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山东省菏泽第一中学2025-2026学年高二下学期期末考前检测数学试题
一、单选题
1．已知等比数列的前项和，则（ ）
A． B．1 C． D．2
2．已知随机变量，随机变量，且，则（ ）
A． B． C． D．
3．从这本不同的文学读物中选出本分给甲、乙、丙名学生（每人一本）．如果甲不得读物，则不同的分法种数为（ ）
A．24 B．18 C．6 D．4
4．中心极限定理在概率论中应用广泛.根据该定理，若随机变量，当充分大时，可以由服从正态分布的随机变量近似替代，且的均值 方差分别与随机变量的均值 方差近似相等.某射手对目标进行400次射击，且每次射击命中目标的概率为，则估计射击命中次数小于336的概率约为（ ）
附：若，则，.
A．0.9987 B．0.9773 C．0.8414 D．0.5
5．若函数存在两个不同的零点，则实数k的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．设，，，是各项均不为零的等差数列，且公差，若将此数列删去得到的新数列（按原来的顺序）是等比数列，则的值为（ ）
A． B． C． D．-1
7．已知函数的最大值为1，则（ ）
A． B．1 C． D．2
8．已知，且，则下列结论一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．已知某两个变量具有线性相关关系，由样本数据确定的样本经验回归方程为，且.若剔除一个明显偏离直线的异常点后，利用剩余9组数据得到修正后的经验回归方程为，由修正后的方程可推断出（ ）
A．变量的样本相关系数为正数
B．经验回归直线恒过
C．每增加1个单位，平均减少1.6个单位
D．样本数据对应的残差的绝对值为0.2
10．某学校有，两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐.如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为；如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为，则（ ）
A．他第2天去餐厅的概率为
B．他连续两天都去餐厅的概率为
C．他连续两天都不去餐厅的概率为
D．若他第2天去餐厅，则他第1天去餐厅的概率为
11．斐波那契数列又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．斐波那契数列用递推的方式可如下定义：用表示斐波那契数列的第项，则数列满足：，，记是数列的前项和，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
12．已知数列满足，，则__________.
13．在的二项式中，所有的二项式系数之和为256，则常数项等于________．
14．若曲线与总存在关于原点对称的点，则的取值范围为__________.
四、解答题
15．已知函数.
(1)当时，求过点且与图象相切的直线的方程；
(2)讨论函数的单调性.
16．某高中在高二年级举办创新作文比赛活动，满分100分，得分80及以上者获奖.为了解学生获奖情况与选修阅读课程之间的关系，在参赛选手中随机选取了50名学生作为样本，各分数段学生人数及其选修阅读课程情况统计如下：
成绩
学生人数 6 10 24 7 3
选修读课程人数 0 3 9 5 3
(1)根据以上统计数据完成下面的列联表，依据的独立性检验，能否认为学生获奖与选修阅读课程有关联；
获奖 没有获奖 合计
选修阅读课程
不选阅读课程
合计
(2)在上述样本的获奖学生中随机抽取3名学生，设3人中选修阅读课程人数为，求的分布列及数学期望.
参考公式：，其中.
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
17．中小微企业是国民经济的重要组成部分，某小微企业准备投入专项资金进行技术创新，以增强自身的竞争力.根据规划，本年度投入专项资金800万元，可实现销售收入40万元；以后每年投入的专项资金是上一年的一半，销售收入比上一年多80万元.同时，当预计投入的专项资金低于20万元时，就按20万元投入，销售收入则与上一年销售收入相等.
(1)设第年（本年度为第一年）投入的专项资金为万元，销售收入为万元，请写出，的表达式；
(2)至少要经过多少年后，总销售收入就能超过专项资金的总投入
18．一个不透明的袋子中装有大小形状完全相同的6个小球，其中3个黑球 3个白球.现从袋中随机逐个抽取小球，若每次取出的是黑球，则放回袋子中，否则不放回，直至3个白球全部取出.
(1)求在第2次取出的小球为黑球的条件下，第1次取出的小球为白球的概率；
(2)记抽取3次取出白球的数量为，求随机变量的分布列；
(3)记恰好在第次取出第二个白球的概率为，求.
19．已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)设，且与有相同的最小值．
（i）求a的值；
（ii）已知，，且，求证：．
参考答案
1．D
【详解】时，，
又，数列等比数列，
∴，即，解得．
故选：D．
2．A
【详解】因为，随机变量，
所以，
所以，
故选：A
3．B
【详解】若读物没被选出，则选出的读物直接全排列分给人，有种方法；
若读物被选出，然后选其他的读物，有种，甲有种读物可选，其余两本书全排列分给乙丙有种方法，共种.
故一共有种.
故选：B
4．B
【详解】射击命中次数服从二项分布，
均值，方差，
所以，
.
故选：B.
5．B
【详解】函数的定义域是，
，
当时，，当时，，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，
因为，且，
所以要使函数存在两个不同的零点，
则需，解得.
故选：B
6．B
【详解】根据题意，成等比数列，则，
则，
则.
故选：B．
7．B
【详解】法1：（1）当时，由，解得，
故函数定义域为.
①当时，，
当，则，故不存在最大值，不合题意；
②当时，此时，，
故最大值不为，不合题意；
③当时，，
当，则，故不存在最大值，不合题意；
（2）当时，则，则函数定义域为.
且由最大值为可知，，
即对任意恒成立，且等号能取到.
设，则，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
故，当且仅当时，，
由对任意恒成立，可知，
又当时，恒有，取不到等号，所以有，
故选：B.
法2：，
由选项知，则定义域为，
故最大值必在极值点处取到，不妨设此极值点为，
由，
则由，可得①，
且，即②，
联立①②解得.
验证：当时，，
则，
设，则，
当时，，则在上单调递增；
当时，，则在上单调递减；
，且，
且当，；当，；
作出函数的大致图象，
当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减；
则，满足题意，故.
法3：由选项知，则定义域为，
由，解得.
同法2验证可得，故满足题意，由选项唯一可得..
法4：由选项知，则定义域为，
由，解得.
验证：当时，由不等式可得，
故，当且仅当时等号成立，
故满足题意，由选项唯一可得.
8．A
【详解】由题意可得，可得，
因为，所以，所以，
令，求导得，
可得当时，，函数在上单调递增，
又，，
当时，有，可得，
当时，有恒成立，所以，
综上所述：.
故选：A.
9．BCD
【详解】将代入可得，
剔除异常点后，新的平均值为，，
代入，可得，解得，
所以修正后的回归直线方程为，
对于A：因为的系数为，故相关系数也应为负数，故A错误；
对于B： 恒过，故B正确；
对于C：因为的系数为，所以每增加1个单位，平均减少，故C正确；
对于D：令，可得，所以残差的绝对值，故D正确.
故选：BCD.
10．AD
【详解】设事件{第一天到餐厅用餐}，则其对立事件{第一天到餐厅用餐}，
设事件{第二天到餐厅用餐}，则其对立事件{第二天到餐厅用餐}，
由题意可得，，，
对于A，，故A正确；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D正确.
故选：AD.
11．ABD
【详解】，，，，，故A正确；
对任意的，，则，
当取偶数时，得，
相加得
则，又，
则，故B正确；
对任意的，，则，
当取奇数时，得，
相加得
则，故C错误；
对任意的，，则，
，故D正确.
故选：ABD．
12．/
【详解】因为，
所以，，，，…，
所以数列是周期为3的数列，.
故答案为：.
13．252
【详解】∵在的二项式中，所有的二项式系数之和为256，
∴，解得，
∴中，，
∴当，即时，常数项为．
故答案为：252．
14．
【详解】若曲线与总存在关于原点对称的点，
则上的点关于原点的对称点在曲线上，
所以方程有解，
令，则方程有解，
即方程有解，
令，则，令，得，令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
且，当趋于0时，趋于负无穷，当趋于正无穷时，趋于0，
所以的值域为，
综上所述，的取值范围为.
故答案为：.
15．(1)或.
(2)当时，在上单调递增，
当时，在上单调递增，在上单调递减，
当时，在上单调递增，在上单调递减.
【详解】（1）当时，，所以.
设切点为，则，
所以，切线方程为，
将代入得，解得或，
故过的切线方程为或.
（2）.
当时，，恒有，函数单调递增，
当时，，当，或时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
当时，，当，或时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减.
综上，当时，在上单调递增，
当时，在上单调递增，在上单调递减，
当时，在上单调递增，在上单调递减.
16．(1)列联表：
获奖 没有获奖 合计
选修阅读课程 8 12 20
不选阅读课程 2 28 30
合计 10 40 50
能
(2)分布列：
1 2 3
数学期望为
【详解】（1）根据已知条件可得
获奖 没有获奖 合计
选修阅读课程 8 12 20
不选阅读课程 2 28 30
合计 10 40 50
零假设：创新作文比赛获奖与选修阅读课程无关联；
根据列联表中数据计算可得：
，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即认为创新作文比赛获奖与选修阅读课程有关联，此推断犯错的概率不大于.
（2）由题意可知的可能取值为，
则，，
，
所以随机变量的分布列为：
1 2 3
.
17．(1)，
(2)至少要经过7年后，总销售收入才能超过发项资金的总投入
【详解】（1）依题意得，当投入的专项资金不低于20万元时，
即时，且，
此时是首项为800，公比为的等比数列，
是首项为40，公差为80的等差数列，
所以，
令，得，解得，
所以，.
（2）由（1）可知，当时，
总利润，
因为，
设，则为单调递增函数，
，
所以，
又因为，
所以当时，，即前6年未盈利，
当时，，
令，得，
综上，至少要经过7年后，总销售收入才能超过发项资金的总投入．
18．(1)
(2)分布列见解析
(3)
【详解】（1）记事件“第2次取出的小球为黑球”，事件“第1次取出的小球为白球”，
则，，
所以；
（2）由题意，的所有可能取值为，则，
，
，
，
所以随机变量的分布列为
0 1 2 3
（3）由题意可知，前次取了一个白球，第次取了第二个白球，则：
，
所以.
，从而得解.
19．(1)答案见解析
(2)（i）；（ii）证明见解析
【详解】（1）依题意，
当时，，在上单调递增．
当时，令得，，即．
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
综上，当时，在上单调递增，
当时，在上单调递减，在上单调递增．
（2）（i）由（1）知，当时，时取得最小值．
，当时，，单调递减，
当时，，单调递增．
所以，当时取得极小值即最小值．
由题意可知，，即，
令，则，
令，，
所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以取得最小值，
所以在上恒成立，所以在上单增，
又，所以；
（ii）因为，所以，
即．
令，则，
可知在时取得最大值0，所以，即，
所以，当且仅当时，“＝”成立．
令，则，当时，，单调递减．
所以，当时，，，
由，得．
当时，显然，
综上，，即．

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