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天津市第一百中学2025-2026学年第二学期过程性诊断（1） 高二数学
一、单选题
1．设存在导函数且满足，则曲线上的点处的切线的斜率为（ ）
A． B． C．1 D．2
2．下列求导运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知函数 f(x) 的图象如图所示，则导函数 f (x)的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知函数的导数为，且满足，则（ ）
A． B． C． D．
5．函数的单调减区间是（ ）
A． B． C． D．
6．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．定义在上的函数的导函数为，若对任意实数，有，且为奇函数，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数，，对于任意的，存在，使，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
9．已知，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
10．函数在点处的切线的方程为_________.
11．函数在上是单调函数，则的取值范围是______．
12．曲线在点（0，2）处的切线与直线和围成的三角形的面积为_____________.
13．若是函数的极值点，则的极大值为____________．
14．的定义域为，且对，，，恒成立，则实数的取值范围为______．
15．函数，若函数有3个不同的零点，则实数a的取值范围为________．
三、解答题
16．已知函数，．
(1)求函数在的最值；
(2)函数，若在上恒成立，求实数的取值范围；
(3)求函数的单调区间．
17．在如图所示的几何体中，四边形为矩形，平面，，，，点为的中点．
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)求点到平面的距离．
18．已知椭圆（）的左、右焦点分别为，，离心率为，椭圆的短轴长．
(1)求椭圆的方程；
(2)直线经过椭圆右顶点，交椭圆于另一点（异于椭圆的左右顶点），点在直线上，且，若，求直线的斜率．
19．已知数列是等差数列，，其前5项和为15；数列是等比数列，且，，，成等差数列．
(1)求和的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
(3)若将数列中的所有项按原顺序依次插入数列中，组成一个新数列：
，，，，，，，，，，，…，与之间插入项中的项，该新数列记作数列，求数列的前211项的和．
20．已知函数
(1)曲线在点处的切线方程为，求实数，的值；
(2)若，，不等式恒成立，求实数的最大整数解；
(3)若，函数的两个不同的极值点为，（），证明
参考答案
1．A
解：因为存在导函数且满足，
所以，即曲线上的点处的切线的斜率为，
故选：A.
2．D
【详解】对于A：，A错误.
对于B：，B错误.
对于C：当且时，，C错误.
对于D：，D正确.
3．D
【详解】原函数在上先减后增，再减再增，对应到导函数先负再正，再负再正，且原函数在处与轴相切，故
可知，导函数图象为D
故选：D
4．A
【详解】，，解得：，
，.
故选：A.
5．A
解：因为定义域是，
所以，
令，解得：，
故在上单调递减，
故选：A．
6．B
解：由题意知，因为函数在上单调递增，
所以恒成立，即在区间上恒成立.
令，，则，当时，，所以，
因此在上单调递增，则，所以.
7．C
【详解】设，
则，
因为，所以，所以为定义在上的减函数，
因为为奇函数，
所以，，，，
即，即，
故．
故选：C.
8．C
【详解】因为对于任意的，存在，使，则，
因为在上单调递减，
所以当时，，
当时，，即在上单调递增，则
当，
由解得：，
所以实数a的取值范围为.
故选：C
9．C
【详解】根据题意，点是函数图像上一点，
点是直线上一点
函数的导函数为，
所以其图像上一点处切线的斜率为
当过点的切线与直线平行时，点与点之间的距离最小
且两点间的距离可转化两平行线之间的距离
此时有，，从而可得
此时函数图像上过点的切线方程为
化简为，其与直线间的距离为
所以的最小值为.
故选：C.
10．
【详解】由题，，
则，
所以切线方程为，
故答案为：
11．
【详解】函数的定义域为，
.
的图象开口向下，所以不能恒成立.
因为函数在上是单调函数，
所以恒成立，所以，
解得.
所以的取值范围是.
12．
【详解】∵，∴，∴切线的斜率，且过点（0，2），∴切线为，∴，∴切线与x轴交点为（1，0），与的交点为，∴切线与直线和围成的三角形的面积为.故答案为
13．/
【详解】由，
得，
因为为函数的极值点，
所以，解得，
经检验当满足题意
所以，，
令，得或，
当或时，，当，，
所以在和上递增，在上递减，
所以当时，取得极大值，
所以的极大值为，
故答案为：
14．
【详解】设，，，，，
等价于，即，
令，则，
所以函数在上单调递减，
则不等式在上恒成立，
即不等式在上恒成立，令，
则，令，令，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
又，且，
所以，解得，
即实数a的取值范围为.
15．
【详解】当时，由得，，显然不符合，则；
当时，由得，，显然不符合，则，
构造函数，
问题转化为直线与函数的图象有3个交点的问题.
当且时，，，
所以，当时，，单调递增，；
当时，，单调递减，；
当时，，单调递减，，
当且时，，，
所以，当时，，单调递减，；
当时，，单调递减，；
当时，，单调递增，，
根据以上信息作出函数的大致图象，如图，
由图可知，当或时，直线与函数的图象有3个交点，函数有3个不同的零点，
则实数a的取值范围为．
故答案为：．
16．(1)最大值为，最小值为
(2)
(3)时，单调递增区间为，无递减区间；时，单调递减区间为，单调递增区间为.
【详解】（1）对，
求导得 ，
令，得，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
，，，
所以函数最大值为，最小值为，
（2）在上恒成立，等价于对任意恒成立，
由（1）知在的最大值为，因此只需：，
整理得，
解得或，
即的取值范围为，
（3）的定义域为R，求导得，
分类讨论： ① 当时，恒成立，
因此在R上单调递增，无单调递减区间；
② 当时，令得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
综上：时，的单调递增区间为，无递减区间；
时，的单调递减区间为，单调递增区间为.
17．(1)证明见解析
(2)
(3)
【详解】（1）连接，交于点，连接.
因为四边形为矩形，所以为的中点.
又点为的中点，所以.
因为平面，平面，所以平面.
（2）因为平面，，平面，所以，.
因为四边形为矩形，所以，则，，两两垂直.
以为原点，以，，为，，轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，，.
所以，，.
设平面的法向量为，
则，即，令，则，所以.
设直线与平面所成角为，
所以，
故直线与平面所成角的正弦值.
（3）由（2）知，，平面的法向量为，
则点到平面的距离为.
故点到平面的距离为.
18．(1)
(2)
【详解】（1）由题意可得，
所以椭圆方程为.
（2）由题意可得直线的斜率存在且不为零，设为，
则直线的方程为，
联立，消去，整理可得，
由韦达定理可得，
代入直线方程可得，
因为，所以在的垂直平分线上，即，
代入直线方程可得，
由，，
又，
所以，
化简可得.
19．(1)，.
(2)
(3)21216
【详解】（1）由得公差，
又因为，
得，
化简得，解得，
所以.
由，，成等差数列，得
由是等比数列，设代入，
得，消去，
得，化简并解得，
.
（2）由（1）得，
，
第一部分为，
令，
，
两式相减：
，
，
，
第二部分利用裂项求和：
，
合并：；
（3）由题可知新数列中，前有项，
令，得前有项，
令，得前有项，
恰好位于与之间，所以前项中包含的前八项，
剩下的全是中的项，，即的前项，
.
20．(1)
(2)3
(3)证明见解析
【详解】（1）对求导得： ，定义域。
曲线在处的切线为，故切线斜率，且，
，，
联立解得：；
（2）当时，， ，
不等式化为：，
整理得对恒成立，
令，求导得：，
令，，故在单调递增，
，，
故存在，使得，即，
在单调递减，单调递增，
故
故，则实数的最大整数是3；
（3）当时，，
要证明，即需证明：.
.
是方程的两个根，
即①，②，
即证明.①②得：，
即证，则，
即
即证，
即证，
设，则，
，，
，在单调递增，
，
故证得.

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