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广东省清远市英德市2025-2026学年下学期八年级期中数学试卷
1．在△ABC中，若∠C是直角，∠B＝40°，则∠A的度数是（　　）
A．40° B．50° C．60° D．70°
2．下列式子中，是不等式的是（　　）
A．x+3＝0 B． C．x2﹣2x＝4 D．2x+3＞0
3．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
4．若a＜b，则下列各式中一定成立的是（　　）
A．﹣a＜﹣b B．ac＜bc C．a﹣1＜b﹣1 D．＞
5．在平面直角坐标系中，将点A（3，﹣4）向左平移2个单位长度，得到的点的坐标为（　　）
A．（1，﹣4） B．（5，﹣4） C．（1，﹣2） D．（3，﹣2）
6．在数轴上表示不等式x<2的解集，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
7．一个多边形的内角和是720°，这个多边形是（　　）
A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形
8．如图，将△ABC沿着射线BC平移到△DEF，若BC＝7，EC＝4，则平移的距离为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
9．如图，直线y＝kx+b交坐标轴于A，B两点，则不等式kx+b＜0的解集是（　　）
A．x＜2 B．x＞2 C．x＜﹣3 D．x＞﹣3
10．如图，在△ABC中，以点A为圆心，AB长为半径作弧，交BC于点D，再分别以点B，D为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点F，连结AF，交BD于点E，若∠B＝45°，BD＝6，则AE的长为（　　）
A．3 B．4 C．6 D．8
11．如图，已知在等边三角形ABC中，AD是BC边上的高，AB＝2，则CD＝　 　 ．
12．如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于D，PD＝3cm，点E是射线OB上的动点，则PE的最小值为 　 　cm．
13．假期里全家去旅游，爸爸开小型客车走中间车道，你给爸爸建议车速为 　 　km/h．
14．不等式组的解集是　 　 ．
15．如图，将三角形AOB绕点O逆时针方向旋转50°后得到三角形A'OB'，若∠AOB＝15°，则∠AOB'的度数是　 　 ．
16．下面是小明解不等式的过程：
解：第一步：x+5﹣2＞3x+1，
第二步：﹣2x＞﹣2，
第三步：x＞1．
小明的解法中哪一步是去分母？去分母的依据是什么？判断小明的解答过程是否正确．若不正确，请写出你的解答过程．
17．如图，△ABC中，AB=AC，∠A=50°，DE是腰 的垂直平分线.求∠DBC的度数.
18．为应付英语听说考试，某校为两间电脑室购进了A，B两种型号的耳麦．已知购进每个A型耳麦30元，购进每个B型耳麦65元．若该校准备购进200个这两种型号的耳麦，总费用不超过10200元，那么最多可购进B型耳麦多少个？
19．如图，某小区内有一个三角形花坛，其内部有一个转角区域，由两条小路OA和OB形成一个∠AOB．小区计划在∠AOB内部修建一个便民饮水点P，要求该饮水点到两个固定休息点C和D的距离相等且到两条小路OA和OB的距离也相等，在图中标出饮水点P的位置．（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
20．函数y＝x+2的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
（1）利用图象求方程x+2＝0的解；
（2）利用图象求不等式x+2＜0的解集；
（3）若﹣1≤y≤3，求x的取值范围；
（4）请简要说明你对一元一次方程、一元一次不等式、一次函数之间的关系的理解．
21．根据以下素材，探究完成任务．
背景 2025年3月14日是第六个国际数学日，为了传扬数学文化，某校开展了相关竞赛活动，林老师提前在线上平台购买了玩偶与徽章等文创品作为奖品．
素材一 线上平台无促销活动时，若买10个玩偶和20个徽章共需390元；若买15个玩偶和15个徽章共需405元．
素材二 2025年线上平台促销活动信息如下： 方式一：购买48元会员卡后所有商品打8折； 方式二：非会员所有商品打9折．
解决问题
任务一 线上平台在无促销活动时，求玩偶和徽章的销售单价各是多少元？
任务二 林老师计划在促销期间购买玩偶和徽章共35个，其中购买玩偶m个（0＜m＜35）， 若林老师按方式一购买，共需 ▲ 元； 若林老师按方式二购买，共需 ▲ 元． （均用含m的代数式表示）
任务三 请你帮林老师算一算，在任务二的条件下，购买玩偶的数量在什么范围内时，选择方式一更划算？
22．有一副三角板ABC和DEF，∠ACB＝∠EDF＝90°，∠DEF＝∠DFE＝45°，∠BAC＝60°，∠ABC＝30°，点A始终在DE边上，点D在三角板ABC内，DF与AB边交于点G．
（1）如图1，若EF∥AB，则∠CAD的度数为　 　 ；
（2）如图2，若∠BGF＝75°，试判断EF与BC的位置关系，并说明理由；
（3）如图3，AD平分∠BAC，过点E作EH∥BC，交DF的延长线于点H，求∠HEF的度数．
23．【课本原题】已知：如图1，等腰直角三角形ABC中，∠B＝90°，AD是内角平分线，交BC边于点D，DE⊥AC，垂足为E．求证：AC＝AB+BD．
证明：∵AD是角平分线，DE⊥AC，∠B＝90°，
∴DB＝DE，
在Rt△ADB和Rt△ADE中，
，
∴Rt△ADB≌Rt△ADE（HL），
∴AB＝AE，
又∵∠C＝45°，
∴△DEC是等腰直角三角形，
∴DE＝EC，
∴AC＝AE+EC＝AB+BD．
（1）【问题解决】现在【课本原题】中增加一条件“AB＝2”，如图1，其他条件不变，求三角形DEC的周长．
（2）【尝试猜想】现将【课本原题】中的“AD是内角平分线，交BC边于点D”换成“AD是外角平分线，交BC边的延长线于点D”，如图2，其他条件不变，请你猜想线段AC，AB，BD之间的数量关系，并证明你的猜想．
（3）【拓展延伸】任意三角形ABC，∠ABC＝2∠C，AD是∠BAC的外角平分线，交CB边的延长线于点D，如图3，请你写出线段AC，AB，BD之间的数量关系，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵∠C是直角，∠B=40°，
∴∠A=90°-40°=50°，
故答案为：B.
【分析】 根据直角三角形的两个锐角互余求解．
2．【答案】D
【知识点】不等式的概念
【解析】【解答】 解：A．x+3=0是方程，故本选项错误；
B．是代数式，故本选项错误；
C．x2-2x=4是方程，故本选项错误；
D.2x+3＞0是不等式，故本选项正确．
故答案为：D.
【分析】 根据不等式的定义逐个判断即可．
3．【答案】C
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、不是中心对称图形，故A错误.
B、不是中心对称图形，故B错误.
C、是中心对称图形，故C正确.
D、不是中心对称图形，故D错误.
故答案为：C．
【分析】根据中心对称图形的定义和A、B、C、D各选项图案的特点，分别判断即可得答案.
4．【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】 解：A．∵a＜b，∴-a＞-b，A不符合题意；
B．若c=0，则ac=bc，B不符合题意；
C．∵a＜b，∴a-1＜b-1，C符合题意；
D．∵a＜b，∴＜，D不符合题意．
故答案为：C.
【分析】利用一元一次不等式的性质（不等式的基本性质①：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的基本性质②：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的基本性质③：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变）分析求解即可.
5．【答案】A
【知识点】点的坐标；坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】 解：根据坐标平移的规则可得：横坐标变为3-2=1，纵坐标不变，
∴平移后的点的坐标为（1，-4）．
故答案为：A.
【分析】利用点坐标平移的特征（上加下减、左减右加）分析求解即可.
6．【答案】A
【知识点】在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：在数轴上表示不等式x＜2的解集为：
故答案为：A．
【分析】利用不等式解集的表示方法（小于向左，大于向右；边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点）分析求解即可.
7．【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设这个多边形的边数为n，由题意，得
（n﹣2）180°=720°，
解得：n=6，
故这个多边形是六边形．
故选：B．
【分析】利用n边形的内角和可以表示成（n﹣2） 180°，结合方程即可求出答案．
8．【答案】B
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】 解：∵BC=7，EC=4，
∴BE=BC-CE=3，
由△ABC沿射线BC方向平移到△DEF，可得平移距离为3；
故答案为：B.
【分析】利用平移的性质及线段的和差求出BE的长，从而得解.
9．【答案】C
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：观察图象得：不等式kx+b＜0的解集是x＜-3，
故答案为：C.
【分析】结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则求解即可.
10．【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：由作图得AF垂直平分BD，垂足为点E，
∴BE=DE，
∵AB=AD，
∴∠ADB=∠B=45°，
∴∠BAD=90°，
∵BD=6，
∴AE=BE=3，
故答案为：A.
【分析】 由作图得AF垂直平分BD，垂足为点E，则BE=DE，由AB=AD，得∠ADB=∠B=45°，则∠BAD=90°，所以AE=BD=3，从而得解.
11．【答案】1
【知识点】等边三角形的性质
【解析】【解答】 解：∵△ABC是等边三角形，AB=2，
∴AB=BC=AC=2，
又∵AD是BC边上的高，
∴BD=DC=BC=×2=1，
故答案为：1．
【分析】 先利用等边三角形的性质得出AB=BC=AC=2，再由AD是BC边上的高，利用等腰三角形三线合一定理可得出点D是BC中点，即可求得CD的值．
12．【答案】3
【知识点】垂线段最短及其应用；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过P点作PH⊥OB于H，如图，
∵OC平分∠AOB，PD⊥OA，PH⊥OB，
∴PH=PD=3cm，
∵点E是射线OB上的动点，
∴PE的最小值为3cm.
故答案为：3．
【分析】过P点作PH⊥OB于H，利用角平分线的性质可得PH=PD=3cm，再利用垂线段最短的性质求解即可.
13．【答案】80（答案不唯一）
【知识点】列不等式；不等式的性质的实际应用
【解析】【解答】解：设车速为v km/h，
则70≤v＜100，
∴建议车速为80km/h.
故答案为：80（答案不唯一）．
【分析】 先结合题意写出车速的取值范围，再写出一个车速即可．
14．【答案】1＜x＜3
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
解不等式①得，x＞1，
解不等式②得，x＜3，
∴不等式组的解集为：1＜x＜3．
故答案为：1＜x＜3．
【分析】利用一元一次不等式组的计算方法及步骤（先移项并合并同类项，再系数化为“1”即可）分析求解即可.
15．【答案】35°
【知识点】角的运算；旋转的性质
【解析】【解答】 解：∵将三角形AOB绕点O逆时针方向旋转50°后得到三角形A'OB'，
∴∠BOB'=50°，
∵∠AOB=15°，
∴∠AOB'=∠BOB'-∠AOB=35°，
故答案为：35°．
【分析】 由将三角形AOB绕点O逆时针方向旋转50°后得到三角形A'OB'，可知旋转角∠BOB'=50°，而∠AOB=15°，则∠AOB'=∠BOB'-∠AOB=35°，从而得解.
16．【答案】解：第一步是去分母，去分母的依据是不等式两边同时乘以一个正数，不等号不改变方向，小明的解答不正确，正确过程如下：
，
去分母得x+5﹣2＞3x+1，
移项，合并同类项得﹣2x＞﹣2，
系数化为1得x＜1．
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【分析】 根据题意可知，第一步是去分母，去分母的依据是不等式两边同时乘以一个正数，不等号不改变方向，观察第三步可知，不等式两边同时除以一个负数，不等号要改变方向，故第三步错误，据此可得答案．
17．【答案】解：∵∠A=50°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB= （180°﹣∠A）=65°
又∵DE垂直且平分AB，
∴DB=AD，
∴∠ABD=∠A=50°，
∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=65°﹣50°=15°.
即∠DBC的度数是15°.
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】已知∠A=50°，AB=AC可得∠ABC=∠ACB，再由线段垂直平分线的性质可求出∠ABC=∠A，易求∠DBC.
18．【答案】解：设购进B型耳麦x个，则购进A型耳麦（200﹣x）个，
根据题意得：30（200﹣x）+65x≤10200，
解得：x≤120，
∴x的最大值为120．
答：最多可购进B型耳麦120个．
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【分析】 设购进B型耳麦x个，则购进A型耳麦（200-x）个，利用“总价=单价×数量，结合总价不超过10200元”，列出关于x的一元一次不等式，再求解即可.
19．【答案】解：如图，点P即为所求．
【知识点】尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】 作射线OT平分∠AOB，连接CD，作线段CD的垂直平分线EF交OT于点P，点P即为所求．
20．【答案】（1）解：由图象知，方程x+2＝0的解是x＝﹣2
（2）解：由图象知，不等式x+2＜0的解集是x＜﹣2
（3）解：由图象知，当﹣1≤y≤3时，x的取值范围是﹣3≤x≤1
（4）解：形如kx+b＝0的方程，它的解就是一次函数y＝kx+b的图象与x轴交点的横坐标，形如kx+b＞0（或kx+b＜0）的不等式，它的解集就是一次函数y＝kx+b的图象在x轴上方（或下方）时对应的x的取值范围；三者本质上是同一个一次函数在不同条件下的表现：方程对应y＝0 的特殊点，不等式对应 y＞0或y＜0的区间，而函数则是整体的变化规律．
【知识点】一次函数与一元一次方程的关系；一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【分析】 （1）根据函数图象与x轴交点的横坐标是相应方程的解，可得答案；
（2）根据函数与不等式的关系：x轴上方的部分是不等式的解集，可得答案；
（3）根据函数值的取值范围，可得相应自变量的取值范围；
（4）根据对一次函数与一元一次方程，一次函数与一元一次不等式的关系的理解解答即可．
21．【答案】解：（任务一）设线上平台在无促销活动时，玩偶的销售单价是x元，徽章的销售单价是y元，
根据题意得：，
解得：．
答：线上平台在无促销活动时，玩偶的销售单价是15元，徽章的销售单价是12元；
（任务二）（384+2.4m），（378+2.7m）；
（任务三）根据题意得：384+2.4m＜378+2.7m，
解得：m＞20，
又∵0＜m＜35，
∴20＜m＜35．
答：在任务二的条件下，购买玩偶的数量20＜m＜35时，选择方式一更划算．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【解答】解：（任务二）根据题意得：若林老师按方式一购买，共需48+15×0.8m+12×0.8（35﹣m）＝（384+2.4m）（元）；
若林老师按方式二购买，共需15×0.9m+12×0.9（35﹣m）＝（378+2.7m）（元）．
故答案为：（384+2.4m），（378+2.7m）.
【分析】 （任务一）设线上平台在无促销活动时，玩偶的销售单价是x元，徽章的销售单价是y元，根据“线上平台无促销活动时，买10个玩偶和20个徽章共需390元；买15个玩偶和15个徽章共需405元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（任务二）利用总价=单价×数量，结合2025年线上平台促销活动的具体信息，即可用含m的代数式表示出林老师按方式一及方式二购买所需费用；
（任务三）根据选择方式一更划算，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，再结合0＜m＜35，即可得出结论．
22．【答案】（1）15
（2）解：BC∥EF，理由如下：
如图，过点G作GM∥BC，
，
∵∠ABC＝30°，
∴∠BGM＝∠ABC＝30°，
∵∠BGF＝75°，
∴∠MGF＝∠BGF﹣∠BGM＝45°，
∵∠DFE＝45°，
∴∠MGF＝∠DFE＝45°，
∴GM∥EF，
∴BC∥EF；
（3）解：过点A作AN∥BC，
，
∵∠ACB＝90°，∠ACB+∠CAN＝180°，
∴∠CAN＝90°，
∵∠BAC＝60°，
∴∠BAN＝∠CAN﹣∠CAB＝30°，
∵AD平分∠BAC，
∴，
∴∠DAN＝∠BAN+∠BAD＝60°，
∴∠EAN＝180°﹣∠DAN＝120°，
∵EH∥BC，AN∥BC，
∴AN∥EH，
∴∠DEH+∠EAN＝180°，
∴∠DEH＝60°，
∵∠DEF＝45°，
∴∠HEF＝∠DEH﹣∠DEF＝15°．
【知识点】角的运算；平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1）∵EF∥AB，∠DEF＝45°，
∴∠DAG＝∠DEF＝45°，
∵∠BAC＝60°，
∴∠CAD＝∠BAC﹣∠DAG＝60°﹣45°＝15°，
故答案为：15.
【分析】 （1）由EF∥AB得∠DAG=∠DEF=45°，用∠BAC=60°减去∠DAG，得∠CAD=15°；
（2）作GM∥BC，由平行线性质得∠BGM=30°结合∠BGF=75°得∠MGF=45°，与∠DFE相等，故GN∥EF，从而BC∥EF；
（3）作AN∥BC，由平行线性质、角平分线定义求出∠DAN=60°再由EH∥BC得AN∥EH，求出∠DEH=60°减去∠DEF=45°得∠HEF=15°．
23．【答案】（1）解：∵AD是内角平分线，DE⊥AC，∠B＝90°，
∴∠BAD＝∠CAD，∠AED＝∠B＝90°，DB＝DE，AB＝AE，
∵△ABC是等腰三角形，AB＝2＝BC，
∴AC＝2，DE+DC＝2，
∴CE＝2﹣2，
∴△DEC的周长为：DE+DC+CE＝2+2﹣2＝2；
（2）解：BD＝AB+AC；理由如下，
在CA的延长线上取AE＝AB，连接DE，如图，
∵AD平分∠EAB，
∴∠EAD＝∠BAD，
在△EAD和△BAD中，
，
∴△EAD≌△BAD（SAS），
∴∠AED＝∠ABD＝90°，DB＝DE，
∵AB＝BC，
∴∠C＝45°，
∴∠EDC＝45°，
∴DE＝CE，
∴BD＝EC，
∵EC＝AE+AC＝AB+AC，
∴BD＝AB+AC；
（3）解：BD＝AB+AC；理由如下，
在CA上取一点E，使得AE＝AB，连接DE，
∵AD是∠BAC的外角平分线，
∴∠EAD＝∠BAD，
在△EAD和△BAD中，
，
∴△EAD≌△BAD（SAS），
∴∠AED＝∠ABD，DB＝DE，
∵∠AED+∠FED＝180°，∠ABD+∠ABC＝180°，
∴∠FED＝∠ABC，
∵∠ABC＝2∠C，
∴∠FED＝2∠C，
∵∠FED＝∠C+∠EDC，
∴∠EDC＝∠C，
∴DE＝EC，
∵EC＝AE+AC＝AB+AC，
∴BD＝AB+AC．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；三角形的综合
【解析】【分析】 （1）由角平分线的性质得出DB=DE，AB=AE，由等腰直角三角形的性质得出AC=即可解答；
（2）在CA的延长线上取AE=AB，连接DE，证明△EAD≌△BAD得出AE=AB，再证明DE=CE即可解答；
（3）在CA上取一点E，使得AE=AB，连接DE，证明△EAD≌△BAD得出AE=AB，再证明DE=CE即可解答.
1 / 1广东省清远市英德市2025-2026学年下学期八年级期中数学试卷
1．在△ABC中，若∠C是直角，∠B＝40°，则∠A的度数是（　　）
A．40° B．50° C．60° D．70°
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵∠C是直角，∠B=40°，
∴∠A=90°-40°=50°，
故答案为：B.
【分析】 根据直角三角形的两个锐角互余求解．
2．下列式子中，是不等式的是（　　）
A．x+3＝0 B． C．x2﹣2x＝4 D．2x+3＞0
【答案】D
【知识点】不等式的概念
【解析】【解答】 解：A．x+3=0是方程，故本选项错误；
B．是代数式，故本选项错误；
C．x2-2x=4是方程，故本选项错误；
D.2x+3＞0是不等式，故本选项正确．
故答案为：D.
【分析】 根据不等式的定义逐个判断即可．
3．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、不是中心对称图形，故A错误.
B、不是中心对称图形，故B错误.
C、是中心对称图形，故C正确.
D、不是中心对称图形，故D错误.
故答案为：C．
【分析】根据中心对称图形的定义和A、B、C、D各选项图案的特点，分别判断即可得答案.
4．若a＜b，则下列各式中一定成立的是（　　）
A．﹣a＜﹣b B．ac＜bc C．a﹣1＜b﹣1 D．＞
【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】 解：A．∵a＜b，∴-a＞-b，A不符合题意；
B．若c=0，则ac=bc，B不符合题意；
C．∵a＜b，∴a-1＜b-1，C符合题意；
D．∵a＜b，∴＜，D不符合题意．
故答案为：C.
【分析】利用一元一次不等式的性质（不等式的基本性质①：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的基本性质②：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的基本性质③：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变）分析求解即可.
5．在平面直角坐标系中，将点A（3，﹣4）向左平移2个单位长度，得到的点的坐标为（　　）
A．（1，﹣4） B．（5，﹣4） C．（1，﹣2） D．（3，﹣2）
【答案】A
【知识点】点的坐标；坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】 解：根据坐标平移的规则可得：横坐标变为3-2=1，纵坐标不变，
∴平移后的点的坐标为（1，-4）．
故答案为：A.
【分析】利用点坐标平移的特征（上加下减、左减右加）分析求解即可.
6．在数轴上表示不等式x<2的解集，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：在数轴上表示不等式x＜2的解集为：
故答案为：A．
【分析】利用不等式解集的表示方法（小于向左，大于向右；边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点）分析求解即可.
7．一个多边形的内角和是720°，这个多边形是（　　）
A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形
【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设这个多边形的边数为n，由题意，得
（n﹣2）180°=720°，
解得：n=6，
故这个多边形是六边形．
故选：B．
【分析】利用n边形的内角和可以表示成（n﹣2） 180°，结合方程即可求出答案．
8．如图，将△ABC沿着射线BC平移到△DEF，若BC＝7，EC＝4，则平移的距离为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】 解：∵BC=7，EC=4，
∴BE=BC-CE=3，
由△ABC沿射线BC方向平移到△DEF，可得平移距离为3；
故答案为：B.
【分析】利用平移的性质及线段的和差求出BE的长，从而得解.
9．如图，直线y＝kx+b交坐标轴于A，B两点，则不等式kx+b＜0的解集是（　　）
A．x＜2 B．x＞2 C．x＜﹣3 D．x＞﹣3
【答案】C
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：观察图象得：不等式kx+b＜0的解集是x＜-3，
故答案为：C.
【分析】结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则求解即可.
10．如图，在△ABC中，以点A为圆心，AB长为半径作弧，交BC于点D，再分别以点B，D为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点F，连结AF，交BD于点E，若∠B＝45°，BD＝6，则AE的长为（　　）
A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：由作图得AF垂直平分BD，垂足为点E，
∴BE=DE，
∵AB=AD，
∴∠ADB=∠B=45°，
∴∠BAD=90°，
∵BD=6，
∴AE=BE=3，
故答案为：A.
【分析】 由作图得AF垂直平分BD，垂足为点E，则BE=DE，由AB=AD，得∠ADB=∠B=45°，则∠BAD=90°，所以AE=BD=3，从而得解.
11．如图，已知在等边三角形ABC中，AD是BC边上的高，AB＝2，则CD＝　 　 ．
【答案】1
【知识点】等边三角形的性质
【解析】【解答】 解：∵△ABC是等边三角形，AB=2，
∴AB=BC=AC=2，
又∵AD是BC边上的高，
∴BD=DC=BC=×2=1，
故答案为：1．
【分析】 先利用等边三角形的性质得出AB=BC=AC=2，再由AD是BC边上的高，利用等腰三角形三线合一定理可得出点D是BC中点，即可求得CD的值．
12．如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于D，PD＝3cm，点E是射线OB上的动点，则PE的最小值为 　 　cm．
【答案】3
【知识点】垂线段最短及其应用；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过P点作PH⊥OB于H，如图，
∵OC平分∠AOB，PD⊥OA，PH⊥OB，
∴PH=PD=3cm，
∵点E是射线OB上的动点，
∴PE的最小值为3cm.
故答案为：3．
【分析】过P点作PH⊥OB于H，利用角平分线的性质可得PH=PD=3cm，再利用垂线段最短的性质求解即可.
13．假期里全家去旅游，爸爸开小型客车走中间车道，你给爸爸建议车速为 　 　km/h．
【答案】80（答案不唯一）
【知识点】列不等式；不等式的性质的实际应用
【解析】【解答】解：设车速为v km/h，
则70≤v＜100，
∴建议车速为80km/h.
故答案为：80（答案不唯一）．
【分析】 先结合题意写出车速的取值范围，再写出一个车速即可．
14．不等式组的解集是　 　 ．
【答案】1＜x＜3
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
解不等式①得，x＞1，
解不等式②得，x＜3，
∴不等式组的解集为：1＜x＜3．
故答案为：1＜x＜3．
【分析】利用一元一次不等式组的计算方法及步骤（先移项并合并同类项，再系数化为“1”即可）分析求解即可.
15．如图，将三角形AOB绕点O逆时针方向旋转50°后得到三角形A'OB'，若∠AOB＝15°，则∠AOB'的度数是　 　 ．
【答案】35°
【知识点】角的运算；旋转的性质
【解析】【解答】 解：∵将三角形AOB绕点O逆时针方向旋转50°后得到三角形A'OB'，
∴∠BOB'=50°，
∵∠AOB=15°，
∴∠AOB'=∠BOB'-∠AOB=35°，
故答案为：35°．
【分析】 由将三角形AOB绕点O逆时针方向旋转50°后得到三角形A'OB'，可知旋转角∠BOB'=50°，而∠AOB=15°，则∠AOB'=∠BOB'-∠AOB=35°，从而得解.
16．下面是小明解不等式的过程：
解：第一步：x+5﹣2＞3x+1，
第二步：﹣2x＞﹣2，
第三步：x＞1．
小明的解法中哪一步是去分母？去分母的依据是什么？判断小明的解答过程是否正确．若不正确，请写出你的解答过程．
【答案】解：第一步是去分母，去分母的依据是不等式两边同时乘以一个正数，不等号不改变方向，小明的解答不正确，正确过程如下：
，
去分母得x+5﹣2＞3x+1，
移项，合并同类项得﹣2x＞﹣2，
系数化为1得x＜1．
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【分析】 根据题意可知，第一步是去分母，去分母的依据是不等式两边同时乘以一个正数，不等号不改变方向，观察第三步可知，不等式两边同时除以一个负数，不等号要改变方向，故第三步错误，据此可得答案．
17．如图，△ABC中，AB=AC，∠A=50°，DE是腰 的垂直平分线.求∠DBC的度数.
【答案】解：∵∠A=50°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB= （180°﹣∠A）=65°
又∵DE垂直且平分AB，
∴DB=AD，
∴∠ABD=∠A=50°，
∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=65°﹣50°=15°.
即∠DBC的度数是15°.
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】已知∠A=50°，AB=AC可得∠ABC=∠ACB，再由线段垂直平分线的性质可求出∠ABC=∠A，易求∠DBC.
18．为应付英语听说考试，某校为两间电脑室购进了A，B两种型号的耳麦．已知购进每个A型耳麦30元，购进每个B型耳麦65元．若该校准备购进200个这两种型号的耳麦，总费用不超过10200元，那么最多可购进B型耳麦多少个？
【答案】解：设购进B型耳麦x个，则购进A型耳麦（200﹣x）个，
根据题意得：30（200﹣x）+65x≤10200，
解得：x≤120，
∴x的最大值为120．
答：最多可购进B型耳麦120个．
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【分析】 设购进B型耳麦x个，则购进A型耳麦（200-x）个，利用“总价=单价×数量，结合总价不超过10200元”，列出关于x的一元一次不等式，再求解即可.
19．如图，某小区内有一个三角形花坛，其内部有一个转角区域，由两条小路OA和OB形成一个∠AOB．小区计划在∠AOB内部修建一个便民饮水点P，要求该饮水点到两个固定休息点C和D的距离相等且到两条小路OA和OB的距离也相等，在图中标出饮水点P的位置．（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
【答案】解：如图，点P即为所求．
【知识点】尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】 作射线OT平分∠AOB，连接CD，作线段CD的垂直平分线EF交OT于点P，点P即为所求．
20．函数y＝x+2的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
（1）利用图象求方程x+2＝0的解；
（2）利用图象求不等式x+2＜0的解集；
（3）若﹣1≤y≤3，求x的取值范围；
（4）请简要说明你对一元一次方程、一元一次不等式、一次函数之间的关系的理解．
【答案】（1）解：由图象知，方程x+2＝0的解是x＝﹣2
（2）解：由图象知，不等式x+2＜0的解集是x＜﹣2
（3）解：由图象知，当﹣1≤y≤3时，x的取值范围是﹣3≤x≤1
（4）解：形如kx+b＝0的方程，它的解就是一次函数y＝kx+b的图象与x轴交点的横坐标，形如kx+b＞0（或kx+b＜0）的不等式，它的解集就是一次函数y＝kx+b的图象在x轴上方（或下方）时对应的x的取值范围；三者本质上是同一个一次函数在不同条件下的表现：方程对应y＝0 的特殊点，不等式对应 y＞0或y＜0的区间，而函数则是整体的变化规律．
【知识点】一次函数与一元一次方程的关系；一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【分析】 （1）根据函数图象与x轴交点的横坐标是相应方程的解，可得答案；
（2）根据函数与不等式的关系：x轴上方的部分是不等式的解集，可得答案；
（3）根据函数值的取值范围，可得相应自变量的取值范围；
（4）根据对一次函数与一元一次方程，一次函数与一元一次不等式的关系的理解解答即可．
21．根据以下素材，探究完成任务．
背景 2025年3月14日是第六个国际数学日，为了传扬数学文化，某校开展了相关竞赛活动，林老师提前在线上平台购买了玩偶与徽章等文创品作为奖品．
素材一 线上平台无促销活动时，若买10个玩偶和20个徽章共需390元；若买15个玩偶和15个徽章共需405元．
素材二 2025年线上平台促销活动信息如下： 方式一：购买48元会员卡后所有商品打8折； 方式二：非会员所有商品打9折．
解决问题
任务一 线上平台在无促销活动时，求玩偶和徽章的销售单价各是多少元？
任务二 林老师计划在促销期间购买玩偶和徽章共35个，其中购买玩偶m个（0＜m＜35）， 若林老师按方式一购买，共需 ▲ 元； 若林老师按方式二购买，共需 ▲ 元． （均用含m的代数式表示）
任务三 请你帮林老师算一算，在任务二的条件下，购买玩偶的数量在什么范围内时，选择方式一更划算？
【答案】解：（任务一）设线上平台在无促销活动时，玩偶的销售单价是x元，徽章的销售单价是y元，
根据题意得：，
解得：．
答：线上平台在无促销活动时，玩偶的销售单价是15元，徽章的销售单价是12元；
（任务二）（384+2.4m），（378+2.7m）；
（任务三）根据题意得：384+2.4m＜378+2.7m，
解得：m＞20，
又∵0＜m＜35，
∴20＜m＜35．
答：在任务二的条件下，购买玩偶的数量20＜m＜35时，选择方式一更划算．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【解答】解：（任务二）根据题意得：若林老师按方式一购买，共需48+15×0.8m+12×0.8（35﹣m）＝（384+2.4m）（元）；
若林老师按方式二购买，共需15×0.9m+12×0.9（35﹣m）＝（378+2.7m）（元）．
故答案为：（384+2.4m），（378+2.7m）.
【分析】 （任务一）设线上平台在无促销活动时，玩偶的销售单价是x元，徽章的销售单价是y元，根据“线上平台无促销活动时，买10个玩偶和20个徽章共需390元；买15个玩偶和15个徽章共需405元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（任务二）利用总价=单价×数量，结合2025年线上平台促销活动的具体信息，即可用含m的代数式表示出林老师按方式一及方式二购买所需费用；
（任务三）根据选择方式一更划算，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，再结合0＜m＜35，即可得出结论．
22．有一副三角板ABC和DEF，∠ACB＝∠EDF＝90°，∠DEF＝∠DFE＝45°，∠BAC＝60°，∠ABC＝30°，点A始终在DE边上，点D在三角板ABC内，DF与AB边交于点G．
（1）如图1，若EF∥AB，则∠CAD的度数为　 　 ；
（2）如图2，若∠BGF＝75°，试判断EF与BC的位置关系，并说明理由；
（3）如图3，AD平分∠BAC，过点E作EH∥BC，交DF的延长线于点H，求∠HEF的度数．
【答案】（1）15
（2）解：BC∥EF，理由如下：
如图，过点G作GM∥BC，
，
∵∠ABC＝30°，
∴∠BGM＝∠ABC＝30°，
∵∠BGF＝75°，
∴∠MGF＝∠BGF﹣∠BGM＝45°，
∵∠DFE＝45°，
∴∠MGF＝∠DFE＝45°，
∴GM∥EF，
∴BC∥EF；
（3）解：过点A作AN∥BC，
，
∵∠ACB＝90°，∠ACB+∠CAN＝180°，
∴∠CAN＝90°，
∵∠BAC＝60°，
∴∠BAN＝∠CAN﹣∠CAB＝30°，
∵AD平分∠BAC，
∴，
∴∠DAN＝∠BAN+∠BAD＝60°，
∴∠EAN＝180°﹣∠DAN＝120°，
∵EH∥BC，AN∥BC，
∴AN∥EH，
∴∠DEH+∠EAN＝180°，
∴∠DEH＝60°，
∵∠DEF＝45°，
∴∠HEF＝∠DEH﹣∠DEF＝15°．
【知识点】角的运算；平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1）∵EF∥AB，∠DEF＝45°，
∴∠DAG＝∠DEF＝45°，
∵∠BAC＝60°，
∴∠CAD＝∠BAC﹣∠DAG＝60°﹣45°＝15°，
故答案为：15.
【分析】 （1）由EF∥AB得∠DAG=∠DEF=45°，用∠BAC=60°减去∠DAG，得∠CAD=15°；
（2）作GM∥BC，由平行线性质得∠BGM=30°结合∠BGF=75°得∠MGF=45°，与∠DFE相等，故GN∥EF，从而BC∥EF；
（3）作AN∥BC，由平行线性质、角平分线定义求出∠DAN=60°再由EH∥BC得AN∥EH，求出∠DEH=60°减去∠DEF=45°得∠HEF=15°．
23．【课本原题】已知：如图1，等腰直角三角形ABC中，∠B＝90°，AD是内角平分线，交BC边于点D，DE⊥AC，垂足为E．求证：AC＝AB+BD．
证明：∵AD是角平分线，DE⊥AC，∠B＝90°，
∴DB＝DE，
在Rt△ADB和Rt△ADE中，
，
∴Rt△ADB≌Rt△ADE（HL），
∴AB＝AE，
又∵∠C＝45°，
∴△DEC是等腰直角三角形，
∴DE＝EC，
∴AC＝AE+EC＝AB+BD．
（1）【问题解决】现在【课本原题】中增加一条件“AB＝2”，如图1，其他条件不变，求三角形DEC的周长．
（2）【尝试猜想】现将【课本原题】中的“AD是内角平分线，交BC边于点D”换成“AD是外角平分线，交BC边的延长线于点D”，如图2，其他条件不变，请你猜想线段AC，AB，BD之间的数量关系，并证明你的猜想．
（3）【拓展延伸】任意三角形ABC，∠ABC＝2∠C，AD是∠BAC的外角平分线，交CB边的延长线于点D，如图3，请你写出线段AC，AB，BD之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）解：∵AD是内角平分线，DE⊥AC，∠B＝90°，
∴∠BAD＝∠CAD，∠AED＝∠B＝90°，DB＝DE，AB＝AE，
∵△ABC是等腰三角形，AB＝2＝BC，
∴AC＝2，DE+DC＝2，
∴CE＝2﹣2，
∴△DEC的周长为：DE+DC+CE＝2+2﹣2＝2；
（2）解：BD＝AB+AC；理由如下，
在CA的延长线上取AE＝AB，连接DE，如图，
∵AD平分∠EAB，
∴∠EAD＝∠BAD，
在△EAD和△BAD中，
，
∴△EAD≌△BAD（SAS），
∴∠AED＝∠ABD＝90°，DB＝DE，
∵AB＝BC，
∴∠C＝45°，
∴∠EDC＝45°，
∴DE＝CE，
∴BD＝EC，
∵EC＝AE+AC＝AB+AC，
∴BD＝AB+AC；
（3）解：BD＝AB+AC；理由如下，
在CA上取一点E，使得AE＝AB，连接DE，
∵AD是∠BAC的外角平分线，
∴∠EAD＝∠BAD，
在△EAD和△BAD中，
，
∴△EAD≌△BAD（SAS），
∴∠AED＝∠ABD，DB＝DE，
∵∠AED+∠FED＝180°，∠ABD+∠ABC＝180°，
∴∠FED＝∠ABC，
∵∠ABC＝2∠C，
∴∠FED＝2∠C，
∵∠FED＝∠C+∠EDC，
∴∠EDC＝∠C，
∴DE＝EC，
∵EC＝AE+AC＝AB+AC，
∴BD＝AB+AC．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；三角形的综合
【解析】【分析】 （1）由角平分线的性质得出DB=DE，AB=AE，由等腰直角三角形的性质得出AC=即可解答；
（2）在CA的延长线上取AE=AB，连接DE，证明△EAD≌△BAD得出AE=AB，再证明DE=CE即可解答；
（3）在CA上取一点E，使得AE=AB，连接DE，证明△EAD≌△BAD得出AE=AB，再证明DE=CE即可解答.
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