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2026-2027学年高中数学人教A版选择性必修一课时作业 3.1椭圆
一、选择题
1．直线与椭圆总有公共点，则实数m的取值范围是( )
A. B. C. D.
2．已知椭圆的左、右焦点分别为，，若椭圆C上存在一点M使得的内切圆半径为，则椭圆C的离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
3．已知椭圆上有一点A，它关于原点的对称点为B，点F为椭圆的右焦点，且，，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
4．中心为原点，焦点在x轴上，且长轴长与短轴长之比为，焦距为的椭圆方程为( )
A. B. C. D.
5．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点A，B在该椭圆上，四边形是等腰梯形，且，，则C的离心率为( )
A. B. C. D.
6．已知椭圆，，，，四点中恰有三个点在椭圆C上，则这三个点是( )
A.，， B.，， C.，， D.，，
7．下列三图中的多边形均为正多边形,分别为正三角形、正四边形、正六边形,A、B是多边形的顶点,椭圆过A(和B)且均以图中的为焦点,设图①、②、③中椭圆的离心率分别为,则( )
A. B. C. D.
8．已知圆,定点,A是圆M上的一动点,线段的垂直平分线交于点P,则P点的轨迹C的方程是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．公比为q的等比数列的前n项和为,若,,则( )
A. B. C. D.
10．若椭圆的某两个顶点间的距离为4，则m的可能取值有( )
A. B. C. D.2
11．已知,椭圆,的离心率分别为,.若,则M的值可能为( )
A. B. C. D.
三、填空题
12．已知椭圆的一个顶点为，对于x轴上的点，椭圆E上存在点M，使得，则实数t的取值范围是____________________.
13．设，分别是椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，且，.若，则椭圆的标准方程为____________________.
14．已知M是椭圆上一点，，分别是椭圆的左、右焦点，点I是的内心，延长交线段于点N，若椭圆的离心率为e，则的值为____________.
15．椭圆的左、右焦点分别为,,点P为椭圆C上位于第一象限内的一点且的平分线交x轴于点,则椭圆C的离心率为___________.
四、解答题
16．已知椭圆的焦点是，且，离心率为.
(1)求椭圆的方程
(2)若过椭圆右焦点的直线l交椭圆于A，B两点，求的取值范围.
17．已知椭圆C的焦点为，，且椭圆C过点，直线不过点M，且与椭圆交于不同的两点A，B.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）求证：直线，与x轴总围成一个等腰三角形.
18．已知椭圆的左右顶点为A,B,,焦距为.
（1）求椭圆E的方程;
（2）设O为原点,D是E上不同于A,B的一点,的中点为M,直线与直线交于点Q,直线与E交于点P.是否存在点使得直线平行于直线成立 说明理由.
19．已知椭圆的离心率为，分别是椭圆的左，右焦点，点P为椭圆上任意一点，且面积的最大值为，所在的直线经过椭圆的中心O，现将坐标平面沿y轴折成一个直二面角，如图1 2所示.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若直线的斜率为1，求翻折后异面直线与所成角的余弦值；
(3)当M，N不在y轴上时，如图2，求面积的最大值.
20．已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合,且椭圆C的离心率为.
（1）求椭圆C的标准方程;
（2）过椭圆C的左顶点A且倾斜角为30°的直线交椭圆C于另一点B,O为坐标原点,求的面积.
参考答案
1．答案：C
解析：直线过定点，要满足该直线与椭圆总有公共点，则只需满足该点落在椭圆内或椭圆上，，又且，且，故选C.
2．答案：A
解析：设，则的面积为.
因为的内切圆半径为，又，
所以的面积可表示为，
所以，
则.
又因为，所以，
不等式两边同时平方得，而，所以，整理得，不等式两边同时除以，得，解得.又，故，即椭圆C的离心率的取值范围是.故选A.
3．答案：B
解析：设椭圆左焦点为，连接，，由A，B关于原点对称，可知四边形为平行四边形，
又，故，即平行四边形为矩形，
因此，.
在中，，
设，则，，
由椭圆的定义，得，
又，故，即，将代入，得，
故离心率.故选B.
4．答案：B
解析：由题意可得，即，又，即.结合，可得，解得，，所以椭圆方程为.故选B.
5．答案：B
解析：设椭圆C的半焦距为c，依题意，，，如图.
设，
四边形为等腰梯形，
，即，.
由椭圆定义知，，
，解得.故选B.
6．答案：D
解析：因为，两点关于y轴对称，所以椭圆经过，两点，又因为，所以椭圆不经过点，故椭圆经过，，点，故选D.
7．答案：B
解析：由图①知,,
由图②知,点在椭圆上,
,则,
整理得,解得,
由图③知,在椭圆上,
,则,
整理得,,
故选B.
8．答案：B
解析：由题可得圆心,半径为6,
是垂直平分线上的点,,
,
P点的轨迹是以为焦点的椭圆,且,,
,故P点的轨迹方程为.
故选：B.
9．答案：ABD
解析：由已知等比数列的公比为q,且,,
则,解得,
所以,,
故选:ABD.
10．答案：BCD
解析：由题意可知，，，
若这两个顶点为长轴的两个端点时，，；
若这两个顶点为短轴的两个端点时，，；
若一个顶点短轴的端点，另一个为长轴的端点时，，；
故选：BCD
11．答案：AB
解析：若,则,,则,
解得.
若,则,,则,
解得或（舍去）.
若,则,,,方程无解.
故选:AB.
12．答案：
解析：设，则.①
，，
由可得，即.②
由消去，整理得.
因为，所以.
因为，所以.
所以实数t的取值范围是.
13．答案：
解析：，，.又，.由椭圆定义可知，又，，，，椭圆的标准方程为.
14．答案：1
解析：
在中，连接，，因I是的内心，则，分别平分和，
由角平分线分线段成比例定理得：，则，
因为，，所以，
又因为椭圆的离心率，所以.
故答案为：1.
15．答案：
解析：已知椭圆,焦点,,且.
点P在第一象限,满足,该角的平分线交x轴于点.
在中,为角平分线,由角平分线定理有（证明见点睛）.
计算,,于是,即.
由椭圆定义得.
设,则,代入上式得,所以.
因此,.
在中,由余弦定理.
代入得.
化简得,离心率.
故椭圆C的离心率为.
16．答案：(1)
(2)
解析：（1）由题意可知，解得，，
所以椭圆的方程为.
（2）由椭圆的定义可知，
则，
当直线l的斜率不存在时，则，
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，
A，B两点的坐标分别为和，
由消y得，
，则，，
即
同理，则，
，
设
，当且仅当时等号成立，
所以，，
综上所述的取值范围是.
17．答案：（1）；
（2）详见解析
解析：（1）设椭圆的方程为，
则，解得，
所以椭圆的标准方程为.
（2）将代入并整理得
，
则，.
直线与椭圆交于不同的两点A，B，
，解得，
直线MA，MB的斜率存在且不为零.
设直线MA，MB的斜率分别为和，只要证明.
设，，
.
故原命题成立.
18．答案：（1）;
（2）不存在满足条件的点,理由见解析;
解析：（1）由椭圆性质,左右顶点距离,得;
焦距,得;
由椭圆关系,
因此椭圆E的方程为:;
（2）不存在满足条件的点D,
理由如下:由题意得,设,
中点M坐标为,直线的斜率方程为,令得,
直线的斜率方程为,
若,则,而,故,
将代入化简得:,
因为P在椭圆E上,代入椭圆方程,结合D在椭圆上满足,化简最终得:,
此时与重合,不符合“D不同于”的条件,因此不存在满足条件的点D.
19．答案：(1)
(2)
(3)2
解析：（1）由题意知，解得
椭圆C的标准方程为.
（2）翻折前，所在直线方程为，
联立，消x得，解得，
不妨设，，
翻折后，建立如图所示的空间直角坐标系.
则，，，
于是，
.
设异面直线与所成角为，
.
故异面直线与所成角的余弦值为.
（3）设翻折前所在直线方程为，
联立，消y得，
设，（令），
由韦达定理有，.
翻折后，，，
，，
故，，
则，
所以，
于是.
所以
，
令，有，
于是.
令，由对勾函数的性质，在上单调递增.
所以当时取得最小值，为，此时取得最大值，
的最大值为.此时，解得.
所以当直线的斜率时，面积取得最大值，最大值为2.
20．答案：（1）
（2）
解析：（1）抛物线的焦点为,则,
又椭圆C的离心率,则,所以,
故椭圆C的标准方程为;
（2）由（1）可知,椭圆C的左顶点,
则直线,即:,
设,,消去得,
解得或（舍去）,
所以.
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