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2026-2027学年高中数学人教A版选择性必修一课时作业 1.2 空间向量基本定理
一、选择题
1．在正方体中,,则( )
A. B.
C. D.
2．如图,在四面体中,,,,,P为线段的中点,则等于( )
A. B. C. D.
3．如图所示,空间四边形中,,点M在上,且,N为中点,则等于( )
A. B.
C. D.
4．如图，在四面体中，，，，且，，则( )
A. B. C. D.
5．在正方体中,O为棱的中点,,则( )
A. B. C. D.
6．如图所示,空间四边形中,,点M在上,且,N为中点,则等于( )
A. B.
C. D.
7．在正四面体中,E为中点,F在上．且,M为中点,若,则( )
A. B.
C. D.
8．如图,在四面体中,点E,F分别是,的中点,点G是线段上靠近点E的一个三等分点,令,则( )
A. B.
C. D.
二、多项选择题
9．已知是空间的一个基底,那么下列选项中可作为基底的是( )
A. B. C. D.
10．以下四个命题中正确的是( )
A.空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示
B.若为空间向量的一组基底,则构成空间向量的另一组基底
C.对空间任意一点O和不共线的三点A、B、C,若,则P、A、B、C四点共面
D.向量,,共面,即它们所在的直线共面
11．关于空间向量,以下说法正确的是( ).
A.空间中的三个向量,若有两个向量共线,则这三个向量一定共面
B.若,则是钝角
C.设是空间中的一组基底,则也是空间的一组基底
D.若对空间中任意一点O,有,则四点共面
三、填空题
12．是空间的一个单位正交基底，向量，若向量用空间的另一个基底表示为，则_____________.
13．如图，二面角等于，A，B是棱l上两点，，分别在半平面，内，，，且，则的长等于_____________.
14．已知，，，若三个向量不能作为空间向量的一组基底，则实数等于_____________.
15．如图，在四面体中，点M满足，N为的中点，若，则_______________.
四、解答题
16．棱长为1的正四面体ABCD中，点E，F，G分别为AB，AD，DC中点，求：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）.
17．如图,三棱锥中,M,N分别是,上的点,且,,设,,.
（1）试用,,表示向量;
（2）已知,,且,若,求的值.
18．如图，在三棱锥中，，D是的中点，平面，垂足O落在线段上.已知，，，.
（1）求证：.
（2）若点M是线段上一点，且，试证明平面平面.
19．已知空间向量，，.
（1）若，求；
（2）若，求的值.
20．如图，在平行六面体中，，，，E为的中点，F为与的交点.
（1）用基分别表示向量，，；
（2）化简，并在图中标出化简结果.
参考答案
1．答案：B
解析：由题意得,E是的中点,F是靠近的三等分点,如图:
2．答案：D
解析：由已知
,
故选：D．
3．答案：B
解析：因为,N为中点,
所以,,
故.
故选:B
4．答案：D
解析：由题意可得：
，
所以.
5．答案：C
解析：如下图所示:
因为为的中点,所以,
又因为,,且,
即
,
显然、、不共面,所以,解得,故.
故选:C.
6．答案：B
解析：因为,N为中点,
所以,,
故.
故选:B
7．答案：A
解析：因为,M为中点,
所以
.
故选：A.
8．答案：A
解析：连接,,
则
.
故选:A
9．答案：ACD
解析：
10．答案：BC
解析：对于A,空间的任何一个向量都可用其他三个不共面的向量表示,A中有三个基底不共面的限制,故A错误；
对于B,若为空间向量的一组基底,则不共面,且均为非零向量,假设共面,
则,
,方程无解,即不共面,
则构成空间向量的另一组基底,B正确；
对于C,若,
则
整理得,则向量共面,即P、A、B、C四点共面,C正确；
向量,,共面,但是它们所在的直线不一定共面,故D错误.
故选：BC.
11．答案：AC
解析：选项A,空间中的三个向量,若有两个向量共线,由于空间任意两个向量一定共面,因此这三个向量一定共面,正确；
选项B,若,则是钝角或者,错误；
选项C,设是空间中的一组基底,则不共面,
假设向量共面,则,
则无解,所以向量不共面,
所以也是空间的一组基底,正确；
选项D,对空间中任意一点O,有,
,四点不共面,错误；
故选：AC.
12．答案：4
解析：因为
，且，
由于是空间的一个单位正交基底，
所以，解得，因此.
故答案为：4.
13．答案：4
解析：由二面角的平面角的定义知，.
由，，得，.
，
，所以，即.
14．答案：4
解析：因为三个向量不能作为空间向量的一组基底，
所以共面（只有不共面的三个向量才能作为空间向量的一组基底），
则存在，使得，即，
所以，解得.
故答案为：4
15．答案：-3
解析：由题意知
，
因为，
所以，，，则.
故答案为：-3.
16．答案：（1）
（2）
（3）
（4）
（5）0
解析：（1）；
（2）因为点E，F分别为AB，AD的中点，
所以，且，所以，
所以；
（3）
；
（4）因为点F，G分别为AD，DC的中点，
所以，且，所以，
所以；
（5）因为，，
所以
.
17．答案：（1）
（2）2
解析：（1）
.
（2）由可得,
即,
即,
即,
即,.
18．答案：（1）证明见解析
（2）证明见解析
解析：（1）由题意可得.
以O为原点，过点O作的平行线为x轴，以所在直线为y轴，以所在直线为z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，
所以，.
因为，
所以，即.
（2）因为平面，平面，所以.
因为，，所以.
因为点M为上一点，且，
所以，所以，，.
设平面的法向量为，
则即
令，则，，所以.
设平面的法向量为，
则即
令，则，，所以.
因为，所以，所以平面平面.
19．答案：（1）
（2）
解析：（1），设，
则解得.
，故.
（2）由，可得，解得.
，，，
.
20．答案：（1）
（2）
解析：（1）.
.
.
（2）.
如图，连接，则即为所求.
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