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2026-2027学年高中数学人教A版选择性必修一课时作业 2.3 直线的交点坐标与距离公式
一、选择题
1．点到直线的距离是( )
A. B. C. D.
2．已知直线与直线上各有一动点P，Q，则的最小值为( )
A.0 B. C. D.
3．点到直线距离的最大值为( )
A. B. C.1 D.
4．若直线经过两直线和的交点，则( )
A.2 B.4 C.6 D.8
5．若直线与直线的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是( )
A. B.
C. D.
6．直线与圆的交点为A，B，若，则k的值为( )
A. B. C. D.
7．已知直线恒过定点A，圆上的两点，满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8．点关于直线对称的点的坐标为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．已知，两点到直线的距离相等，则a的值可以为( )
A. B.0 C. D.2
10．若三条直线可以围成一个三角形,则实数的值可以为( )
A.
B.0
C.1
D.3
11．已知直线与交于点,则( )
A.
B.
C.点P到直线的距离为
D.点P到直线的距离为
三、填空题
12．直线过点，过点，若，且与间的距离为5，则与的方程分别是________________.
13．直线被圆截得的弦长为________.
14．已知圆与直线,若直线l与圆C相交于A,B两点,且为等边三角形,则______.
15．已知直线与互相平行,则__________,与之间的距离为__________.
四、解答题
16．经过点的直线l被两条直线和所截得的线段恰被点A平分，求直线l的方程.
17．已知，是直线上的两点，若，求的值.
18．若直线与直线的交点在直线上，求实数a的值.
19．若正方形的中心为，一条边所在直线的方程为，求其余三条边所在直线的方程.
20．求点P到直线l的距离：
（1），；
（2），.
参考答案
1．答案：B
解析：因为点到直线的距离公式为，所以.故选B.
2．答案：B
解析：直线，即，斜率.直线，斜率，，显然两直线不重合，.则的最小值即为两平行直线间的距离，由两平行直线间的距离公式可得直线与间的距离，即的最小值为.故选B.
3．答案：D
解析：点到直线的距离为（其中），当时，等号成立，即点到直线距离的最大值为.故选D.
4．答案：C
解析：联立解得则直线经过点，则，解得.故选C.
5．答案：A
解析：联立解得即直线与直线的交点为，由题意可得解得，即实数k的取值范围是，故选A.
6．答案：C
解析：在中，圆的半径为4，
所以圆心到直线的距离为，
由点线距离公式得，所以，解得.
7．答案：C
解析：直线，
，
，，，，P，A，Q三点共线，
设弦的中点为，连接，则，即，
∴，，，，
所以点E的轨迹方程为，
即E的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
设直线l为，
则E到l的最小距离为，
过P、E、Q分别作直线l的垂线，垂足分别为M、R、N，
则四边形是直角梯形，且R是的中点， 则是直角梯形的中位线，
∴，
即，
即，
所以的最小值为.
故选：C.
8．答案：C
解析：设对称点的坐标为,
由题意可得,得,
所以对称点的坐标为.
故选:C.
9．答案：BD
解析：由，到直线距离相等可得
，即，分两种情况：
①，解得，
此时斜率为，直线l斜率为，
符合平行条件，距离相等；
②，解得，
此时中点为，代入直线得，即，符合条件；
所以和都满足题意.
10．答案：BD
解析：根据题意可知三条直线两两都不平行,且不同时过同一个点;
当平行时可得,此时不合题意,因此;
联立,即,解得交点坐标为,
因此不在上,即可得,可得;
所以若三条直线围成一个三角形,只需且即可.
故选:BD
11．答案：ABD
解析：由题意,得：,解得,,故A、B正确,
到直线的距离,故C错误,D正确.
故选：ABD.
12．答案：，或，
解析：若直线，的斜率不存在，则的方程为，的方程为5，它们之间的距离为5，符合题意.若直线，的斜率存在，设直线的斜率为k，则的方程为，即，的方程为，即.因为直线与直线间的距离，解得，所以的方程为，的方程为.综上所述，符合题意的直线方程有两组，，或，.
13．答案：
解析：易知圆的圆心为,半径为3;
由圆心到直线的距离为,
所以直线被圆截得的弦长为.
14．答案：
解析：由圆,得.
所以圆心的坐标为,半径.
因为为等边三角形,所以.
所以圆心C到直线的距离为.
即,所以.
故答案为:.
15．答案：;
解析：因为直线与互相平行,
所以,解得,
则,
所以与之间的距离.
故答案为:;.
16．答案：
解析：若直线l的斜率不存在，直线l的方程为，
此时与两条直线的交点分别为，，不满足题意.
若直线l的斜率存在，设直线l的方程为.
由解得交点为.
因为点为MN的中点，所以，
代入直线可得.
解得.
所以所求直线的方程为.
17．答案：
解析：因为，在直线l上，
所以，.
根据两点间的距离公式，得
，
解得.
18．答案：
解析：由题意可知三条直线交于一点，
所以由解得
即交点坐标为.
将代入可解得.
19．答案：，，
解析：设已知边的对边所在直线的方程为，
由正方形的性质可得，解得（舍去）或.
所以已知边的对边所在直线的方程为.
由可得或.
所以另外两边所在直线的方程为，.
20．答案：（1）3
（2）1
解析：（1）记点P到直线l的距离为d，
由点到直线的距离公式，有.
（2）记点P到直线l的距离为d，
由点到直线的距离公式，有.
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