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2026-2027学年高中数学人教A版选择性必修一课时作业 2.5直线与圆、圆与圆的位置关系
一、选择题
1．已知半径为1的动圆与圆相切，则动圆圆心的轨迹方程是( )
A.
B.或
C.
D.或
2．已知直线与圆相交于A，B两点，若为正三角形，则实数a的值是( )
A. B. C.或 D.或
3．过点作圆的切线l，则l的方程为( )
A. B.或
C. D.或
4．已知圆，点P在直线上，过点P作圆C的切线，切点为A，则切线长的最小值为( )
A.1 B.2 C. D.4
5．过直线上一点P作圆的两条切线，，切点分别为A，B，当直线，关于直线对称时，线段PA的长为( )
A.4 B. C. D.2
6．已知直线，圆，则直线l与圆C的位置关系是( )
A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定
7．为圆内异于圆心的一点，则直线与该圆的位置关系为( )
A.相切 B.相交 C.相离 D.相切或相交
8．在平面直角坐标系内，若直线绕原点O逆时针旋转后与圆有公共点，则实数m的取值范围是( )
A. B.
C. D.
二、多项选择题
9．已知方向向量为的直线l与圆相切，则直线l的方程为( )
A. B.
C. D.
10．我们时常在地摊上看到这样的游戏:用几个完全相同的圆形小纸片去覆盖一个大圆纸片,不留任何缝隙完全将大圆纸片盖住则获胜.记小纸片半径为1,大圆纸片半径为,则( )（参考数值:,,）
A.仅使用2个小圆纸片时,可以保证玩家有获胜机会
B.仅使用3个小圆纸片时,可以保证玩家有获胜机会
C.仅使用3个小圆纸片时,可以保证玩家有获胜机会
D.仅使用4个小圆纸片时,可以保证玩家有获胜机会
11．已知直线与曲线有且仅有一个公共点,则b的取值可以是( )
A. B. C. D.1
三、填空题
12．若直线l：上存在相距为2的两个动点A，B，圆O：上存在点C，使得为等腰直角三角形（C为直角顶点），则实数a的取值范围为________.
13．直线与圆交于A，B两点，且的面积为2，则________________.
14．过作圆的两条切线，设切点分别为A，B，则直线的方程为______________.
15．已知圆与圆相交于A,B两点,则直线的方程为___________.
四、解答题
16．已知圆C的圆心在直线上，且经过点和.
(1)求圆C的标准方程；
(2)若过点的直线l与圆C交于A，B两点，且，求直线l的方程.
17．已知圆C经过,两点,且圆心C在直线上.
（1）求圆C的标准方程;
（2）过点的直线l与圆C交于P,Q两点.若,求l的方程.
18．已知数列的前n项和为,且满足,当时,.
(1)求数列的通项公式；
(2)若,求数列的前n项和.
19．已知圆,
(1)过点作直线l,其倾斜角为,求直线l被圆C截得的弦长；
(2)求过点的圆C的切线方程.
20．已知圆M经过两点，且圆心M在直线上.
(1)求圆M的方程；
(2)已知以A为端点的弦的长度为，求该弦所在直线方程.
参考答案
1．答案：D
解析：由，圆心为，半径为4，设动圆圆心为，若动圆与已知圆外切，则，即；若动圆与已知圆内切，则，即.综上所述，动圆圆心的轨迹方程是或.故选D.
2．答案：D
解析：由圆可得圆心，半径，为正三角形，边长为r，圆心到直线的距离，即，解得.故选D.
3．答案：B
解析：圆的圆心，半径，将点A的坐标代入圆C的方程等号的左端，得，则点A在圆C外.当l的斜率不存在时，直线l的方程为，点C到直线的距离为1，满足题意；当l的斜率存在时，设l的方程为，由直线l与圆C相切，得圆心C到直线l的距离，解得，则l的方程为，即，所以直线l的方程为或.故选B.
4．答案：B
解析：对于圆，其圆心坐标为，半径.根据点到直线的距离公式，可知圆C的圆心到直线l的距离.根据切线长、圆的半径和圆心到点P的距离构成直角三角形，设圆心到点P的距离为，由勾股定理可得，当取最小值时，最小，此时.故选B.
5．答案：C
解析：如图所示，圆心，连接CP，CA，因为直线，关于直线对称，所以CP垂直于直线，故，而，则.故选C.
6．答案：A
解析：已知直线，变形整理得，
由得即直线l恒过定点，把定点坐标代入圆C的方程的左端有，即该定点在圆C内，所以直线l与圆C相交.故选A.
7．答案：C
解析：由题意可知：圆的圆心为，半径，
因为M在圆内，且不为圆心，则，
则圆心到直线的距离为，
所以直线与该圆的位置关系为相离.
故选：C.
8．答案：D
解析：直线的斜率为-1，过点，绕原点O逆时针旋转后，斜率为Q，过点，得到直线，
若该直线与圆C存在公共点，
则圆心到直线的距离，
解得，
故选：D.
9．答案：AC
解析：由题意可得直线的斜率，
设直线方程为，
因为直线l与圆相切，所以，
所以直线l的方程为或.
10．答案：BCD
解析：对A,因为大圆半径大于1,所以当大小圆圆心重合时,显然两个小圆无法完全覆盖大圆.
当大小圆圆心不重合时,如图所示,过大圆圆心作与两圆心连线垂直的直径,
显然再用一个小圆无法覆盖直径位置部分,故A错误;
对BC,由对称性可知,只有当小圆均匀分布时才能使覆盖的圆最大.
当三个小圆圆心为正三角形的顶点,且三个圆刚好交于一点时,
此时能覆盖的最大圆为外接圆,
显然此时将三个小圆圆心向中心继续靠拢,可使得的边最大等于2,
此时能覆盖的圆半径最大,最大半径,故BC正确;
对D,当四个小圆圆心围成正方形,且四圆有共同交点时,
此时能覆盖的最大圆为正方形的外接圆,
易知此时正方形的边长刚好等于小于直径,外接圆半径为,故D正确.
故选:BCD
11．答案：ACD
解析：
12．答案：
解析：根据条件：相距为2的两个动点A，B，为等腰直角三角形（C为直角顶点），
可以确定点C为圆心在直线l上半径为1的动圆上的点，进而将问题转化为两个圆的位置关系解决.
记线段的中点为M，因为为等腰直角三角形（C为直角顶点），所以点C在以M为圆心，半径为1的圆上，又因为点C在圆O上，所以圆M和圆O有公共点，
即，
只需圆心O到直线l的距离，解得，
所以实数a的取值范围为.
故答案为：
13．答案：3或-1
解析：圆化为标准形式，圆心，半径；
面积（d为圆心到直线的距离），
由，得，即，解得；
圆心到直线的距离，即，解得或.
14．答案：
解析：解法一：由图可知，，，
所以，所以直线方程为.
解法二：，所以P，A，B，C四点均在以为直径的圆上，圆心为，半径为，故圆方程为，
由，得，所以直线方程为.
解法三：直线方程为，即，
故答案为.
15．答案：
解析：因为A,B两点坐标同时满足圆与圆的方程,
所以将圆与圆两式相减,可得直线的方程为.
16．答案：(1)
(2)或
解析：（1）点和的中点为，，
所以中垂线的，利用点斜式得方程为0，
联立方程得圆心坐标为，，
所以圆C的标准方程为.
（2）当过点的直线l斜率不存在时，直线方程为，
此时弦长，符合题意.
当过点的直线l斜率存在时，设直线方程为，
化简得，弦心距，
所以，解得，
所以直线方程为.
综上所述直线方程为或.
17．答案：（1）
（2）或
解析：（1）设圆心C的坐标为,则,
由,得,即,
由,解得,即,
则圆C的半径,
所以圆C的标准方程为.
（2）由（1）知,圆的圆心,半径,
圆心C到直线l的距离,
①若直线l的斜率不存在,即,
此时圆心到直线的距离,符合题意;
②若直线的斜率存在,设直线,
即,圆心C到直线l的距离,解得,
则直线,即,
所以直线l的方程为或.
18．答案：(1)
(2)
解析：(1)由当时,,得,
所以,得,
即,
所以数列从第二项开始为常数列,且,即；
当时,已知,,
所以,经检验不符合上式,
所以；
(2)由(1)知,；
,
当n为偶数时,
,
当n为奇数时,
,
综上,.
19．答案：(1)
(2)或
解析：(1)由圆,得,所以圆心,半径为,
因为直线l的倾斜角为,所以斜率为1,又直线过点,
所以直线l的方程为,即,
所以圆心到直线l的距离为,
所以直线l被圆C截得的弦长为；
(2)当过点的直线斜率不存在时,直线方程为,
圆心到直线的距离为5,所以直线与圆C相切,符合题意,
当过点的切线斜率存在时,设切线方程为,
所以,整理得,解得,
所以切线方程为,即；
综上所述：过点的圆C的切线方程为或.
20．答案：(1)
(2)或
解析：（1）因为，
所以的中垂线的斜率为，又的中点为，
所以的中垂线方程为即，
由，解得，又半径，
所以圆M的方程为.（或）
（2）若弦所在直线斜率不存在，
则弦长为8，不合题意，故所求弦的斜率存在.
设弦所在直线方程为，即，
设圆心到弦的距离为d，由所以，
即，解得或.
所以弦所在的直线方程为或.
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