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广东广州中学2025-2026学年第二学期期中考试高一 数学试卷
1．已知复数，则的虚部是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】虚数单位i及其性质；复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：因为，所以的虚部是．
故答案为：C．
【分析】由复数乘法运算法则，可得，得解．
2． 已知向量，则与向量同向的单位向量的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】单位向量；平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】向量，
所以与向量同向的单位向量为.
故选：B
【分析】由向量的坐标除以向量的模，可以得到与向量同向的单位向量.
3．棱台不具有的性质是（　　）
A．两底面相似 B．侧面都是梯形
C．侧棱延长后交于一点 D．侧棱长都相等
【答案】D
【知识点】棱台的结构特征
【解析】【解答】解：A，B，C、根据棱台的定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台，
所以棱台具有的性质是：上、下底面多边形相似；每个侧面都是梯形；侧棱延长后交于一点；该选项正确，符合题意
D、棱台的侧棱有的相等，有的不相等，该选项错误，不合题意
【分析】根据棱台定义得上下底面平行，由平行性质可得相似，可判断A；由A 可得侧面都是梯形，可判断B；由棱锥截得棱台，可判断C，D；
4．已知点、、在所在平面内，且，，，则点、、依次是的（　　）
A．重心、外心、垂心 B．重心、外心、内心
C．外心、重心、垂心 D．外心、重心、内心
【答案】C
【知识点】向量在几何中的应用
【解析】【解答】解：
因为，所以到定点的距离相等，
所以为的外心；
由，则，
取的中点，则，
所以，即为靠近的三等分点，
所以是的重心；
由，得，即，
所以，同理，，所以点为的垂心.
【分析】先由 ，得到为外心；再由 结合中线的性质，可得为重心； 由，移项得 得向量垂直，即得到是垂心.
5．已知复数，复数为复数的共轭复数，则（　　）
A．1 B． C． D．2
【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模；共轭复数
【解析】【解答】解：由复数，可得，
则，
即.
故答案为：A.
【分析】先求复数的共轭复数，再根据复数代数形式的乘除化简，最后根据复数模的公式求解即可.
6．已知，，与的夹角为60°，则（　　）
A． B． C．36 D．72
【答案】A
【知识点】向量加减混合运算；平面向量数乘的运算；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：因为，，与的夹角为，
所以，
则.
故答案为：A
【分析】由向量加减乘运算，展开，代入数量积公式可得解
7．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论中正确的是（　　）
A．相等的线段在直观图中仍然相等
B．平行的线段在直观图中仍然平行
C．垂直的线段在直观图中仍然垂直
D．相等的角在直观图中仍然相等
【答案】B
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】解：首先分析斜二测画法的规则：
斜二测画法中，平行性不变，即平行的线段在直观图中仍然平行；
对于线段长度，轴方向线段长度不变，轴方向线段长度减半，所以相等的线段在直观图中不一定相等；原来垂直的线段，在直观图中不一定垂直，比如平面直角坐标系中垂直的轴和轴，在斜二测画法中轴成45°（或135°）角，不再垂直；
相等的角在直观图中不一定相等，比如平面直角坐标系中90°的角，在斜二测画法中可能变成45°或135°等.
故答案为：B.
【分析】根据斜二测画法判断即可.
8．如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D.现测得，，，并在点C测得塔顶A的仰角为45°，则塔高（　　）
A． B． C．50 D．
【答案】B
【知识点】解三角形；正弦定理的应用；解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：由已知，，米，故，
而
所以，即，解得，
又因为在点C测得塔顶A的仰角为，即，
所以在中，.
【分析】将数据标在图中，可得△BCD中，可运用正弦定理求出；在中，可求出.
9．已知复数，，且，下列说法正确的是（　　）
A．是纯虚数 B．是实数
C．是虚数 D．若，则是实数
【答案】A,D
【知识点】虚数单位i及其性质；复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】A、为纯虚数，该选项正确，符合题意；
B、，只有时，才是实数，该选项错误，不合题意；
C、，只有时为虚数，为实数，该选项错误，不合题意；
D、为实数，该选项正确，符合题意.
【分析】求出代入运算可判断A；将z代入平方可判断B；将z代入计算可判断C；利用复数的除法公式可判断D.
10．如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么以下说法正确的是（　　）
A．直线和直线是异面直线 B．直线和直线是异面直线
C．直线和直线是异面直线 D．直线和直线是异面直线
【答案】A,B,C
【知识点】异面直线的判定；空间中直线与直线之间的位置关系；空间点、线、面的位置；异面直线
【解析】【解答】解：展开图还原为几何体后，如图：
A、直线和直线是异面直线，该选项正确，符合题意
B、直线和直线是异面直线，该选项正确，符合题意
C、直线和直线是异面直线，该选项正确，符合题意
D、和平行，该选项错误，不合题意.
【分析】现将该几何体还原成正方体，依次标上顶点，如图所示，可以次判断直线和直线、和直线、和直线是异面直线，可判断A，B，C；和平行，可判断D.
11．在中，，，三角形的面积为，周长为，则下列关于的说法正确的是（　　）
A．
B．的最大值为3
C．
D．若，则满足条件的恰有一个
【答案】A,B,C
【知识点】解三角形；正弦定理；余弦定理；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：A、根据三角形两边之差小于第三边，两边之和大于第三边得，
即，
所以，该选项正确，符合题意；
B、由题意知：，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最大值为3，此时，该选项正确，符合题意；
C、根据余弦定理，①，
②，
所以，得
，该选项正确，符合题意；
D、因为，，，所以，
如图，因为，所以满足条件的有2个，该选项错误，不合题意.
【分析】根据三角形两边之差小于第三边，两边之和大于第三边判断A；根据，当且仅当，即时等号成立判断B；运用两次余弦定理，得解可判断C；根据所以满足条件的有2判断D.
12．若满足，则的最大值是　 　.
【答案】
【知识点】复数的模；复数运算的几何意义
【解析】【解答】解：表示到点的距离为3的点的集合，
由图可知，当动点为延长线与圆C的交点时，取得最大值
，因为的长度等于，所以的最大值是.
故答案为：
【分析】由几何意义，得z是以点为圆心，3为半径的圆，由几何特征可得的最大值。
13．若正六棱台的上、下底面边长分别是2和4，侧棱长是3，则它的表面积为　 　.
【答案】
【知识点】棱台的结构特征；棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用
【解析】【解答】正六棱台的表面积，
而，，
，
所以.
故答案为：
【分析】分别求出上下底及侧面积，代入表面积公式即可得解
14．已知点为的外心，且向量，，若向量在向量上的投影向量为，则的值为　 　.
【答案】
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量的数量积运算；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：因为，
所以，即，
所以在上，
又因为点为的外心，
所以的外接圆以为圆心，为直径，
所以为直角三角形，且，为中点，
因为向量在向量上的投影向量为，
所以，即，
又，所以
由于为锐角，所以
故答案为：
【分析】 由为的外心，且向量 可得，即为直角三角形；代入投影向量公式可求解.
15．如图空间四边形，E、F、G、H分别为、、、的中点且，试判断四边形的形状，并给予证明.
【答案】解：菱形，证明：因为，分别是空间四边形的边，的中点，
所以线段是的中位线，所以且，
同理可得且，
即，，所以四边形为平行四边形，
又同理可得且，且，所以，
故平行四边形为菱形；
【知识点】平行公理
【解析】【分析】由中点可得中位线及平行关系，可证明四边形为平行四边形，再由证明它是菱形即得；
16．已知复数.
（1）若复数在复平面上对应点落在第四象限，求实数m的范围；
（2）为的共轭复数，，且是关于x的方程的一个根，求a，b的值，并求出该一元二次方程的另一复数根.
【答案】（1）解：复数，即复数在复平面上对应点坐标为，
对应点落在第四象限，即，解得.
（2）解：为的共轭复数，所以，
，即，解得，即，
是关于的方程的一个根，
代入可得，化简可得，
即，解得，，所以原方程为，
利用求根公式可得，
所以该一元二次方程的另一复数根为.
【知识点】复数在复平面中的表示；方程的解与虚数根；共轭复数
【解析】【分析】（1）由复数的几何意义得，z对应第四象限，可得，求解不等式组可得m的范围；
（2）将方程根代入方程可得a，b的值，可得方程，代入求根公式得解.
（1）复数，即复数在复平面上对应点坐标为，
对应点落在第四象限，即，解得.
（2）为的共轭复数，所以，
，即，解得，即，
是关于的方程的一个根，
代入可得，化简可得，
即，解得，，所以原方程为，
利用求根公式可得，
所以该一元二次方程的另一复数根为.
17．在中，内角A，B，C的对边分别为，
（1）求角A的大小；
（2）若，求的面积．
【答案】（1）解：由及正弦定理，
得，
即，
又，，所以，
因为，所以；
（2）解：由余弦定理，得，
所以，
又，所以，解得，
所以．
【知识点】两角和与差的正弦公式；解三角形；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）由题意得，利用正弦定理，得，可得解；
（2）由b+c=7则需要代入余弦定理，得，可得，代入面积公式即可求解．
（1）由及正弦定理，
得，
即，
又，，所以，
因为，所以；
（2）由余弦定理，得，
所以，
又，所以，解得，
所以．
18．如图，边长为6的正方形中，在边上运动，在边上运动，与交于点G.
（1）若E，F分别是，的中点，用向量法证明；
（2）若E是的中点，，，求实数的值；
（3）若，，求的最大值.
【答案】（1）证明：如图，建立平面直角坐标系，正方形的边长为6，
则，所以，，
，所以.
（2）解：如图，建立平面直角坐标系，正方形的边长为6，
则，所以，，
设点，则，
由，得，
所以，即，得到，
设，则，
所以，解得.
（3）解：因为三点共线，且，
所以，
正方形的边长为6，设，
则，
所以，，，
所以，
又，所以，
所以，，
所以，
若，则，
当且仅当，即时，等号成立，
综上所述：的最大值为1.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；平面向量的数量积运算；利用数量积判断平面向量的垂直关系；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【分析】（1）由正方形特征，可建系，分别求出各点及各向量的坐标，代入向量数量积即可证明；
（2）由正方形特征建系，分别求出各点及各向量的坐标，建立方程，即可求解；
（3）由正方形特征建系，设正方形的边长为1，分别求出各点及各向量的坐标，，构建函数模型，根据基本不等式，即可求解.
（1）如图，建立平面直角坐标系，正方形的边长为6，
则，所以，，
，所以.
（2）如图，建立平面直角坐标系，正方形的边长为6，
则，所以，，
设点，则，
由，得，
所以，即，得到，
设，则，
所以，解得.
（3）因为三点共线，且，
所以，
正方形的边长为6，设，
则，
所以，，，
所以，
又，所以，
所以，，
所以，
若，则，
当且仅当，即时，等号成立，
综上所述：的最大值为1.
19．在内一点P满足，则称P为的布洛卡点，为布洛卡角.小明同学对布洛卡点产生兴趣，对其进行探索得到许多正确的结论，比如，若下列问题中的点P为的布洛卡点，请你和他一起解决如下问题：
（1）求证：正的外心是的布洛卡点；
（2）若满足，且时，求；
（3）角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且，若的周长为4，试把表示为b的函数，并求的值域.
【答案】（1）证明：若是正的外心，
则，所以，，因此，同理可得：，
所以，则正的外心是的布洛卡点.
（2）解：由余弦定理可得：，
代入数据解得：，故，
在中，设，则，，所以，
在中，由正弦定理得：，
代入数据得：，即：，
在中，由正弦定理得：，
代入数据得：，即：，
所以，即：，
利用正弦的差角公式展开：，所以，
则.
（3）解：因为，所以，
则，
由题可知：，所以，则，
利用余弦定理可得：，
化简得：，
又因为，所以，
三角形半周长为2，因为三角形的任意一边，都必须大于半周长减去该边，
所以，则，即：.
令，其中，分析可得：在上单调递减，且，，
所以值域为：.
【知识点】平面向量的数量积运算；两角和与差的正弦公式；解三角形；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）由外心得.，可得，同理可得：，得证
（2）在中，由余弦定理得，在，中分别由正弦定理得PC长度，再利用正弦的差角公式展开，可得解；
（3）由题意得，由余弦定理可得，转化为一元二次函数求最值即得解.
（1）若是正的外心，则，所以，，因此，同理可得：，
所以，则正的外心是的布洛卡点.
（2）由余弦定理可得：，
代入数据解得：，故，
在中，设，则，，所以，
在中，由正弦定理得：，
代入数据得：，即：，
在中，由正弦定理得：，
代入数据得：，即：，
所以，即：，
利用正弦的差角公式展开：，所以，
则.
（3）因为，所以，
则，
由题可知：，所以，则，
利用余弦定理可得：，
化简得：，
又因为，所以，
三角形半周长为2，因为三角形的任意一边，都必须大于半周长减去该边，
所以，则，即：.
令，其中，分析可得：在上单调递减，且，，
所以值域为：.
1 / 1广东广州中学2025-2026学年第二学期期中考试高一 数学试卷
1．已知复数，则的虚部是（　　）
A． B． C． D．
2． 已知向量，则与向量同向的单位向量的坐标为（　　）
A． B． C． D．
3．棱台不具有的性质是（　　）
A．两底面相似 B．侧面都是梯形
C．侧棱延长后交于一点 D．侧棱长都相等
4．已知点、、在所在平面内，且，，，则点、、依次是的（　　）
A．重心、外心、垂心 B．重心、外心、内心
C．外心、重心、垂心 D．外心、重心、内心
5．已知复数，复数为复数的共轭复数，则（　　）
A．1 B． C． D．2
6．已知，，与的夹角为60°，则（　　）
A． B． C．36 D．72
7．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论中正确的是（　　）
A．相等的线段在直观图中仍然相等
B．平行的线段在直观图中仍然平行
C．垂直的线段在直观图中仍然垂直
D．相等的角在直观图中仍然相等
8．如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D.现测得，，，并在点C测得塔顶A的仰角为45°，则塔高（　　）
A． B． C．50 D．
9．已知复数，，且，下列说法正确的是（　　）
A．是纯虚数 B．是实数
C．是虚数 D．若，则是实数
10．如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么以下说法正确的是（　　）
A．直线和直线是异面直线 B．直线和直线是异面直线
C．直线和直线是异面直线 D．直线和直线是异面直线
11．在中，，，三角形的面积为，周长为，则下列关于的说法正确的是（　　）
A．
B．的最大值为3
C．
D．若，则满足条件的恰有一个
12．若满足，则的最大值是　 　.
13．若正六棱台的上、下底面边长分别是2和4，侧棱长是3，则它的表面积为　 　.
14．已知点为的外心，且向量，，若向量在向量上的投影向量为，则的值为　 　.
15．如图空间四边形，E、F、G、H分别为、、、的中点且，试判断四边形的形状，并给予证明.
16．已知复数.
（1）若复数在复平面上对应点落在第四象限，求实数m的范围；
（2）为的共轭复数，，且是关于x的方程的一个根，求a，b的值，并求出该一元二次方程的另一复数根.
17．在中，内角A，B，C的对边分别为，
（1）求角A的大小；
（2）若，求的面积．
18．如图，边长为6的正方形中，在边上运动，在边上运动，与交于点G.
（1）若E，F分别是，的中点，用向量法证明；
（2）若E是的中点，，，求实数的值；
（3）若，，求的最大值.
19．在内一点P满足，则称P为的布洛卡点，为布洛卡角.小明同学对布洛卡点产生兴趣，对其进行探索得到许多正确的结论，比如，若下列问题中的点P为的布洛卡点，请你和他一起解决如下问题：
（1）求证：正的外心是的布洛卡点；
（2）若满足，且时，求；
（3）角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且，若的周长为4，试把表示为b的函数，并求的值域.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】虚数单位i及其性质；复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：因为，所以的虚部是．
故答案为：C．
【分析】由复数乘法运算法则，可得，得解．
2．【答案】B
【知识点】单位向量；平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】向量，
所以与向量同向的单位向量为.
故选：B
【分析】由向量的坐标除以向量的模，可以得到与向量同向的单位向量.
3．【答案】D
【知识点】棱台的结构特征
【解析】【解答】解：A，B，C、根据棱台的定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台，
所以棱台具有的性质是：上、下底面多边形相似；每个侧面都是梯形；侧棱延长后交于一点；该选项正确，符合题意
D、棱台的侧棱有的相等，有的不相等，该选项错误，不合题意
【分析】根据棱台定义得上下底面平行，由平行性质可得相似，可判断A；由A 可得侧面都是梯形，可判断B；由棱锥截得棱台，可判断C，D；
4．【答案】C
【知识点】向量在几何中的应用
【解析】【解答】解：
因为，所以到定点的距离相等，
所以为的外心；
由，则，
取的中点，则，
所以，即为靠近的三等分点，
所以是的重心；
由，得，即，
所以，同理，，所以点为的垂心.
【分析】先由 ，得到为外心；再由 结合中线的性质，可得为重心； 由，移项得 得向量垂直，即得到是垂心.
5．【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模；共轭复数
【解析】【解答】解：由复数，可得，
则，
即.
故答案为：A.
【分析】先求复数的共轭复数，再根据复数代数形式的乘除化简，最后根据复数模的公式求解即可.
6．【答案】A
【知识点】向量加减混合运算；平面向量数乘的运算；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：因为，，与的夹角为，
所以，
则.
故答案为：A
【分析】由向量加减乘运算，展开，代入数量积公式可得解
7．【答案】B
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】解：首先分析斜二测画法的规则：
斜二测画法中，平行性不变，即平行的线段在直观图中仍然平行；
对于线段长度，轴方向线段长度不变，轴方向线段长度减半，所以相等的线段在直观图中不一定相等；原来垂直的线段，在直观图中不一定垂直，比如平面直角坐标系中垂直的轴和轴，在斜二测画法中轴成45°（或135°）角，不再垂直；
相等的角在直观图中不一定相等，比如平面直角坐标系中90°的角，在斜二测画法中可能变成45°或135°等.
故答案为：B.
【分析】根据斜二测画法判断即可.
8．【答案】B
【知识点】解三角形；正弦定理的应用；解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：由已知，，米，故，
而
所以，即，解得，
又因为在点C测得塔顶A的仰角为，即，
所以在中，.
【分析】将数据标在图中，可得△BCD中，可运用正弦定理求出；在中，可求出.
9．【答案】A,D
【知识点】虚数单位i及其性质；复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】A、为纯虚数，该选项正确，符合题意；
B、，只有时，才是实数，该选项错误，不合题意；
C、，只有时为虚数，为实数，该选项错误，不合题意；
D、为实数，该选项正确，符合题意.
【分析】求出代入运算可判断A；将z代入平方可判断B；将z代入计算可判断C；利用复数的除法公式可判断D.
10．【答案】A,B,C
【知识点】异面直线的判定；空间中直线与直线之间的位置关系；空间点、线、面的位置；异面直线
【解析】【解答】解：展开图还原为几何体后，如图：
A、直线和直线是异面直线，该选项正确，符合题意
B、直线和直线是异面直线，该选项正确，符合题意
C、直线和直线是异面直线，该选项正确，符合题意
D、和平行，该选项错误，不合题意.
【分析】现将该几何体还原成正方体，依次标上顶点，如图所示，可以次判断直线和直线、和直线、和直线是异面直线，可判断A，B，C；和平行，可判断D.
11．【答案】A,B,C
【知识点】解三角形；正弦定理；余弦定理；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：A、根据三角形两边之差小于第三边，两边之和大于第三边得，
即，
所以，该选项正确，符合题意；
B、由题意知：，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最大值为3，此时，该选项正确，符合题意；
C、根据余弦定理，①，
②，
所以，得
，该选项正确，符合题意；
D、因为，，，所以，
如图，因为，所以满足条件的有2个，该选项错误，不合题意.
【分析】根据三角形两边之差小于第三边，两边之和大于第三边判断A；根据，当且仅当，即时等号成立判断B；运用两次余弦定理，得解可判断C；根据所以满足条件的有2判断D.
12．【答案】
【知识点】复数的模；复数运算的几何意义
【解析】【解答】解：表示到点的距离为3的点的集合，
由图可知，当动点为延长线与圆C的交点时，取得最大值
，因为的长度等于，所以的最大值是.
故答案为：
【分析】由几何意义，得z是以点为圆心，3为半径的圆，由几何特征可得的最大值。
13．【答案】
【知识点】棱台的结构特征；棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用
【解析】【解答】正六棱台的表面积，
而，，
，
所以.
故答案为：
【分析】分别求出上下底及侧面积，代入表面积公式即可得解
14．【答案】
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量的数量积运算；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：因为，
所以，即，
所以在上，
又因为点为的外心，
所以的外接圆以为圆心，为直径，
所以为直角三角形，且，为中点，
因为向量在向量上的投影向量为，
所以，即，
又，所以
由于为锐角，所以
故答案为：
【分析】 由为的外心，且向量 可得，即为直角三角形；代入投影向量公式可求解.
15．【答案】解：菱形，证明：因为，分别是空间四边形的边，的中点，
所以线段是的中位线，所以且，
同理可得且，
即，，所以四边形为平行四边形，
又同理可得且，且，所以，
故平行四边形为菱形；
【知识点】平行公理
【解析】【分析】由中点可得中位线及平行关系，可证明四边形为平行四边形，再由证明它是菱形即得；
16．【答案】（1）解：复数，即复数在复平面上对应点坐标为，
对应点落在第四象限，即，解得.
（2）解：为的共轭复数，所以，
，即，解得，即，
是关于的方程的一个根，
代入可得，化简可得，
即，解得，，所以原方程为，
利用求根公式可得，
所以该一元二次方程的另一复数根为.
【知识点】复数在复平面中的表示；方程的解与虚数根；共轭复数
【解析】【分析】（1）由复数的几何意义得，z对应第四象限，可得，求解不等式组可得m的范围；
（2）将方程根代入方程可得a，b的值，可得方程，代入求根公式得解.
（1）复数，即复数在复平面上对应点坐标为，
对应点落在第四象限，即，解得.
（2）为的共轭复数，所以，
，即，解得，即，
是关于的方程的一个根，
代入可得，化简可得，
即，解得，，所以原方程为，
利用求根公式可得，
所以该一元二次方程的另一复数根为.
17．【答案】（1）解：由及正弦定理，
得，
即，
又，，所以，
因为，所以；
（2）解：由余弦定理，得，
所以，
又，所以，解得，
所以．
【知识点】两角和与差的正弦公式；解三角形；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）由题意得，利用正弦定理，得，可得解；
（2）由b+c=7则需要代入余弦定理，得，可得，代入面积公式即可求解．
（1）由及正弦定理，
得，
即，
又，，所以，
因为，所以；
（2）由余弦定理，得，
所以，
又，所以，解得，
所以．
18．【答案】（1）证明：如图，建立平面直角坐标系，正方形的边长为6，
则，所以，，
，所以.
（2）解：如图，建立平面直角坐标系，正方形的边长为6，
则，所以，，
设点，则，
由，得，
所以，即，得到，
设，则，
所以，解得.
（3）解：因为三点共线，且，
所以，
正方形的边长为6，设，
则，
所以，，，
所以，
又，所以，
所以，，
所以，
若，则，
当且仅当，即时，等号成立，
综上所述：的最大值为1.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；平面向量的数量积运算；利用数量积判断平面向量的垂直关系；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【分析】（1）由正方形特征，可建系，分别求出各点及各向量的坐标，代入向量数量积即可证明；
（2）由正方形特征建系，分别求出各点及各向量的坐标，建立方程，即可求解；
（3）由正方形特征建系，设正方形的边长为1，分别求出各点及各向量的坐标，，构建函数模型，根据基本不等式，即可求解.
（1）如图，建立平面直角坐标系，正方形的边长为6，
则，所以，，
，所以.
（2）如图，建立平面直角坐标系，正方形的边长为6，
则，所以，，
设点，则，
由，得，
所以，即，得到，
设，则，
所以，解得.
（3）因为三点共线，且，
所以，
正方形的边长为6，设，
则，
所以，，，
所以，
又，所以，
所以，，
所以，
若，则，
当且仅当，即时，等号成立，
综上所述：的最大值为1.
19．【答案】（1）证明：若是正的外心，
则，所以，，因此，同理可得：，
所以，则正的外心是的布洛卡点.
（2）解：由余弦定理可得：，
代入数据解得：，故，
在中，设，则，，所以，
在中，由正弦定理得：，
代入数据得：，即：，
在中，由正弦定理得：，
代入数据得：，即：，
所以，即：，
利用正弦的差角公式展开：，所以，
则.
（3）解：因为，所以，
则，
由题可知：，所以，则，
利用余弦定理可得：，
化简得：，
又因为，所以，
三角形半周长为2，因为三角形的任意一边，都必须大于半周长减去该边，
所以，则，即：.
令，其中，分析可得：在上单调递减，且，，
所以值域为：.
【知识点】平面向量的数量积运算；两角和与差的正弦公式；解三角形；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）由外心得.，可得，同理可得：，得证
（2）在中，由余弦定理得，在，中分别由正弦定理得PC长度，再利用正弦的差角公式展开，可得解；
（3）由题意得，由余弦定理可得，转化为一元二次函数求最值即得解.
（1）若是正的外心，则，所以，，因此，同理可得：，
所以，则正的外心是的布洛卡点.
（2）由余弦定理可得：，
代入数据解得：，故，
在中，设，则，，所以，
在中，由正弦定理得：，
代入数据得：，即：，
在中，由正弦定理得：，
代入数据得：，即：，
所以，即：，
利用正弦的差角公式展开：，所以，
则.
（3）因为，所以，
则，
由题可知：，所以，则，
利用余弦定理可得：，
化简得：，
又因为，所以，
三角形半周长为2，因为三角形的任意一边，都必须大于半周长减去该边，
所以，则，即：.
令，其中，分析可得：在上单调递减，且，，
所以值域为：.
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