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广东深圳市建文外国语学校2025-2026学年第二学期期中考试高二数学
1．双曲线的离心率为（　　）
A． B．2 C． D．
2．从1，2，3，…，15共15个数字中，甲、乙两人各取一数（不重复），若甲取到的数是5的倍数且甲取到的数大于乙取到的数，则不同的取法共有（　　）
A． B． C． D．
3．已知数列的前项和，则（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
4．已知函数 ，则 （　　）
A． B． C． D．
5．在的展开式中，含的项的系数为（　　）
A．74 B． C．64 D．
6．设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则其导函数的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
7．已知圆，则该圆的面积为（　　）
A． B． C． D．
8．已知曲线的切线过原点，则此切线的斜率为（　　）
A． B． C． D．
9．已知等比数列的前项和为，公比，，则（　　）
A．
B．
C．
D．数列是公比为4的等比数列
10．已知的展开式中，各项的二项式系数之和为128，则（　　）
A． B．只有第4项的二项式系数最大
C．各项系数之和为1 D．的系数为560
11．已知函数，.下列结论正确的是（　　）
A．函数不存在最大值，也不存在最小值
B．函数存在极大值和极小值
C．函数有且只有1个零点
D．函数的极小值就是的最小值
12．有3张参观券，要在5人中确定3人去参观，不同选法的种数是　 　．
13．已知随机事件满足 ， 则　 　 ．
14．已知函数在区间上单调递增，则a的取值范围为　 　．
15．已知等差数列中，，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）记数列的前和为，求的值(结果可以用幂的形式表示）.
16．一市级重点中学选中了6名男教师和4名女教师共10名教师，其中1名主任（男）和1名副主任（女），现要组成6人支教小组，依下列条件各有多少种选派方法？
（1）6人支教小组中，有3名男教师和3名女教师；
（2）6人支教小组中，既有男教师，又有女教师；
（3）6人支教小组中，至少有1名主任参加；
（4）6人支教小组中既有主任，又有女教师．
17．甲、乙两队进行一场排球比赛，设各局比赛相互间没有影响且无平局，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一队比另一队多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为．
（1）第二局比赛结束时比赛停止的概率；
（2）设X表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量X的分布列和数学期望．
18．已知函数 ，是的导函数.
（1）求的值；
（2）求曲线在处的切线方程；
（3）求的最值.
19．已知函数，
（1）当时，求函数的极值；
（2）求函数的单调区间；
（3）当时，若在时恒成立，求整数的最大值.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：因为，所以，
所以，所以双曲线的离心率为.
故选：D.
【分析】先将方程转化为双曲线的标准方程，进而利用离心率的公式即可求解.
2．【答案】A
【知识点】分类加法计数原理；简单计数与排列组合
【解析】【解答】解：1—15中，5的倍数为5，10，15，故甲只能取这3个数.
若甲取5时，乙需取比甲小的数，即1，2，3，4，共4种取法；
若甲取10时，乙需取比甲小的数，即1，...，9，共9种取法；
若甲取15时，乙需取比甲小的数，即1，2，3，...，14，共14种取法；
故根据分类加法计数原理共有种.
故答案为：A
【分析】本题考查分类加法计数原理，关键先找出 1~15 中 5 的所有倍数，按甲的取值分三类，分别统计每种取值下乙的可选数量，最后汇总求和。
3．【答案】C
【知识点】通项与前n项和的关系
【解析】【解答】解：因为，所以．
故答案为：C.
【分析】本题考查数列前项和与通项的关系，关键利用公式，代入，通过与作差求出。
4．【答案】B
【知识点】导数的四则运算；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】 ，令，得，
所以.
故答案为：B
【分析】本题考查导数的运算，关键先对原函数求导，将代入导函数构造关于的一元一次方程，解方程求得结果。
5．【答案】A
【知识点】二项式系数的性质；组合数的基本计算
【解析】【解答】解：由题知项的系数为．
故答案为：A.
【分析】本题考查二项式定理求指定项系数，关键先写出各二项展开式中x2项的系数，再利用组合数公式求和得到总系数。
6．【答案】A
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：由的图象可知，当时，函数单调递增，则，故C，D错误；
当时，先递增，再递减最后递增，所以所对应的导数值应该先大于0，
再小于0，最后大于0，故B错误.
故答案为：A.
【分析】本题考查原函数单调性与导函数符号的对应关系，关键依据原函数的增减区间判定导数正负：原函数递增则导函数大于 0，原函数递减则导函数小于 0，分区间逐一筛选选项。
7．【答案】C
【知识点】圆的一般方程
【解析】【解答】解：将圆的一般方程化为标准方程，
由此可知圆的半径，所以该圆的面积.
故答案为：C
【分析】本题考查圆的一般方程化标准方程与圆面积计算，关键通过配方整理出圆标准式得到半径，再代入圆面积公式求解。
8．【答案】C
【知识点】导数的几何意义；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：设切点坐标为，
曲线定义域为，，则切线的斜率为，切线的方程为，
因为切线过原点，所以，解得，
故切线的斜率为.
故答案为：C.
【分析】设切点坐标为，求函数的定义域，再求导，利用导数的几何意义，结合点斜式求得切线方程，最后根据切线过原点，代入原点坐标求出的值，即可得切线的斜率.
9．【答案】A,C,D
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【解答】A，由等比数列通项，代入，，故A正确；
B，，故B错误；
C，等比数列求和公式，，故C正确；
D，设，则，首项，为公比的等比数列，故D正确。
故答案为：ACD。
【分析】A：利用通项变形反求首项；B：提取公因式，结合公比计算两项和；C：代入等比数列前项和公式运算验证；D：作商求新数列公比，根据比值判定等比数列。
10．【答案】A,D
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质；二项式系数
【解析】【解答】解：A、由题意可知：各项的二项式系数之和为，解得，故A正确；
B、由A 可知，因为，所以展开由8项，第4项和第5项的二项式系数最大，故B错误；
C、令，可得各项系数之和为，故C错误；
D、因为二项展开式的通项为，
令，解得，所以的系数为，故D正确；
故答案为：AD.
【分析】根据二项式系数之和为运算求解，即可判断A；根据二项式系数的性质分析即可判断B；令，求各项系数之和，疾控科判断C；结合二项式系数的通项分析即可判断D.
11．【答案】B,C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：函数，则，
令，解得，令，解得或，
则函数在上单调递减，在和上单调递增，
且，，图象如图所示：
，函数在处取得极大值，在处取得极小值，极小值即为最小值，且函数有且只有一个零点.
故答案为：BCD.
【分析】求导，利用导数判断函数的单调性，并求最小值，作出函数的图形，数形结合逐项判断即可.
12．【答案】10
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：由题意得有种.
故答案为：10
【分析】本题考查组合计数问题，关键选取人员无顺序之分，直接用组合公式计算选法总数。
13．【答案】
【知识点】条件概率；条件概率乘法公式
【解析】【解答】解：由概率的乘法公式： =．
故答案为：
【分析】本题考查条件概率乘法公式，思路直接套用，代入已知数值计算乘积。
14．【答案】
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：函数的定义域为，，
因为函数在上单调递增，
所以在上恒成立，即在上恒成立，
所以，令，则，
因为，所以，则，
故在上单调递减，
故，故的取值范围为.
故答案为：
【分析】本题由函数单调性转化为导数恒成立问题，思路：先求导，根据在恒成立分离参数，构造新函数求最大值，大于等于该最大值。
15．【答案】（1）解：设等差数列的公差为，则，解得，
所以.
（2）解：由（1）知，当为偶数时，；当为奇数时，；
所以
.
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的求和
【解析】【分析】(1) 设等差数列首项与公差，利用已知两项列方程组求解，代入通项公式得到；
(2) 根据奇偶分段写出解析式，将拆分为奇数项、偶数项两组分别求和：奇数项构成等比数列，偶数项构成等差数列，分别套用对应求和公式再相加。
（1）设等差数列的公差为，则，解得，
所以.
（2）由（1）知，当为偶数时，；当为奇数时，；
所以
.
16．【答案】（1）解：由题意得从6名男教师里选3名有种选派方法，
从4名女教师里选3名有种选派方法，
由分步乘法计数原理得共有种选派方法；
（2）解：由题意得从10名教师里选6名有种选派方法，
而只有4名女教师，则6名教师里不可能全是女教师，
若全是男教师，有种选派方法，
故既有男教师，又有女教师的选派方法为种；
（3）解：由题意得从10名教师里选6名有种选派方法，
从不是主任的8名教师里选6名有种选派方法，
则至少有1名主任参加有种选派方法；
（4）解：由已知得从10名教师里选6名有种选派方法，
从不是主任的8名教师里选6名有种选派方法，
若有主任，且没有女教师，有种选派方法，
则既有主任，又有女教师有种选派方法.
【知识点】排列、组合的实际应用；组合数的基本计算
【解析】【分析】（1）根据分步乘法计数原理，结合组合数公式求解即可；
（2）先计算从10名教师里选6名的选派方法，再计算全是男教师的选派方法，相减即可得结果；
（3）先计算从10名教师里选6名的选派方法，再计算没有主任的选派方法，相减即可得结果；
（4）先计算从10名教师里选6名的选派方法，再计算没有主任和有主任且没有女教师的选派方法，相减即可得结果.
（1）由题意得从6名男教师里选3名有种选派方法，
从4名女教师里选3名有种选派方法，
由分步乘法计数原理得共有种选派方法.
（2）由题意得从10名教师里选6名有种选派方法，
而只有4名女教师，则6名教师里不可能全是女教师，
若全是男教师，有种选派方法，
故既有男教师，又有女教师的选派方法为种.
（3）由题意得从10名教师里选6名有种选派方法，
从不是主任的8名教师里选6名有种选派方法，
则至少有1名主任参加有种选派方法.
（4）由已知得从10名教师里选6名有种选派方法，
从不是主任的8名教师里选6名有种选派方法，
若有主任，且没有女教师，有种选派方法，
则既有主任，又有女教师有种选派方法.
17．【答案】（1）解：由题意可知， 第二局比赛结束时比赛停止 ，则甲连胜2局或乙连胜2局，，
则第二局比赛结束时比赛停止的概率；
（2）解：由题意知，X的所有可能值为2，4，6，
表示当甲连胜2局或乙连胜2局时，第二局比赛结束，
表示前二局的比分为1∶1，接下来有一队连胜2局，，
表示前二局的比分为1∶1且前4局的比分为2∶2，，
则随机变量X的分布列为：
X 2 4 6
P
.
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）由题意可知， 第二局比赛结束时比赛停止 ，则甲连胜2局或乙连胜2局，再求解概率即可；
（2）由题意知，X的所有可能值为2，4，6，根据独立事件的概率乘法公式求对应的概率，列分布列，再根据分布列求数学期望即可.
（1）依题意，当甲连胜2局或乙连胜2局时，第二局比赛结束时比赛结束．
所以有．
所以，第二局比赛结束时比赛停止的概率．
（2）依题意知，X的所有可能值为2，4，6.
表示当甲连胜2局或乙连胜2局时，第二局比赛结束，
表示前二局的比分为1∶1，接下来有一队连胜2局，，
表示前二局的比分为1∶1且前4局的比分为2∶2，．
所以随机变量X的分布列为：
X 2 4 6
P
所以
18．【答案】（1）解：，
，
所以.
（2）解：设，则，
，，
所以在处的切线方程为，即.
（3）解：由（2）可知，，
所以在上单调递增，
因为，
所以，，即，单调递减
，，即，单调递增，
所以的最小值为，无最大值.
【知识点】导数的几何意义；导数的四则运算；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】(1) 先对原函数求导得到，代入分别求值，再相加得到结果；
(2) 把设为新函数，再次求导得到切线斜率，算出切点纵坐标，代入点斜式整理切线方程；
(3) 由判断在上单调递增，结合划分单调区间，进而求出最值。
（1），
，
所以.
（2）设，则，
，，
所以在处的切线方程为，即.
（3）由（2）可知，，
所以在上单调递增，
因为，
所以，，即，单调递减
，，即，单调递增，
所以的最小值为，无最大值.
19．【答案】（1）解：当时， ，
∵的定义域为，∴恒成立，
∴在上单调递增，故函数无极值.
（2）解：∵，
令，
①当时，，，∴在 单调递增；
②当时，令，得或（舍）
当变化时， ，的变化情况如下：
x
+ 0
单调递增 单调递减
∴在上单调递增，在上单调递减.
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
（3）解：当时，，依题意可得，在时恒成立，
即在时恒成立，
令，则，
令 ，则在时恒成立，∴在上单调递增，
又 ， ，
∴在上存在唯一实数，使得 ，即 ，
∴当时， ，，单调递减；
当时， ，，单调递增；
∴当在处取得极小值，也是最小值.
∴ ；
∴，
故整数的最大值为5.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】(1) 代入求导，判断导函数在定义域内恒正，得到函数单调，无极大极小值；
(2) 求导后按、分类，结合二次函数零点，划分单调递增、递减区间；
(3) 整理恒成立不等式，分离参数构造新函数，二次求导找隐零点，代换化简，据此确定整数最大值。
（1）当时， ，
∵的定义域为，∴恒成立，
∴在上单调递增，故函数无极值.
（2）∵，
令，
①当时，，，∴在 单调递增；
②当时，令，得或（舍）
当变化时， ，的变化情况如下：
x
+ 0
单调递增 单调递减
∴在上单调递增，在上单调递减.
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
（3）当时，，
依题意可得，在时恒成立，
即在时恒成立，
令，则，
令 ，则在时恒成立，∴在上单调递增，
又 ， ，
∴在上存在唯一实数，使得 ，即 ，
∴当时， ，，单调递减；
当时， ，，单调递增；
∴当在处取得极小值，也是最小值.
∴ ；
∴，
故整数的最大值为5.
1 / 1广东深圳市建文外国语学校2025-2026学年第二学期期中考试高二数学
1．双曲线的离心率为（　　）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：因为，所以，
所以，所以双曲线的离心率为.
故选：D.
【分析】先将方程转化为双曲线的标准方程，进而利用离心率的公式即可求解.
2．从1，2，3，…，15共15个数字中，甲、乙两人各取一数（不重复），若甲取到的数是5的倍数且甲取到的数大于乙取到的数，则不同的取法共有（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】分类加法计数原理；简单计数与排列组合
【解析】【解答】解：1—15中，5的倍数为5，10，15，故甲只能取这3个数.
若甲取5时，乙需取比甲小的数，即1，2，3，4，共4种取法；
若甲取10时，乙需取比甲小的数，即1，...，9，共9种取法；
若甲取15时，乙需取比甲小的数，即1，2，3，...，14，共14种取法；
故根据分类加法计数原理共有种.
故答案为：A
【分析】本题考查分类加法计数原理，关键先找出 1~15 中 5 的所有倍数，按甲的取值分三类，分别统计每种取值下乙的可选数量，最后汇总求和。
3．已知数列的前项和，则（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【知识点】通项与前n项和的关系
【解析】【解答】解：因为，所以．
故答案为：C.
【分析】本题考查数列前项和与通项的关系，关键利用公式，代入，通过与作差求出。
4．已知函数 ，则 （　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】导数的四则运算；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】 ，令，得，
所以.
故答案为：B
【分析】本题考查导数的运算，关键先对原函数求导，将代入导函数构造关于的一元一次方程，解方程求得结果。
5．在的展开式中，含的项的系数为（　　）
A．74 B． C．64 D．
【答案】A
【知识点】二项式系数的性质；组合数的基本计算
【解析】【解答】解：由题知项的系数为．
故答案为：A.
【分析】本题考查二项式定理求指定项系数，关键先写出各二项展开式中x2项的系数，再利用组合数公式求和得到总系数。
6．设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则其导函数的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：由的图象可知，当时，函数单调递增，则，故C，D错误；
当时，先递增，再递减最后递增，所以所对应的导数值应该先大于0，
再小于0，最后大于0，故B错误.
故答案为：A.
【分析】本题考查原函数单调性与导函数符号的对应关系，关键依据原函数的增减区间判定导数正负：原函数递增则导函数大于 0，原函数递减则导函数小于 0，分区间逐一筛选选项。
7．已知圆，则该圆的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆的一般方程
【解析】【解答】解：将圆的一般方程化为标准方程，
由此可知圆的半径，所以该圆的面积.
故答案为：C
【分析】本题考查圆的一般方程化标准方程与圆面积计算，关键通过配方整理出圆标准式得到半径，再代入圆面积公式求解。
8．已知曲线的切线过原点，则此切线的斜率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】导数的几何意义；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：设切点坐标为，
曲线定义域为，，则切线的斜率为，切线的方程为，
因为切线过原点，所以，解得，
故切线的斜率为.
故答案为：C.
【分析】设切点坐标为，求函数的定义域，再求导，利用导数的几何意义，结合点斜式求得切线方程，最后根据切线过原点，代入原点坐标求出的值，即可得切线的斜率.
9．已知等比数列的前项和为，公比，，则（　　）
A．
B．
C．
D．数列是公比为4的等比数列
【答案】A,C,D
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【解答】A，由等比数列通项，代入，，故A正确；
B，，故B错误；
C，等比数列求和公式，，故C正确；
D，设，则，首项，为公比的等比数列，故D正确。
故答案为：ACD。
【分析】A：利用通项变形反求首项；B：提取公因式，结合公比计算两项和；C：代入等比数列前项和公式运算验证；D：作商求新数列公比，根据比值判定等比数列。
10．已知的展开式中，各项的二项式系数之和为128，则（　　）
A． B．只有第4项的二项式系数最大
C．各项系数之和为1 D．的系数为560
【答案】A,D
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质；二项式系数
【解析】【解答】解：A、由题意可知：各项的二项式系数之和为，解得，故A正确；
B、由A 可知，因为，所以展开由8项，第4项和第5项的二项式系数最大，故B错误；
C、令，可得各项系数之和为，故C错误；
D、因为二项展开式的通项为，
令，解得，所以的系数为，故D正确；
故答案为：AD.
【分析】根据二项式系数之和为运算求解，即可判断A；根据二项式系数的性质分析即可判断B；令，求各项系数之和，疾控科判断C；结合二项式系数的通项分析即可判断D.
11．已知函数，.下列结论正确的是（　　）
A．函数不存在最大值，也不存在最小值
B．函数存在极大值和极小值
C．函数有且只有1个零点
D．函数的极小值就是的最小值
【答案】B,C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：函数，则，
令，解得，令，解得或，
则函数在上单调递减，在和上单调递增，
且，，图象如图所示：
，函数在处取得极大值，在处取得极小值，极小值即为最小值，且函数有且只有一个零点.
故答案为：BCD.
【分析】求导，利用导数判断函数的单调性，并求最小值，作出函数的图形，数形结合逐项判断即可.
12．有3张参观券，要在5人中确定3人去参观，不同选法的种数是　 　．
【答案】10
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：由题意得有种.
故答案为：10
【分析】本题考查组合计数问题，关键选取人员无顺序之分，直接用组合公式计算选法总数。
13．已知随机事件满足 ， 则　 　 ．
【答案】
【知识点】条件概率；条件概率乘法公式
【解析】【解答】解：由概率的乘法公式： =．
故答案为：
【分析】本题考查条件概率乘法公式，思路直接套用，代入已知数值计算乘积。
14．已知函数在区间上单调递增，则a的取值范围为　 　．
【答案】
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：函数的定义域为，，
因为函数在上单调递增，
所以在上恒成立，即在上恒成立，
所以，令，则，
因为，所以，则，
故在上单调递减，
故，故的取值范围为.
故答案为：
【分析】本题由函数单调性转化为导数恒成立问题，思路：先求导，根据在恒成立分离参数，构造新函数求最大值，大于等于该最大值。
15．已知等差数列中，，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）记数列的前和为，求的值(结果可以用幂的形式表示）.
【答案】（1）解：设等差数列的公差为，则，解得，
所以.
（2）解：由（1）知，当为偶数时，；当为奇数时，；
所以
.
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的求和
【解析】【分析】(1) 设等差数列首项与公差，利用已知两项列方程组求解，代入通项公式得到；
(2) 根据奇偶分段写出解析式，将拆分为奇数项、偶数项两组分别求和：奇数项构成等比数列，偶数项构成等差数列，分别套用对应求和公式再相加。
（1）设等差数列的公差为，则，解得，
所以.
（2）由（1）知，当为偶数时，；当为奇数时，；
所以
.
16．一市级重点中学选中了6名男教师和4名女教师共10名教师，其中1名主任（男）和1名副主任（女），现要组成6人支教小组，依下列条件各有多少种选派方法？
（1）6人支教小组中，有3名男教师和3名女教师；
（2）6人支教小组中，既有男教师，又有女教师；
（3）6人支教小组中，至少有1名主任参加；
（4）6人支教小组中既有主任，又有女教师．
【答案】（1）解：由题意得从6名男教师里选3名有种选派方法，
从4名女教师里选3名有种选派方法，
由分步乘法计数原理得共有种选派方法；
（2）解：由题意得从10名教师里选6名有种选派方法，
而只有4名女教师，则6名教师里不可能全是女教师，
若全是男教师，有种选派方法，
故既有男教师，又有女教师的选派方法为种；
（3）解：由题意得从10名教师里选6名有种选派方法，
从不是主任的8名教师里选6名有种选派方法，
则至少有1名主任参加有种选派方法；
（4）解：由已知得从10名教师里选6名有种选派方法，
从不是主任的8名教师里选6名有种选派方法，
若有主任，且没有女教师，有种选派方法，
则既有主任，又有女教师有种选派方法.
【知识点】排列、组合的实际应用；组合数的基本计算
【解析】【分析】（1）根据分步乘法计数原理，结合组合数公式求解即可；
（2）先计算从10名教师里选6名的选派方法，再计算全是男教师的选派方法，相减即可得结果；
（3）先计算从10名教师里选6名的选派方法，再计算没有主任的选派方法，相减即可得结果；
（4）先计算从10名教师里选6名的选派方法，再计算没有主任和有主任且没有女教师的选派方法，相减即可得结果.
（1）由题意得从6名男教师里选3名有种选派方法，
从4名女教师里选3名有种选派方法，
由分步乘法计数原理得共有种选派方法.
（2）由题意得从10名教师里选6名有种选派方法，
而只有4名女教师，则6名教师里不可能全是女教师，
若全是男教师，有种选派方法，
故既有男教师，又有女教师的选派方法为种.
（3）由题意得从10名教师里选6名有种选派方法，
从不是主任的8名教师里选6名有种选派方法，
则至少有1名主任参加有种选派方法.
（4）由已知得从10名教师里选6名有种选派方法，
从不是主任的8名教师里选6名有种选派方法，
若有主任，且没有女教师，有种选派方法，
则既有主任，又有女教师有种选派方法.
17．甲、乙两队进行一场排球比赛，设各局比赛相互间没有影响且无平局，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一队比另一队多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为．
（1）第二局比赛结束时比赛停止的概率；
（2）设X表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量X的分布列和数学期望．
【答案】（1）解：由题意可知， 第二局比赛结束时比赛停止 ，则甲连胜2局或乙连胜2局，，
则第二局比赛结束时比赛停止的概率；
（2）解：由题意知，X的所有可能值为2，4，6，
表示当甲连胜2局或乙连胜2局时，第二局比赛结束，
表示前二局的比分为1∶1，接下来有一队连胜2局，，
表示前二局的比分为1∶1且前4局的比分为2∶2，，
则随机变量X的分布列为：
X 2 4 6
P
.
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）由题意可知， 第二局比赛结束时比赛停止 ，则甲连胜2局或乙连胜2局，再求解概率即可；
（2）由题意知，X的所有可能值为2，4，6，根据独立事件的概率乘法公式求对应的概率，列分布列，再根据分布列求数学期望即可.
（1）依题意，当甲连胜2局或乙连胜2局时，第二局比赛结束时比赛结束．
所以有．
所以，第二局比赛结束时比赛停止的概率．
（2）依题意知，X的所有可能值为2，4，6.
表示当甲连胜2局或乙连胜2局时，第二局比赛结束，
表示前二局的比分为1∶1，接下来有一队连胜2局，，
表示前二局的比分为1∶1且前4局的比分为2∶2，．
所以随机变量X的分布列为：
X 2 4 6
P
所以
18．已知函数 ，是的导函数.
（1）求的值；
（2）求曲线在处的切线方程；
（3）求的最值.
【答案】（1）解：，
，
所以.
（2）解：设，则，
，，
所以在处的切线方程为，即.
（3）解：由（2）可知，，
所以在上单调递增，
因为，
所以，，即，单调递减
，，即，单调递增，
所以的最小值为，无最大值.
【知识点】导数的几何意义；导数的四则运算；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】(1) 先对原函数求导得到，代入分别求值，再相加得到结果；
(2) 把设为新函数，再次求导得到切线斜率，算出切点纵坐标，代入点斜式整理切线方程；
(3) 由判断在上单调递增，结合划分单调区间，进而求出最值。
（1），
，
所以.
（2）设，则，
，，
所以在处的切线方程为，即.
（3）由（2）可知，，
所以在上单调递增，
因为，
所以，，即，单调递减
，，即，单调递增，
所以的最小值为，无最大值.
19．已知函数，
（1）当时，求函数的极值；
（2）求函数的单调区间；
（3）当时，若在时恒成立，求整数的最大值.
【答案】（1）解：当时， ，
∵的定义域为，∴恒成立，
∴在上单调递增，故函数无极值.
（2）解：∵，
令，
①当时，，，∴在 单调递增；
②当时，令，得或（舍）
当变化时， ，的变化情况如下：
x
+ 0
单调递增 单调递减
∴在上单调递增，在上单调递减.
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
（3）解：当时，，依题意可得，在时恒成立，
即在时恒成立，
令，则，
令 ，则在时恒成立，∴在上单调递增，
又 ， ，
∴在上存在唯一实数，使得 ，即 ，
∴当时， ，，单调递减；
当时， ，，单调递增；
∴当在处取得极小值，也是最小值.
∴ ；
∴，
故整数的最大值为5.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】(1) 代入求导，判断导函数在定义域内恒正，得到函数单调，无极大极小值；
(2) 求导后按、分类，结合二次函数零点，划分单调递增、递减区间；
(3) 整理恒成立不等式，分离参数构造新函数，二次求导找隐零点，代换化简，据此确定整数最大值。
（1）当时， ，
∵的定义域为，∴恒成立，
∴在上单调递增，故函数无极值.
（2）∵，
令，
①当时，，，∴在 单调递增；
②当时，令，得或（舍）
当变化时， ，的变化情况如下：
x
+ 0
单调递增 单调递减
∴在上单调递增，在上单调递减.
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
（3）当时，，
依题意可得，在时恒成立，
即在时恒成立，
令，则，
令 ，则在时恒成立，∴在上单调递增，
又 ， ，
∴在上存在唯一实数，使得 ，即 ，
∴当时， ，，单调递减；
当时， ，，单调递增；
∴当在处取得极小值，也是最小值.
∴ ；
∴，
故整数的最大值为5.
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