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广东省广州市海珠区南武中学2025-2026 学年八年级下学期期中数学试卷
1．下列哪个图形不是凸四边形的是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平面图形的初步认识
【解析】【解答】解：A是凸四边形，不符合题意；
B是凸四边形，不符合题意；
C是凸四边形，不符合题意；
D不是凸四边形，符合题意；
故答案为：D
【分析】根据凸四边形的定义逐项进行判断即可求出答案.
2．如图的伸缩门，其原理是（　　）
A．三角形的稳定性 B．四边形的不稳定性
C．两点之间线段最短 D．两点确定一条直线
【答案】B
【知识点】四边形的不稳定性
【解析】【解答】解：如图的伸缩门，其原理是四边形的不稳定性，故选：B．
【分析】根据四边形的性质（不稳定性）结合题意即可求解。
3． 的结果为(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式的乘法
【解析】【解答】解：
故答案为：A
【分析】根据二次根式的乘法即可求出答案.
4．一个多边形的内角和是外角和的3 倍，则这个多边形的边数是(　　)
A．9 B．8 C．7 D．6
【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设这个多边形的边数为n
由题意可得：
解得：n=8
故答案为：B
【分析】设这个多边形的边数为n，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
5．如图，一棵大树在此次强台风中在距地面6m 处折断，倒下后树顶端着地点A 距树底端 B 的距离为8m，则这棵大树在折断前的高度为(　　)
A．16m B．17m C．19m D．20m
【答案】A
【知识点】勾股定理的应用；风吹树折模型
【解析】【解答】解：由题意可得：
BC=6，AB=8
∴
∴这棵大树在折断前的高度为10+6=16
故答案为：A
【分析】根据勾股定理即可求出答案.
6．如图，四边形ABCD是菱形，，，则菱形ABCD的面积是(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：如图，设AC交BD于点O
∵四边形ABCD为菱形，∠BCD=60°，AB=2
∴AC⊥BD，∠BCO=30°，BC=AB=2
∴
∴
∴
∴菱形ABCD的面积是
故答案为：D
【分析】设AC交BD于点O，根据菱形性质可得AC⊥BD，∠BCO=30°，BC=AB=2，根据含30°角的直角三角形性质可得BO，再根据勾股定理可得OC，再根据菱形面积即可求出答案.
7．如图，是一个三级台阶，它的每一级的长，宽和高分别等于5cm，3cm 和1cm， 和 是这个台阶的两个相对的端点， 点上有一只蚂蚁，想到 点去吃可口的食物，请你想一想，这只蚂蚁从 点出发，沿着台阶面爬到 点，最短线路是(　　)
A．12 B．13 C．14 D．15
【答案】B
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：将台阶展开
∵AC=3×3+1×3=12，BC=5
∴
故答案为：B
【分析】根据勾股定理即可求出答案.
8．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC，BD 相交于点，点 是边AD 的中点，点 在对角线AC 上，且 ，连接EF，若，则EF 的长为(　　)
A．1 B．2 C．4 D．3
【答案】B
【知识点】矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，AC=8
∴BD=AC=8
∴
∵点是边AD 的中点，
∴点F为AO的中点
∴
故答案为：B
【分析】根据矩形性质可得BD=AC=8，，再根据三角形中位线定理即可求出答案.
9．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点 ，点P为AB边上一动点(不与点A、B重合)，于点，于点，若 ，，则EF的最小值为 (　　)
A．3 B．2 C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的面积；勾股定理；菱形的性质；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD，
∴
连接OP
∵PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F
∴四边形OEPF是矩形
∴EF=OP
当OP⊥AB时，OP的值最小，即EF的值最小
∵
∴
∴EF的最小值为
故答案为：C
【分析】根据菱形性质可得AC⊥BD，，根据勾股定理可得AB，连接OP，根据矩形判定定理可得四边形OEPF是矩形，则EF=OP，当OP⊥AB时，OP的值最小，即EF的值最小，根据三角形面积即可求出答案.
10．如图，中，，.，分别以三边为直径画半圆，则两个月形图案的面积之和(阴影部分的面积)是(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形的面积；含30°角的直角三角形；几何图形的面积计算-割补法；圆的面积
【解析】【解答】解：中，，，
∴
∴
=
=
=
=
=
故答案为：A
【分析】根据含30°角的直角三角形性质可得BC，AB，再根据割补法，结合半圆，三角形面积即可求出答案.
11．若 有意义，则的取值范围是　 　.
【答案】x≥2
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意可得：
x-2≥0
解得：x≥2
故答案为：x≥2
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案.
12．已知 ，则代数式 的值是　 　.
【答案】7
【知识点】完全平方公式及运用；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：
故答案为：7
【分析】根据完全平方公式化简，再将n值代入即可求出答案.
13．如图，在中，，点是AB的中点，，，则 　 　.
【答案】
【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：由题意可得：
∵点是AB的中点
∴
故答案为：
【分析】根据勾股定理可得AB，再根据直角三角形斜边上的中线性质即可求出答案.
14．当 时，化简： 　 　.
【答案】1
【知识点】二次根式的性质与化简；化简含绝对值有理数
【解析】【解答】解：∵
∴x-3<0，x-2>0
∴
故答案为： 1
【分析】根据绝对值，二次根式化简，再计算加减即可求出答案.
15．古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦-秦九韶公式，如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记 ，那么三角形的面积为 .在中，，， 所对的边长分别为a，b，c，若 ，，，则的面积为　 　.
【答案】
【知识点】三角形的面积
【解析】【解答】解：由题意可得：
∴
故答案为：
【分析】根据三角形面积公式代值计算即可求出答案.
16．如图，正方形ABCD 的边长为6，、 分别为AB、AD 边上的动点，且 ，连接 EF，将EF 绕点 顺时针旋转得到EG，连接CG，则CG 的最小值为　 　.
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：取正方形对角线 的中点 ，连接 、、，
由旋转的性质可得 ，，因此 为等边三角形。
∵ 四边形 是正方形，
∴，，。
又∵，
∴，
∴，。
∵，
∴，
即 为等腰直角三角形。
过点 作线段 的垂线，垂足为 ，
∵ 是等边三角形，
∴ 为 的垂直平分线，且 ；
结合等腰直角 的对称性可知，点 在直线 上，且 。
由正方形边长 ，且 ，可得 ；
结合 、 与 ，可推得 ，
因此 。
在 中，由勾股定理得：
∴。
在 中，，
∴，
∴。
正方形对角线 ，故 。
根据两点之间线段最短，当 、、 三点共线且点 落在线段 上时， 取得最小值，
此时：
故答案为：
【分析】本题综合考查正方形的性质、图形旋转的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理以及利用三点共线求线段最值的几何方法。首先根据旋转的性质，旋转前后对应线段长度相等、对应夹角等于旋转角，由 绕点 顺时针旋转 得到 ，可得 且 ，再依据“有一个内角为 的等腰三角形是等边三角形”，判定 为等边三角形，为后续线段长度推导提供基础。为确定动点 的参考定点，选取正方形对角线 的中点 ，利用正方形对角线相等且互相平分、对角线平分一组内角的性质，得到 、 的条件，结合题目给出的 ，通过边角边判定定理证明 与 全等；由全等三角形对应边相等、对应角相等的性质，推出 ，且 与正方形对角线夹角 度数相等，即 ，由此确定 为等腰直角三角形。结合等边三角形“三线合一”的性质，过点 作 的垂线，该垂线同时是 的垂直平分线与 的角平分线，再结合等腰直角三角形的对称性，可确定点 在这条垂线上，进而得到 与 的长度关系。结合正方形边长与 的条件，推导得出 与 的长度，在直角 中利用勾股定理计算出 的长度，再依次求出 、 的长度，最终得到线段 的长度。最后依据两点之间线段最短的原理，当 、、 三点共线且 在线段 上时， 取得最小值，用 的长度减去 的长度即可计算出 的最小值。
17．计算：
（1）；
（2）
【答案】（1）解：原式=
=
（2）解：原式=
=5
【知识点】二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【分析】（1）根据二次根式的加减即可求出答案.
（2）根据二次根式的乘除即可求出答案.
18．如图，在中，点E，F分别在AD，BC上，且 .求证：四边形BFDE 是平行四边形.
【答案】证明：∵四边形ABCD为平行四边形
∴AD∥BC
∴∠AEB=∠EBF
∵
∴∠EBF=∠CFD
∴四边形BFDE 是平行四边形
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】根据平行四边形判定定理及性质即可求出答案.
19．已知，．求：
（1）和的值；
（2）求的值．
【答案】（1）解：∵，，∴，
．
∴的值为，的值为．
（2）∵，，
．
∴的值为．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式的混合运算；二次根式的化简求值
【解析】【分析】（1）先根据二次根式的加减运算得到，进而根据二次根式的乘除运算计算即可求解；
（2）根据完全平方公式结合题意变换得到，进而代入数值即可求解。
（1）解：∵，，
∴，
．
∴的值为，的值为．
（2）∵，，
．
∴的值为．
20．如图，四边形ABCD中，BD为对角线，，，，，，求证：.
【答案】证明：，，，
，
，
，
是直角三角形，
，
.
【知识点】平行线的判定；含30°角的直角三角形；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】根据含30°角的直角三角形性质可得AB，BD，根据勾股定理逆定理可得 是直角三角形，再根据直线平行判定定理即可求出答案.
21．如图所示，折叠矩形ABCD 的一边AD，使点 落在BC 边上的点 处，已知 ，，求BF和EC的长.
【答案】解：∵四边形ABCD为矩形
∴CD=AB=6，AD=BC=10，∠B=90°，∠C=90°
∵折叠矩形ABCD 的一边AD，使点落在BC 边上的点处
∴AF=AD=10
∴
∴CF=BC-BF=2
设DE=x，则EF=x，CE=6-x
∵在Rt△CEF中，CF2+CE2=EF2
∴22+(6-x)2=x2
解得：
∴
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）根据矩形性质可得CD=AB=6，AD=BC=10，∠B=90°，∠C=90°，根据折叠性质可得AF，根据勾股定理可得BF，根据边之间的关系可得CF，设DE=x，则EF=x，CE=6-x，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
22．观察下列各式：①②③
（1）请观察规律，并写出第④个等式：　 　；
（2）请用含 的式子写出你猜想的规律：　 　
（3）请证明(2)中的结论.
【答案】（1）
（2）
（3）解：证明：左边=
右边，
故结论正确.
【知识点】二次根式的性质与化简；探索数与式的规律；探索规律-等式类规律
【解析】【解答】解：（1）∵①②③
∴第④个等式：
故答案为：
（2）由（1）可得：第n个等式为
故答案为：
【分析】（1）根据前三个等式的变换，总结规律即可求出答案.
（2）根据（1）中规律即可求出答案，
（3）根据二次根式的性质化简计算即可求出答案.
23．在“勾股定理”一章的学习中，我们体会到了勾股定理应用的广泛性，以及“数形结合” 是解决数学问题的一种重要的思想方法.
（1）【应用场景1】
①如图1，在数轴上分别找出表示数0 的点，表示数2 的点，，，以点 为圆心，OB 的长为半径作弧，则弧与数轴的交点 表示的数是　 　.
②直接写出 的面积=　 　.
（2）【应用场景2】
在图2中，设 ，， 轴， 轴， 于点 ，则 ，，由此得到平面直角坐标系内任意两点间的距离公式：
①平面直角坐标系中有两点，， 为 轴上任一点，则 的最小值为_▲_；
②求代数式 的最大值.
【答案】（1）；
（2）解：①；
②由题意可得：
∵可表示为x轴上一点P(x，0)到点A(3，3)的距离
可表示为x轴上一点P(x，0)到点B(-1，2)的距离
∴可表示为PA-PB
如图：
∵PA-PB≤AB
∴代数式 的最大值即为AB的长度
∴
∴代数式 的最大值为
【知识点】三角形的面积；勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题；坐标系中的两点距离公式；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：（1）①由题意可得：OA=2，AB=1
∴
∴
∴点P表示的数为
②∵
故答案为：
（2）①如图，作点N关于x轴的对称点N'，连接MN'交x轴于点P
根据对称性质可得N'(-5，-1)，PN=PN'，DN=DN'
∴PM+PN=PM+PN'，当点M，P，N'三点共线时，PM+PN'的值最小，为MN'的长
∴
∴ 的最小值为
故答案为：
【分析】（1）①根据勾股定理可得，再根据数轴上点的位置关系即可求出答案.
②根据边之间的关系可得AP，再根据三角形面积即可求出答案.
（2）①作点N关于x轴的对称点N'，连接MN'交x轴于点P，根据对称性质可得N'(-5，-1)，PN=PN'，DN=DN'，根据线段之间的关系可得PM+PN=PM+PN'，当点M，P，N'三点共线时，PM+PN'的值最小，为MN'的长，再根据两点间距离即可求出答案.
②根据完全平方公式化简，结合题意可得可表示为x轴上一点P(x，0)到点A(3，3)的距离，可表示为x轴上一点P(x，0)到点B(-1，2)的距离，作图，结合边之间关系，两点间距离即可求出答案.
24．如图，四边形ABCD中，AC、BD为对角线，
（1）当 时，BD的长为　 　；
（2）求证： ；
（3）若 关于直线AB 的对称图形为，连接DM，试探究 、 、 三者之间满足的等量关系，并证明你的结论.
【答案】（1）
（2）证明：如图，作AE⊥AC，交CB延长线于点E，
则∠CAE=90°，
∴∠BAE+∠BAC=90°，
∵∠CAD+∠BAC=90°，
∴∠BAE=∠CAD，∠ACB=45°，∠BCD=90°，
∴∠E=90°-45°=45°，∠ACD=90°-45°=45°，
∴∠E=∠ACD，
又∵AB=AD，
∴△ABE≌△ADC（AAS），
∴EB=CD，AE=AC，
∴，CE=BC+EB=BC+CD，
∴
（3）解：BM2+2AM2=DM2．
证明：过点M作MF⊥MB于点M，过点A作AF⊥MA于点A，MF与AF交于点F，连接BF，
则∠MAF=∠BMF=90°，
∵△ABC关于直线AB的对称图形为△ABM，
∴∠AMB=∠ACB=45°，AM=AC，BM=BC，
∴∠FMA=45°，
∴△AMF是等腰直角三角形，
∴AM=AF，，
∵∠MAF+∠MAB=∠BAD+∠MAB，
∴∠FAB=∠MAD，
在△ABF与△ADM中，
，
∴△ABF≌△ADM（SAS），
∴BF=DM，
在Rt△BMF中，BM2+MF2=BF2，
∴BM2=（AM）2=DM2，
即BM2+2AM2=DM2
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；轴对称的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：∵
∴∠BAD=180°-∠ABD-∠ADB=90°
∴△ABD为等腰直角三角形
∵
∴
故答案为：
【分析】（1）根据等腰直角三角形判定定理可得△ABD为等腰直角三角形，再根据勾股定理即可求出答案.
（2）作AE⊥AC，交CB延长线于点E，则∠CAE=90°，根据角之间的关系可得∠E=∠ACD，根据全等三角形判定定理可得△ABE≌△ADC（AAS），则EB=CD，AE=AC，再根据边之间的关系即可求出答案.
（3）过点M作MF⊥MB于点M，过点A作AF⊥MA于点A，MF与AF交于点F，连接BF，则∠MAF=∠BMF=90°，根据对称性质可得∠AMB=∠ACB=45°，AM=AC，BM=BC，根据等腰直角三角形判定定理可得△AMF是等腰直角三角形，则AM=AF，，根据角之间的关系可得∠FAB=∠MAD，再根据全等三角形判定定理可得△ABF≌△ADM（SAS），则BF=DM，再根据勾股定理即可求出答案.
25．如图，BD 为正方形ABCD 的对角线，过点 作，在CF 上取点，连接BE，且 ，过点 作 交CF 于点.
（1）求证：四边形BDFE为菱形；
（2）求的度数；
（3）当时，求代数式 的值.
【答案】（1）证明：∵CF∥BD，DF∥BE，
∴四边形BDFE为平行四边形，
又∵BE=BD，
∴平行四边形BDFE为菱形.
（2）解：过点B作BH⊥CF交CF的延长线于点H，设BE的中点为P，连接PH
∴∠BHF=90°
∵四边形ABCD为正方形，边长BC=t
∴AD=AB=BC=t，∠A=90°，∠CBD=45°
∴△ABD为直角三角形
∴
∴
∵CF∥BD
∴∠BCH=45°
在△BHC中，∠BHF=90°，∠BCH=45°
∴△BHC为等腰直角三角形
∴BH=CH，∠HBC=∠BCH=45°
∵
∴
∴
∴△BHP为等边三角形
∴∠PBH=60°
∴∠EBC=∠PBH-∠HBC=60°=45°=15°
（3）解：由（2）可得，，
在Rt△BHE中，
由（1）可知，四边形BDFE为菱形
∴
∴
∵
∴
解得：t=2
∴=
=
=
=
=
=
=
【知识点】二次根式的性质与化简；等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的判定与性质；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）根据菱形判定定理即可求出答案.
（2）过点B作BH⊥CF交CF的延长线于点H，设BE的中点为P，连接PH，根据正方形性质可得AD=AB=BC=t，∠A=90°，∠CBD=45°，根据等腰直角三角形判定定理可得△ABD为直角三角形，根据勾股定理可得，根据直线平行性质可得∠BCH=45°，再根据等腰直角三角形判定定理可得△BHC为等腰直角三角形，则BH=CH，∠HBC=∠BCH=45°，根据勾股定理可得BC，BH，再根据等边三角形判定定理可得△BHP为等边三角形，则∠PBH=60°，再根据角之间的关系即可求出答案.
（3）由（2）可得，，，根据勾股定理可得EH，根据菱形性质可得，根据边之间的关系建立方程，解方程可得t值，再代入代数式，结合二次根式的性质化简化简计算即可求出答案.
1 / 1广东省广州市海珠区南武中学2025-2026 学年八年级下学期期中数学试卷
1．下列哪个图形不是凸四边形的是(　　)
A． B．
C． D．
2．如图的伸缩门，其原理是（　　）
A．三角形的稳定性 B．四边形的不稳定性
C．两点之间线段最短 D．两点确定一条直线
3． 的结果为(　　)
A． B． C． D．
4．一个多边形的内角和是外角和的3 倍，则这个多边形的边数是(　　)
A．9 B．8 C．7 D．6
5．如图，一棵大树在此次强台风中在距地面6m 处折断，倒下后树顶端着地点A 距树底端 B 的距离为8m，则这棵大树在折断前的高度为(　　)
A．16m B．17m C．19m D．20m
6．如图，四边形ABCD是菱形，，，则菱形ABCD的面积是(　　)
A． B． C． D．
7．如图，是一个三级台阶，它的每一级的长，宽和高分别等于5cm，3cm 和1cm， 和 是这个台阶的两个相对的端点， 点上有一只蚂蚁，想到 点去吃可口的食物，请你想一想，这只蚂蚁从 点出发，沿着台阶面爬到 点，最短线路是(　　)
A．12 B．13 C．14 D．15
8．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC，BD 相交于点，点 是边AD 的中点，点 在对角线AC 上，且 ，连接EF，若，则EF 的长为(　　)
A．1 B．2 C．4 D．3
9．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点 ，点P为AB边上一动点(不与点A、B重合)，于点，于点，若 ，，则EF的最小值为 (　　)
A．3 B．2 C． D．
10．如图，中，，.，分别以三边为直径画半圆，则两个月形图案的面积之和(阴影部分的面积)是(　　)
A． B． C． D．
11．若 有意义，则的取值范围是　 　.
12．已知 ，则代数式 的值是　 　.
13．如图，在中，，点是AB的中点，，，则 　 　.
14．当 时，化简： 　 　.
15．古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦-秦九韶公式，如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记 ，那么三角形的面积为 .在中，，， 所对的边长分别为a，b，c，若 ，，，则的面积为　 　.
16．如图，正方形ABCD 的边长为6，、 分别为AB、AD 边上的动点，且 ，连接 EF，将EF 绕点 顺时针旋转得到EG，连接CG，则CG 的最小值为　 　.
17．计算：
（1）；
（2）
18．如图，在中，点E，F分别在AD，BC上，且 .求证：四边形BFDE 是平行四边形.
19．已知，．求：
（1）和的值；
（2）求的值．
20．如图，四边形ABCD中，BD为对角线，，，，，，求证：.
21．如图所示，折叠矩形ABCD 的一边AD，使点 落在BC 边上的点 处，已知 ，，求BF和EC的长.
22．观察下列各式：①②③
（1）请观察规律，并写出第④个等式：　 　；
（2）请用含 的式子写出你猜想的规律：　 　
（3）请证明(2)中的结论.
23．在“勾股定理”一章的学习中，我们体会到了勾股定理应用的广泛性，以及“数形结合” 是解决数学问题的一种重要的思想方法.
（1）【应用场景1】
①如图1，在数轴上分别找出表示数0 的点，表示数2 的点，，，以点 为圆心，OB 的长为半径作弧，则弧与数轴的交点 表示的数是　 　.
②直接写出 的面积=　 　.
（2）【应用场景2】
在图2中，设 ，， 轴， 轴， 于点 ，则 ，，由此得到平面直角坐标系内任意两点间的距离公式：
①平面直角坐标系中有两点，， 为 轴上任一点，则 的最小值为_▲_；
②求代数式 的最大值.
24．如图，四边形ABCD中，AC、BD为对角线，
（1）当 时，BD的长为　 　；
（2）求证： ；
（3）若 关于直线AB 的对称图形为，连接DM，试探究 、 、 三者之间满足的等量关系，并证明你的结论.
25．如图，BD 为正方形ABCD 的对角线，过点 作，在CF 上取点，连接BE，且 ，过点 作 交CF 于点.
（1）求证：四边形BDFE为菱形；
（2）求的度数；
（3）当时，求代数式 的值.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】平面图形的初步认识
【解析】【解答】解：A是凸四边形，不符合题意；
B是凸四边形，不符合题意；
C是凸四边形，不符合题意；
D不是凸四边形，符合题意；
故答案为：D
【分析】根据凸四边形的定义逐项进行判断即可求出答案.
2．【答案】B
【知识点】四边形的不稳定性
【解析】【解答】解：如图的伸缩门，其原理是四边形的不稳定性，故选：B．
【分析】根据四边形的性质（不稳定性）结合题意即可求解。
3．【答案】A
【知识点】二次根式的乘法
【解析】【解答】解：
故答案为：A
【分析】根据二次根式的乘法即可求出答案.
4．【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设这个多边形的边数为n
由题意可得：
解得：n=8
故答案为：B
【分析】设这个多边形的边数为n，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
5．【答案】A
【知识点】勾股定理的应用；风吹树折模型
【解析】【解答】解：由题意可得：
BC=6，AB=8
∴
∴这棵大树在折断前的高度为10+6=16
故答案为：A
【分析】根据勾股定理即可求出答案.
6．【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：如图，设AC交BD于点O
∵四边形ABCD为菱形，∠BCD=60°，AB=2
∴AC⊥BD，∠BCO=30°，BC=AB=2
∴
∴
∴
∴菱形ABCD的面积是
故答案为：D
【分析】设AC交BD于点O，根据菱形性质可得AC⊥BD，∠BCO=30°，BC=AB=2，根据含30°角的直角三角形性质可得BO，再根据勾股定理可得OC，再根据菱形面积即可求出答案.
7．【答案】B
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：将台阶展开
∵AC=3×3+1×3=12，BC=5
∴
故答案为：B
【分析】根据勾股定理即可求出答案.
8．【答案】B
【知识点】矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，AC=8
∴BD=AC=8
∴
∵点是边AD 的中点，
∴点F为AO的中点
∴
故答案为：B
【分析】根据矩形性质可得BD=AC=8，，再根据三角形中位线定理即可求出答案.
9．【答案】C
【知识点】三角形的面积；勾股定理；菱形的性质；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD，
∴
连接OP
∵PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F
∴四边形OEPF是矩形
∴EF=OP
当OP⊥AB时，OP的值最小，即EF的值最小
∵
∴
∴EF的最小值为
故答案为：C
【分析】根据菱形性质可得AC⊥BD，，根据勾股定理可得AB，连接OP，根据矩形判定定理可得四边形OEPF是矩形，则EF=OP，当OP⊥AB时，OP的值最小，即EF的值最小，根据三角形面积即可求出答案.
10．【答案】A
【知识点】三角形的面积；含30°角的直角三角形；几何图形的面积计算-割补法；圆的面积
【解析】【解答】解：中，，，
∴
∴
=
=
=
=
=
故答案为：A
【分析】根据含30°角的直角三角形性质可得BC，AB，再根据割补法，结合半圆，三角形面积即可求出答案.
11．【答案】x≥2
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意可得：
x-2≥0
解得：x≥2
故答案为：x≥2
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案.
12．【答案】7
【知识点】完全平方公式及运用；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：
故答案为：7
【分析】根据完全平方公式化简，再将n值代入即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：由题意可得：
∵点是AB的中点
∴
故答案为：
【分析】根据勾股定理可得AB，再根据直角三角形斜边上的中线性质即可求出答案.
14．【答案】1
【知识点】二次根式的性质与化简；化简含绝对值有理数
【解析】【解答】解：∵
∴x-3<0，x-2>0
∴
故答案为： 1
【分析】根据绝对值，二次根式化简，再计算加减即可求出答案.
15．【答案】
【知识点】三角形的面积
【解析】【解答】解：由题意可得：
∴
故答案为：
【分析】根据三角形面积公式代值计算即可求出答案.
16．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：取正方形对角线 的中点 ，连接 、、，
由旋转的性质可得 ，，因此 为等边三角形。
∵ 四边形 是正方形，
∴，，。
又∵，
∴，
∴，。
∵，
∴，
即 为等腰直角三角形。
过点 作线段 的垂线，垂足为 ，
∵ 是等边三角形，
∴ 为 的垂直平分线，且 ；
结合等腰直角 的对称性可知，点 在直线 上，且 。
由正方形边长 ，且 ，可得 ；
结合 、 与 ，可推得 ，
因此 。
在 中，由勾股定理得：
∴。
在 中，，
∴，
∴。
正方形对角线 ，故 。
根据两点之间线段最短，当 、、 三点共线且点 落在线段 上时， 取得最小值，
此时：
故答案为：
【分析】本题综合考查正方形的性质、图形旋转的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理以及利用三点共线求线段最值的几何方法。首先根据旋转的性质，旋转前后对应线段长度相等、对应夹角等于旋转角，由 绕点 顺时针旋转 得到 ，可得 且 ，再依据“有一个内角为 的等腰三角形是等边三角形”，判定 为等边三角形，为后续线段长度推导提供基础。为确定动点 的参考定点，选取正方形对角线 的中点 ，利用正方形对角线相等且互相平分、对角线平分一组内角的性质，得到 、 的条件，结合题目给出的 ，通过边角边判定定理证明 与 全等；由全等三角形对应边相等、对应角相等的性质，推出 ，且 与正方形对角线夹角 度数相等，即 ，由此确定 为等腰直角三角形。结合等边三角形“三线合一”的性质，过点 作 的垂线，该垂线同时是 的垂直平分线与 的角平分线，再结合等腰直角三角形的对称性，可确定点 在这条垂线上，进而得到 与 的长度关系。结合正方形边长与 的条件，推导得出 与 的长度，在直角 中利用勾股定理计算出 的长度，再依次求出 、 的长度，最终得到线段 的长度。最后依据两点之间线段最短的原理，当 、、 三点共线且 在线段 上时， 取得最小值，用 的长度减去 的长度即可计算出 的最小值。
17．【答案】（1）解：原式=
=
（2）解：原式=
=5
【知识点】二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【分析】（1）根据二次根式的加减即可求出答案.
（2）根据二次根式的乘除即可求出答案.
18．【答案】证明：∵四边形ABCD为平行四边形
∴AD∥BC
∴∠AEB=∠EBF
∵
∴∠EBF=∠CFD
∴四边形BFDE 是平行四边形
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】根据平行四边形判定定理及性质即可求出答案.
19．【答案】（1）解：∵，，∴，
．
∴的值为，的值为．
（2）∵，，
．
∴的值为．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式的混合运算；二次根式的化简求值
【解析】【分析】（1）先根据二次根式的加减运算得到，进而根据二次根式的乘除运算计算即可求解；
（2）根据完全平方公式结合题意变换得到，进而代入数值即可求解。
（1）解：∵，，
∴，
．
∴的值为，的值为．
（2）∵，，
．
∴的值为．
20．【答案】证明：，，，
，
，
，
是直角三角形，
，
.
【知识点】平行线的判定；含30°角的直角三角形；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】根据含30°角的直角三角形性质可得AB，BD，根据勾股定理逆定理可得 是直角三角形，再根据直线平行判定定理即可求出答案.
21．【答案】解：∵四边形ABCD为矩形
∴CD=AB=6，AD=BC=10，∠B=90°，∠C=90°
∵折叠矩形ABCD 的一边AD，使点落在BC 边上的点处
∴AF=AD=10
∴
∴CF=BC-BF=2
设DE=x，则EF=x，CE=6-x
∵在Rt△CEF中，CF2+CE2=EF2
∴22+(6-x)2=x2
解得：
∴
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）根据矩形性质可得CD=AB=6，AD=BC=10，∠B=90°，∠C=90°，根据折叠性质可得AF，根据勾股定理可得BF，根据边之间的关系可得CF，设DE=x，则EF=x，CE=6-x，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
22．【答案】（1）
（2）
（3）解：证明：左边=
右边，
故结论正确.
【知识点】二次根式的性质与化简；探索数与式的规律；探索规律-等式类规律
【解析】【解答】解：（1）∵①②③
∴第④个等式：
故答案为：
（2）由（1）可得：第n个等式为
故答案为：
【分析】（1）根据前三个等式的变换，总结规律即可求出答案.
（2）根据（1）中规律即可求出答案，
（3）根据二次根式的性质化简计算即可求出答案.
23．【答案】（1）；
（2）解：①；
②由题意可得：
∵可表示为x轴上一点P(x，0)到点A(3，3)的距离
可表示为x轴上一点P(x，0)到点B(-1，2)的距离
∴可表示为PA-PB
如图：
∵PA-PB≤AB
∴代数式 的最大值即为AB的长度
∴
∴代数式 的最大值为
【知识点】三角形的面积；勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题；坐标系中的两点距离公式；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：（1）①由题意可得：OA=2，AB=1
∴
∴
∴点P表示的数为
②∵
故答案为：
（2）①如图，作点N关于x轴的对称点N'，连接MN'交x轴于点P
根据对称性质可得N'(-5，-1)，PN=PN'，DN=DN'
∴PM+PN=PM+PN'，当点M，P，N'三点共线时，PM+PN'的值最小，为MN'的长
∴
∴ 的最小值为
故答案为：
【分析】（1）①根据勾股定理可得，再根据数轴上点的位置关系即可求出答案.
②根据边之间的关系可得AP，再根据三角形面积即可求出答案.
（2）①作点N关于x轴的对称点N'，连接MN'交x轴于点P，根据对称性质可得N'(-5，-1)，PN=PN'，DN=DN'，根据线段之间的关系可得PM+PN=PM+PN'，当点M，P，N'三点共线时，PM+PN'的值最小，为MN'的长，再根据两点间距离即可求出答案.
②根据完全平方公式化简，结合题意可得可表示为x轴上一点P(x，0)到点A(3，3)的距离，可表示为x轴上一点P(x，0)到点B(-1，2)的距离，作图，结合边之间关系，两点间距离即可求出答案.
24．【答案】（1）
（2）证明：如图，作AE⊥AC，交CB延长线于点E，
则∠CAE=90°，
∴∠BAE+∠BAC=90°，
∵∠CAD+∠BAC=90°，
∴∠BAE=∠CAD，∠ACB=45°，∠BCD=90°，
∴∠E=90°-45°=45°，∠ACD=90°-45°=45°，
∴∠E=∠ACD，
又∵AB=AD，
∴△ABE≌△ADC（AAS），
∴EB=CD，AE=AC，
∴，CE=BC+EB=BC+CD，
∴
（3）解：BM2+2AM2=DM2．
证明：过点M作MF⊥MB于点M，过点A作AF⊥MA于点A，MF与AF交于点F，连接BF，
则∠MAF=∠BMF=90°，
∵△ABC关于直线AB的对称图形为△ABM，
∴∠AMB=∠ACB=45°，AM=AC，BM=BC，
∴∠FMA=45°，
∴△AMF是等腰直角三角形，
∴AM=AF，，
∵∠MAF+∠MAB=∠BAD+∠MAB，
∴∠FAB=∠MAD，
在△ABF与△ADM中，
，
∴△ABF≌△ADM（SAS），
∴BF=DM，
在Rt△BMF中，BM2+MF2=BF2，
∴BM2=（AM）2=DM2，
即BM2+2AM2=DM2
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；轴对称的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：∵
∴∠BAD=180°-∠ABD-∠ADB=90°
∴△ABD为等腰直角三角形
∵
∴
故答案为：
【分析】（1）根据等腰直角三角形判定定理可得△ABD为等腰直角三角形，再根据勾股定理即可求出答案.
（2）作AE⊥AC，交CB延长线于点E，则∠CAE=90°，根据角之间的关系可得∠E=∠ACD，根据全等三角形判定定理可得△ABE≌△ADC（AAS），则EB=CD，AE=AC，再根据边之间的关系即可求出答案.
（3）过点M作MF⊥MB于点M，过点A作AF⊥MA于点A，MF与AF交于点F，连接BF，则∠MAF=∠BMF=90°，根据对称性质可得∠AMB=∠ACB=45°，AM=AC，BM=BC，根据等腰直角三角形判定定理可得△AMF是等腰直角三角形，则AM=AF，，根据角之间的关系可得∠FAB=∠MAD，再根据全等三角形判定定理可得△ABF≌△ADM（SAS），则BF=DM，再根据勾股定理即可求出答案.
25．【答案】（1）证明：∵CF∥BD，DF∥BE，
∴四边形BDFE为平行四边形，
又∵BE=BD，
∴平行四边形BDFE为菱形.
（2）解：过点B作BH⊥CF交CF的延长线于点H，设BE的中点为P，连接PH
∴∠BHF=90°
∵四边形ABCD为正方形，边长BC=t
∴AD=AB=BC=t，∠A=90°，∠CBD=45°
∴△ABD为直角三角形
∴
∴
∵CF∥BD
∴∠BCH=45°
在△BHC中，∠BHF=90°，∠BCH=45°
∴△BHC为等腰直角三角形
∴BH=CH，∠HBC=∠BCH=45°
∵
∴
∴
∴△BHP为等边三角形
∴∠PBH=60°
∴∠EBC=∠PBH-∠HBC=60°=45°=15°
（3）解：由（2）可得，，
在Rt△BHE中，
由（1）可知，四边形BDFE为菱形
∴
∴
∵
∴
解得：t=2
∴=
=
=
=
=
=
=
【知识点】二次根式的性质与化简；等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的判定与性质；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）根据菱形判定定理即可求出答案.
（2）过点B作BH⊥CF交CF的延长线于点H，设BE的中点为P，连接PH，根据正方形性质可得AD=AB=BC=t，∠A=90°，∠CBD=45°，根据等腰直角三角形判定定理可得△ABD为直角三角形，根据勾股定理可得，根据直线平行性质可得∠BCH=45°，再根据等腰直角三角形判定定理可得△BHC为等腰直角三角形，则BH=CH，∠HBC=∠BCH=45°，根据勾股定理可得BC，BH，再根据等边三角形判定定理可得△BHP为等边三角形，则∠PBH=60°，再根据角之间的关系即可求出答案.
（3）由（2）可得，，，根据勾股定理可得EH，根据菱形性质可得，根据边之间的关系建立方程，解方程可得t值，再代入代数式，结合二次根式的性质化简化简计算即可求出答案.
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