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第02讲 立方根（1大知识点+7大典例+变式训练+过关检测）
典型例题一 立方根的概念理解
典型例题二 求一个数的立方根
典型例题三 已知一个数的立方根，求这个数
典型例题四 与立方根有关的规律探索
典型例题五 立方根新定义运算
典型例题六 立方根的实际应用
典型例题七 算术平方根和立方根的综合应用
知识点01 立方根
1. 定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：．
2. 正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根．
3. 求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数．
注意：符号中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根．
总结：
类型 项目 平方根 立方根
被开方数 非负数 任意实数
符号表示
性质 一个正数有两个平方根，且互为相反数； 零的平方根为零； 负数没有平方根； 一个正数有一个正的立方根； 一个负数有一个负的立方根； 零的立方根是零；
重要结论
【即时训练】
1．（25-26八年级上·上海闵行·期中）估计的值在（ ）
A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间
2．（25-26八年级上·上海崇明·期中）计算__________．
【典型例题一 立方根的概念理解】
【例1】（25-26七年级下·安徽亳州·期中）下列关于立方根的说法，正确的是（ ）
A．负数没有立方根 B．的立方根是4
C．立方根等于它本身的数只有0和1 D．互为相反数的两个数的立方根也互为相反数
【例2】（25-26八年级上·上海松江·阶段检测）式子表示的意义是（ ）
A．的平方根是 B．的立方根是
C．的立方根是 D．的平方根是
【例3】（25-26八年级上·上海嘉定·课后作业）若有意义，则x的取值范围是_________．
【例4】（25-26七年级下·上海杨浦·阶段检测）已知，，则____________．
1．（24-25七年级下·北京·期中）依据图中呈现的运算关系，回答下列问题．
(1)直接写出上图中__________．
(2)若，求x的值．
2．（25-26七年级下·北京海淀·期中）类比探究：
小红同学在学方根（二次方根）、立方根（三次方根）的知识后，想要类比探究四次方根、五次方根的相关知识：
若，则叫的二次方根；若，则叫的三次方根；
若，则叫的四次方根，记作，例如：16的四次方根记为．
请认真阅读上面的材料，回答下列问题：
(1)①类似地，若____________，则叫的五次方根，记作____________；
②32的五次方根为____________；
(2)若，则____________；
(3)求的值：．
3．（24-25七年级下·山东滨州·阶段检测）爱学习爱思考的小明，在家利用计算器计算得到下列数据：
… …
… …
(1)你发现的规律是被开方数扩大倍，它的算术平方根扩大 ；
(2)已知（精确到），并用上述规律直接写出各式的值： ， ；
(3)已知则 ， ．
(4)类似小明的探究，把表中所有平方根换成立方根，你能根据，直接说出和的近似值吗？
【典型例题二 求一个数的立方根】
【例1】（2026·四川绵阳·二模）若，则x等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【例2】（25-26七年级下·湖南湘西·期中）下列各式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【例3】（25-26七年级下·天津北辰·期中）的立方根等于______．
【例4】（25-26七年级下·广西北海·期中）已知，则的值是_____．
1．（25-26七年级下·河北沧州·阶段检测）已知的立方根是，的算术平方根为3，，且．
(1)求，，的值；
(2)求的平方根；
(3)求的立方根．
2．（25-26七年级下·广东广州·期中）【定义】用表示一个数对，其中a为任意数，．记，，将数对和称为数对的“开方对称数对”．例如：数对的开方对称数对为和．
【运用】
(1)直接写出数对的开方对称数对______；
(2)若数对的一个开方对称数对是，求a，b的值；
(3)若数对的一个开方对称数对是，求的值．
3．（25-26七年级下·福建龙岩·期中）阅读与思考
小明研究大数的立方根后写下如下报告．
以的立方根为例求大数的立方根
①首先进行了估算：因为
，
所以是两位数；
②其次观察了立方数：
，
…，猜想个位数字是；
③接着将往前移动位小数点后约为，因为，所以的十位数字应为，于是猜想、验证，得的立方根是；
④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现．
结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；
反之，也成立．
请你根据小明的方法和结论，完成下列问题：
(1)计算的立方根（仿照材料中的方法）
(2)若,则=______.
(3)已知，求的值．
【典型例题三 已知一个数的立方根，求这个数】
【例1】（24-25八年级上·河南周口·阶段检测）若是实数M的立方根，则实数M是（ ）
A．9 B．27 C． D．
【例2】（25-26七年级下·河南新乡·期中）已知是整数，则满足条件的正整数最小是（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【例3】（24-25八年级上·上海嘉定·课后作业）若，则______．
【例4】（24-25八年级上·河北邢台·期中）如图，依据题意，可得_____________，_____________．

1．（25-26七年级下·新疆·期中）计算
(1)．
(2)已知的平方根是，的立方根是3，求的算术平方根．
2．（25-26八年级上·江西抚州·阶段检测）已知某正数的两个平方根分别是和，且的立方根为，求和的值．
3．（24-25七年级下·甘肃酒泉·阶段检测）（1）已知的立方根是，的算术平方根是，求的平方根．
（2）若一个正数的平方根是和，求这个正数．
【典型例题四 与立方根有关的规律探索】
【例1】（25-26七年级下·福建南平·期中）若，，则（ ）
A．12.89 B．27.76 C．128.9 D．277.6
【例2】（25-26七年级下·河南信阳·阶段检测）小慧同学通过计算观察下列正数的立方根运算，发现了一定规律：运用你发现的规律，探究下列问题：已知，则（ ）
0.004096 4.096 4096 4096000 4096000000
0.16 1.6 16 160 1600
A．0.235 B．0.0235 C．0.00235 D．2.35
【例3】（25-26七年级下·江西赣州·期中）利用计算器求得，，，则___________．
【例4】（25-26七年级下·福建莆田·期中）我国古代数学经典《九章算术·少广》中，系统记载了开平方、开立方的算法，是世界上最早系统论述开方运算的文献之一．魏晋数学家刘徽在为《九章算术》作注时，进一步完善了开方术，提出“开方不尽求微数”的思想，开创了十进制小数表示无理数的先河，为后世根式运算奠定了重要基础．今有算题：若，，则b等于_______．
1．（25-26七年级下·辽宁鞍山·期中）探究某些数的算术平方根、立方根：
(1)探究算术平方根：下面是探究1849的算术平方根的过程，请将运算过程补充完整：
①由，可以确定是______位数；
②由1849的个位上的数是9，可以确定的个位上的数是______；
③如果划去1849后面的两位49得到数18，而，，那么1849的算术平方根可能是____________；因为，而，所以1849的算术平方根=____________．
(2)请根据上述研究思路求103823的立方根，并写出完整的推理过程．
2．（24-25七年级下·甘肃庆阳·期中）观察下列正数的立方根运算，并完成下列问题：
(1)用语言叙述上述表格中的规律：在立方根运算中，被开方数的小数点每向右移动三位，相应的立方根的小数点就向___________移动___________位；
(2)运用你发现的规律，探究下列问题：已知，则___________，___________．
(3)类比上述立方根运算：已知，则___________，___________．
3．（24-25七年级下·广东汕头·期中）（1）填表：
a 0.000008 0.008 8 8000
（2）观察上表，表中数a的小数点的移动与它的立方根的小数点的移动之间有何规律？请用语言叙述这个规律：______；
（3）根据你发现的规律解答：
①已知，，，则介于哪两个整数之间？
②已知，则______；
③用铁皮制作一个封闭的正方体，它的体积是1.843立方米，问需要多大面积的铁皮？（结果精确到0.01平方米）
【典型例题五 立方根新定义运算】
【例1】（24-25七年级下·内蒙古鄂尔多斯·阶段检测）定义一种新的运算：．计算：的值是（ ）
A．2 B．5 C．10 D．
【例2】（2026七年级下·黑龙江哈尔滨·专题练习）对于实数、，定义运算“”如下：，则关于的结果，下列说法正确的是（ ）
A．平方根是 B．算术平方根是 C．立方根是2 D．立方根是
【例3】 （24-25八年级上·四川眉山·阶段检测）定义新运算的法则为，则________．
【例4】（24-25八年级上·河南周口·阶段检测）【新考向】阅读下列材料：要求59319的立方根，我们可以这样想：①，即59319的立方根是一个两位数；②因为59319的个位数字是9，而，所以能确定的个位数字是9；③如果划除59319后面的三位数，得到59，而，可得，所以的十位数字是3，所以．
请根据上面的材料回答下列问题：______．
1．（25-26八年级上·河北保定·阶段检测）定义一种新运算“”：对于有理数和，．例：；．
(1)计算：__________，________；
(2)若，，求和的值．
2．（24-25七年级下·广西南宁·阶段检测）【阅读与应用】
【问题提出】
对于任意实数，定义一种新运算，例如：．
【初步感知】
（1）求的值；
【拓展运用】
（2）若实数满足，求的值．
3．（24-25七年级下·山东德州·期中）请认真阅读下面的材料，再解答问题．
我们学方根与立方根后，可以类比平方根（即二次方根）和立方根（即三次方根）的定义．给出四次方根、五次方根的定义．
比如：若，则叫的二次方根：
若，则叫的三次方根；
若，则叫的四次方根．
(1)依照上面的材料，请你给出五次方根的定义；的五次方根为_____；
(2)若有意义，则的取值范围是______；若有意义，则的取值范围是_____
(3)求的值：．
【典型例题六 立方根的实际应用】
【例1】（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期中）一个正方体的体积是 ，则它的表面积是（ ）
A．96 B．64 C．32 D．16
【例2】（25-26七年级下·广西桂林·期中）一种正方体形状的集装箱，体积是，这种正方体集装箱的棱长是（ ）
A． B． C． D．
【例3】（24-25七年级下·陕西西安·期中）某甜品店的李师傅制作的长方体月饼礼盒的体积为，而康师傅制作的正方体月饼礼盒的体积是李师傅制作的1.5倍，则康师傅制作的正方体月饼礼盒的棱长为________．
【例4】（24-25七年级下·山西吕梁·阶段检测）如图，二阶魔方为的正方体结构，本身只有8个方块，没有其他结构的方块，已知二阶魔方的体积约为（方块之间的缝隙忽略不计），则每个方块的棱长为________．
1．（25-26七年级下·湖北孝感·期中）将棱长为的正方体铁块在炉火中熔化，重新铸成8个大小形状相同的长方体铁块，且长方体铁块的长、宽、高的比为，求铸成的长方体铁块的长、宽、高各是多少？
2．（24-25七年级下·陕西安康·期中）你知道怎样迅速准确地计算出195112的立方根是多少吗？请按照下面的问题试一试：
（1）由，，推出是______位数；
（2）由195112的个位数是2，推出的个位数是______；
（3）如果划去195112后面的三位112，得到195，而，，推出的十位数是______，所以，______．
3．（24-25七年级下·湖北随州·期中）“动手启智慧，课外展风采”．在某次学生课外素质成果展活动中，王明打算利用一张面积为的正方形卡纸裁出需要的形状进行手工制作．
(1)求正方形卡纸的边长．
(2)按图①的方式裁出一个长方形（图中阴影部分），要求长方形的长与宽的比为，裁出的长方形的面积能是吗？请通过计算说明．
(3)按图②的方式裁出阴影部分，将其沿虚线折叠得到一个正方体，若正方体的体积为，求该正方体的表面积．
【典型例题七 算术平方根和立方根的综合应用】
【例1】（24-25八年级上·广东佛山·阶段检测）一个数的算术平方根是8，则这个数的立方根是（ ）
A．8或-8 B．4或-4 C．-4 D．4
【例2】（24-25七年级下·云南昆明·期末）如果的算术平方根是2，27的立方根是，则（ ）
A． B．1 C． D．3
【例3】（24-25七年级下·黑龙江黑河·期末）如果的立方根是，则的算术平方根为______．
【例4】（24-25八年级上·江苏泰州·期中）如果的算术平方根是2，27的立方根是，则______．
1．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段检测）已知某正数的两个平方根分别是和，b的立方根是．求的算术平方根．
2．（24-25七年级下·山东日照·阶段检测）已知的立方根是，的算术平方根是3．
(1)求a，b的值；
(2)若，且c是整数，求的平方根．
3．（24-25八年级上·江苏·期中）小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出的立方根？他进行了如下步骤：
①首先进行了估算：因为，，所以是两位数；
②其次观察了立方数：，，，，，，，，；猜想的个位数字是7；
③接着将50653往前移动3位小数点后约为50，因为，，所以的十位数字应为3，于是猜想，验证得：50653的立方根是37；
④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立．
请你根据小明的方法和结论，完成下列问题：
(1)______；
(2)若，则______；
(3)已知，且与互为相反数，求x，y的值．
1．（24-25八年级上·上海嘉定·课后作业）已知一个数的立方根等于它本身，则这个数是（ ）
A．1 B． C．0 D．或0或1
2．（24-25八年级上·上海长宁·课后作业）已知，，，则的值约是（ ）
A．24.72 B．53.25 C．11.47 D．114.7
3．（25-26八年级上·浙江湖州·期末）对问题“已知，求的值”，甲、乙两人的说法如下：
甲：的值是；乙：甲考虑的不全面，还有另一个值．
下列对甲、乙说法的判断正确的是（ ）
A．甲说得对，符合条件的x的值只有1 B．乙说得对，还有另一个值2
C．乙说得对，还有另一个值 D．两人说得都不对，应有个不同值
4．（24-25七年级下·广西南宁·期末）如图，由27个完全相同的小正方体组成的大正方体的体积为27，则小正方体的棱长是（ ）
A．1 B．3 C．9 D．27
5．（24-25七年级下·四川德阳·期中）课堂上老师提出一个问题：“一个数是74088，它的立方根是多少？”小明脱口而出：“42”．老师十分惊奇，忙问计算的奥妙．小明给出以下方法：
①由103＝1000，1003＝1000000，能确定是两位数；
②由74088的个位上的数是8，因为，能确定的个位上的数是2；
③如果划去74088后面的三位088得到数74，而，由此能确定的十位上的数是4．
（提示：）
已知为整数，请利用以上方法，则的每位数上的数字之和为（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
6．（2025·上海·模拟预测）若，则__________
7．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）实数的整数部分是________．
8．（24-25七年级下·江西南昌·期中）已知，则的值为___________
9．（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）观察下表规律，利用规律解答，若，则_________．
0.008 8 8000 8000000
0.2 2 20 200
10．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）把两个半径分别为和的铅球熔化后做成一个更大的铅球，则这个大铅球的半径是_____cm（球的体积公式，其中是球的半径）．
11．（24-25八年级上·河北沧州·期中）（1）已知，求的值；
（2）已知实数的一个平方根是的立方根是，求的算术平方根．
12．（24-25七年级下·四川泸州·期末）已知一个正数的平方根分别是和，又的立方根为．
(1)求a，b的值；
(2)求的算术平方根．
13．（25-26七年级下·河南安阳·阶段检测）按要求完成以下问答
(1)已知的算术平方根是7，的立方根是2．求的平方根；
(2)已知和是正数a的平方根，求正数a的值．
14．（24-25七年级下·陕西咸阳·阶段检测）已知甲正方体纸盒的底面积为，乙正方体纸盒的体积比甲正方体纸盒的体积大，丙正方体纸盒的体积是乙正方体纸盒体积的．
(1)求乙正方体纸盒的棱长；
(2)求丙正方体纸盒的棱长．
15．（25-26七年级下·河北秦皇岛·期中）探索与应用，先填写下表，通过观察后再回答问题：
… 0.0001 0.01 1 100 10000 …
… 0.01 1 100 …
(1)表格中________，________；
(2)从表格中探究与数值变化的规律，并利用这个规律解决下面两个问题：
①已知，则________；
②已知，若，则________；
(3)拓展：已知，，，则________．
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第02讲 立方根（1大知识点+7大典例+变式训练+过关检测）
典型例题一 立方根的概念理解
典型例题二 求一个数的立方根
典型例题三 已知一个数的立方根，求这个数
典型例题四 与立方根有关的规律探索
典型例题五 立方根新定义运算
典型例题六 立方根的实际应用
典型例题七 算术平方根和立方根的综合应用
知识点01 立方根
1. 定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：．
2. 正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根．
3. 求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数．
注意：符号中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根．
总结：
类型 项目 平方根 立方根
被开方数 非负数 任意实数
符号表示
性质 一个正数有两个平方根，且互为相反数； 零的平方根为零； 负数没有平方根； 一个正数有一个正的立方根； 一个负数有一个负的立方根； 零的立方根是零；
重要结论
【即时训练】
1．（25-26八年级上·上海闵行·期中）估计的值在（ ）
A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间
【答案】A
【分析】找到介于5两侧的完全立方数，即可确定的取值范围．
【详解】解：，
，
，
即的值在1到2之间．
2．（25-26八年级上·上海崇明·期中）计算__________．
【答案】4
【分析】根据立方根的定义求出的值，再根据有理数的符号运算法则计算，即可得到最终结果．
【详解】解：．
【典型例题一 立方根的概念理解】
【例1】（25-26七年级下·安徽亳州·期中）下列关于立方根的说法，正确的是（ ）
A．负数没有立方根 B．的立方根是4
C．立方根等于它本身的数只有0和1 D．互为相反数的两个数的立方根也互为相反数
【答案】D
【分析】根据立方根的定义与性质，逐一判断各选项，即可得到正确结果．
【详解】解：∵任何实数都有立方根，负数的立方根是负数，∴ 选项A错误；
∵，4的立方根是，不是4，∴选项B错误；
∵立方根等于它本身的数有，，，∴选项C错误；
∵对任意实数，都有，即互为相反数的两个数的立方根也互为相反数，∴D正确．
【例2】（25-26八年级上·上海松江·阶段检测）式子表示的意义是（ ）
A．的平方根是 B．的立方根是
C．的立方根是 D．的平方根是
【答案】C
【分析】本题考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的定义是解题的关键．
根据立方根的定义判断即可．
【详解】∵表示的立方根，
∴表示的立方根是，
故选：C．
【例3】（25-26八年级上·上海嘉定·课后作业）若有意义，则x的取值范围是_________．
【答案】任意实数
【分析】本题考查了立方根有意义的条件，熟练掌握立方根有意义的条件是解题的关键．
根据立方根的性质，立方根有意义的条件是被开方数可以是任意实数，因此的取值范围没有限制．
【详解】解：∵立方根运算对任意实数都有意义，
∴对于，可以是任意实数，
即的取值范围是任意实数．
故答案为：任意实数．
【例4】（25-26七年级下·上海杨浦·阶段检测）已知，，则____________．
【答案】
【分析】本题考查立方根的运算性质，将变形为，再利用立方根的乘法性质拆分计算，结合已知条件即可求出结果．
【详解】．
1．（24-25七年级下·北京·期中）依据图中呈现的运算关系，回答下列问题．
(1)直接写出上图中__________．
(2)若，求x的值．
【答案】(1)5
(2)
【分析】此题考查了立方根和平方根，熟练掌握立方根和平方根的性质是解题的关键．
（1）根据互为相反数的立方根仍然互为相反数得到，即可求出a的值；
（2）根据平方根的定义得到，，进一步得到，利用平方根的意义解方程即可．
【详解】（1）解：∵y的立方根是，的立方根是，
∴，
解得，
故答案为：5
（2）∵x的平方根是和，
∴，，
∵，
∴
即
解得，
∵，
∴，即x的值为．
2．（25-26七年级下·北京海淀·期中）类比探究：
小红同学在学方根（二次方根）、立方根（三次方根）的知识后，想要类比探究四次方根、五次方根的相关知识：
若，则叫的二次方根；若，则叫的三次方根；
若，则叫的四次方根，记作，例如：16的四次方根记为．
请认真阅读上面的材料，回答下列问题：
(1)①类似地，若____________，则叫的五次方根，记作____________；
②32的五次方根为____________；
(2)若，则____________；
(3)求的值：．
【答案】(1)① ，；②
(2)
(3)或
【分析】本题类比已学的二次方根、三次方根、四次方根的定义，探究五次方根的相关知识，整体解题思路为：先根据已知定义类比得到五次方根的概念，再结合非负数的性质、一元方程的求解方法，利用乘方与开方互逆运算计算各小题的结果．
【详解】（1）解：①根据题干给出的二次方根、三次方根、四次方根的定义，类比可得，若
，则x叫a的五次方根，记作．
②∵，
∴32的五次方根为2．
（2）解：∵，，且，
∴，，
解得，，
∴，
∵，
∴．
（3）解：∵，
∴，
∴
∴，
∴，
解得，．
3．（24-25七年级下·山东滨州·阶段检测）爱学习爱思考的小明，在家利用计算器计算得到下列数据：
… …
… …
(1)你发现的规律是被开方数扩大倍，它的算术平方根扩大 ；
(2)已知（精确到），并用上述规律直接写出各式的值： ， ；
(3)已知则 ， ．
(4)类似小明的探究，把表中所有平方根换成立方根，你能根据，直接说出和的近似值吗？
【答案】(1)倍
(2)；
(3)；
(4)能直接说出，不能直接说出的值
【分析】（1）根据根号内的小数点移动规律即可求解，算术平方根的规律为，根号内的小数点移动2位，对应的结果小数移动1位其结果的小数点移动一位，小数点的移动方向保持一致；
（2）根据规律进行计算即可求解；
（3）根据规律进行计算即可求解；
（4）根据根号内的小数点移动规律即可求解，立方根的规律为，根号内的小数点移动3位，其结果的小数点移动一位，小数点的移动方向保持一致．
【详解】（1）解：被开方数扩大倍，它的算术平方根扩大倍,
故答案为：倍．
（2）（精确到），并用上述规律直接写出各式的值：；，
故答案为：；．
（3）∵
∴；
（4）解：∵，
∴，不能直接说出的值
【点睛】本题考查了算术平方根与立方根的应用，掌握小数点的移动规律是解题的关键．
【典型例题二 求一个数的立方根】
【例1】（2026·四川绵阳·二模）若，则x等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】A
【详解】解：
．
【例2】（25-26七年级下·湖南湘西·期中）下列各式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：A、，正确，符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算错误，不符合题意．
【例3】（25-26七年级下·天津北辰·期中）的立方根等于______．
【答案】/
【详解】解：的立方根为．
【例4】（25-26七年级下·广西北海·期中）已知，则的值是_____．
【答案】
【分析】先根据算术平方根的定义求出的值，再将代入所求式子，根据立方根的定义计算得到结果．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴．
1．（25-26七年级下·河北沧州·阶段检测）已知的立方根是，的算术平方根为3，，且．
(1)求，，的值；
(2)求的平方根；
(3)求的立方根．
【答案】(1)，，
(2)
(3)
【详解】（1）解：的立方根是，
，
；
的算术平方根为3，
，
，且，
；
（2）解：由（1）可知：，，，
∴，
的平方根为；
（3）解：，
的立方根为.
2．（25-26七年级下·广东广州·期中）【定义】用表示一个数对，其中a为任意数，．记，，将数对和称为数对的“开方对称数对”．例如：数对的开方对称数对为和．
【运用】
(1)直接写出数对的开方对称数对______；
(2)若数对的一个开方对称数对是，求a，b的值；
(3)若数对的一个开方对称数对是，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)24或
【分析】本题考查了立方根及算术平方根，
（1）根据题意求出即可；
（2）分情况讨论即可；
（3）分情况讨论求出的值，再代入求值即可．
【详解】（1）解：由题意得，
∴数对的开方对称数对为；
（2）解：数对的一个开方对称数对是，
①，
此时无意义，故舍去；
②，
解得；
综上，；
（3）解：数对的一个开方对称数对是，
①，
解得，
∴；
②，
解得；
∴；
综上，的值为24或．
3．（25-26七年级下·福建龙岩·期中）阅读与思考
小明研究大数的立方根后写下如下报告．
以的立方根为例求大数的立方根
①首先进行了估算：因为
，
所以是两位数；
②其次观察了立方数：
，
…，猜想个位数字是；
③接着将往前移动位小数点后约为，因为，所以的十位数字应为，于是猜想、验证，得的立方根是；
④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现．
结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；
反之，也成立．
请你根据小明的方法和结论，完成下列问题：
(1)计算的立方根（仿照材料中的方法）
(2)若,则=______.
(3)已知，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)或或
【分析】（1）仿照材料中的方法解答即可；
（2）根据两个立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数，得到，运算即可；
（3）根据立方根等于自己本身的数为和，列式运算即可．
【详解】（1）解：∵，
∴是两位数；
∵个位上的数字是，
∴个位上的数字是，
∵接着将往前移动位小数点后约为，因为，所以的十位数字应为，
∴的立方根是；
（2）∵，
∴，
解得：；
（3）∵，
∴，
∵立方根等于自己本身的数为和，
∴；；；
解得：或或．
【典型例题三 已知一个数的立方根，求这个数】
【例1】（24-25八年级上·河南周口·阶段检测）若是实数M的立方根，则实数M是（ ）
A．9 B．27 C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了根据一个数的立方根求这个数，对于两个实数a、b若满足，那么a就叫做b的立方根，据此求解即可．
【详解】解：∵是实数M的立方根，
∴实数M是，
故选：C．
【例2】（25-26七年级下·河南新乡·期中）已知是整数，则满足条件的正整数最小是（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】B
【分析】先得出是一个整数的立方，再根据要求满足条件的正整数最小解答即可．
【详解】解：∵是整数，
∴是一个整数的立方，
又∵要求满足条件的正整数最小，
∴正整数最小是，此时，符合题意．
【例3】（24-25八年级上·上海嘉定·课后作业）若，则______．
【答案】
【分析】本题考查了求立方根，正确理解立方根的定义是解题的关键．
根据立方根的定义，即可求出a的值．
【详解】解：，
，
故答案为：．
【例4】（24-25八年级上·河北邢台·期中）如图，依据题意，可得_____________，_____________．

【答案】 3
【分析】根据立方根即可求解．
【详解】解：，
，
，，
，
故答案为：3；．
【点睛】本题考查了立方根，熟练掌握其运算法则是解题的关键．
1．（25-26七年级下·新疆·期中）计算
(1)．
(2)已知的平方根是，的立方根是3，求的算术平方根．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据平方根及立方根的定义分别化简，再计算加减法；
（2）根据平方根和立方根的定义，并结合题意可得，，，从而求得，，再代入求得，最后求算术平方根即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：∵的平方根为，
∴，，
∵的立方根为3，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴的算术平方根为10．
2．（25-26八年级上·江西抚州·阶段检测）已知某正数的两个平方根分别是和，且的立方根为，求和的值．
【答案】，
【分析】本题考查了平方根和立方根，掌握一个正数的平方根有2个，它们互为相反数是解题的关键．
根据平方根和立方根的定义求出a，b的值即可得出答案．
【详解】解：因为某正数的两个平方根分别是和，
所以，
解得，
因为的立方根为，
所以，
解得，
所以，．
3．（24-25七年级下·甘肃酒泉·阶段检测）（1）已知的立方根是，的算术平方根是，求的平方根．
（2）若一个正数的平方根是和，求这个正数．
【答案】（1）；（2）
【分析】此题主要考查了平方根、立方根、算术平方根，关键是掌握一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数．
根据立方根与算术平方根的定义得到，，则可计算出，，然后计算后利用平方根的定义求解．
首先根据正数有两个平方根，它们互为相反数可得，解方程可得，然后再求出这个正数即可．
【详解】解：（1）根据题意得，，
解得，，
所以，
而的平方根为，
所以的平方根为；
（2）由题意得：，
解得：，
，，
则这个正数为．
【典型例题四 与立方根有关的规律探索】
【例1】（25-26七年级下·福建南平·期中）若，，则（ ）
A．12.89 B．27.76 C．128.9 D．277.6
【答案】A
【分析】将所求被开方数变形为已知立方根的数与的乘积，再利用立方根的性质计算即可．
【详解】，
，
又 ，
．
【例2】（25-26七年级下·河南信阳·阶段检测）小慧同学通过计算观察下列正数的立方根运算，发现了一定规律：运用你发现的规律，探究下列问题：已知，则（ ）
0.004096 4.096 4096 4096000 4096000000
0.16 1.6 16 160 1600
A．0.235 B．0.0235 C．0.00235 D．2.35
【答案】D
【分析】根据表格数据可总结得到：被开方数的小数点每向某一方向移动三位，立方根的小数点就向同一方向移动一位，找出规律即可解题.
【详解】解：根据表格数据可得规律：在立方根运算中，被开方数的小数点每向某一方向移动三位，相应的立方根的小数点就向同一方向移动一位；
∵，且是将的小数点向右移动三位得到，
∴需要将的小数点向右移动一位，即.
【例3】（25-26七年级下·江西赣州·期中）利用计算器求得，，，则___________．
【答案】
【分析】根据被开方数的小数点，每向右移动3位，立方根的小数点向右移动1位，据此进行判断即可．
【详解】∵，
∴．
【例4】（25-26七年级下·福建莆田·期中）我国古代数学经典《九章算术·少广》中，系统记载了开平方、开立方的算法，是世界上最早系统论述开方运算的文献之一．魏晋数学家刘徽在为《九章算术》作注时，进一步完善了开方术，提出“开方不尽求微数”的思想，开创了十进制小数表示无理数的先河，为后世根式运算奠定了重要基础．今有算题：若，，则b等于_______．
【答案】1000
【分析】根据立方根的特点求解即可．
【详解】解：∵，，
∴是的倍，
∴．
1．（25-26七年级下·辽宁鞍山·期中）探究某些数的算术平方根、立方根：
(1)探究算术平方根：下面是探究1849的算术平方根的过程，请将运算过程补充完整：
①由，可以确定是______位数；
②由1849的个位上的数是9，可以确定的个位上的数是______；
③如果划去1849后面的两位49得到数18，而，，那么1849的算术平方根可能是____________；因为，而，所以1849的算术平方根=____________．
(2)请根据上述研究思路求103823的立方根，并写出完整的推理过程．
【答案】(1)①两；②3或7；③43或47；43
(2)见解析
【分析】（1）根据所提供的方法进行计算即可；（2）按照（1）中的步骤和方法进行计解答即可．
（1）①因为要确定算术平方根的位数，所以利用平方数的位数规律，通过对比已知的整十数、整百数的平方与1849的大小关系来判断．
②因为一个数的平方的个位数字由原数的个位数字决定，所以根据1849的个位数字，结合平方的个位特征来确定算术平方根的个位数字．
③因为要确定算术平方根的十位数字，所以划去后两位得到的数，对比相邻整数的平方，再结合给定的判断方法缩小范围，最终确定算术平方根．
（2）因为求立方根的思路与求算术平方根类似，所以先利用立方数的位数规律确定立方根的位数；再根据立方数的个位数字特征确定立方根的个位数字；最后划去后三位得到的数，对比相邻整数的立方，结合类似的判断方法缩小范围确定十位数字，进而得到立方根．
【详解】（1）解：①∵，，且，
∴，
∴是两位数；
②∵1849的个位上的数是9，一个数平方后的数个位上为9的只有3和7，
∴的个位上的数是3或7；
③划去1849后面的两位49得到数18，而，，
∴十位上的数是4，
∴1849的算术平方根可能是43或47；
∵十位上的数是4，若个位上的数是7，需进位，，而，
∴个位上的数是3，
∴．
（2）解：，，
103823的立方根是两位数；
103823个位上的数字是3，
103823的立方根个位上的数字是7；
如果划去103823后面的三位“823”得到数103，而，，
由此可确定103823的立方根十位上的数字是4，
那么103823的立方根是47．
2．（24-25七年级下·甘肃庆阳·期中）观察下列正数的立方根运算，并完成下列问题：
(1)用语言叙述上述表格中的规律：在立方根运算中，被开方数的小数点每向右移动三位，相应的立方根的小数点就向___________移动___________位；
(2)运用你发现的规律，探究下列问题：已知，则___________，___________．
(3)类比上述立方根运算：已知，则___________，___________．
【答案】(1)右；一；
(2)；
(3)；
【分析】本题考查数字的变化类、立方根、算术平方根，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，求得所求数字的值．
（1）根据表格中的数据，可以发现数字的变化规律；
（2）根据（1）的规律可得结论；
（3）根据立方根的移位规律可得算术平方根的移位规律，即可求得所求数字的值．
【详解】（1）解：用语言叙述上述表格中的规律：在立方根运算中，被开方数的小数点每向右移动三位，相应的立方根的小数点就向右移动一位．
故答案为：右；一；
（2）解：∵，结合立方根小数点的规律，
∴，，
故答案为：；；
（3）解：在算术平方根运算中，被开方数的小数点每向右移动两位，相应的平方根的小数点就向右移动一位．
∵，
∴，．
故答案为：；．
3．（24-25七年级下·广东汕头·期中）（1）填表：
a 0.000008 0.008 8 8000
（2）观察上表，表中数a的小数点的移动与它的立方根的小数点的移动之间有何规律？请用语言叙述这个规律：______；
（3）根据你发现的规律解答：
①已知，，，则介于哪两个整数之间？
②已知，则______；
③用铁皮制作一个封闭的正方体，它的体积是1.843立方米，问需要多大面积的铁皮？（结果精确到0.01平方米）
【答案】（1）0.02，0.2，2，20；（2）规律：数a的小数点每向右或向左移动三位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动一位；（3）①12和13之间；②12.26；③需要大约9.02平方米的铁皮
【分析】本题主要考查立方根的估算与运用，理解表格信息，找出规律是解立方根估算的关键，掌握体积的计算公式，立方根的估算方法是解实际问题的关键．
（1）利用立方根的定义填表即可；
（2）根据表格信息中小数点的移动情况分析即可求解；
（3）①结合表格信息，对进行变形分析即可；②结合表格信息，对进行变形分析即可；③设正方体的棱长为米，由体积公式，立方根的估算得到棱长，再根据表面积的计算方法即可求解．
【详解】解：（1）填表如下：
a 0.000008 0.008 8 8000
0.02 0.2 2 20
（2）规律：数a的小数点每向右或向左移动三位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动一位；
（3）①，
，
介于整数12和13之间；
②，
；
③设正方体的棱长为a米，则，
由②知，
；
，
（平方米），
答：需要大约9.02平方米的铁皮．
【典型例题五 立方根新定义运算】
【例1】（24-25七年级下·内蒙古鄂尔多斯·阶段检测）定义一种新的运算：．计算：的值是（ ）
A．2 B．5 C．10 D．
【答案】B
【分析】本题主要考查有理数的混合运算，利用题中的新定义计算即可求出．
【详解】解：，
，
，
．
故选：B．
【例2】（2026七年级下·黑龙江哈尔滨·专题练习）对于实数、，定义运算“”如下：，则关于的结果，下列说法正确的是（ ）
A．平方根是 B．算术平方根是 C．立方根是2 D．立方根是
【答案】D
【分析】先根据新定义运算求出的结果，再结合相关定义判断选项即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴的结果没有平方根和算术平方根，立方根为．
【例3】 （24-25八年级上·四川眉山·阶段检测）定义新运算的法则为，则________．
【答案】
【分析】根据新定义运算法则，计算即可．
【详解】解：∵，
∴．
故答案为：
【点睛】本题考查了新定义运算、算术平方根、立方根，解本题的关键在理解新定义运算法则．
【例4】（24-25八年级上·河南周口·阶段检测）【新考向】阅读下列材料：要求59319的立方根，我们可以这样想：①，即59319的立方根是一个两位数；②因为59319的个位数字是9，而，所以能确定的个位数字是9；③如果划除59319后面的三位数，得到59，而，可得，所以的十位数字是3，所以．
请根据上面的材料回答下列问题：______．
【答案】56
【分析】本题考查了求一个数的立方根，模仿题干的解题过程，先找出，再确定的个位数是，接着得出，确定的十位数是5，据此即可作答．
【详解】解：依题意，∵，
∴的立方根是一个两位数；
∵的个位数是，且
∴能确定的个位数字是6；
如果划除后面的三位数，得到175，
∵，
∴，
∴的十位数字是5，
即，
故答案为：56
1．（25-26八年级上·河北保定·阶段检测）定义一种新运算“”：对于有理数和，．例：；．
(1)计算：__________，________；
(2)若，，求和的值．
【答案】(1)2；3
(2)，．
【分析】本题考查了解二元一次方程组，算术平方根以及立方根，弄清题中的新定义是解本题的关键．
（1）利用题中的新定义结合算术平方根以及立方根的定义计算即可得到结果；
（2）已知等式利用题中的新定义得到二元一次方程组，利用加减消元法即可求解．
【详解】（1）解：由题意得，
，
故答案为：2；3；
（2）解：由题意得，
整理得，
得，
将代入②，得，
解得．
2．（24-25七年级下·广西南宁·阶段检测）【阅读与应用】
【问题提出】
对于任意实数，定义一种新运算，例如：．
【初步感知】
（1）求的值；
【拓展运用】
（2）若实数满足，求的值．
【答案】（1）1；（2）
【分析】此题主要考查了有理数的混合运算，立方根的应用．
（1）运用运算公式，计算即可；
（2）利用公式，列出方程，求解方程即可．
【详解】解：（1）根据题意得：
；
（2）根据题意得：，即，
整理得：，
，
，
．
3．（24-25七年级下·山东德州·期中）请认真阅读下面的材料，再解答问题．
我们学方根与立方根后，可以类比平方根（即二次方根）和立方根（即三次方根）的定义．给出四次方根、五次方根的定义．
比如：若，则叫的二次方根：
若，则叫的三次方根；
若，则叫的四次方根．
(1)依照上面的材料，请你给出五次方根的定义；的五次方根为_____；
(2)若有意义，则的取值范围是______；若有意义，则的取值范围是_____
(3)求的值：．
【答案】(1)
(2)为任意实数
(3)或
【分析】本题考查新定义．解题的关键是利用类比法，理解四次方根和五次方根的定义．
（1）进行开方运算即可；
（2）根据定义，进行计算即可；
（3）利用四次方根解方程即可．
【详解】（1）解：；
故答案为：；
（2）解：∵是一个数的四次方，
，
，
∴若有意义，则的取值范围是；
∵中是一个数的三次方，
∴为任意实数．
故答案为：为任意实数；
（3）解：，
，
，
，
或，
或．
【典型例题六 立方根的实际应用】
【例1】（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期中）一个正方体的体积是 ，则它的表面积是（ ）
A．96 B．64 C．32 D．16
【答案】A
【分析】设正方体的棱长为，根据题意可得，进而求得的值，根据表面积等于，即可求解．
【详解】解：设正方体的棱长为，根据题意可得，
，
表面积等于，
故选A．
【点睛】本题考查了立方根的应用，求得正方体的棱长是解题的关键．
【例2】（25-26七年级下·广西桂林·期中）一种正方体形状的集装箱，体积是，这种正方体集装箱的棱长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用正方体体积等于棱长的三次方，已知体积求棱长，计算得出结果即可．
【详解】解：设这种正方体集装箱的棱长为．
∵正方体体积公式为体积等于棱长的三次方，
∴．
∵，棱长为正数，
∴．
【例3】（24-25七年级下·陕西西安·期中）某甜品店的李师傅制作的长方体月饼礼盒的体积为，而康师傅制作的正方体月饼礼盒的体积是李师傅制作的1.5倍，则康师傅制作的正方体月饼礼盒的棱长为________．
【答案】6
【分析】本题考查了立方根，根据正方体的体积公式列等式，求体积的立方根即可．
【详解】解：设康师傅制作的正方体月饼礼盒的棱长为，
由题意得：，
解得：，
∴康师傅制作的正方体月饼礼盒的棱长为．
故答案为：6．
【例4】（24-25七年级下·山西吕梁·阶段检测）如图，二阶魔方为的正方体结构，本身只有8个方块，没有其他结构的方块，已知二阶魔方的体积约为（方块之间的缝隙忽略不计），则每个方块的棱长为________．
【答案】4
【分析】根据题意求得每个方块的体积，再利用立方根的定义求得每个方块的边长即可．
本题考查立方根的实际应用，结合已知条件求得每个方块的体积是解题的关键．
【详解】解：由题意可得每个方块的体积为，
则其边长为，
故答案为：4．
1．（25-26七年级下·湖北孝感·期中）将棱长为的正方体铁块在炉火中熔化，重新铸成8个大小形状相同的长方体铁块，且长方体铁块的长、宽、高的比为，求铸成的长方体铁块的长、宽、高各是多少？
【答案】长方体铁块的长、宽、高分别为，和．
【分析】设铸成的长方体铁块的长、宽、高分别为，，．根据“将棱长为的正方体铁块在炉火中熔化，重新铸成8个大小形状相同的长方体铁块”列方程求解即可．
【详解】解：设铸成的长方体铁块的长、宽、高分别为，，．
则，
∴，
∴，
∴，
∴．
答：长方体铁块的长、宽、高分别为，和．
2．（24-25七年级下·陕西安康·期中）你知道怎样迅速准确地计算出195112的立方根是多少吗？请按照下面的问题试一试：
（1）由，，推出是______位数；
（2）由195112的个位数是2，推出的个位数是______；
（3）如果划去195112后面的三位112，得到195，而，，推出的十位数是______，所以，______．
【答案】（1）2；（2）8；（3）5；58
【分析】分别根据题中所给的分析方法先求出这几个数的立方根都是两位数，然后根据第（2）和第（3）步求出个位数和十位数即可．
【详解】解：（1）∵，，
又∵，
∴是一个两位数；
故答案为：2；
（2）根据题意，∵，则个位上的数字是8，
∴的个位数是8；
故答案为：8；
（3）由题意，∵，
∴的十位数是5，
∵的个位数是8；
∴；
故答案为：5；58．
【点睛】本题主要考查了数的立方，解题的关键是理解一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数，有一定难度．
3．（24-25七年级下·湖北随州·期中）“动手启智慧，课外展风采”．在某次学生课外素质成果展活动中，王明打算利用一张面积为的正方形卡纸裁出需要的形状进行手工制作．
(1)求正方形卡纸的边长．
(2)按图①的方式裁出一个长方形（图中阴影部分），要求长方形的长与宽的比为，裁出的长方形的面积能是吗？请通过计算说明．
(3)按图②的方式裁出阴影部分，将其沿虚线折叠得到一个正方体，若正方体的体积为，求该正方体的表面积．
【答案】(1)
(2)裁出的长方形的面积不能为；理由见解析
(3)
【分析】（1）设出正方形卡片的边长，根据正方形面积计算公式建立方程求解即可；
（2）设裁出的长方形的长为，宽为，根据长方形面积计算公式建立方程求出长和宽，再比较长方形长和宽与正方形边长的大小即可得到结论；
（3）根据正方体体积公式计算出棱长，进而求出其表面积即可．
【详解】（1）解：设正方形卡纸的边长为．
根据题意，得，
解得或（舍去）．
答：正方形卡纸的边长为．
（2）解：裁出的长方形的面积不能为，理由如下：
设裁出的长方形的长为，宽为．
根据题意，得，
解得或（舍去），
∵，
∴裁出的长方形的面积不能为；
（3）解：∵正方体的体积为，
∴该正方体的棱长为，
∴该正方体的表面积为．
【典型例题七 算术平方根和立方根的综合应用】
【例1】（24-25八年级上·广东佛山·阶段检测）一个数的算术平方根是8，则这个数的立方根是（ ）
A．8或-8 B．4或-4 C．-4 D．4
【答案】D
【分析】根据算术平方根的定义：若一个非负数的平方等于，即，那么这个非负数就叫作的算术平方根；立方根的定义，若一个数的立方等于，即，那么这个数就叫做的立方根；据此解答即可．
【详解】解：∵一个数的算术平方根是8，
∴这个数是，
∴的立方根是，
故选：D．
【点睛】本题考查了算术平方根以及立方根的定义，熟记定义并理解是解本题的关键．
【例2】（24-25七年级下·云南昆明·期末）如果的算术平方根是2，27的立方根是，则（ ）
A． B．1 C． D．3
【答案】A
【分析】根据算术平方根以及立方根算出、即可得到答案．
【详解】解：的算术平方根是2，
，
，
27的立方根是，
，即，
，
．
故选：A．
【点睛】本题主要考查算术平方根、立方根，掌握算术平方根、立方根的定义是解题的关键．
【例3】（24-25七年级下·黑龙江黑河·期末）如果的立方根是，则的算术平方根为______．
【答案】4．
【分析】根据3﹣6x的立方根为﹣3可求出x的值，继而可求出代数式2x+6的值，也可求出2x+6的算术平方根．
【详解】解：∵3﹣6x的立方根是﹣3，
∴3﹣6x＝﹣27，
∴x＝5，
∴2x+6＝2×5+6＝16，
∴16的算术平方根为4．
故答案为：4．
【点睛】此题考查了平方根和立方根的知识，属于基础题，解答此题的关键是根据立方根的知识求出x的值．
【例4】（24-25八年级上·江苏泰州·期中）如果的算术平方根是2，27的立方根是，则______．
【答案】
【分析】根据算术平方根和立方根的定义，求出的值，再代入求值即可．
【详解】解：∵的算术平方根是2，27的立方根是，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查算术平方根和立方根，以及代数式求值．熟练掌握算术平方根和立方根的定义，是解题的关键．
1．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段检测）已知某正数的两个平方根分别是和，b的立方根是．求的算术平方根．
【答案】4
【分析】先根据平方根的定义求出a的值，再根据b的立方根是求出b的值，进而求出的值，再求的算术平方根即可．
【详解】解：∵某正数的两个平方根分别是和，
∴，
解得，
∵b的立方根是，
∴，
，
，
∴的算术平方根为4．
【点睛】本题考查了平方根、算术平方根、立方根的定义，解题的关键是求出a、b的值．
2．（24-25七年级下·山东日照·阶段检测）已知的立方根是，的算术平方根是3．
(1)求a，b的值；
(2)若，且c是整数，求的平方根．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题考查平方根，立方根，无理数的估算：
（1）根据立方根和算术平方根的定义，进行求解即可；
（2）夹逼法求出的值，进而求出的值，再利用平方根的定义进行求解即可．
【详解】（1）解：由题意，得：，
∴，；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴的平方根为．
3．（24-25八年级上·江苏·期中）小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出的立方根？他进行了如下步骤：
①首先进行了估算：因为，，所以是两位数；
②其次观察了立方数：，，，，，，，，；猜想的个位数字是7；
③接着将50653往前移动3位小数点后约为50，因为，，所以的十位数字应为3，于是猜想，验证得：50653的立方根是37；
④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立．
请你根据小明的方法和结论，完成下列问题：
(1)______；
(2)若，则______；
(3)已知，且与互为相反数，求x，y的值．
【答案】(1)
(2)3
(3)，或，
【分析】本题考查求一个负数的立方根，算术平方根，以及互为相反数的两个数的立方根也互为相反数．熟练掌握题目中给定的立方根的计算方法是解题的关键．
（1）根据题目中给定的方法进行求解即可；
（2）根据两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数，进行计算即可；
（3）根据算术平方根的性质，立方根的性质，算术平方根是本身的数为，进行分类讨论，再根据两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数，进行计算即可．
【详解】（1）解：因为，，所以是两位数，
因为；猜想的个位数字是9，
接着将往前移动3位小数点后约为117，因为，所以的十位数字应为4，于是猜想，验证得：的立方根是；
最后再依据“负数的立方根是负数”得到；
（2）解：∵，
∴和 互为相反数，
∴，
∴；
故答案为：3．
（3）解：∵，即，
∴或1
解得：或
∵与互为相反数，即，
∴，即，
∴当时，；
当，．
1．（24-25八年级上·上海嘉定·课后作业）已知一个数的立方根等于它本身，则这个数是（ ）
A．1 B． C．0 D．或0或1
【答案】D
【分析】本题考查立方根，掌握一个数x的立方等于a，那么x叫a的立方根，表示为是解题的关键．
根据立方根的定义求解即可．
【详解】解：设这个数是x，则
∵，，，
∴或，
故选：D．
2．（24-25八年级上·上海长宁·课后作业）已知，，，则的值约是（ ）
A．24.72 B．53.25 C．11.47 D．114.7
【答案】C
【分析】本题考查了立方根的应用，要注意被开方数与立方根的小数点的移动变化规律．
利用立方根的性质，将1510分解为，再分别求立方根后相乘．
【详解】解：∵ ，
又∵ ，，
∴ ．
故选：C．
3．（25-26八年级上·浙江湖州·期末）对问题“已知，求的值”，甲、乙两人的说法如下：
甲：的值是；乙：甲考虑的不全面，还有另一个值．
下列对甲、乙说法的判断正确的是（ ）
A．甲说得对，符合条件的x的值只有1 B．乙说得对，还有另一个值2
C．乙说得对，还有另一个值 D．两人说得都不对，应有个不同值
【答案】D
【分析】本题考查了立方根的定义．本题可通过换元法，利用立方根的定义求解方程，再判断甲、乙的说法是否正确．
【详解】解：设，则原方程变为．
∵一个数的立方根等于它本身的数是、、．
∴分三种情况讨论：
①当时，，解得．
②当时，，解得．
③当时，，解得．
∴的值为、、，共3个不同值．
∴甲、乙两人的说法都不对．
故选：D．
4．（24-25七年级下·广西南宁·期末）如图，由27个完全相同的小正方体组成的大正方体的体积为27，则小正方体的棱长是（ ）
A．1 B．3 C．9 D．27
【答案】A
【分析】本题主要考查了立方根的应用，求得每个小正方体的体积成为解题的关键．
先求出每个小正方体的体积，利用立方根定义求出棱长即可．
【详解】解：根据题意得每个小正方体的体积为，
∴每个小正方体的棱长为，
故选：A．
5．（24-25七年级下·四川德阳·期中）课堂上老师提出一个问题：“一个数是74088，它的立方根是多少？”小明脱口而出：“42”．老师十分惊奇，忙问计算的奥妙．小明给出以下方法：
①由103＝1000，1003＝1000000，能确定是两位数；
②由74088的个位上的数是8，因为，能确定的个位上的数是2；
③如果划去74088后面的三位088得到数74，而，由此能确定的十位上的数是4．
（提示：）
已知为整数，请利用以上方法，则的每位数上的数字之和为（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
【答案】A
【分析】按照小明的计算方法解答即可．
本题考查了立方根的估算，熟练掌握估算方法是解题的关键．
【详解】解：为整数，根据题意，得
①由103＝1000，1003＝1000000，能确定是两位数；
②由185193的个位上的数是3，因为，能确定的个位上的数是7；
③如果划去185193后面的三位193得到数185，而，由此能确定的十位上的数是5．
故，
由，
故选：A．
6．（2025·上海·模拟预测）若，则__________
【答案】4
【分析】本题考查了算术平方根和立方根．熟练掌握算术平方根和立方根定义，幂的运算法则，是解题的关键．
由已知得，得，即得．
【详解】解：∵，且，
∴．
∴．
∴．
故答案为：4．
7．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）实数的整数部分是________．
【答案】
【分析】本题考查了立方根，无理数的估算，首先将原式化为，然后估算的范围，即可得出实数的整数部分．
【详解】解：依题意，，
∴．
又∵，，且，
∴．
∵，且
∴．
则，
即，
∴实数的整数部分是，
故答案为：，
8．（24-25七年级下·江西南昌·期中）已知，则的值为___________
【答案】或2或3
【分析】本题考查立方根的性质，根据题意得到，结合立方根等于本身的数有，进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴或，
∴或或；
故答案为：或2或3．
9．（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）观察下表规律，利用规律解答，若，则_________．
0.008 8 8000 8000000
0.2 2 20 200
【答案】2.872
【分析】根据表格中的数据可知，被开立方的数的小数点每向右移动3位，立方根的小数点向右移动1位，解答即可．
【详解】解：，
．
10．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）把两个半径分别为和的铅球熔化后做成一个更大的铅球，则这个大铅球的半径是_____cm（球的体积公式，其中是球的半径）．
【答案】
【分析】本题考查了立方根的应用，求出半径分别是，的铅球的体积之和，再根据立方根的定义计算出结果即可，熟记立方根的定义是解题的关键．
【详解】解：这个大铅球的半径是，
由题意得：，
∴，则，
故答案为：．
11．（24-25八年级上·河北沧州·期中）（1）已知，求的值；
（2）已知实数的一个平方根是的立方根是，求的算术平方根．
【答案】（1） ；（2）6
【分析】本题考查了利用立方根解方程，平方根、立方根、算术平方根的定义，熟练掌握以上知识点是解此题的关键．
（1）直接利用立方根解方程即可；
（2）先根据平方根和立方根的定义得出，求出的值，代入计算得出的值，再根据算术平方根的定义计算即可．
【详解】解：（1），
，
，
；
（2）由题意得，，
．
，
的算术平方根是．
12．（24-25七年级下·四川泸州·期末）已知一个正数的平方根分别是和，又的立方根为．
(1)求a，b的值；
(2)求的算术平方根．
【答案】(1)，
(2)3
【分析】（1）根据平方根的定义列出方程进行解答便可;
（2）根据算术平方根进行计算便可;
【详解】（1）解：由题意得，
所以，
因为的立方根为 2，
所以，
；
（2）因为，，
所以．
【点睛】本题主要考查了平方根，算术平方根，立方根，解题的关键是根据定义列出方程．
13．（25-26七年级下·河南安阳·阶段检测）按要求完成以下问答
(1)已知的算术平方根是7，的立方根是2．求的平方根；
(2)已知和是正数a的平方根，求正数a的值．
【答案】(1)
(2)或64
【分析】（1）根据算术平方根和立方根的定义，求出的值，再根据平方根的定义进行求解即可；
（2）分和互为相反数和和是同一个数，两种情况进行讨论求解即可.
【详解】（1）解：由题意得，，
解得，．
，
的平方根为，
的平方根为；
（2）解：和是正数a的平方根，
或，
即或，
当时，，，
；
当时，，
；
综上，正数a的值为或64.
14．（24-25七年级下·陕西咸阳·阶段检测）已知甲正方体纸盒的底面积为，乙正方体纸盒的体积比甲正方体纸盒的体积大，丙正方体纸盒的体积是乙正方体纸盒体积的．
(1)求乙正方体纸盒的棱长；
(2)求丙正方体纸盒的棱长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查立方根、算术平方根的应用，
（1）根据甲正方体纸盒的底面积求出其棱长，即可求出其体积，从而得出乙正方体纸盒的体积，即可求出乙正方体纸盒的棱长；
（2）先求出丙正方体纸盒的体积，再求出丙正方体纸盒的棱长即可；
掌握立方根的定义是解题的关键．
【详解】（1）解：∵甲正方体纸盒的底面积为，
∴甲正方体纸盒的棱长为，
∴甲正方体纸盒的体积为，
∵乙正方体纸盒的体积比甲正方体纸盒的体积大，
∴乙正方体纸盒的体积为：，
∴乙正方体纸盒的棱长为，
答：乙正方体纸盒的棱长为；
（2）由（1）知乙正方体纸盒的体积为，
∵丙正方体纸盒的体积是乙正方体纸盒体积的，
∴丙正方体纸盒的体积是，
∴丙正方体纸盒的棱长是，
答：丙正方体纸盒的棱长．
15．（25-26七年级下·河北秦皇岛·期中）探索与应用，先填写下表，通过观察后再回答问题：
… 0.0001 0.01 1 100 10000 …
… 0.01 1 100 …
(1)表格中________，________；
(2)从表格中探究与数值变化的规律，并利用这个规律解决下面两个问题：
①已知，则________；
②已知，若，则________；
(3)拓展：已知，，，则________．
【答案】(1)；；
(2)①；②；
(3)
【分析】本题考查了被开方数和算术平方根以及被开方数和立方根之间的小数点位移关系．
【详解】（1）解：；
．
（2）解：①根据表格观察发现，被开方数左/右移动两位，算术平方根左/右移动一位．
被开方数从到，小数点向右移动两位，算术平方根向右移动一位．
，
．
②算术平方根左/右移动一位，被开方数左/右移动两位．
算术平方根从变成．小数点向右移动两位，被开方数小数点向右移动四位．
，
．
（3）解：被开方数左/右移动三位，立方根左/右移动一位．
，
∵被开方数从变为，小数点向右移动三位，
立方根小数点向右移动一位，
∴．
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