资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
2026-2027学年高中数学人教A版选择性必修一课时作业 3.3抛物线
一、选择题
1．抛物线的准线与直线的距离为3，则此抛物线的方程为( )
A. B.
C.或 D.或
2．在平面内，“点P到某定点的距离等于其到某条定直线的距离”是“点P的轨迹为抛物线”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3．在平面直角坐标系内，到点和直线的距离相等的点的轨迹是( )
A.直线 B.抛物线 C.圆 D.双曲线
4．如图，设抛物线的焦点为F，过x轴上一点A作直线l交C于B，D两点，若，，则( )
A.4 B.3 C. D.
5．已知某抛物线的顶点为坐标原点，焦点在直线上，则该抛物线的标准方程为( )
A. B.
C.或 D.或
6．已知圆，直线，则与直线l相切且与圆F外切的圆的圆心M的轨迹方程是( )
A. B. C. D.
7．已知直线和直线，抛物线上一动点P到直线、直线的距离之和的最小值是( )
A.1 B.2 C. D.3
8．抛物线的焦点坐标是，则焦点到准线的距离为( )
A.1 B. C. D.2
二、多项选择题
9．顶点在原点，对称轴是坐标轴，并且经过点的抛物线的标准方程是( )
A. B. C. D.
10．已知抛物线的焦点为F，准线过点，M是抛物线上的动点，则( )
A.
B.当时，t的最小值为
C.点M到直线的距离的最小值为2
D.当时，直线ON的斜率的最大值为
11．方程表示的曲线不可能为( )
A.抛物线 B.椭圆 C.双曲线 D.圆
三、填空题
12．设抛物线的准线为l,为C上一点,则P到l的距离为____________.
13．记抛物线（,）与x轴的交点为T,与y轴的交点为A,B,若,为等腰直角三角形,则________.
14．已知抛物线的顶点到焦点的距离为3,则_______________.
15．顶点在原点,关于y轴对称,且过点的抛物线的标准方程是___________.
四、解答题
16．已知圆与抛物线在x轴下方的交点为A，与抛物线C的准线在x轴上方的交点为B，且点A，B关于直线对称.
（1）求抛物线C的方程；
（2）若点M，N是抛物线C上与点A不重合的两个动点，且，求证：直线过定点，并求出定点坐标.
17．已知动点到直线的距离与到点距离相等,设动点P的轨迹为曲线E.
（1）求曲线E的方程;
（2）直线l与曲线E交于两点,若线段的中点坐标为,求直线l的方程.
18．已知抛物线的焦点为上一点到焦点F的距离为4.
（1）求抛物线C的方程.
（2）过焦点F的直线l与C交于两点,过两点分别作抛物线C的切线,这两条切线相交于点P.
①求的值;
②求面积的最小值.
19．已知抛物线C关于x轴对称,它的顶点在原点O,并且经过点.
（1）求抛物线C的标准方程;
（2）设直线与交于A,B两点.
①当时,求的面积;
②过点A,B分别作抛物线C的切线交于点P,证明:点P在定直线上.
20．经过抛物线的焦点的直线l交该抛物线于M，N两点，求的取值范围.
参考答案
1．答案：D
解析：将化为，其准线方程为.
由题意知或，解得或.
则所求抛物线的标准方程为或.
2．答案：B
解析：若点P的轨迹为抛物线，则点P到焦点的距离等于其到准线的距离.但若点P到某定点的距离等于其到某条定直线的距离，且该定点在该定直线上，则点P的轨迹是过定点且与定直线垂直的直线.故“点P到某定点的距离等于其到某条定直线的距离”是“点P的轨迹为抛物线”的必要不充分条件.故选B.
3．答案：A
解析：点在直线上，所求点的轨迹是过点且与直线垂直的直线.
4．答案：B
解析：由题知抛物线C的焦点为，准线方程为.如图，
过点B向准线作垂线，垂足为N，交x轴于点E，根据抛物线的定义得，所以.
过点D向准线作垂线，垂足为G，交x轴于点C，根据抛物线的定义得，所以.所以在中，由得，所以.故选B.
5．答案：D
解析：易知直线与x轴的交点为，与y轴的交点为，
当抛物线的焦点在x轴上时，可得焦点坐标为，此时抛物线的标准方程为；
当抛物线的焦点在y轴上时，可得焦点坐标为，此时抛物线的标准方程为.故选D.
6．答案：B
解析：由图可知，点M到点F的距离比到直线l的距离大1，记直线为直线，则点M到点F的距离等于点M到直线的距离，由抛物线的定义可知，点M的轨迹为顶点在原点，且开口向左的抛物线，其中，所以点M的轨迹方程为，故选B.
7．答案：B
解析：由题意可得，抛物线的焦点为，准线为.
由题意知点F到直线的距离为.
点P到直线的距离为，点P到直线的距离为，
所以，当且仅当点P在点F到直线的垂线段上，即点位置时（如图），等号成立.故动点P到直线、直线的距离之和的最小值是2.故选B.
8．答案：A.
解析：由题意，，即抛物线标准方程为，所以焦点到准线的距离为，
故选：A.
9．答案：BC
解析：因为抛物线经过，所以抛物线开口向左或开口向上，
设开口向左的抛物线方程为（），
将点代入，得，
所以开口向左的抛物线方程为，
故B正确，D错误；
设开口向上的抛物线方程为（），
将点代入，得，
所以开口向上的抛物线方程为，
故C正确，A错误.
故选:BC.
10．答案：ABD
解析：易知抛物线的准线方程为，
因为准线过点，所以，则抛物线的方程为，A正确；
设，
对于B选项，当时，；
当时，
，当且仅当时，等号成立，
综上，t的最小值为，B正确；
易知到直线的距离
当时，，C错误；
易知抛物线的焦点，
因为，所以，
当时，；
当时，，
当且仅当时，等号成立.D正确.
故选ABD.
11．答案：BCD
解析：解:设P(x,y),由方程得,
点P到点F(2,2)的距离等于点P到直线的距离,
又点F不在直线上,
由抛物线的定义得,曲线为抛物线.
故选:BCD
12．答案：6
解析：由抛物线,可得焦点为,准线l方程为,
因为为C上一点,
根据抛物线的定义,可得点P到准线l距离为.
13．答案：3
解析：显然,由得,注意到由对称性必有,
故,于是,,而,故.
14．答案：12
解析：因为抛物线的顶点到焦点距离为,故,故,
故答案为:12.
15．答案：
解析：根据抛物线关于y轴对称,且过的点在第一象限,
因此抛物线开口向上,可设抛物线的标准方程为,
所以,解得,
所以抛物线的标准方程是.
16．答案：（1）；
（2）存在；定点坐标为.
解析：（1）将代入，
得，所以，
由点A，B关于直线对称，可得，
将A的坐标代入抛物线C的方程得，解得，
所以抛物线C的方程为.
（2）证明：由（1）得，
设，，直线的方程为.
将直线的方程代入得，所以，
所以，.因为，
所以
，
由题意可知，，所以.
所以，即，
所以，即，
所以直线的方程为，
直线过定点，定点坐标为.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）由已知得:动点M的轨迹是以为焦点,为准线的抛物线
所以曲线E的方程为.
（2）设,则
两式相减得,由题意易知,
整理可得.
因为线段的中点坐标为,易知在抛物线内部,且,
所以直线l的斜率,
故直线l的方程为,即.
18．答案：（1）
（2）①0;
②4.
解析：（1）因为,所以,解得,
所以抛物线C的方程为.
（2）①由（1）知焦点F的坐标为.
设直线l的方程为.
联立,得,
则,且.
设切线的方程为,
联立,得,
令,得,
即,解得,
所以切线的方程为,即,
设切线的方程为,
联立,得,
令,得,
即,解得,
所以切线的方程为,即,
联立,得,
因为,所以即,所以
,即
②因为,
点P到直线l的距离,
所以,
显然,当时,的面积取得最小值4.
19．答案：（1）
（2）①;
②证明见解析
解析：（1）由题意,可设抛物线的标准方程为.,
因为点在抛物线上,可得,解得,
所以抛物线C的标准方程为.
（2）①当时,直线,
联立方程组,整理得,
方程的判别式,
设,,则,,
所以,
又由O到直线的距离,
所以的面积;
②联立方程组,整理得,
设,,则且,,
不妨设A在第一象限,则A在曲线上,则有,
则在处的切线方程为,
又由,可得在A处的切线方程为,
同理可得,点B在曲线上,则有,
则在处的切线方程为,且;
所以在B处的切线方程为,
联立方程组,解得,所以点P在定直线上.
20．答案：
解析：抛物线的焦点为，准线为.
设，，
则由抛物线的定义可知.
解法一：当过焦点的直线斜率不存在时，，此时.
当过焦点的直线斜率存在时，
设直线的方程为，代入化简、整理，
得，，
所以.
综上，.
解法二：设直线MN的方程为，
将其代入，化简、整理，得.
所以
，
综上，.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑