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广东江门市培英高级中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题
1． （　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】 ＝2－i.
故答案为：D.
【分析】利用复数的混合运算法则求出结果。
2．既是偶函数又在区间 上单调递减的函数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性
【解析】【解答】根据函数 和 都是奇函数，故排除A，C；由于函数 是偶函数，周期为 ，在 上是减函数，在 上是增函数，故不满足题意条件，即B不正确；由于函数 是偶函数，周期为 ，且在 上是减函数，故满足题意，
故答案为：D.
【分析】利用正弦函数和余弦函数的图象、周期、单调性以及奇偶性对选项逐一判断即可得出答案。
3．若角的终边过点，则（　　）
A． B． C． D．3
【答案】B
【知识点】两角和与差的正切公式；任意角三角函数的定义
【解析】【解答】解：由角的终边过点，
得，
所以.
故答案为：B.
【分析】根据三角函数的定义和两角和的正切公式，从而得出的值.
4．将函数的图象向右平移个单位长度得到函数，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：函数的图象向右平移个单位长度，
得到函数图像.
故答案为：D.
【分析】根据三角函数图象的平移变换求解即可.
5．已知，，，则向量在方向上的投影向量为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：设与的夹角为，
则向量在方向上的投影向量为：
.
故答案为：A.
【分析】根据题意结合数量积求投影向量公式，从而得出向量在方向上的投影向量.
6．在正方形中，为的中点，若，则的值为
A． B． C． D．1
【答案】B
【知识点】平面向量减法运算；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：由题得，
.
故选B.
【分析】利用平面向量三角形法则将AE表示为AB与AC的线性组合，即；通过比较系数得出λ和μ的值.
7．如图所示，在正方形ABCD中，已知||=2，若点N为正方形内(含边界)任意一点，则的最大值是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；平面向量的数量积运算；向量在几何中的应用
【解析】【解答】解：以A为坐标原点建立如图所示的直角坐标系，
则，
设，
则，，
，
所以的最大值是4，当N在线段BC上时，都可以取到.
故选：C.
【分析】建立直角坐标系用坐标表示向量，，计算数量积并确定其取值范围；得出最大值及对应位置.
8．有一块半径为（是正常数）的半圆形空地，开发商计划征地建一个矩形的游泳池和其附属设施，附属设施占地形状是等腰，其中为圆心，，在圆的直径上，，，在半圆周上.如图，设，征地面积为，当满足取得最大值时，开发效果最佳，开发效果最佳的角和的最大值分别为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】两角和与差的正弦公式；含三角函数的复合函数的周期；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：连接，，
在中，，，
∴，
∴，.
，
令，
∵，∴，∴.
则，.
∴.
令，则在上单调递增，
∴当，即时，取得最大值.
故选：B.
【分析】连接，，则，，进而得到，，，再令，则，然后根据函数单调性性得到最值即可.
9．已知为虚数单位，复数，，且，则实数的值可为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B,C
【知识点】复数代数形式的加减运算；复数的模
【解析】【解答】解：，，解得：.
故选：BC.
【分析】直接应用这是复数模长公式，由模长相等直接写出a2+4=5，解方程得到a=±1.
10．已知向量，（），则下列说法正确的是（　　）
A．若，则 B．若，的值为
C．的取值范围为 D．存在，使得
【答案】A,B,C
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：对于A，若，则，所以，故A正确；
对于B，若，则，所以，
因为，所以的值为，故B正确；
对于C，，
因为，所以，，
所以，所以的取值范围为，故C正确；
对于D，因为，所以，
，
若，则，得.
又因为，所以，所以无解，
所以不存在，使得，故D错误.
故选：ACD.
【分析】对A选项，利用向量平行条件a1b2 a2b1=0直接得到tanθ=；
对B选项，利用数量积为0得到tanθ=，再在[0，π]内确定θ=5π对C选项，把改写成2sin(θ+π6)，分析角的范围后得出sin的取值范围；
对D选项，计算|后与比较，发现sin(θ+π6)= 1在区间内无解.
11．函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（　　）
A．函数的一个对称中心为
B．直线是函数图象的一条对称轴
C．若，则的最小值为
D．方程在区间上只有一个根时，实数的取值范围为
【答案】B,C
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；含三角函数的复合函数的值域与最值；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：由图可得，则，即，得，
故，因为点在函数图象上，所以，
得，所以，
因为，所以，所以，
A、因为，所以不是函数的对称中心，故A错误；
B、因为，所以直线是函数图象的一条对称轴，所以B正确，
C、因为，所以的最小值为，故C正确；
D、当时，，作出函数图象：
因为方程在区间上只有一个根，所以由图可知或，
即实数的取值范围为，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】先根据函数图象求出函数解析式，再逐项判断即可.
12．已知复数z在复平面上对应的向量，则　 　．
【答案】5
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】解：因为复数z在复平面上对应的向量，所以，
所以，所以.
【分析】由向量坐标直接写出复数z= 1+2i；求出共轭复数后，利用复数乘法公式计算可得.
13．已知均为单位向量，且，则的夹角为　 　．
【答案】
【知识点】单位向量；平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：因为均为单位向量，且，
所以，
所以，
则，又，所以，
即的夹角为.
故答案为：
【分析】把模长平方展开为数量积，利用，解出后，用向量夹角公式计算并得到夹角即可.
14．若，则　 　．
【答案】
【知识点】二倍角的余弦公式；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：.
故答案为：.
【分析】利用诱导公式把化为，再用二倍角余弦公式cos2α=2cos2α 1，代入计算得出.
15．在中，角A、B、C对应的边分别为a、b、c，若，
（1）求角A；
（2）若，，求的周长.
【答案】（1）解：由正弦定理边化角，可知，
则，
因为，
所以，且，
则.
（2）解：因为，
所以，
由余弦定理，可知，，
则，所以，
则，
所以的周长为6.
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）由正弦定理边化角结合两角和的正弦公式、诱导公式、同角三角函数基本关系式得出角A的值.
（2）根据（1）中角A的值结合三角形面积公式和已知条件，从而得出的值，再根据余弦定理求出的值，从而得出的周长.
（1）由正弦定理边化角可知，，
即，因为，
得，且，则；
（2），得，
由余弦定理可知，，
即，所以，则，
所以的周长为6.
16．已知函数，且．
（1）求的最小正周期和的值；
（2）求在区间上的最大值和最小值；
【答案】（1）解：由函数，可得函数的最小正周期为，
因为，可得，即，
又因为，可得，所以.
（2）解：由（1）得，函数，
当，可得，
由正弦函数的性质得，当时，即时，取得最大值，最大值为；
当时，即时，取得最小值，最小值为，
所以函数的最大值为，最小值为.
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【分析】（1）由T=求周期即可，利用可求的值；
（2）根据整体代入法求正弦型函数值域即可.
（1）解：由函数，可得函数的最小正周期为，
因为，可得，即，
又因为，可得，所以.
（2）解：由（1）得，函数，
当，可得，
由正弦函数的性质得，当时，即时，取得最大值，最大值为；
当时，即时，取得最小值，最小值为，
所以函数的最大值为，最小值为.
17．如图，正方形的边长为是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点．
（1）求的余弦值．
（2）若点自点逆时针沿正方形的边运动到点，在这个过程中，是否存在这样的点，使得？若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：如图所示，建立以点为原点的平面直角坐标系，
则
，
因为就是的夹角，
，
的余弦值为．
（2）解：设
，
，
，
由题意得.
①当点在上时，
设，
②当点在上时，
设，
，舍去，
综上所述，存在．
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；向量在几何中的应用
【解析】【分析】（1）如图所示建立以点为原点的平面直角坐标系，利用就是的夹角结合数量积求向量夹角公式，从而得出的余弦值．
（2）根据向量的共线表示，从而联立方程组可得，再分点在上、点在上两种情况，最后结合向量垂直的坐标表示得出存在.
（1）如图所示，建立以点为原点的平面直角坐标系．
则．
由于就是的夹角．
的余弦值为．
（2）设
．
．
由题得．
①当点在上时，设，
；
②当点在上时，设，
，舍去．
综上，存在．
18．已知O为坐标原点，对于函数，称向量为函数的互生向量，同时称函数为向量的互生函数．
（1）若函数，试求的互生向量；
（2）若向量的互生函数为，求函数在上的增区间；
（3）若向量的互生函数为，在中，，，若点G为该的外心，求的值．
【答案】（1）解：利用诱导公式化简：，
根据定义，的互生向量为，得，因此.
（2）解：根据定义，向量的互生函数为，
因此，
正弦函数的单调递增区间满足，
解得，结合，得增区间为.
（3）解：根据定义，向量的互生函数为，因此.
为三角形内角，故，.
设外接圆半径为，由正弦定理，代入得.
为外心，故，由圆周角定理得圆心角，
因此，
即.
【知识点】平面向量的数量积运算；简单的三角恒等变换；正弦函数的性质
【解析】【分析】（1）利用诱导公式将化简为-sinx，将其整理为的形式，直接根据定义写出互生向量；
（2）先写出向量的互生函数，再化简，结合给定区间与正弦函数性质求解；
（3）先确定函数f(x)=cosx，求出.，再用正弦定理求外接圆半径，最后利用外心性质和向量数量积公式计算.
（1）利用诱导公式化简：，
根据定义，的互生向量为，得，因此.
（2）根据定义，向量的互生函数为，
因此，
正弦函数的单调递增区间满足，
解得，结合，得增区间为.
（3）根据定义，向量的互生函数为，因此.
为三角形内角，故，.
设外接圆半径为，由正弦定理，代入得.
为外心，故，由圆周角定理得圆心角，
因此，
即.
19．2025年江门市中小学数学建模大赛中，培英高中两个代表队参赛均获得一等奖，震惊全市．为此市政求助我校建模小组帮忙解决停车难问题．市区有条长500米，宽6米的道路（如图1所示的矩形），路的一侧划有100个长5米，宽2.5米的停车位（如矩形），为解决停车位不足问题，建模小组提出一个改造方案，在不改变停车位形状大小、不改变汽车通道宽度的条件下，可通过压缩道路旁边绿化带及改变停车位方向来增加停车位．其中长5.5米，停车位相对道路倾斜的角度，其中．
（1）求和的值；
（2）求和的长；
（3）按照建模小组的方案，该路段改造后的停车位比改造前增加多少个？
【答案】（1）解：
如图，，，，
由题意得，，
所以，
又，所以，
化简整理得，解得，，
又，所以，
所以，；
（2）解：根据给定条件，结合直角三角形边角关系及同角公式求出，再求出距离最远的停车位边界点到的最大距离，列出不等式求解即得．
设改造后停车位数量最大值为，过停车位顶点作射线的垂线，垂足为，，
如图，，；
综上，，
（3）解：
由（2）得顶点到线段的距离，
，，，
由各矩形停车位大小相等，得，，
所以，
由，所以，解得，
即改造后最大停车位数量为，
所以改造后的停车位比改造前增加个．
【知识点】简单的三角恒等变换；同角三角函数基本关系的运用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）先根据图形中的位置关系，可列出关于 sinθ、cosθ的等式.再结合 sin2θ+cos2θ=1，解出 sinθ 和cosθ值，最后再根据，确定符合条件的那组结果
（2）要求 A1M和 AnN，关键是把旋转后的停车位边长继续分解.A1M表示宽 2.5对应边在水平方向上的投影长度，所以用2.5×cosθ求出；AnN表示长5对应边在竖直方向上的投影长度，所以用5×sinθ 求，再把第（1）问求得的 sinθ、cosθ代入，即可得到结果.
（3）要求改造后增加多少个停车位，先求改造后最多能停多少个.根据图形可知，第一个停车位先占去一段长度，后面每增加一个停车位，沿道路方向都会增加一个固定长度，所以这是一个首段长度+若干个相同间隔长度的问题.把每段长度表示出来后，列出总长度不超过500米的不等式，求出n的最大整数值.最后用改造后的停车位数量减去原来的100个停车位，即可求出增加的数量.
（1）如图，，，，
由题意得，，
所以，
又，所以，
化简整理得，解得，，
又，所以，
所以，；
（2）设改造后停车位数量最大值为，过停车位顶点作射线的垂线，垂足为，，
如图，，；
（3）由（2）得顶点到线段的距离，
，，，
由各矩形停车位大小相等，得，，
所以，
由，所以，解得，
即改造后最大停车位数量为，
所以改造后的停车位比改造前增加个．
1 / 1广东江门市培英高级中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题
1． （　　）
A． B． C． D．
2．既是偶函数又在区间 上单调递减的函数是（　　）
A． B． C． D．
3．若角的终边过点，则（　　）
A． B． C． D．3
4．将函数的图象向右平移个单位长度得到函数，则（　　）
A． B． C． D．
5．已知，，，则向量在方向上的投影向量为（　　）
A． B． C． D．
6．在正方形中，为的中点，若，则的值为
A． B． C． D．1
7．如图所示，在正方形ABCD中，已知||=2，若点N为正方形内(含边界)任意一点，则的最大值是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．有一块半径为（是正常数）的半圆形空地，开发商计划征地建一个矩形的游泳池和其附属设施，附属设施占地形状是等腰，其中为圆心，，在圆的直径上，，，在半圆周上.如图，设，征地面积为，当满足取得最大值时，开发效果最佳，开发效果最佳的角和的最大值分别为（　　）
A． B． C． D．
9．已知为虚数单位，复数，，且，则实数的值可为（　　）
A． B． C． D．
10．已知向量，（），则下列说法正确的是（　　）
A．若，则 B．若，的值为
C．的取值范围为 D．存在，使得
11．函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（　　）
A．函数的一个对称中心为
B．直线是函数图象的一条对称轴
C．若，则的最小值为
D．方程在区间上只有一个根时，实数的取值范围为
12．已知复数z在复平面上对应的向量，则　 　．
13．已知均为单位向量，且，则的夹角为　 　．
14．若，则　 　．
15．在中，角A、B、C对应的边分别为a、b、c，若，
（1）求角A；
（2）若，，求的周长.
16．已知函数，且．
（1）求的最小正周期和的值；
（2）求在区间上的最大值和最小值；
17．如图，正方形的边长为是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点．
（1）求的余弦值．
（2）若点自点逆时针沿正方形的边运动到点，在这个过程中，是否存在这样的点，使得？若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由．
18．已知O为坐标原点，对于函数，称向量为函数的互生向量，同时称函数为向量的互生函数．
（1）若函数，试求的互生向量；
（2）若向量的互生函数为，求函数在上的增区间；
（3）若向量的互生函数为，在中，，，若点G为该的外心，求的值．
19．2025年江门市中小学数学建模大赛中，培英高中两个代表队参赛均获得一等奖，震惊全市．为此市政求助我校建模小组帮忙解决停车难问题．市区有条长500米，宽6米的道路（如图1所示的矩形），路的一侧划有100个长5米，宽2.5米的停车位（如矩形），为解决停车位不足问题，建模小组提出一个改造方案，在不改变停车位形状大小、不改变汽车通道宽度的条件下，可通过压缩道路旁边绿化带及改变停车位方向来增加停车位．其中长5.5米，停车位相对道路倾斜的角度，其中．
（1）求和的值；
（2）求和的长；
（3）按照建模小组的方案，该路段改造后的停车位比改造前增加多少个？
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】 ＝2－i.
故答案为：D.
【分析】利用复数的混合运算法则求出结果。
2．【答案】D
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性
【解析】【解答】根据函数 和 都是奇函数，故排除A，C；由于函数 是偶函数，周期为 ，在 上是减函数，在 上是增函数，故不满足题意条件，即B不正确；由于函数 是偶函数，周期为 ，且在 上是减函数，故满足题意，
故答案为：D.
【分析】利用正弦函数和余弦函数的图象、周期、单调性以及奇偶性对选项逐一判断即可得出答案。
3．【答案】B
【知识点】两角和与差的正切公式；任意角三角函数的定义
【解析】【解答】解：由角的终边过点，
得，
所以.
故答案为：B.
【分析】根据三角函数的定义和两角和的正切公式，从而得出的值.
4．【答案】D
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：函数的图象向右平移个单位长度，
得到函数图像.
故答案为：D.
【分析】根据三角函数图象的平移变换求解即可.
5．【答案】A
【知识点】平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：设与的夹角为，
则向量在方向上的投影向量为：
.
故答案为：A.
【分析】根据题意结合数量积求投影向量公式，从而得出向量在方向上的投影向量.
6．【答案】B
【知识点】平面向量减法运算；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：由题得，
.
故选B.
【分析】利用平面向量三角形法则将AE表示为AB与AC的线性组合，即；通过比较系数得出λ和μ的值.
7．【答案】C
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；平面向量的数量积运算；向量在几何中的应用
【解析】【解答】解：以A为坐标原点建立如图所示的直角坐标系，
则，
设，
则，，
，
所以的最大值是4，当N在线段BC上时，都可以取到.
故选：C.
【分析】建立直角坐标系用坐标表示向量，，计算数量积并确定其取值范围；得出最大值及对应位置.
8．【答案】B
【知识点】两角和与差的正弦公式；含三角函数的复合函数的周期；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：连接，，
在中，，，
∴，
∴，.
，
令，
∵，∴，∴.
则，.
∴.
令，则在上单调递增，
∴当，即时，取得最大值.
故选：B.
【分析】连接，，则，，进而得到，，，再令，则，然后根据函数单调性性得到最值即可.
9．【答案】B,C
【知识点】复数代数形式的加减运算；复数的模
【解析】【解答】解：，，解得：.
故选：BC.
【分析】直接应用这是复数模长公式，由模长相等直接写出a2+4=5，解方程得到a=±1.
10．【答案】A,B,C
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：对于A，若，则，所以，故A正确；
对于B，若，则，所以，
因为，所以的值为，故B正确；
对于C，，
因为，所以，，
所以，所以的取值范围为，故C正确；
对于D，因为，所以，
，
若，则，得.
又因为，所以，所以无解，
所以不存在，使得，故D错误.
故选：ACD.
【分析】对A选项，利用向量平行条件a1b2 a2b1=0直接得到tanθ=；
对B选项，利用数量积为0得到tanθ=，再在[0，π]内确定θ=5π对C选项，把改写成2sin(θ+π6)，分析角的范围后得出sin的取值范围；
对D选项，计算|后与比较，发现sin(θ+π6)= 1在区间内无解.
11．【答案】B,C
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；含三角函数的复合函数的值域与最值；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：由图可得，则，即，得，
故，因为点在函数图象上，所以，
得，所以，
因为，所以，所以，
A、因为，所以不是函数的对称中心，故A错误；
B、因为，所以直线是函数图象的一条对称轴，所以B正确，
C、因为，所以的最小值为，故C正确；
D、当时，，作出函数图象：
因为方程在区间上只有一个根，所以由图可知或，
即实数的取值范围为，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】先根据函数图象求出函数解析式，再逐项判断即可.
12．【答案】5
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】解：因为复数z在复平面上对应的向量，所以，
所以，所以.
【分析】由向量坐标直接写出复数z= 1+2i；求出共轭复数后，利用复数乘法公式计算可得.
13．【答案】
【知识点】单位向量；平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：因为均为单位向量，且，
所以，
所以，
则，又，所以，
即的夹角为.
故答案为：
【分析】把模长平方展开为数量积，利用，解出后，用向量夹角公式计算并得到夹角即可.
14．【答案】
【知识点】二倍角的余弦公式；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：.
故答案为：.
【分析】利用诱导公式把化为，再用二倍角余弦公式cos2α=2cos2α 1，代入计算得出.
15．【答案】（1）解：由正弦定理边化角，可知，
则，
因为，
所以，且，
则.
（2）解：因为，
所以，
由余弦定理，可知，，
则，所以，
则，
所以的周长为6.
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）由正弦定理边化角结合两角和的正弦公式、诱导公式、同角三角函数基本关系式得出角A的值.
（2）根据（1）中角A的值结合三角形面积公式和已知条件，从而得出的值，再根据余弦定理求出的值，从而得出的周长.
（1）由正弦定理边化角可知，，
即，因为，
得，且，则；
（2），得，
由余弦定理可知，，
即，所以，则，
所以的周长为6.
16．【答案】（1）解：由函数，可得函数的最小正周期为，
因为，可得，即，
又因为，可得，所以.
（2）解：由（1）得，函数，
当，可得，
由正弦函数的性质得，当时，即时，取得最大值，最大值为；
当时，即时，取得最小值，最小值为，
所以函数的最大值为，最小值为.
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【分析】（1）由T=求周期即可，利用可求的值；
（2）根据整体代入法求正弦型函数值域即可.
（1）解：由函数，可得函数的最小正周期为，
因为，可得，即，
又因为，可得，所以.
（2）解：由（1）得，函数，
当，可得，
由正弦函数的性质得，当时，即时，取得最大值，最大值为；
当时，即时，取得最小值，最小值为，
所以函数的最大值为，最小值为.
17．【答案】（1）解：如图所示，建立以点为原点的平面直角坐标系，
则
，
因为就是的夹角，
，
的余弦值为．
（2）解：设
，
，
，
由题意得.
①当点在上时，
设，
②当点在上时，
设，
，舍去，
综上所述，存在．
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；向量在几何中的应用
【解析】【分析】（1）如图所示建立以点为原点的平面直角坐标系，利用就是的夹角结合数量积求向量夹角公式，从而得出的余弦值．
（2）根据向量的共线表示，从而联立方程组可得，再分点在上、点在上两种情况，最后结合向量垂直的坐标表示得出存在.
（1）如图所示，建立以点为原点的平面直角坐标系．
则．
由于就是的夹角．
的余弦值为．
（2）设
．
．
由题得．
①当点在上时，设，
；
②当点在上时，设，
，舍去．
综上，存在．
18．【答案】（1）解：利用诱导公式化简：，
根据定义，的互生向量为，得，因此.
（2）解：根据定义，向量的互生函数为，
因此，
正弦函数的单调递增区间满足，
解得，结合，得增区间为.
（3）解：根据定义，向量的互生函数为，因此.
为三角形内角，故，.
设外接圆半径为，由正弦定理，代入得.
为外心，故，由圆周角定理得圆心角，
因此，
即.
【知识点】平面向量的数量积运算；简单的三角恒等变换；正弦函数的性质
【解析】【分析】（1）利用诱导公式将化简为-sinx，将其整理为的形式，直接根据定义写出互生向量；
（2）先写出向量的互生函数，再化简，结合给定区间与正弦函数性质求解；
（3）先确定函数f(x)=cosx，求出.，再用正弦定理求外接圆半径，最后利用外心性质和向量数量积公式计算.
（1）利用诱导公式化简：，
根据定义，的互生向量为，得，因此.
（2）根据定义，向量的互生函数为，
因此，
正弦函数的单调递增区间满足，
解得，结合，得增区间为.
（3）根据定义，向量的互生函数为，因此.
为三角形内角，故，.
设外接圆半径为，由正弦定理，代入得.
为外心，故，由圆周角定理得圆心角，
因此，
即.
19．【答案】（1）解：
如图，，，，
由题意得，，
所以，
又，所以，
化简整理得，解得，，
又，所以，
所以，；
（2）解：根据给定条件，结合直角三角形边角关系及同角公式求出，再求出距离最远的停车位边界点到的最大距离，列出不等式求解即得．
设改造后停车位数量最大值为，过停车位顶点作射线的垂线，垂足为，，
如图，，；
综上，，
（3）解：
由（2）得顶点到线段的距离，
，，，
由各矩形停车位大小相等，得，，
所以，
由，所以，解得，
即改造后最大停车位数量为，
所以改造后的停车位比改造前增加个．
【知识点】简单的三角恒等变换；同角三角函数基本关系的运用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）先根据图形中的位置关系，可列出关于 sinθ、cosθ的等式.再结合 sin2θ+cos2θ=1，解出 sinθ 和cosθ值，最后再根据，确定符合条件的那组结果
（2）要求 A1M和 AnN，关键是把旋转后的停车位边长继续分解.A1M表示宽 2.5对应边在水平方向上的投影长度，所以用2.5×cosθ求出；AnN表示长5对应边在竖直方向上的投影长度，所以用5×sinθ 求，再把第（1）问求得的 sinθ、cosθ代入，即可得到结果.
（3）要求改造后增加多少个停车位，先求改造后最多能停多少个.根据图形可知，第一个停车位先占去一段长度，后面每增加一个停车位，沿道路方向都会增加一个固定长度，所以这是一个首段长度+若干个相同间隔长度的问题.把每段长度表示出来后，列出总长度不超过500米的不等式，求出n的最大整数值.最后用改造后的停车位数量减去原来的100个停车位，即可求出增加的数量.
（1）如图，，，，
由题意得，，
所以，
又，所以，
化简整理得，解得，，
又，所以，
所以，；
（2）设改造后停车位数量最大值为，过停车位顶点作射线的垂线，垂足为，，
如图，，；
（3）由（2）得顶点到线段的距离，
，，，
由各矩形停车位大小相等，得，，
所以，
由，所以，解得，
即改造后最大停车位数量为，
所以改造后的停车位比改造前增加个．
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