于_______.
14．在平行六面体中,若,则__________.
15．已知圆锥（P为圆锥顶点，O为底面圆心）的轴截面是边长为2的等边三角形，A，B，C为底面圆周上三点，若空间一动点Q满足，则的最小值为______________________.
四、解答题
16．如图,在正方体中,求向量分别与向量,,,,的夹角.
17．判断下列点P是否在直线l上：
（1）点，直线l经过和两点；
（2）点，直线l经过和两点.
18．根据如图的平行六面体，化简下列各式：
（1）；
（2）.
19．如图，在单位正方体中，设，，，求：
（1）；
（2）；
（3）.
20．已知，，，定义一种运算：.已知四棱锥中，底面ABCD是一个平行四边形，，，.
（1）求证：平面ABCD；
（2）根据上述定义，计算的绝对值的值；
（3）求四棱锥的体积，说明的绝对值与四棱锥体积的关系，并由此猜想向量这一运算的绝对值的几何意义.
参考答案
1．答案：C
解析：三棱柱中,.
故选:C.
2．答案：A
解析：在上的投影向量的模为,
因为,,
所以,,
所以投影向量的模为,
故选:A.
3．答案：D
解析：因为A，B，C三点共线，所以存在实数k，满足，
因为O为空间任一点，所以，即，
因为，所以，解得，
因为存在三个不为0的实数λ，m，n，使，
所以，所以，即，，
所以.
综上，，
4．答案：B
解析：因为，，
所以，，
所以，
故选：B.
5．答案：C
解析：由向量的模的定义,根据平行六面体的性质可知,
与向量模相等的向量分别为：,共7个.
故选：C.
6．答案：A
解析：若向量，共线，则，，共线，此时A，B，C，D共线，
当向量，不共线时，
对于A选项，，所以A，B，D三点共线，A正确；
对于B选项，设 ，则 ，即 无解，B错误；
对于C选项，设 ，则 ，即 ，无解，C错误；
对于D选项， ，设 ，
即 ，即 ，无解，D错误.
故选：A
7．答案：C
解析：由题意可知,,解得.
8．答案：B
解析：由，，，，得，，则，即，而，显然向量，不共线，即点C不在直线AB上，
所以直线AB与CD平行.故选B.
9．答案：CD
解析：当两个向量的起点相同,终点也相同时,这两个向量必相等,但两个相等的向量起点、终点不一定相同,A错误；
模相等的两个向量的方向是任意的,即模相等的两个向量的方向不一定相同,也不一定相反,B错误；
由相等向量的传递性,知若,则,C正确；
在正方体中,四边形是矩形,向量与的方向相同,模也相等,即,D正确,
故选：CD.
10．答案：ACD
解析：对于A,四边形是平行四边形,,A正确；
对于B,,B错误；
对于C,,C正确；
对于D,,D正确.
故选：ACD.
11．答案：AD
解析：对于A,易得,,不共面,故A正确；
对于B,因为,所以,,共面,故B错误；
对于C,因为,
所以,,共面,故C错误；
对于D,假设,,共面,
则存在实数x,y,使得,
因为,,不共面,所以,
该方程组无解,所以假设不成立,故D正确.
12．答案：
解析：,,
故,
故答案为：.
13．答案：/0.375
解析：由,则,
则,
由A,B,C,P四点共面,则,解得.
14．答案：
解析：如下图所示,有=
又因为,所以解得
所以=.
15．答案：
解析：因为，
所以，即，
所以，，共面.
又A，B，C为底面圆周上三点，所以点Q为平面ABC上一点.
由题意知平面ABC，
所以，又圆锥PO的轴截面是边长为2的等边三角形，所以，所以的最小值为.
16．答案：；；；；
解析：连接BD,则在正方体中,,
所以,
,
,
,
.
17．答案：（1）在
（2）不在
解析：（1）由题知，，，
易知，所以，共线，
又因为，有公共点P，所以P、A、B三点共线，即点P在直线l上；
（2）由题知，，，
记，则，显然无解，
所以，不共线，即点P不在直线l上.
18．答案：（1）
（2）
解析：
19．答案：（1）0
（2）1
（3）3
解析：（1）在单位正方体中，
由题意，，
所以
（2）
（3）
.
20．答案：（1）证明见解析
（2）48
（3）；的绝对值是四棱锥体积的3倍；
猜想：的绝对值的几何意义是以AB，AD，AP为邻边的直四棱柱的体积
解析：（1）证明：，，
，.
又，平面ABCD，
平面ABCD.
（2）.
（3），
，
.
的绝对值是四棱锥体积的3倍.
猜想：的绝对值的几何意义是以AB，AD，AP为邻边的直四棱柱的体积.
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