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2026-2027学年高中数学人教A版选择性必修一课时作业 3.2双曲线
一、选择题
1．双曲线的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
2．双曲线的离心率为( )
A.2 B. C. D.
3．设双曲线的离心率是3，则其渐近线的方程为( )
A. B.
C. D.
4．点到双曲线的一条渐近线的距离为( )
A. B. C. D.
5．已知双曲线，顶点到渐近线的距离为，则离心率( )
A. B. C. D.2
6．已知双曲线C的焦点在y轴上,其渐近线方程为,则C的离心率为( )
A. B. C.2 D.
7．以为渐近线的双曲线的方程可以是( )
A. B. C. D.
8．双曲线（，）的左、右焦点分别为，，点P在双曲线右支上，直线的斜率为2.若是直角三角形，且面积为8，则双曲线的方程为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．已知P为双曲线右支上一点，那么点P到双曲线左焦点F的距离可能是( )
A.4 B.5 C.6 D.7
10．已知直线被双曲线截得的弦长为，则下列直线中被C截得的弦长也为m的有( )
A. B. C. D.
11．下列选项中与双曲线的离心率相同的曲线是( )
A. B.
C. D.
三、填空题
12．已知双曲线的实轴长是虚轴长的2倍，则C的离心率为_______________.
13．与双曲线有共同渐近线，且过点的双曲线方程为________.
14．已知是双曲线的两条渐近线,则双曲线的离心率是_____________.
15．已知双曲线，过作倾斜角分别为与的两条直线，，且，分别与C交于不与P重合的A，B两点，则的面积为____________.
四、解答题
16．求双曲线的离心率和渐近线方程.
17．已知双曲线（，）的离心率为2，求双曲线C的渐近线方程.
18．求双曲线的焦点到其渐近线的距离.
19．求双曲线的焦点坐标，并画出该双曲线的图形.
20．已知，分别为双曲线（，）的左、右焦点，过点作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，且，求该双曲线的渐近线方程.
参考答案
1．答案：A
解析：双曲线的渐近线方程为.故选：A.
2．答案：D
解析：双曲线的标准形式为，其中.
焦距c满足，故.
离心率公式为，代入，得.
3．答案：A
解析：双曲线的离心率是3，
可得，则.
则双曲线的渐近线的方程为：.
故选：A.
4．答案：A
解析：由题意可知,双曲线的渐近线方程为：,即,
结合对称性,不妨考虑点到直线的距离：.
故选：A.
5．答案：A
解析：双曲线的顶点到渐近线的距离为，
即，又，则，即，
则离心率.
故选：A.
6．答案：D
解析：因为双曲线C的焦点在y轴上,则其渐近线方程为,
又已知双曲线C的渐近线方程为,
则,所以双曲线的离心率.
故选：D.
7．答案：B
解析：对于选项A：令，解得，
所以双曲线的渐近线方程为，故A错误；
对于选项B：令，解得，
所以双曲线的渐近线方程为，故B正确；
对于选项C：令，解得，
所以双曲线的渐近线方程为，故C错误；
对于选项D：令，解得，
所以双曲线的渐近线方程为，故D错误.
8．答案：A
解析：方法一：如图，由，点P在双曲线右支上及是直角三角形可得，.由直线的斜率为2，，得直线的方程为，则直线的方程为，两方程联立解得，，所以点P的坐标为.因为的面积为8，所以，解得.所以，即，化简得，解得或（舍）.所以，所以双曲线的方程为，故选A.
方法二：同上得，.由双曲线的焦点三角形面积公式及的面积为8，得，所以，所以双曲线的方程为，故选A.
9．答案：CD
解析：由已知可得：
所以，所以
故选：CD
10．答案：AC
解析：双曲线C关于x轴、y轴和原点对称
若两直线关于x轴、y轴或原点对称，那么它们被双曲线截得的弦长相等.
对于A，直线与直线关于y轴对称，
它们被双曲线截得的弦长相等，故A正确；
对于B，直线与直线，
它们既不关于x轴对称，也不关于y轴和原点对称，
它们被双曲线截得的弦长不相等，故B错误；
对于C，直线与直线关于原点对称，
它们被双曲线截得的弦长相等，故C正确；
对于D，直线与直线，
它们既不关于x轴对称，也不关于y轴和原点对称，
它们被双曲线截得的弦长不相等，故D错误.
11．答案：ACD
解析：对于双曲线,,
所以,即,
对于A：,,
所以,即,正确；
对于B：,,
所以,即,错误；
对于C：,,
所以,即,正确；
对于D：,,
所以,即,正确；
故选：ACD.
12．答案：/
解析：因为C的实轴长是虚轴长的2倍，所以，
从而.
故答案为：
13．答案：
解析：设双曲线方程为，，
双曲线过点，，
，
故所求双曲线方程为：，即，
故答案为：
14．答案：
解析：因为渐近线为,因此可得,即.
双曲线中满足,将代入得,即.
因此离心率.
15．答案：5
解析：将点的坐标代入C的方程中，可得方程成立，故点P在双曲线C上.过点且倾斜角为的直线的斜率，则的方程为，即，代入C的方程中，化简可得，解得或，当时，，故点A的坐标为.过点且倾斜角为的直线的斜率，则的方程为，即，代入C的方程中，化简可得，解得或，当时，，故点B的坐标为.因为，所以，所以是直角三角形，且，，故.
16．答案：离心率，其渐近线方程为，
解析：若，双曲线的方程为，
则，所以离心率，
其渐近线方程为，.
若，双曲线的方程为，则，
所以离心率，
其渐近线方程为，.
17．答案：
解析：由可得，
所以渐近线方程为.
18．答案：3
解析：由已知可得双曲线的一个焦点为，
一条渐近线方程为，
焦点到渐近线的距离为.
19．答案：，；图见解析
解析：因为双曲线方程为，所以，，
因为，所以，，
所以双曲线的焦点坐标为和；
双曲线的图形如下所示：
20．答案：
解析：设，，则，
解得，所以.
在中，，所以，即.①
将代入①式，解得或（舍去），
故，所以该双曲线的渐近线方程为.
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