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2026-2027学年高中数学人教A版选择性必修一课时作业 1.3 空间向量及其运算的坐标表示
一、选择题
1．若，则( )
A.5 B.6 C.7 D.8
2．已知两个向量,,且,则的值为( )
A.1 B. C. D.6
3．已知,,则等于( )
A. B. C. D.
4．在空间直角坐标系中,O为坐标原点,,则等于( )
A. B. C. D.
5．已知向量,,若与夹角为,则k的值为( )
A. B. C.－1 D.1
6．已知,则( )
A. B. C. D.
7．已知空间向量,,若,则x的值为( )
A. B. C.2 D.4
8．已知,,则( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．向量,若,则( )
A. B. C. D.
10．若是平面的一个法向量,是平面的一个法向量,A,B是直线b上不同的两点,则以下命题正确的是( )
A.
B.
C.,使得
D.设与的夹角为,则
11．在空间直角坐标系中,向量,,下列结论正确的是( )
A.若,则 B.若,则
C.若为锐角,则 D.若,则
三、填空题
12．已知,则______.
13．已知平面的一个法向量为,平面的一个法向量为,若,则____________
14．设直线,的方向向量分别为,,若,则__________.
15．在一个长，宽，高的房间内的点处安装一个WiFi路由器.假设在点处，信号强度，其中是路由器天线的主方向向量（垂直向下）.只有当（即信号向下传播）时才有信号，则该房间内地面上的点（竖坐标为0）信号强度的最大值是_____________.（说明：）
四、解答题
16．已知点，，（点O为坐标原点），求点C的坐标，并写出直线BC的一个方向向量的坐标.
17．在空间直角坐标系中，已知点，，求直线AB与坐标平面xOy的交点C的坐标.
18．已知，，，设，.
（1）设，，求c的坐标；
（2）求；
（3）若与互相垂直，求实数k的值.
19．求与向量同方向的单位向量的坐标.
20．判断下列各组向量是否平行或垂直：
（1），；
（2），；
（3），.
参考答案
1．答案：C
解析：由题意得.
2．答案：C
解析：因为,
所以存在使得,即,
所以.
故选：C.
3．答案：B
解析：.
故选：B.
4．答案：A
解析：O为坐标原点,,所以.
故选:A.
5．答案：A
解析：因为,,且与夹角为,
则,,
所以,
可知,解得:.
故选:A.
6．答案：C
解析：已知,则.
7．答案：A
解析：因为,所以,解得,
故选:A.
8．答案：C
解析：由,,可得.
故选:C
9．答案：BC
解析：因为,所以,由题意可得,
所以,则.
故选：BC.
10．答案：BCD
解析：对于A,当且平面时,才满足,故A错误；
对于B,若,则,若,则,即可得到,故B正确；
对于C,若,则,则,使得,若,使得则,所以,故C正确；
对于D,设与的夹角为,则,所以,故D正确.
故选：BCD.
11．答案：AC
解析：对于A:若,则存在唯一实数t使得即,
所以解得,所以.故A正确;
对于B:若,则,即.故B错误;
对于C:若为锐角,则,且不共线,即即,
由A知当时,此时.故C正确;
对于D:若,则即,当时,故D错误.
故选:AC
12．答案：
解析：由题意得,,
则.
故答案为:
13．答案：2
解析：由题意,则,所以,
解得,所以.
14．答案：
解析：由已知,即,
则,
解得,
故答案为:.
15．答案：16
解析：由题意得，又，故，所以.又，所以，当且仅当，时，等号成立，故该房间内地面上的点信号强度的最大值是16.
16．答案：，直线BC的一个方向向量.
解析：设，
因为点，，
所以，，
因为，
所以，解得，
则，此时，
所以直线BC的一个方向向量的坐标为.
17．答案：
解析：.
设，则.
又因为点C在坐标平面xOy内，所以.
所以.
所以点C的坐标为.
18．答案：（1）或
（2）
（3）或
解析：
19．答案：
解析：与向量a同方向的单位向量为，
又，
所以
所以与向量a同方向的单位向量为.
20．答案：（1）垂直，不平行
（2）平行，不垂直
（3）既不垂直也不平行
解析：（1），
故a与b垂直，不平行；
（2）存在实数使，
故a与b平行，不垂直；
（3），
又不存在实数使，
故a与b既不平行，又不垂直.
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