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浙江丽水发展共同体2025-2026学年高一下学期4月期中联考数学试题
1．复数的共轭复数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】解：，则的共轭复数为.
故答案为：B.
【分析】根据复数代数形式的乘除运算化简原式，再根据共轭复数定义求解即可.
2．已知，，则等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量的坐标运算
【解析】【解答】解：因为，，
所以.
故答案为：C.
【分析】根据平面向量减法法则和数乘向量运算的坐标表示，从而得出向量的坐标.
3．若圆锥的母线长为5，高为4，则圆锥的体积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：因为圆锥的母线，高，
所以，底面半径，
则圆锥的体积为.
故答案为：A.
【分析】由圆锥的母线和高的长结合勾股定理求出底面半径，再由圆锥的体积公式计算可得.
4．若，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】简单的三角恒等变换；二倍角的余弦公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：因为，所以.
因为，
所以.
故答案为：D.
【分析】通过角度变换，将目标角 转化为已知角 的倍数形式，再利用诱导公式和二倍角公式进行计算。
5．已知在矩形中，，，，，则的值为（　　）
A．9 B． C．15 D．
【答案】C
【知识点】平面向量的基本定理；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：由，得，
所以，
则；
由，得，
所以，
则，
所以
，
因为，代入，，
可得：.
故答案为：C.
【分析】根据向量共线定理和平面向量基本定理，则用分别表示，再结合数量积的运算律和已知条件，从而得出的值.
6．记的内角，，的对边分别为，，，，，，则的面积为（　　）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【知识点】两角和与差的正弦公式；运用诱导公式化简求值；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：因为，所以，
则，
所以，
则，
所以.
故答案为：B.
【分析】利用三角形内角和定理、诱导公式、两角和的正弦公式以及正弦定理，从而得出bc的值，再利用三角形的面积公式计算可得.
7．已知三棱锥的侧棱，，两两垂直，，，若该三棱锥的外接球体积为，则该三棱锥的表面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用；球的表面积与体积公式及应用
【解析】【解答】解：如图，，，且，，两两垂直，
，
设，依题意，可将该三棱锥置于一个长、宽、高分别为的长方体中，
可得其外接球的半径，
由，解得，则，解得，
所以，该三棱锥的表面积为：
故答案为：C.
【分析】利用已知条件可将该三棱锥置于一个长、宽、高分别为的长方体中，由勾股定理得出三棱锥外接球的半径，再利用外接球的体积公式得出的值，根据三棱锥的表面积公式得出该三棱锥的表面积.
8．在中，若，，则的大小为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】两角和与差的余弦公式；两角和与差的正弦公式；二倍角的正切公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：设，
则，
，
两式相除，得，
在中，，则，
所以，
因为，所以，
由，得，
又因为，所以.
故答案为：A.
【分析】根据两角和差的正弦公式、诱导公式、二倍角的正切公式以及同角三角函数基本关系式计算得出的值.
9．已知为虚数单位，下列说法正确的是（　　）
A．若复数，则
B．若复数满足，则或
C．若复数满足，则
D．若复数满足，则在复平面内对应的点的轨迹为直线
【答案】A,D
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的混合运算；复数的模；共轭复数
【解析】【解答】解：若复数，则其共轭复数，
所以，故A正确；
设复数，若，则，
所以复数所对应的点在以原点为圆心，1为半径的圆上，
则复数不是只有或这4个值，故B错误；
设复数，，此时，满足，
但是，，显然，故C错误；
设复数，则，，
若，将其两边平方，可得，
则，所以，
则复数在复平面内对应的点的轨迹为直线，故D正确.
故答案为：AD
【分析】由共轭复数的定义求出复数z的共轭复数，再利用复数求模公式，则可判断选项A；根据复数的模的几何意义，从而得到复数所对应的点的轨迹方程为，进而得出复数z，则可判断选项B；取满足的特殊复数，，再验证是否成立，则可判断选项C；利用复数的运算法则和平方方法，则将等式变形化简得出复数复数在复平面内对应的点的轨迹，则可判断选项D，从而找出说法正确的选项.
10．某过山车轨道是依据正弦曲线设计安装的，在时刻（单位：）时过山车（看作质点）离地面的高度（单位：m）满足．已知当时，过山车到达第一个最高点，最高点距地面28m，当时，过山车到达第一个最低点，最低点距地面8m，则（　　）
A．
B．过山车启动时距地面13m
C．
D．一个周期内过山车距离地平面不低于23m的时间是4s
【答案】B,C,D
【知识点】函数的值；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：因为最高点满足 ，最低点满足 ，
联立，解得，故A错误；
因为第一个最高点到第一个最低点的间隔为半个周期 ，
所以 ，故C正确；
将参数代入，得，
当时为最高点，则 ，所以 ，
解得 ，结合 ，得 ，
则解析式为，
启动时，代入得，故B正确；
要求，代入得不等式，
解得一个周期内（）满足条件的的取值范围是 ，
则区间长度为，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】利用函数图象的最高点和最低点，从而联立得出A，B的值，则可判断选项A；利用已知条件得出正弦型函数的最小正周期，从而得出的值，则可判断选项C；利用函数的图象的最高点代入求出的值，再把代入函数解析式，从而得出过山车启动时距地面的距离，则可判断选项B；解三角函数不等式，从而得出一个周期内（）满足条件的的取值范围，则可判断选项D，从而找出正确的选项.
11．如图，在直四棱柱中，底面为菱形，，，为的中点，点满足，则下列结论正确的是（　　）
A．若，则四面体的体积为定值
B．若，则点的轨迹长度为
C．若，平面截正方体所得截面为四边形
D．若，则存在点在线段上，使得的最小值为
【答案】A,B,D
【知识点】空间中两点间的距离公式；棱柱的结构特征；扇形的弧长与面积；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：对于A：当时，点在正方形内的轨迹是一条线段，
其中点在上，且，点在上，且，
因为在正方形中，有，所以，
又因为在直四棱柱中，，且平面，平面，
所以平面，
这说明当点在线段上运动时，点到平面的距离保持不变，
而的面积是定值，所以四面体的体积为定值，故选项A正确；
对于B：过点作平面的垂线，垂足为，
则平面，且，
由，得，则，
所以，点的轨迹是平面内以为圆心、2为半径的圆与侧面四边形的公共部分，
即一段圆弧，
设该段圆弧的端点分别为，其中，，
则，，，，
所以，则轨迹长为，故选项B正确；
对于C：取，
则点为线段的中点，此时作平面，
可得该平面分别与棱交于点，
则所得截面为五边形，并不是四边形，故选项C错误；
对于D：当时，点为侧面的中心，
设点为点在平面上的射影，则点为的中点，且，
在正方形内，过点分别作的垂线，垂足分别为，
由正方形的性质，可得，，，
在平面内，过点作，
取点在直线与点的同侧，
得.
对于线段上任意一点，有.
又因为，，
所以，
则，所以，
因为点在直线两侧，且直线与线段的交点在线段上，
所以，当点为直线与线段的交点时，取得最小值，最小值为，
又因为在平行于和垂直于的两个方向上，点到点的距离分别为和，
所以，
则，所以的最小值为，故选项D正确.
故答案为：ABD.
【分析】在侧面内作出点的轨迹线段，再利用该线段与平行，从而得出点到平面的距离不变，则判断出选项A；把点放到侧面内研究，由得到点Q的轨迹方程，进而判断出点Q的轨迹为一段圆弧，再利用弧长公式得出点的轨迹长度，则判断出选项B；取特殊位置作反例，例如取为的中点，直接作出截面并判断出截面形状，则判断出选项C；把空间最值问题转化为平面内折线最短问题，再借助射影和辅助线，从而把的最小值化为一条线段的长度，再利用勾股定理得出的最小值，则判断出选项D，从而找出结论正确的选项.
12．已知向量，则在方向上的投影向量的坐标为　 　．
【答案】
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：因为在方向上的投影向量的公式为：，
所以，，
将结果代入公式，得：.
故答案为：.
【分析】根据数量积求投影向量的公式和数量积的坐标表示，从而得出在方向上的投影向量的坐标.
13．四棱锥的底面为平行四边形，如图所示，点是棱上一点，，若且满足平面，则　 　．
【答案】
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质
【解析】【解答】解：如图，连接BD，交AC于点O，连接OE，
由四边形是平行四边形，得，
在线段PE上取点G，使得，由，得，
连接BG，FG，则，
由平面，平面，得平面，
因为平面，，平面，
所以，平面平面，
又因为平面平面，平面平面，
所以，则.
故答案为：
【分析】连接BD，交AC于点O，连接OE，利用中位线定理和线面平行的判定定理，从而证出直线平面ACE，再结合平面ACE证出平面平面ACE，利用面面平行的性质定理得出，则由两直线平行对应边成比例，从而得出实数的值.
14．在锐角中，内角，，所对的边分别为，，，且若，，则的取值范围为　 　．
【答案】
【知识点】简单的三角恒等变换；正切函数的图象与性质；正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【解答】解：在锐角中，，
则，
所以
，
由余弦定理，得，
则，
由，得，
因此，因为，所以，
由正弦定理，得，
则
，
由是锐角三角形，得，
解得，则，
由函数在上单调递增，得，
因此，
所以的取值范围为.
故答案为：.
【分析】利用三角恒等变换公式、同角三角函数基本关系式和余弦定理求出角A的值，再利用正弦定理和两角和的正弦公式、同角三角函数基本关系式，对勾函数及正切函数单调性，从而得出的取值范围.
15．已知复数，其中为虚数单位，．
（1）若是纯虚数，求的值；
（2）若在复平面内对应的点在第四象限，求的取值范围．
【答案】（1）解：由复数是纯虚数，
则，
所以.
（2）解：由复数在复平面内对应的点在第四象限，
则，
所以.
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示
【解析】【分析】（1）由复数为纯虚数的判断方法，从而列方程求出实数m的值.
（2）由复数对应点所在象限结合已知条件，从而列不等式组求出实数m的取值范围.
（1）由是纯虚数，则，故.
（2）由在复平面内对应的点在第四象限，，
所以.
16．如图，在直三棱柱中，，点为的中点．
（1）求证：平面；
（2）若，求三棱锥的体积．
【答案】（1）证明：连接，设，连接，
在直三棱柱中，四边形为平行四边形，
则为的中点，
因为为的中点，则，
又因为平面，平面，
所以平面．
（2）解：由直三棱柱可知，三棱锥的高为，，
在中，，为的中点，
由（1）知，
所以
因此．
【知识点】直线与平面平行的判定；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）连接，设与的交点为，连接，结合中位线定理和线面平行的判定定理，从而证出平面.
（2）根据直三棱柱的性质可知三棱锥的高为，再利用中点的性质和（1）以及，则根据三棱锥的体积公式，从而得出三棱锥的体积．
（1）连接，设，连接，
在直三棱柱中，四边形为平行四边形，则为的中点，
又因为为的中点，则，
又因为平面，平面，
所以平面．
（2）由直三棱柱可知，三棱锥的高为，，
在中，，为的中点，由（1）知，
所以．
因此．
17．已知函数，且函数图象的一个对称中心为.
（1）求的值；
（2）若在区间上的值域是，求的取值范围．
【答案】（1）解：因为，
又因为图象的一个对称中心为，
所以，解得，
因为，则取，得．
（2）解：当时，，
因为，
结合函数图象可知，
欲使在区间上的值域是，
则，解得．
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；含三角函数的复合函数的值域与最值；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【分析】（1）利用二倍角的正弦公式和辅助角公式，从而得出，再结合已知条件和正弦型函数的图象对称性，从而可得，结合可得出的值.
（2）根据x的取值范围和不等式的基本性质，再利用正弦型函数的单调性求解.
（1），
因图象的一个对称中心为，则，
解得，又，则取，得．
（2）当时，，
因为，结合函数图象可知，欲使在区间上的值域是，
则，解得．
18．如图，在棱长为2的正四面体中，为上的动点，为上靠近的三等分点，为的中点，与交于点．
（1）用，表示；
（2）若点为的中点，求的值；
（3）若，求的值．
【答案】（1）解：在中，，
，
．
（2）解：设，
由（1）可知，，
，，
，，三点共线，，，
，
，
由余弦定理，可得，
，
．
（3）解：设，
由余弦定理，可得，
由正四面体，得，
，
，
化简得，解得或，
或．
【知识点】数量积表示两个向量的夹角；三点共线；空间向量基本定理；空间向量的数量积运算；余弦定理的应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件和空间向量基本定理，从而用，表示.
（2）利用(1)和向量共线定理、平面向量基本定理，从而得到，再利用三点共线求出的值，再根据数量积的运算律和余弦定理，从而得出的值.
（3）设，利用余弦定理和数量积的运算律，从而表示出，再解方程得出x的值，从而得出的值.
（1）在中，，
，
．
（2）设，
由（1）可知，，
，，
，，三点共线，
，，
，
，
由余弦定理可得，
，
．
（3）设，由余弦定理可得，
由正四面体得，
，
，
化简得，
解得或，
或．
19．已知函数，若对于任意实数，，，都能构成三角形的三条边长，则称函数为上的“完美三角形函数”．
（1）试判断函数是否为上的“完美三角形函数”，并说明理由；
（2）设向量，，若函数为上的“完美三角形函数”，求实数的取值范围；
（3）已知函数为（为常数）上的“完美三角形函数”．函数的图象上，是否存在不同的三个点，满足，？若存在，求的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）解：，，
，，
，
是上的“完美三角形函数”．
（2）解：，
其中，，
，。
①当时，，，
，则；
②当时，，满足题意；
③当时，，，
，则 ，
综上所述，实数的取值范围为．
（3）解：由，，
，，
，，
，，
假设存在满足题意的三个点，，
因为，，
所以，
则
所以，
则，
，，则，
，，
则与矛盾，
所以，不存在点满足题意．
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；三角函数中的恒等变换应用；含三角函数的复合函数的值域与最值；同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】（1）先求得函数的最值，再利用“完美三角形函数”定义判断可得.
（2）先化简函数为正弦型函数，利用分类讨论的方法得出函数的值域，再利用“完美三角形函数”定义，从而得出实数k的取值范围.
（3）利用角x的取值范围和余弦型函数求值域的方法，从而求出的值，再根据得到，从而得到，再利用反证法得出互相矛盾的点，从而得出不存在点满足题意．
（1），
，，，，
是上的“完美三角形函数”．
（2），
，
其中，，，
，，
①当时，，，
，则；
②当时，，满足题意．
③当时，，，
，则.
综上所述，实数的取值范围为．
（3）由，，
，，
，，
，，
假设存在满足题意的三个点，，
而，，
即，
则，
即，
即，
，，即，
，，
则，与矛盾，
故不存在点满足题意．
1 / 1浙江丽水发展共同体2025-2026学年高一下学期4月期中联考数学试题
1．复数的共轭复数是（　　）
A． B． C． D．
2．已知，，则等于（　　）
A． B． C． D．
3．若圆锥的母线长为5，高为4，则圆锥的体积为（　　）
A． B． C． D．
4．若，则的值为（　　）
A． B． C． D．
5．已知在矩形中，，，，，则的值为（　　）
A．9 B． C．15 D．
6．记的内角，，的对边分别为，，，，，，则的面积为（　　）
A．1 B． C． D．
7．已知三棱锥的侧棱，，两两垂直，，，若该三棱锥的外接球体积为，则该三棱锥的表面积为（　　）
A． B． C． D．
8．在中，若，，则的大小为（　　）
A． B． C． D．
9．已知为虚数单位，下列说法正确的是（　　）
A．若复数，则
B．若复数满足，则或
C．若复数满足，则
D．若复数满足，则在复平面内对应的点的轨迹为直线
10．某过山车轨道是依据正弦曲线设计安装的，在时刻（单位：）时过山车（看作质点）离地面的高度（单位：m）满足．已知当时，过山车到达第一个最高点，最高点距地面28m，当时，过山车到达第一个最低点，最低点距地面8m，则（　　）
A．
B．过山车启动时距地面13m
C．
D．一个周期内过山车距离地平面不低于23m的时间是4s
11．如图，在直四棱柱中，底面为菱形，，，为的中点，点满足，则下列结论正确的是（　　）
A．若，则四面体的体积为定值
B．若，则点的轨迹长度为
C．若，平面截正方体所得截面为四边形
D．若，则存在点在线段上，使得的最小值为
12．已知向量，则在方向上的投影向量的坐标为　 　．
13．四棱锥的底面为平行四边形，如图所示，点是棱上一点，，若且满足平面，则　 　．
14．在锐角中，内角，，所对的边分别为，，，且若，，则的取值范围为　 　．
15．已知复数，其中为虚数单位，．
（1）若是纯虚数，求的值；
（2）若在复平面内对应的点在第四象限，求的取值范围．
16．如图，在直三棱柱中，，点为的中点．
（1）求证：平面；
（2）若，求三棱锥的体积．
17．已知函数，且函数图象的一个对称中心为.
（1）求的值；
（2）若在区间上的值域是，求的取值范围．
18．如图，在棱长为2的正四面体中，为上的动点，为上靠近的三等分点，为的中点，与交于点．
（1）用，表示；
（2）若点为的中点，求的值；
（3）若，求的值．
19．已知函数，若对于任意实数，，，都能构成三角形的三条边长，则称函数为上的“完美三角形函数”．
（1）试判断函数是否为上的“完美三角形函数”，并说明理由；
（2）设向量，，若函数为上的“完美三角形函数”，求实数的取值范围；
（3）已知函数为（为常数）上的“完美三角形函数”．函数的图象上，是否存在不同的三个点，满足，？若存在，求的值；若不存在，说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】解：，则的共轭复数为.
故答案为：B.
【分析】根据复数代数形式的乘除运算化简原式，再根据共轭复数定义求解即可.
2．【答案】C
【知识点】平面向量的坐标运算
【解析】【解答】解：因为，，
所以.
故答案为：C.
【分析】根据平面向量减法法则和数乘向量运算的坐标表示，从而得出向量的坐标.
3．【答案】A
【知识点】锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：因为圆锥的母线，高，
所以，底面半径，
则圆锥的体积为.
故答案为：A.
【分析】由圆锥的母线和高的长结合勾股定理求出底面半径，再由圆锥的体积公式计算可得.
4．【答案】D
【知识点】简单的三角恒等变换；二倍角的余弦公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：因为，所以.
因为，
所以.
故答案为：D.
【分析】通过角度变换，将目标角 转化为已知角 的倍数形式，再利用诱导公式和二倍角公式进行计算。
5．【答案】C
【知识点】平面向量的基本定理；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：由，得，
所以，
则；
由，得，
所以，
则，
所以
，
因为，代入，，
可得：.
故答案为：C.
【分析】根据向量共线定理和平面向量基本定理，则用分别表示，再结合数量积的运算律和已知条件，从而得出的值.
6．【答案】B
【知识点】两角和与差的正弦公式；运用诱导公式化简求值；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：因为，所以，
则，
所以，
则，
所以.
故答案为：B.
【分析】利用三角形内角和定理、诱导公式、两角和的正弦公式以及正弦定理，从而得出bc的值，再利用三角形的面积公式计算可得.
7．【答案】C
【知识点】棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用；球的表面积与体积公式及应用
【解析】【解答】解：如图，，，且，，两两垂直，
，
设，依题意，可将该三棱锥置于一个长、宽、高分别为的长方体中，
可得其外接球的半径，
由，解得，则，解得，
所以，该三棱锥的表面积为：
故答案为：C.
【分析】利用已知条件可将该三棱锥置于一个长、宽、高分别为的长方体中，由勾股定理得出三棱锥外接球的半径，再利用外接球的体积公式得出的值，根据三棱锥的表面积公式得出该三棱锥的表面积.
8．【答案】A
【知识点】两角和与差的余弦公式；两角和与差的正弦公式；二倍角的正切公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：设，
则，
，
两式相除，得，
在中，，则，
所以，
因为，所以，
由，得，
又因为，所以.
故答案为：A.
【分析】根据两角和差的正弦公式、诱导公式、二倍角的正切公式以及同角三角函数基本关系式计算得出的值.
9．【答案】A,D
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的混合运算；复数的模；共轭复数
【解析】【解答】解：若复数，则其共轭复数，
所以，故A正确；
设复数，若，则，
所以复数所对应的点在以原点为圆心，1为半径的圆上，
则复数不是只有或这4个值，故B错误；
设复数，，此时，满足，
但是，，显然，故C错误；
设复数，则，，
若，将其两边平方，可得，
则，所以，
则复数在复平面内对应的点的轨迹为直线，故D正确.
故答案为：AD
【分析】由共轭复数的定义求出复数z的共轭复数，再利用复数求模公式，则可判断选项A；根据复数的模的几何意义，从而得到复数所对应的点的轨迹方程为，进而得出复数z，则可判断选项B；取满足的特殊复数，，再验证是否成立，则可判断选项C；利用复数的运算法则和平方方法，则将等式变形化简得出复数复数在复平面内对应的点的轨迹，则可判断选项D，从而找出说法正确的选项.
10．【答案】B,C,D
【知识点】函数的值；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：因为最高点满足 ，最低点满足 ，
联立，解得，故A错误；
因为第一个最高点到第一个最低点的间隔为半个周期 ，
所以 ，故C正确；
将参数代入，得，
当时为最高点，则 ，所以 ，
解得 ，结合 ，得 ，
则解析式为，
启动时，代入得，故B正确；
要求，代入得不等式，
解得一个周期内（）满足条件的的取值范围是 ，
则区间长度为，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】利用函数图象的最高点和最低点，从而联立得出A，B的值，则可判断选项A；利用已知条件得出正弦型函数的最小正周期，从而得出的值，则可判断选项C；利用函数的图象的最高点代入求出的值，再把代入函数解析式，从而得出过山车启动时距地面的距离，则可判断选项B；解三角函数不等式，从而得出一个周期内（）满足条件的的取值范围，则可判断选项D，从而找出正确的选项.
11．【答案】A,B,D
【知识点】空间中两点间的距离公式；棱柱的结构特征；扇形的弧长与面积；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：对于A：当时，点在正方形内的轨迹是一条线段，
其中点在上，且，点在上，且，
因为在正方形中，有，所以，
又因为在直四棱柱中，，且平面，平面，
所以平面，
这说明当点在线段上运动时，点到平面的距离保持不变，
而的面积是定值，所以四面体的体积为定值，故选项A正确；
对于B：过点作平面的垂线，垂足为，
则平面，且，
由，得，则，
所以，点的轨迹是平面内以为圆心、2为半径的圆与侧面四边形的公共部分，
即一段圆弧，
设该段圆弧的端点分别为，其中，，
则，，，，
所以，则轨迹长为，故选项B正确；
对于C：取，
则点为线段的中点，此时作平面，
可得该平面分别与棱交于点，
则所得截面为五边形，并不是四边形，故选项C错误；
对于D：当时，点为侧面的中心，
设点为点在平面上的射影，则点为的中点，且，
在正方形内，过点分别作的垂线，垂足分别为，
由正方形的性质，可得，，，
在平面内，过点作，
取点在直线与点的同侧，
得.
对于线段上任意一点，有.
又因为，，
所以，
则，所以，
因为点在直线两侧，且直线与线段的交点在线段上，
所以，当点为直线与线段的交点时，取得最小值，最小值为，
又因为在平行于和垂直于的两个方向上，点到点的距离分别为和，
所以，
则，所以的最小值为，故选项D正确.
故答案为：ABD.
【分析】在侧面内作出点的轨迹线段，再利用该线段与平行，从而得出点到平面的距离不变，则判断出选项A；把点放到侧面内研究，由得到点Q的轨迹方程，进而判断出点Q的轨迹为一段圆弧，再利用弧长公式得出点的轨迹长度，则判断出选项B；取特殊位置作反例，例如取为的中点，直接作出截面并判断出截面形状，则判断出选项C；把空间最值问题转化为平面内折线最短问题，再借助射影和辅助线，从而把的最小值化为一条线段的长度，再利用勾股定理得出的最小值，则判断出选项D，从而找出结论正确的选项.
12．【答案】
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：因为在方向上的投影向量的公式为：，
所以，，
将结果代入公式，得：.
故答案为：.
【分析】根据数量积求投影向量的公式和数量积的坐标表示，从而得出在方向上的投影向量的坐标.
13．【答案】
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质
【解析】【解答】解：如图，连接BD，交AC于点O，连接OE，
由四边形是平行四边形，得，
在线段PE上取点G，使得，由，得，
连接BG，FG，则，
由平面，平面，得平面，
因为平面，，平面，
所以，平面平面，
又因为平面平面，平面平面，
所以，则.
故答案为：
【分析】连接BD，交AC于点O，连接OE，利用中位线定理和线面平行的判定定理，从而证出直线平面ACE，再结合平面ACE证出平面平面ACE，利用面面平行的性质定理得出，则由两直线平行对应边成比例，从而得出实数的值.
14．【答案】
【知识点】简单的三角恒等变换；正切函数的图象与性质；正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【解答】解：在锐角中，，
则，
所以
，
由余弦定理，得，
则，
由，得，
因此，因为，所以，
由正弦定理，得，
则
，
由是锐角三角形，得，
解得，则，
由函数在上单调递增，得，
因此，
所以的取值范围为.
故答案为：.
【分析】利用三角恒等变换公式、同角三角函数基本关系式和余弦定理求出角A的值，再利用正弦定理和两角和的正弦公式、同角三角函数基本关系式，对勾函数及正切函数单调性，从而得出的取值范围.
15．【答案】（1）解：由复数是纯虚数，
则，
所以.
（2）解：由复数在复平面内对应的点在第四象限，
则，
所以.
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示
【解析】【分析】（1）由复数为纯虚数的判断方法，从而列方程求出实数m的值.
（2）由复数对应点所在象限结合已知条件，从而列不等式组求出实数m的取值范围.
（1）由是纯虚数，则，故.
（2）由在复平面内对应的点在第四象限，，
所以.
16．【答案】（1）证明：连接，设，连接，
在直三棱柱中，四边形为平行四边形，
则为的中点，
因为为的中点，则，
又因为平面，平面，
所以平面．
（2）解：由直三棱柱可知，三棱锥的高为，，
在中，，为的中点，
由（1）知，
所以
因此．
【知识点】直线与平面平行的判定；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）连接，设与的交点为，连接，结合中位线定理和线面平行的判定定理，从而证出平面.
（2）根据直三棱柱的性质可知三棱锥的高为，再利用中点的性质和（1）以及，则根据三棱锥的体积公式，从而得出三棱锥的体积．
（1）连接，设，连接，
在直三棱柱中，四边形为平行四边形，则为的中点，
又因为为的中点，则，
又因为平面，平面，
所以平面．
（2）由直三棱柱可知，三棱锥的高为，，
在中，，为的中点，由（1）知，
所以．
因此．
17．【答案】（1）解：因为，
又因为图象的一个对称中心为，
所以，解得，
因为，则取，得．
（2）解：当时，，
因为，
结合函数图象可知，
欲使在区间上的值域是，
则，解得．
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；含三角函数的复合函数的值域与最值；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【分析】（1）利用二倍角的正弦公式和辅助角公式，从而得出，再结合已知条件和正弦型函数的图象对称性，从而可得，结合可得出的值.
（2）根据x的取值范围和不等式的基本性质，再利用正弦型函数的单调性求解.
（1），
因图象的一个对称中心为，则，
解得，又，则取，得．
（2）当时，，
因为，结合函数图象可知，欲使在区间上的值域是，
则，解得．
18．【答案】（1）解：在中，，
，
．
（2）解：设，
由（1）可知，，
，，
，，三点共线，，，
，
，
由余弦定理，可得，
，
．
（3）解：设，
由余弦定理，可得，
由正四面体，得，
，
，
化简得，解得或，
或．
【知识点】数量积表示两个向量的夹角；三点共线；空间向量基本定理；空间向量的数量积运算；余弦定理的应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件和空间向量基本定理，从而用，表示.
（2）利用(1)和向量共线定理、平面向量基本定理，从而得到，再利用三点共线求出的值，再根据数量积的运算律和余弦定理，从而得出的值.
（3）设，利用余弦定理和数量积的运算律，从而表示出，再解方程得出x的值，从而得出的值.
（1）在中，，
，
．
（2）设，
由（1）可知，，
，，
，，三点共线，
，，
，
，
由余弦定理可得，
，
．
（3）设，由余弦定理可得，
由正四面体得，
，
，
化简得，
解得或，
或．
19．【答案】（1）解：，，
，，
，
是上的“完美三角形函数”．
（2）解：，
其中，，
，。
①当时，，，
，则；
②当时，，满足题意；
③当时，，，
，则 ，
综上所述，实数的取值范围为．
（3）解：由，，
，，
，，
，，
假设存在满足题意的三个点，，
因为，，
所以，
则
所以，
则，
，，则，
，，
则与矛盾，
所以，不存在点满足题意．
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；三角函数中的恒等变换应用；含三角函数的复合函数的值域与最值；同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】（1）先求得函数的最值，再利用“完美三角形函数”定义判断可得.
（2）先化简函数为正弦型函数，利用分类讨论的方法得出函数的值域，再利用“完美三角形函数”定义，从而得出实数k的取值范围.
（3）利用角x的取值范围和余弦型函数求值域的方法，从而求出的值，再根据得到，从而得到，再利用反证法得出互相矛盾的点，从而得出不存在点满足题意．
（1），
，，，，
是上的“完美三角形函数”．
（2），
，
其中，，，
，，
①当时，，，
，则；
②当时，，满足题意．
③当时，，，
，则.
综上所述，实数的取值范围为．
（3）由，，
，，
，，
，，
假设存在满足题意的三个点，，
而，，
即，
则，
即，
即，
，，即，
，，
则，与矛盾，
故不存在点满足题意．
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