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广东省深圳市深圳实验学校高中园2025-2026学年高一下学期5月期中考试数学试题
1．已知向量，，若，则实数（　　）
A．1 B．2 C． D．
2．已知复数满足：，则（　　）
A． B． C． D．
3．下列说法正确的是（　　）
A．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱
B．有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台
C．圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线
D．棱台的侧棱都相等
4．已知的直观图是直角三角形，如图所示，其中，则的长度为（　　）
A．8 B． C． D．4
5．已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（　　）
A． B．
C． D．
6．在中，点D为的中点，点O为的重心，则（　　）
A． B． C． D．
7．在，若，且，则的形状是（　　）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
8．已知是的重心，过点的直线与线段、分别交于点、，，则的最小值为（　　）
A． B． C．3 D．6
9．下列结论正确的是（　　）
A．若复数满足，则
B．若复数与在复平面内分别对应向量与，则向量对应的复数为
C．若复数在复平面内对应的点为，则复数在复平面内对应的点在第三象限
D．若复数满足，则复数在复平面内对应的点所构成的图形的面积为
10．的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，则下列说法正确的是（　　）
A．若，则
B．若，则是钝角三角形
C．若，则为等腰三角形
D．若，则有两解
11．已知圆锥的顶点为P，底面半径为，高为1，A，B是底面圆周上两个动点，下列说法正确的是（　　）
A．圆锥的侧面积是
B．圆锥侧面展开图的圆心角是
C．△PAB面积的最大值是
D．该圆锥内接圆柱侧面积的最大值是
12．在中，若，，，则　 　．
13．已知两个单位向量，满足，则向量与的夹角为　 　．
14．已知正三棱台的侧棱长为，上、下底面的边长分别为，，则三棱台的外接球的表面积为　 　．
15．已知向量，其中，．
（1）试计算及的值；
（2）求向量与夹角的余弦值．
16．已知的角A，B，C所对的边分别是a，b，c， 向量
（1）若 求A；
（2）若 求的面积.
17．现需要设计一个仓库，由上、下两部分组成，上部的形状是正四棱锥，下部的形状是正四棱柱（如图所示），并要求正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍.
（1）若，则仓库的容积是多少？
（2）若正四棱锥的侧棱长为，，现欲粉刷仓库上部屋顶和下部外墙，上部需增加防水处理，每平方米粉刷费用是100元，下部每平方米粉刷费用是80元，问粉刷总费用是多少元（结果精确到0.1元）？
（3）若正四棱锥的侧棱长为，当为多少时，下部的正四棱柱侧面积最大，最大面积是多少？
18．在中，内角A、B、C对应的边分别是a、b、c，且.
（1）求角A的大小；
（2）若，，求a；
（3）若为锐角三角形，，求的取值范围.
19．如图所示，设是平面内相交成 角的两条数轴，分别是与 轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为仿射坐标系，若在仿射坐标系下 ， 则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为.
（1）若，求的模长；
（2）若，有同学认为“”的充要条件是“”，你认为是否正确？若正确，请给出证明，若不正确，请说明理由；
（3）设，若对恒成立，求 的最大值.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：因为，，所以，
又因为，所以，
则，解得.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件和向量的坐标运算以及向量垂直的坐标运算，从而得出实数k的值.
2．【答案】A
【知识点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解：由可得.
故答案为：A.
【分析】先根据复数方程，利用复数的四则运算，通过分母实数化的方法求解z。
3．【答案】C
【知识点】棱柱的结构特征；棱台的结构特征；旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】【解答】解：对于A，有两个面平行其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱，反例如图：
，故A错误；
对于B，有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台错误，反例如图：
，故B错误；
对于C，因为圆锥底面圆周上任意一点与圆锥顶点的连线叫做圆锥的母线，故C正确；
对于D，因为棱台是由平行于底面的平面截得的，
则棱台的上下底面一定相似，但侧棱长不一定相等，故D错误.
故答案为：C.
【分析】根据多面体的性质和空间几何体的定义结合举反例的方法，从而逐项判断找出说法正确的选项.
4．【答案】C
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】解：的直观图是直角三角形，且，
所以，原图，如图所示：
在中，，，则.
故答案为：C.
【分析】利用斜二测画法将直观图还原，求得，再利用勾股定理求即可.
5．【答案】C
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积的坐标表示；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：由向量，，
可得，，
则向量在向量上的投影向量为.
故答案为：C.
【分析】根据向量数量积、模以及投影向量的定义求解即可.
6．【答案】A
【知识点】平面向量数乘的运算；平面向量的线性运算；三角形五心
【解析】【解答】解：如图，连接，
因为点O为的重心，
所以，点为的三等分点，且，
则.
故答案为：A.
【分析】利用三角形的重心的性质得出点为的三等分点，且，再利用平行四边形法则和向量共线定理，从而找出正确的选项.
7．【答案】C
【知识点】三角形的形状判断
【解析】【解答】解：在中，，由正弦定理可得，
则，即，，
因为，所以，
又因为，所以，则的形状是等腰直角三角形.
故答案为：C.
【分析】利用正弦定理，结合同角三角函数商关系求得，则，即，再由求得，即可判断的形状.
8．【答案】D
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：如图所示：
根据重心的性质，重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍，
可得，
因为，所以，
所以，
因为三点共线，根据向量共线定理可得，化简得，
所以，
当且仅当时，即时等号成立，则的最小值为6.
故答案为：D.
【分析】由题意，作出图形，根据重心的性质，以为基向量表示，再由，用表示，结合三点共线，求得，最后利用基本不等式的性质求的最小值即可.
9．【答案】B,D
【知识点】复数在复平面中的表示；复数的模；复数运算的几何意义
【解析】【解答】解：A、例如也满足，故A错误；
B、因为，，所以，则向量对应的复数为，故B正确；
C、复数对应的点为，则复数对应的点为，该点在第一象限，故C错误；
D、复数对应的点构成的图形为圆环，它的面积为，故D正确．
故答案为：BD.
【分析】举特例即可判断A；根据复数在复平面内的表示，结合向量的坐标表示求解即可判断B；根据复数在复平面内的表示，结合共轭复数的定义即可判断C；根据复数的几何意义求解即可判断D.
10．【答案】A,D
【知识点】解三角形；正弦定理的应用；三角形的形状判断
【解析】【解答】解：对于A，因为，所以，
由正弦定理，得，故A正确；
对于B，因为，所以，边最长，则角最大，
设，
则，
所以，角为锐角，则是锐角三角形，故B错误；
对于C，因为，所以或，
则或，
所以为直角三角形或等腰三角形，故C错误；
对于D，因为，
根据正弦定理，则，
又因为，
所以，角有两解，则有两解，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】利用三角形中大角对大边和正弦定理，则判断出选项A；利用三角形中大角对大边，则设， 再结合余弦定理判断出三角形的形状，则判断出选项B；利用已知条件和诱导公式，则判断出选项C；利用已知条件和正弦定理以及正弦函数的单调性，则判断出有两解，从而判断出选项D，进而找出说法正确的选项.
11．【答案】A,D
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用；三角形中的几何计算；圆柱/圆锥/圆台的表面积及应用
【解析】【解答】解：根据题意，作出该圆锥的轴截面，圆锥的底面圆心为.
对于A，在轴截面中，，底面半径，
所以母线长，
则圆锥的侧面积是，故A正确；
对于B，因为圆锥母线长为2，展开图的弧长为，
所以，圆心角弧度为，故B错误；
对于C，由题意可知，
所以，圆锥轴截面的顶角为，
则当时，的面积最大，其最大值为， 故C错误；
对于D，设圆锥内接圆柱的底面半径为，高为，
则，化简可得，
则圆柱的侧面积为：
由二次函数的性质可知，当时，有最大值，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】由已知条件和圆锥侧面积公式，则可判断选项A；由圆锥的母线长和圆的弧长公式，则可判断选项B；先计算圆锥轴截面顶角，当时，的面积最大，再利用三角形面积公式，则得出△PAB面积的最大值，从而判断出选项C；设圆锥内接圆柱的底面半径为，高为，先得圆柱侧面积表达式，再利用二次函数求最值的方法，则判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
12．【答案】2
【知识点】正弦定理
【解析】【解答】解： 在中，若，，，
由正弦定理，可得，解得.
故答案为：2.
【分析】直接利用正弦定理求解即可.
13．【答案】
【知识点】平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：由，两边平方，
求得，
则
，
因为，所以向量与的夹角为.
故答案为：.
【分析】利用向量的数量积，结合向量的夹角公式求解即可.
14．【答案】
【知识点】棱台的结构特征；球的表面积与体积公式及应用
【解析】【解答】解：如图，设正三棱台上、下底面所在圆面的半径分别为，
则，所以，，
设球心到正三棱台上、下底面的距离分别为，球的半径为，
则．
设正三棱台的高为，由棱台的侧棱长为，
得，
所以或，
则或，
解得，
所以三棱台的外接球的表面积为．
故答案为：.
【分析】先利用正弦定理得出正三棱台上、下底面所在圆面的半径，再利用勾股定理得出的值，再根据勾股定理求出正三棱台的高，再由，从而列方程得出球的半径，再代入球的表面积公式，从而得出三棱台的外接球的表面积．
15．【答案】（1）解：
，
，
；
（2）解：设，由，．
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算
【解析】【分析】（1）利用向量的坐标远算，结合向量数量积的坐标表示以及向量模的坐标表示求解即可；
（2）利用向量的夹角公式求解即可.
（1）
，
（2）设，由，
．
16．【答案】（1）解：因为所以①，
又由正弦定理，即，代入①式，
可得，整理得，
又因为，所以，解得；
（2）解：因为，所以，
即，又因为，所以，
因为，由余弦定理可得，
即，解得或（舍去），
故.
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；余弦定理；正弦定理的应用；三角形中的几何计算；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【分析】（1）根据向量平行的坐标表示，结合正弦定理、两角差的正弦公式化简求解即可；
（2）利用向量垂直的坐标表示，结合余弦定理、三角形面积公式求解即可.
（1）因为所以①.
又由正弦定理，即，代入①式，
可得，整理得，
又，所以，解得.
（2）因为，所以，
即，又，所以.
因为，由余弦定理可得，
即，解得或（舍去）.
故.
17．【答案】（1）解：由，知.
因为，
所以正四棱锥的体积
正四棱柱的体积，
则仓库的容积.
（2）解：如图，连接，取的中点，连接，
在正四棱锥中，，
所以，
因为，，
所以，
则，
所以，
则，
所以正四棱锥的侧面积为：，
正四棱柱的侧面积为：，
则粉刷总费用为：元.
（3）解：设，下部分的侧面积为，连接，
则，
所以
设，
当时，即当时，，
则当时，下部的正四棱柱侧面积最大，最大侧面积是.
【知识点】组合几何体的面积、表面积、体积问题；棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用
【解析】【分析】（1）根据已知条件可得的长，再根据正四棱锥的体积公式和正四棱柱的体积公式，从而得出正四棱锥的体积和正四棱柱的体积，再相加得出仓库的容积.
（2）根据已知条件和中点的性质以及正四棱锥的结构特征求出正四棱锥的侧面积和正四棱柱的侧面积，再根据单价得出粉刷总费用.
（3）设，再利用已知条件和勾股定理表示出各个长度，再利用正四棱柱的侧面积公式可得下部分的侧面积为的表达式，再根据二次函数的单调性求最值的方法求解即得.
（1）由知.
因为，
所以正四棱锥的体积，
正四棱柱的体积.
所以仓库的容积.
（2）如图，连接，取的中点，连接.
在正四棱锥中，，
所以.
因为，，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以正四棱锥的侧面积为：.
正四棱柱的侧面积为：
则粉刷总费用为：元.
（3）设，下部分的侧面积为，连接，
则，
则，
设，
当，即时，，
故当时，下部的正四棱柱侧面积最大，最大侧面积是.
18．【答案】（1）解：因为，
由正弦定理得，即，
因为在中，，所以，
又，所以；
（2）解：因为，，，所以，解得，
由余弦定理得；
（3）解：中，，，
由正弦定理，可得，，
在中，，
所以
，
因为为锐角三角形，所以，
所以，则，
所以，
所以.
【知识点】两角和与差的正弦公式；解三角形；余弦定理；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用正弦定理，结合两角和的正弦公式化简求值即可；
（2）利用三角形的面积公式，结合余弦定理求解即可；
（3）利用正弦定理，可得，，在中，利用两角和正弦公式以及辅助角公式表示，再根据为锐角三角形，确定角的取值范围，再利用正弦函数求取值范围即可.
（1）因为，
由正弦定理得，即，
因为在中，，所以，
又，所以.
（2）因为，，，所以，解得.
由余弦定理得.
（3）因为，，
结合正弦定理，得，所以，.
在中，，
所以.
因为为锐角三角形，所以，所以，
则，所以，
所以.
19．【答案】（1）解：因为，所以，
又因为，
所以
（2）解：不正确，理由如下：
因为，所以，
又因为，
所以，
若，则，
所以，
则“”的充要条件是“”，
所以“”的充要条件是“”是不正确的.
（3）解：因为，
所以，
则，
，
所以，
由，得，
所以，
则对恒成立，
因为，所以，
解得，
又因为，所以满足题意，
则
，
因为，所以，
则的最大值为．
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数的值域；向量的模；平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【分析】（1）根据已知条件得出，再利用数量积求向量模的公式和数量积运算律得出的值.
（2）根据已知条件和平面向量基本定理以及数量积的运算律，则，再利用，则根据充要条件判断方法，从而判断出结果是否正确.
（3）由数量积的运算律，则，再利用转化为对恒成立，再结合和判别式法得出，再由和数量积求向量夹角公式得出的最大值.
（1）因为，则，又，
则.
（2）不正确，理由如下，
因为，则，又，
则，
若，则，则，
所以“”的充要条件是“”，
故“”的充要条件是“”是不正确的.
（3）因为，则，
，
，
，
由，得，
所以，
即对恒成立，
又因为，所以，
解得，
因为，所以满足题意，
所以，
又因为，所以，
所以的最大值为．
1 / 1广东省深圳市深圳实验学校高中园2025-2026学年高一下学期5月期中考试数学试题
1．已知向量，，若，则实数（　　）
A．1 B．2 C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：因为，，所以，
又因为，所以，
则，解得.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件和向量的坐标运算以及向量垂直的坐标运算，从而得出实数k的值.
2．已知复数满足：，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解：由可得.
故答案为：A.
【分析】先根据复数方程，利用复数的四则运算，通过分母实数化的方法求解z。
3．下列说法正确的是（　　）
A．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱
B．有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台
C．圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线
D．棱台的侧棱都相等
【答案】C
【知识点】棱柱的结构特征；棱台的结构特征；旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】【解答】解：对于A，有两个面平行其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱，反例如图：
，故A错误；
对于B，有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台错误，反例如图：
，故B错误；
对于C，因为圆锥底面圆周上任意一点与圆锥顶点的连线叫做圆锥的母线，故C正确；
对于D，因为棱台是由平行于底面的平面截得的，
则棱台的上下底面一定相似，但侧棱长不一定相等，故D错误.
故答案为：C.
【分析】根据多面体的性质和空间几何体的定义结合举反例的方法，从而逐项判断找出说法正确的选项.
4．已知的直观图是直角三角形，如图所示，其中，则的长度为（　　）
A．8 B． C． D．4
【答案】C
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】解：的直观图是直角三角形，且，
所以，原图，如图所示：
在中，，，则.
故答案为：C.
【分析】利用斜二测画法将直观图还原，求得，再利用勾股定理求即可.
5．已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积的坐标表示；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：由向量，，
可得，，
则向量在向量上的投影向量为.
故答案为：C.
【分析】根据向量数量积、模以及投影向量的定义求解即可.
6．在中，点D为的中点，点O为的重心，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平面向量数乘的运算；平面向量的线性运算；三角形五心
【解析】【解答】解：如图，连接，
因为点O为的重心，
所以，点为的三等分点，且，
则.
故答案为：A.
【分析】利用三角形的重心的性质得出点为的三等分点，且，再利用平行四边形法则和向量共线定理，从而找出正确的选项.
7．在，若，且，则的形状是（　　）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
【答案】C
【知识点】三角形的形状判断
【解析】【解答】解：在中，，由正弦定理可得，
则，即，，
因为，所以，
又因为，所以，则的形状是等腰直角三角形.
故答案为：C.
【分析】利用正弦定理，结合同角三角函数商关系求得，则，即，再由求得，即可判断的形状.
8．已知是的重心，过点的直线与线段、分别交于点、，，则的最小值为（　　）
A． B． C．3 D．6
【答案】D
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：如图所示：
根据重心的性质，重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍，
可得，
因为，所以，
所以，
因为三点共线，根据向量共线定理可得，化简得，
所以，
当且仅当时，即时等号成立，则的最小值为6.
故答案为：D.
【分析】由题意，作出图形，根据重心的性质，以为基向量表示，再由，用表示，结合三点共线，求得，最后利用基本不等式的性质求的最小值即可.
9．下列结论正确的是（　　）
A．若复数满足，则
B．若复数与在复平面内分别对应向量与，则向量对应的复数为
C．若复数在复平面内对应的点为，则复数在复平面内对应的点在第三象限
D．若复数满足，则复数在复平面内对应的点所构成的图形的面积为
【答案】B,D
【知识点】复数在复平面中的表示；复数的模；复数运算的几何意义
【解析】【解答】解：A、例如也满足，故A错误；
B、因为，，所以，则向量对应的复数为，故B正确；
C、复数对应的点为，则复数对应的点为，该点在第一象限，故C错误；
D、复数对应的点构成的图形为圆环，它的面积为，故D正确．
故答案为：BD.
【分析】举特例即可判断A；根据复数在复平面内的表示，结合向量的坐标表示求解即可判断B；根据复数在复平面内的表示，结合共轭复数的定义即可判断C；根据复数的几何意义求解即可判断D.
10．的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，则下列说法正确的是（　　）
A．若，则
B．若，则是钝角三角形
C．若，则为等腰三角形
D．若，则有两解
【答案】A,D
【知识点】解三角形；正弦定理的应用；三角形的形状判断
【解析】【解答】解：对于A，因为，所以，
由正弦定理，得，故A正确；
对于B，因为，所以，边最长，则角最大，
设，
则，
所以，角为锐角，则是锐角三角形，故B错误；
对于C，因为，所以或，
则或，
所以为直角三角形或等腰三角形，故C错误；
对于D，因为，
根据正弦定理，则，
又因为，
所以，角有两解，则有两解，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】利用三角形中大角对大边和正弦定理，则判断出选项A；利用三角形中大角对大边，则设， 再结合余弦定理判断出三角形的形状，则判断出选项B；利用已知条件和诱导公式，则判断出选项C；利用已知条件和正弦定理以及正弦函数的单调性，则判断出有两解，从而判断出选项D，进而找出说法正确的选项.
11．已知圆锥的顶点为P，底面半径为，高为1，A，B是底面圆周上两个动点，下列说法正确的是（　　）
A．圆锥的侧面积是
B．圆锥侧面展开图的圆心角是
C．△PAB面积的最大值是
D．该圆锥内接圆柱侧面积的最大值是
【答案】A,D
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用；三角形中的几何计算；圆柱/圆锥/圆台的表面积及应用
【解析】【解答】解：根据题意，作出该圆锥的轴截面，圆锥的底面圆心为.
对于A，在轴截面中，，底面半径，
所以母线长，
则圆锥的侧面积是，故A正确；
对于B，因为圆锥母线长为2，展开图的弧长为，
所以，圆心角弧度为，故B错误；
对于C，由题意可知，
所以，圆锥轴截面的顶角为，
则当时，的面积最大，其最大值为， 故C错误；
对于D，设圆锥内接圆柱的底面半径为，高为，
则，化简可得，
则圆柱的侧面积为：
由二次函数的性质可知，当时，有最大值，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】由已知条件和圆锥侧面积公式，则可判断选项A；由圆锥的母线长和圆的弧长公式，则可判断选项B；先计算圆锥轴截面顶角，当时，的面积最大，再利用三角形面积公式，则得出△PAB面积的最大值，从而判断出选项C；设圆锥内接圆柱的底面半径为，高为，先得圆柱侧面积表达式，再利用二次函数求最值的方法，则判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
12．在中，若，，，则　 　．
【答案】2
【知识点】正弦定理
【解析】【解答】解： 在中，若，，，
由正弦定理，可得，解得.
故答案为：2.
【分析】直接利用正弦定理求解即可.
13．已知两个单位向量，满足，则向量与的夹角为　 　．
【答案】
【知识点】平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：由，两边平方，
求得，
则
，
因为，所以向量与的夹角为.
故答案为：.
【分析】利用向量的数量积，结合向量的夹角公式求解即可.
14．已知正三棱台的侧棱长为，上、下底面的边长分别为，，则三棱台的外接球的表面积为　 　．
【答案】
【知识点】棱台的结构特征；球的表面积与体积公式及应用
【解析】【解答】解：如图，设正三棱台上、下底面所在圆面的半径分别为，
则，所以，，
设球心到正三棱台上、下底面的距离分别为，球的半径为，
则．
设正三棱台的高为，由棱台的侧棱长为，
得，
所以或，
则或，
解得，
所以三棱台的外接球的表面积为．
故答案为：.
【分析】先利用正弦定理得出正三棱台上、下底面所在圆面的半径，再利用勾股定理得出的值，再根据勾股定理求出正三棱台的高，再由，从而列方程得出球的半径，再代入球的表面积公式，从而得出三棱台的外接球的表面积．
15．已知向量，其中，．
（1）试计算及的值；
（2）求向量与夹角的余弦值．
【答案】（1）解：
，
，
；
（2）解：设，由，．
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算
【解析】【分析】（1）利用向量的坐标远算，结合向量数量积的坐标表示以及向量模的坐标表示求解即可；
（2）利用向量的夹角公式求解即可.
（1）
，
（2）设，由，
．
16．已知的角A，B，C所对的边分别是a，b，c， 向量
（1）若 求A；
（2）若 求的面积.
【答案】（1）解：因为所以①，
又由正弦定理，即，代入①式，
可得，整理得，
又因为，所以，解得；
（2）解：因为，所以，
即，又因为，所以，
因为，由余弦定理可得，
即，解得或（舍去），
故.
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；余弦定理；正弦定理的应用；三角形中的几何计算；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【分析】（1）根据向量平行的坐标表示，结合正弦定理、两角差的正弦公式化简求解即可；
（2）利用向量垂直的坐标表示，结合余弦定理、三角形面积公式求解即可.
（1）因为所以①.
又由正弦定理，即，代入①式，
可得，整理得，
又，所以，解得.
（2）因为，所以，
即，又，所以.
因为，由余弦定理可得，
即，解得或（舍去）.
故.
17．现需要设计一个仓库，由上、下两部分组成，上部的形状是正四棱锥，下部的形状是正四棱柱（如图所示），并要求正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍.
（1）若，则仓库的容积是多少？
（2）若正四棱锥的侧棱长为，，现欲粉刷仓库上部屋顶和下部外墙，上部需增加防水处理，每平方米粉刷费用是100元，下部每平方米粉刷费用是80元，问粉刷总费用是多少元（结果精确到0.1元）？
（3）若正四棱锥的侧棱长为，当为多少时，下部的正四棱柱侧面积最大，最大面积是多少？
【答案】（1）解：由，知.
因为，
所以正四棱锥的体积
正四棱柱的体积，
则仓库的容积.
（2）解：如图，连接，取的中点，连接，
在正四棱锥中，，
所以，
因为，，
所以，
则，
所以，
则，
所以正四棱锥的侧面积为：，
正四棱柱的侧面积为：，
则粉刷总费用为：元.
（3）解：设，下部分的侧面积为，连接，
则，
所以
设，
当时，即当时，，
则当时，下部的正四棱柱侧面积最大，最大侧面积是.
【知识点】组合几何体的面积、表面积、体积问题；棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用
【解析】【分析】（1）根据已知条件可得的长，再根据正四棱锥的体积公式和正四棱柱的体积公式，从而得出正四棱锥的体积和正四棱柱的体积，再相加得出仓库的容积.
（2）根据已知条件和中点的性质以及正四棱锥的结构特征求出正四棱锥的侧面积和正四棱柱的侧面积，再根据单价得出粉刷总费用.
（3）设，再利用已知条件和勾股定理表示出各个长度，再利用正四棱柱的侧面积公式可得下部分的侧面积为的表达式，再根据二次函数的单调性求最值的方法求解即得.
（1）由知.
因为，
所以正四棱锥的体积，
正四棱柱的体积.
所以仓库的容积.
（2）如图，连接，取的中点，连接.
在正四棱锥中，，
所以.
因为，，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以正四棱锥的侧面积为：.
正四棱柱的侧面积为：
则粉刷总费用为：元.
（3）设，下部分的侧面积为，连接，
则，
则，
设，
当，即时，，
故当时，下部的正四棱柱侧面积最大，最大侧面积是.
18．在中，内角A、B、C对应的边分别是a、b、c，且.
（1）求角A的大小；
（2）若，，求a；
（3）若为锐角三角形，，求的取值范围.
【答案】（1）解：因为，
由正弦定理得，即，
因为在中，，所以，
又，所以；
（2）解：因为，，，所以，解得，
由余弦定理得；
（3）解：中，，，
由正弦定理，可得，，
在中，，
所以
，
因为为锐角三角形，所以，
所以，则，
所以，
所以.
【知识点】两角和与差的正弦公式；解三角形；余弦定理；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用正弦定理，结合两角和的正弦公式化简求值即可；
（2）利用三角形的面积公式，结合余弦定理求解即可；
（3）利用正弦定理，可得，，在中，利用两角和正弦公式以及辅助角公式表示，再根据为锐角三角形，确定角的取值范围，再利用正弦函数求取值范围即可.
（1）因为，
由正弦定理得，即，
因为在中，，所以，
又，所以.
（2）因为，，，所以，解得.
由余弦定理得.
（3）因为，，
结合正弦定理，得，所以，.
在中，，
所以.
因为为锐角三角形，所以，所以，
则，所以，
所以.
19．如图所示，设是平面内相交成 角的两条数轴，分别是与 轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为仿射坐标系，若在仿射坐标系下 ， 则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为.
（1）若，求的模长；
（2）若，有同学认为“”的充要条件是“”，你认为是否正确？若正确，请给出证明，若不正确，请说明理由；
（3）设，若对恒成立，求 的最大值.
【答案】（1）解：因为，所以，
又因为，
所以
（2）解：不正确，理由如下：
因为，所以，
又因为，
所以，
若，则，
所以，
则“”的充要条件是“”，
所以“”的充要条件是“”是不正确的.
（3）解：因为，
所以，
则，
，
所以，
由，得，
所以，
则对恒成立，
因为，所以，
解得，
又因为，所以满足题意，
则
，
因为，所以，
则的最大值为．
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数的值域；向量的模；平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【分析】（1）根据已知条件得出，再利用数量积求向量模的公式和数量积运算律得出的值.
（2）根据已知条件和平面向量基本定理以及数量积的运算律，则，再利用，则根据充要条件判断方法，从而判断出结果是否正确.
（3）由数量积的运算律，则，再利用转化为对恒成立，再结合和判别式法得出，再由和数量积求向量夹角公式得出的最大值.
（1）因为，则，又，
则.
（2）不正确，理由如下，
因为，则，又，
则，
若，则，则，
所以“”的充要条件是“”，
故“”的充要条件是“”是不正确的.
（3）因为，则，
，
，
，
由，得，
所以，
即对恒成立，
又因为，所以，
解得，
因为，所以满足题意，
所以，
又因为，所以，
所以的最大值为．
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