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2026-2027学年高中数学人教A版选择性必修一课时作业 1.4 空间向量的应用
一、选择题
1．如图，在三棱台中，若平面，，，，M为BC的中点，则平面与平面夹角的余弦值为( )
A. B. C. D.
2．如图，在正四棱锥中，O为顶点S在底面内的投影，P为侧棱SD的中点，且，则直线CD与平面PAC的夹角是( )
A. B. C. D.
3．已知点，，若平面的一个法向量为，则直线AB与平面的位置关系是( )
A. B.
C. D.或
4．两个不重合的平面与平面ABC，若平面的法向量为，，，则( )
A.平面平面ABC B.平面平面ABC
C.平面、平面ABC相交但不垂直 D.以上均有可能
5．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的棱柱称为堑堵.已知图①②③都为堑堵，，，D，E，F分别是所在棱的中点，则满足的有( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
6．若，在直线l上，则直线l的一个方向向量为( )
A. B. C. D.
7．设空间四点O，A，B，P满足，其中，则( )
A.点P一定在直线AB上 B.点P一定不在直线AB上
C.点P不一定在直线AB上 D.以上都不对
8．已知空间直角坐标系中有一点，点B是xOy平面内的直线上的动点，则A，B两点间的最短距离是( )
A. B.3 C. D.
二、多项选择题
9．如图,在长方体中,,,P为侧面内一点.若点P到平面的距离与到直线的距离相等,则的值可以是( )
A.1 B. C. D.2
10．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面，，，M、N分别为棱、上的动点，设，，则( )
A.当时，存在，使得平面
B.当时，存在，使得
C.当，且与相交时，
D.三棱锥的外接球在底面上的截痕长为
11．在长方体中,底面为正方形,分别是的中点,则下列结论一定成立的是( )
A. B.平面
C. D.平面
三、填空题
12．在棱长为1的正方体中，点A到平面的距离为________.
13．在棱长为3的正方体中,E为线段靠近的三等分点.F为线段靠近B的三等分点,则直线到平面的距离为_____________.
14．在《九章算术》中,将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑,如图,在鳖臑中,平面,,且,M为的中点,则异面直线与所成角的余弦值为________________.
15．在正方体中,E是的中点,F是的中点,则异面直线和所成角的余弦值为____________.
四、解答题
16．如图,四棱锥的底面是菱形,,,,M为的中点.
(1)求证:平面SBD;
(2)求直线与平面SBC所成角的正弦值.
17．如图,在直三棱柱中,,,D,E,G分别为,,的中点,F为上的一点,且,P为线段上不包括端点的动点.
（1）若P为的中点,证明:平面;
（2）若,设直线与平面所成的角为,求的最大值.
18．如图1，梯形中，，过A，B分别作，，垂足分别E，F.，，已知，将梯形沿，同侧折起，得空间几何体，如图2.
(1)若，证明：平面；
(2)若，，线段上存在一点P，满足与平面所成角的正弦值为，求的长.
19．如图,在四棱锥中,,平面平面,Q是棱的中点.
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
20．如图,在正三棱柱中,,,点D为的中点.
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成的角的正弦值.
参考答案
1．答案：B
解析：因为平面ABC，且平面ABC，所以，，又，故以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.
因为，，且M为BC的中点，所以，，，则，.
设平面的法向量为，则取，可得，，所以.
易知平面的一个法向量为.设平面与平面的夹角为，则.故选B.
2．答案：C
解析：如图，以O为坐标原点，OB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，OS所在直线为z轴，建立空间直角坐标系.
设，
则，，，，，
则，，.
设平面PAC的法向量为，
则，，
可取.
设直线CD与平面PAC的夹角为，
则
又，.故选C.
3．答案：D
解析：因为，，所以，所以或.故选D.
4．答案：A
解析：设平面ABC的法向量为，则令，则，，即，由，得平面平面ABC.故选A.
5．答案：C
解析：设，则以B为坐标原点，，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则.在题图①中，，，，则，，所以，满足；在题图②中，，，，则，，所以，满足；
在题图③中，，，，则，，所以，不满足.故选C.
6．答案：C
解析：依题意，直线l的一个方向向量为，其他三个均不符合要求.故选C.
7．答案：A
解析：由得，结合题意知，即，即，又，有公共点A，所以A，P，B三点共线，故点P一定在直线AB上.
8．答案：C
解析：因为点B是xOy平面内的直线上的动点，所以可设点，由空间两点之间的距离公式，得，令，则，当时，t的最小值为，所以当时，的最小值为，即A，B两点间的最短距离是，故选C.
9．答案：CD
解析：以D为坐标原点,所在直线分别为轴,建立空间直角坐标系,
设,其中,,则点P到平面的距离为m,
所以,,
点到直线的距离为：,
所以,
则,
,则.
10．答案：AC
解析：以C为原点，为x轴，为y轴，
为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则：，，，，，
对于A，当时，，M在上，
则，则，，
设平面的一个法向量，则
取，则，即，
，若平面，则，
即，故存在，故A正确；
对于B，当时，，，
，若，则，
即，
不满足，故B错误；
对于C，当时，，，
若与相交，则存在唯一x，y使得，
即：，
解得，故C正确；
对于D，因为底面是直角三角形，外接圆半径，
因为平面，设外接球半径为R，则：
，
三棱锥的外接球在底面上的截痕为底面的外接圆，
截痕长为，故D错误，
11．答案：ABD
解析：设,
以D为坐标原点,分别为轴,建立空间直角坐标系,
则,
对于选项A:因为,
则,所以,故A正确;
对于选项B:因为,
且,则,,
且,平面,所以平面,故B正确;
对于选项C:因为,
则,所以不与垂直,故C错误;
对于选项D:因为,,
则,可得,
且平面,平面,所以平面,故D正确;
故选:ABD.
12．答案：
解析：在棱长为1的正方体中，
由平面，即到平面的距离为1，即三棱锥的高，
所以三棱锥的体积为，
设A到平面的距离为d，
由，可得,
所以，
因为，可得，解得，
所以点A到平面的距离为.
13．答案：
解析：如图,以D为坐标原点建立空间直角坐标系,
则,,
所以,所以,
而平面,平面,故平面,
所以直线到平面的距离即为点F到平面的距离.
又,,
设平面的法向量为,
故,即,取,则,
又,
故点F到平面的距离为.
故答案为：.
14．答案：
解析：取中点N,连接,,
因为M是中点,N是中点,根据中位线性质,,
那么（或其补角）就是异面直线与所成的角,
已知平面,,,
在中,,
则,
又因为,
在中,,
而,
所以,则,
在中,根据余弦定理,
所以异面直线与所成角的余弦值为.
故答案为:.
15．答案：
解析：连接,
在正方体中,因为E是的中点,F是的中点,
所以,,
则,,
所以四边形为平行四边形,则,
所以（或其补角）为直线和所成角,
设正方体的棱长为2,
则,
所以,
在中,由余弦定理得,
则异面直线和所成角的余弦值为.
故答案为：.
16．答案：(1)证明见解析
(2).
解析：(1),,M是的中点,
,且.
在中,同理可得,.
,
.
又,平面,
平面.
(2)设与相交于点O.
以O为坐标原点,直线,分别为x,y轴,
过点O且垂直于平面的直线为z轴建立空间直角坐标系,如图,
则,,,.
设.
则,可得,
则,,.
设平面的法向量为,
则,即,可取.
设直线与平面所成的角为,
则,
直线与平面所成角的正弦值为.
17．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）设线段的中点为O,连接,,如下图所示,
在中,P为的中点,E为的中点,所以,
在矩形中,且,
所以四边形是平行四边形,因此,
因为,O为的中点,所以F为的中点,
因为G为的中点,在中有,所以,
因为平面,平面,
所以平面.
（2）由题意如图建立如图所示的空间直角坐标系
,
则,,,,,,
设,且,,则,,
设平面的法向量为,因为,,
所以,故可取,
因此,
令,则,
所以当,即,时,有最大值.
18．答案：(1)见解析
(2) .
解析：(1)证明：由已知得四边形是正方形，且边长为2，在图2中，，
由已知得，，平面，
又平面，，
又，，平面.
(2)在图2中，，，，即面，
在梯形中，过点D作交于点M，连接，
由题意得，，由勾股定理可得，则，，
过E作交于点G，可知，，两两垂直，
以E为坐标原点，以，，分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，
则，，，，
，.
设平面的一个法向量为，
由得，取得，
设，则，，得
设与平面所成的角为θ，
.
所以
19．答案：(1)见解析
(2).
解析：(1)证明：如图,取的中点O,因为,所以,
因为平面平面,平面平面,平面,所以平面,
又平面,所以,又,平面,平面,
,所以平面.
(2)因为,O为的中点,,所以,.
过点O作交于点E,由平面,平面,可得,则.
以O为坐标原点,所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,
则,,
所以.
设平面的法向量为,则
令,得.设平面的法向量为,
则
令,得.
设平面与平面的夹角为,则,
故平面与平面夹角的余弦值为.
20．答案：(1)证明见解析；
(2).
解析：(1)在正三棱柱中,连接与交于点E,连接DE,
由四边形是矩形,得点E是的中点,又点D是AC的中点,
则,又平面平面,
所以平面.
(2)取的中点F,连接DF,在等边中,点D为AC的中点,则,
以点D为原点,直线DB,DC,DF分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系.
则,
设平面的法向量为,则,令,得,
而,则,
所以直线AB与平面所成角的正弦值为.
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