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广东省深圳市福田外国语学校（集团）2026年初三年级数学三模试卷
1．下列各数中最小的数是（　　）
A． B． C．-3 D．-π
2．物理是上帝的游戏，而数学是上帝的游戏规则。不管多大或多小的数，都得靠数学来表示呢！将数据5020000用科学记数法表示为（　　）
A．5.02×105 B．5.02×106 C．50.2×105 D．0.502×107
3．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C．（x-2）2=x2-4 D．a2+a3=a5
4．多边形的每个内角度数都等于150°，则这个多边形的边数为（　　）
A．6 B．8 C．12 D．15
5．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以点O为位似中心的位似图形，已知点B（3，0），E（9，0），F（9，6），则点C的坐标为（　　）
A．（2，3） B．（3，2） C．（4，3） D．（4，2）
6．为落实“每日一节体育课”的倡议，九年级拟购置一批排球，预算总额设定为1500元。已知A品牌每个排球的单价比B品牌便宜20元，如果全部购买A品牌，可比全部购买B品牌多买20个。设B品牌每个排球的单价为x元，则根据题意可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
7．如图，在直径BC为2的圆内有一个圆心角为90°的扇形BAC，其面积为（　　）
A．π B． C． D．
8．如图，在矩形ABCD中，点E为BC的中点，点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿折线AB-BE向终点E匀速运动。设点P的运动时间为t秒，EP的长为y，y随t的变化图象如图所示，则矩形ABCD的面积为（　　）
A．20 B．36 C．40 D．45
9．若2a+b=3，则4a+2b=　 　。
10．为测量广场上一棵树的高度，在阳光下测得广场上一根6m高的灯柱的影长为3m，在同一时刻，他们测得树的影长为2m，则该树的高度为　 　m。
11．如图所示，仿生机器狗平稳站立时，AB∥CD，∠ABE=135°，∠CDE=145°，此时∠BED的度数为　 　。
12．小明先将直角边长为5个单位长度的等腰直角三角板ABC摆放在平面直角坐标系中，使其两条直角边AC，BC分别落在x轴负半轴、y轴正半轴上（如图所示），然后将三角板向右平移a个单位长度，再向下平移a个单位长度后，小明发现A，B两点恰好都落在函数的图象上，则a的值为　 　。
13．如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC上一点，AD⊥AC，BD=3，点E在AD上，连接BE并延长至点F，使得AF⊥BF，G是EF上一点，且AG平分∠BAC，若1则tan∠GAF=　 　。
14．计算：
15．先化简，后求值：，从，0，1，2选一个合适的值，代入求值．
16．某学校九年级有12个班，每班50名学生，为了调查该校九年级学生平均每天的睡眠时间，并规定如下：设每个学生平均每天的睡眠时间为t（单位：小时），将收集到的学生平均每天睡眠时间按t≤6、6睡眠时间t（小时） 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5
人数（人） 1 1 2 10 15 9 10 2
（1）组数据的众数和中位数分别是　 　，　 　；
（2）估计九年级学生平均每天睡眼时间t≥8的人数大约为多少
（3）从样本中学生平均每天睡眠时间t≤6的4个学生里，随机抽取2人，画树状图或列表法求抽取的2人每天睡眠时间都是6小时的概率。
17．根据如表所示素材，探索完成任务。
深圳某电器配件采购方案
素材一 因3C认证移动电源方可登机，出行需求大增，深圳某电商为备战“6.18”购物节，分两次购进A、B两款移动电源，两次同型号进价相同：
采购批次 A数量（件） B数量（件） 采购总费用（元）
第一次 30 40 3800
第二次 40 30 3200
素材二 售价A：30元/件，B：100元/件.
素材三 计划共购进1000件充电器，且A数量不少于B数量的4倍。
问题解决
⑴任务一 求A、B移动电源的每件的成本是多少元。
⑵任务二 求获利最大的进货方案及最大利润。
18．如图，在平行四边形ABCD中，
（1）实践与操作：作线段AB的垂直平分线，垂足为G，交AD于点E，交CB的延长线于点F，连接AF，BE。（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，标明字母）；
（2）猜想与证明：试猜想四边形AFBE的形状，并加以证明。
19．晓然同学是一名篮球爱好者，他想知道每次投进的篮球出手到最高点时的离地高度有多少米.当学习到二次函数内容的时候，老师说投篮的弧线可以看成是一条抛物线，他受到了启发，想好了解决问题的思路并且和几位队友开展了探究与实践活动，记录如下：
活动主题 测量某一次投进篮筐的篮球出手后最高点的离地高度
活动准备 1.查询操场上国际标准篮球架上面篮筐的离地高度； 2.准备皮尺、三角板等测量工具。
设计方案 晓然负责把球投进篮筐，同时安排第一位队友负责手持三角板确定球到最高点C对应的地面位置O，安排第二位队友用皮尺测量位置O与晓然同学投篮站立位置点A的水平距离OA，第三位队友负责手持三角板确定篮筐中心D与地面对应点E，并测量水平距离OE。
采集数据 经测量，晓然同学的出手高度AB=2.25米，OA═2.5米，OE═1.5米.经查询篮筐的高度DE=3.05米，且A，O，E在一条直线上，AB和ED都垂直于AE。
确定思路 小组成员经过讨论确定，以点O为原点，OA所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，建立如图2的平面直角坐标系，设抛物线解析式为分析数据得D，B两点的坐标，进而求出抛物线的解析式，再利用解析式求出C点的坐标，从而解决问题。
根据以上信息，解决下列问题：
（1）求抛物线的解析式；
（2）求这次投进篮球的最大离地高度；
（3）如果在晓然同学面前0.5米的地方有一个防守球员想垂直起跳封盖他的投篮，请问最低封盖高度需要达到多少米
20．【发现问题】在进行综合与实践活动时，学习小组发现：如图1，BD，CE是△ABC的高，若M是BC的中点.则点B，C，D，E就在以点M为圆心的同一个圆上。
【提出并解决问题】学习小组在探究此结论后提出问题：
（1）如图1，若BD，CE的交点为点O，则点A，D，O，E四点是不是也在同一个圆上。如果是，请证明：如果不是，请说明理由。
（2）如图2，锐角△ABC中，BD，CE是高线，DG⊥CE于G，EF⊥BD于F，求证：FG∥BC。
（3）如图3，等边三角形ABC中，AB=6，P为AB边上一动点，PD⊥BC，PE⊥AC，垂足分别为D，E，则DE的最小值为　 　。
（4）【拓展应用】如图4，学习小组完成上面的问题后发现△ABC的两条高BD，CE相交于点O，连接AO并延长交BC于点F。则AF为△ABC的边BC上的高。即三角形的三条高所在直线交于同一点。如图5，已知⊙O是△ABC的外接圆，BD，CE是△ABC的高，BD，CE相交于点P。若BC=m，AP=n，请直接写出⊙O的面积　 　。（结果请用m，n的代数式表示，并保留π）
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解： -π<-3<<
故答案为：D
【分析】直接比较大小即可求出答案.
2．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：5020000用科学记数法表示为5.02×106
故答案为：B
【分析】科学记数法是把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式.
3．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A：，错误，不符合题意；
B：，正确，符合题意；
C：（x-2）2=x2-4x+4，错误，不符合题意；
D：a2+a3=a5不能合并，不符合题意
故答案为：B
【分析】根据幂的乘方，同底数幂的乘法，完全平方公式，合并同类项法则逐项进行判断即可求出答案.
4．【答案】C
【知识点】正多边形的性质；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：设这个多边形的边数为n
由题意可得：
解得：n=12
故答案为：C
【分析】设这个多边形的边数为n，根据多边形内角和公式建立方程，解方程即可求出答案.
5．【答案】B
【知识点】位似变换；图形位似变换的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵B（3，0），E（9，0），F（9，6）
∴OB=3，OE=9，EF=6
∵正方形ABCD与正方形BEFG是以点O为位似中心的位似图形
∴，即
解得：BC=2
∴C(3，2)
故答案为：B
【分析】根据两点间距离可得OB=3，OE=9，EF=6，再根据位似图形性质即可求出答案.
6．【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设B品牌每个排球的单价为x元
根据题意可得：
故答案为：A
【分析】设B品牌每个排球的单价为x元，根据题意建立方程即可求出答案.
7．【答案】B
【知识点】勾股定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：由题意可得：
△ABC为等腰直角三角形
∴BC2=AB2+BC2，即4=2AB2
解得：
∴扇形BAC的面积为
故答案为：B
【分析】根据题意可得△ABC为等腰直角三角形，根据勾股定理可得AB，再根据扇形面积即可求出答案.
8．【答案】C
【知识点】勾股定理；通过函数图象获取信息；动点问题的函数图象；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：连接AE
由图象可得，当t=0时，，即
当t=9时，y=0，即点P到达点E，此时运动路程为AB+BE=1×9=9
设AB=x，则BE=9-x
在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2，即
解得：x1=4，x2=5
当AB=4时，BE=5，则BC=2BE=10
∴矩形面积为4×10=40
当AB=5时，BE=4，则BC=2BE=8
∴矩形，面积为5×8=40
综上所述，矩形ABCD的面积为40
故答案为：C
【分析】解：连接AE，由图象可得，当t=0时，，即，当t=9时，y=0，即点P到达点E，此时运动路程为AB+BE=1×9=9，设AB=x，则BE=9-x，根据勾股定理建立方程，解方程可得x值，再根据矩形面积即可求出答案.
9．【答案】6
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵2a+b=3
∴4a+2b=2(2a+b)=2×3=6
故答案为：6
【分析】提公因式，再整体代入即可求出答案.
10．【答案】4
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：设该树的高度为h
由题意可得：
解得：h=4
故答案为：4
【分析】设该树的高度为h，根据比列相等建立方程，解方程即可求出答案.
11．【答案】80
【知识点】平行线的性质；平行公理的推论
【解析】【解答】解：如图，过点E作EF∥AB
∵AB∥CD
∴EF∥CD
∵∠ABE=135°，∠CDE=145°
∴∠BEF=180°-∠ABE=45°，∠DEF=180°-∠CDE=35°
∴∠BED=∠BEF+∠DEF=80°
故答案为：80
【分析】过点E作EF∥AB，根据直线平行性质可得∠BEF，∠DEF，再根据角之间的关系即可求出答案.
12．【答案】2或3
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征；沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征
【解析】【解答】解：由题意可得：OA=OB=5
∴A(-5，0)，B(0，5)
设平移后点A，B的对应点分别为A'，B'
根据平移性质可得A'(-5+a，-a)，B'(a，5-a)
∵A'，B'两点恰好落在函数的图象上
∴，解得：a=2或a=3
故答案为：2或3
【分析】由题意可得：OA=OB=5，根据点的坐标可得A(-5，0)，B(0，5)，设平移后点A，B的对应点分别为A'，B'，根据平移性质可得A'(-5+a，-a)，B'(a，5-a)，再将点B'坐标代入函数解析式即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定；求正切值；相似三角形的性质-对应边；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：延长，交边于点，设线段的长度为，
∵，且平分，
根据等腰三角形顶角平分线与底边上的高、中线重合的性质，可得，。
已知，因此，则，
进而。
∵，
∴，
又，且是与的公共内角，
∴。
由相似三角形的对应边成比例，可得，即。
将、、代入上式：
展开并整理得，
解得（负根不符合线段长度的实际意义，舍去），经检验该解符合题意。
由此可得。
在中，根据勾股定理计算：
已知，因此。
在中，由正切的定义得。
∵，
∴，根据直角三角形两锐角互余，有。
同理，在中，。
又∵与是对顶角，二者相等，
∴，
因此。
故答案为：
【分析】本题考查等腰三角形性质、相似三角形判定与性质、勾股定理及锐角三角函数的综合应用。利用等腰三角形三线合一的性质，由AG平分等腰△ABC的顶角，可得到AH垂直BC且BH与CH长度相等，结合BD的长度用含x的式子表示出CH与CD的长度；借助公共角∠C与两组直角，用两角分别相等判定△ACH与△DCA相似，根据相似三角形对应边成比例的性质列出一元二次方程，求解得到DH的长度；再在直角三角形ABH中运用勾股定理算出AH的长，结合AG的长度得到GH的长度，根据正切的定义求出∠GBH的正切值；最后利用直角三角形两锐角互余的性质与对顶角相等的结论，推导∠GAF与∠GBH度数相等，将所求角的正切值转化为可直接计算的线段比值。
14．【答案】解：原式
【知识点】负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；实数的绝对值；开立方（求立方根）
【解析】【分析】根据绝对值，立方根，特殊角的三角函数值，负整数指数幂化简，再计算加减即可求出答案.
15．【答案】解：原式
由题可知：，1，2，
，
当时，原式．
【知识点】完全平方公式及运用；分式有无意义的条件；分式的化简求值
【解析】【分析】先根据分式四则混合运算法则进行化简，根据分式有意义的条件，确定出x的值，然后将数据代入求值即可．
16．【答案】（1）7；7
（2）解：估计九年级学生平均每天睡眠时间t≥8的人是大约为：
答：九年级学生平均每天睡眠超过8小时人数约为144人
（3）解：画树状图如下：
∴由树状图可知，所有等可能结果有12种，2人睡眠时间都是6小时的结果有2种.
【知识点】用列表法或树状图法求概率；平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【解答】解：由表格可得：出现人数最多的为7小时，为15人
∴众数为7
将数据按从小到大的顺序排列，处在最中间的两位数为7，7
∴中位数为：
故答案为：7；7
【分析】（1）根据众数，中位数的定义即可求出答案.
（2）根据总人数乘以对应占比即可求出答案.
（3）画出树状图，求出所有等可能的结果，再求出2人睡眠时间都是6小时的结果，再根据概率公式即可求出答案.
17．【答案】解：（1）设A、B移动电源每件进价分别为a元、b元，
由题意可得，
解得
答：A、B移动电源每件进价分别为20元，80元；
（2）设购进A种移动电源x件，则购进B种移动电源（1000-x）件，利润为w元，w=（30-20）x+（100-80）（1000-x）=-10x+20000，
∵-10<0
∴w随x的增大而减小，
∵A数量不少于B数量的4倍，
∴x≥4（1000-x），
解得x≥800，
∴当x=800时，w取得最大值，
此时w=12000，1000-x=200，
答：获利最大的进货方案是购买A种移动电源800件，B种移动电源200件，最大利润是12000元.
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A、B移动电源每件进价分别为a元、b元，根据题意建立方程组，解方程组即可求出答案.
（2）设购进A种移动电源x件，则购进B种移动电源（1000-x）件，根据题意建立函数关系式，再求出x的取值范围，结合一次函数的性质即可求出答案.
18．【答案】（1）解：如图所示，EF为所求。
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEG=∠BFG，
∵EF垂直平分AB，
∴AG=BG，
在△AGE和△BGF中，
∴△AGE≌△BGF（AAS）；
∴AE=BF，
∵AD∥BC，
∴四边形AFBE是平行四边形，
又∵EF⊥AB，
∴平行四边形AFBE是菱形.
【知识点】三角形全等及其性质；线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质；菱形的判定；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）根据垂直平分线定义作图即可.
（2）根据平行四边形性质可得AD∥BC，则∠AEG=∠BFG，根据垂直平分线性质可得AG=BG，再根据全等三角形判定定理可得△AGE≌△BGF（AAS），则AE=BF，再根据菱形判定定理即可求出答案.
19．【答案】（1）解：∵AB=2.25，OA=2.5，OE=1.5，DE=3.05，
∴D（1.5，3.05），B（-2.5，2.25）
把D（1.5，3.05）和B（-2.5，2.25）分别代入
中得：
解得
∴抛物线的解析式为y=-0.2x2+3.5
（2）解：在中，令x=0，则y=3.5
故抛物线的顶点坐标为（0，3.5），
∵抛物线顶点为最高点，
∴最大离地高度为3.5米
答：最大离地高度为3.5米
（3）解：当x=﹣2.5+0.5=﹣2时，有（米），
答：最低封盖高度为2.7米
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】（1）根据点的坐标可得D（1.5，3.05），B（-2.5，2.25），再根据待定系数法将点B，D坐标代入解析式即可求出答案.
（2）根据二次函数的性质求出顶点坐标即可.
（3）将x=-2代入解析式即可求出答案.
20．【答案】（1）证明：点A、D、O、E四点在同一个圆上；理由如下：
如图2，连接AO，取AO的中点N，连接NE，ND，
则
∵BD、CE是△ABC的高，
∴△ADO，△AEO均为直角三角形，
∴AN=NE=NO=ND，
∴点A、D、O、E四点在同一个圆上
（2）证明：锐角△ABC中，BD、CE是高线，DG⊥CE于G，EF⊥BD于F，由于Rt△BCE与Rt△BCD共斜边BC，
∴B、C、D、E四点共圆.
∴∠DBC=∠DEG，
同理Rt△EDF与Rt△DGE共斜边DE，
∴D、E、F、G四点共圆.
∴∠DEG=∠DFG，
∴∠DBC=∠DFG，
∴FG∥BC
（3）
（4）
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；圆内接四边形的性质；圆的面积；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：（3）连接PC，设PC的中点为O，连接OE，OD
∵∠PEC=∠PDC=90°
∴点P，D，C，E四点共圆，CP为直径，O为圆心
∴∠EOD=2∠ACB=120°
∴OE=OD
∴∠ODE=∠OED=30°
设圆的半径为r，过点O作OG⊥DE
∴
∴，即
要使DE最小，则圆O的半径r最小，即直径CP最小
当CP⊥AB时，CP最小
∵三角形ABC为等边三角形，AB=6
∴AP=，AC=AB=6
∴
∴
∴
故答案为：
（4）连接CO并延长交圆O于点Q，连接AQ，BQ
∴∠CBQ=∠CAQ=90°
连接AP并延长交BC于点F，即AF⊥BC
∴BQ∥AF
∵BD⊥AC，∠CAQ=90°
∴AQ∥BD
∴四边形APBQ为平行四边形
∴BQ=AP=n
∴，即圆O的半径为
∴圆O的面积为
故答案为：
【分析】（1）连接AO，取AO的中点N，连接NE，ND，则，根据直角三角形斜边上的中线性质可得，则AN=NE=NO=ND，再根据共圆的特征即可求出答案.
（2）由题意可得B、C、D、E四点共圆，D、E、F、G四点共圆，根据圆内接四边形性质可得∠DBC=∠DEG，∠DEG=∠DFG，则∠DBC=∠DFG，再根据直线平行性质即可求出答案.
（3）连接PC，设PC的中点为O，连接OE，OD，由题意可得点P，D，C，E四点共圆，CP为直径，O为圆心，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得∠EOD，根据等边对等角可得∠ODE=∠OED=30°，设圆的半径为r，过点O作OG⊥DE，根据勾股定理可得EG，，要使DE最小，则圆O的半径r最小，即直径CP最小，当CP⊥AB时，CP最小，根据等边三角形性质可得AP=，AC=AB=6，再根据勾股定理即可求出答案.
（4）连接CO并延长交圆O于点Q，连接AQ，BQ，则∠CBQ=∠CAQ=90°，连接AP并延长交BC于点F，即AF⊥BC，根据直线平行性质可得BQ∥AF，AQ∥BD，根据平行四边形判定定理可得四边形APBQ为平行四边形，则BQ=AP=n，根据勾股定理可得CQ，再根据圆的面积即可求出答案.
1 / 1广东省深圳市福田外国语学校（集团）2026年初三年级数学三模试卷
1．下列各数中最小的数是（　　）
A． B． C．-3 D．-π
【答案】D
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解： -π<-3<<
故答案为：D
【分析】直接比较大小即可求出答案.
2．物理是上帝的游戏，而数学是上帝的游戏规则。不管多大或多小的数，都得靠数学来表示呢！将数据5020000用科学记数法表示为（　　）
A．5.02×105 B．5.02×106 C．50.2×105 D．0.502×107
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：5020000用科学记数法表示为5.02×106
故答案为：B
【分析】科学记数法是把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式.
3．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C．（x-2）2=x2-4 D．a2+a3=a5
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A：，错误，不符合题意；
B：，正确，符合题意；
C：（x-2）2=x2-4x+4，错误，不符合题意；
D：a2+a3=a5不能合并，不符合题意
故答案为：B
【分析】根据幂的乘方，同底数幂的乘法，完全平方公式，合并同类项法则逐项进行判断即可求出答案.
4．多边形的每个内角度数都等于150°，则这个多边形的边数为（　　）
A．6 B．8 C．12 D．15
【答案】C
【知识点】正多边形的性质；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：设这个多边形的边数为n
由题意可得：
解得：n=12
故答案为：C
【分析】设这个多边形的边数为n，根据多边形内角和公式建立方程，解方程即可求出答案.
5．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以点O为位似中心的位似图形，已知点B（3，0），E（9，0），F（9，6），则点C的坐标为（　　）
A．（2，3） B．（3，2） C．（4，3） D．（4，2）
【答案】B
【知识点】位似变换；图形位似变换的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵B（3，0），E（9，0），F（9，6）
∴OB=3，OE=9，EF=6
∵正方形ABCD与正方形BEFG是以点O为位似中心的位似图形
∴，即
解得：BC=2
∴C(3，2)
故答案为：B
【分析】根据两点间距离可得OB=3，OE=9，EF=6，再根据位似图形性质即可求出答案.
6．为落实“每日一节体育课”的倡议，九年级拟购置一批排球，预算总额设定为1500元。已知A品牌每个排球的单价比B品牌便宜20元，如果全部购买A品牌，可比全部购买B品牌多买20个。设B品牌每个排球的单价为x元，则根据题意可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设B品牌每个排球的单价为x元
根据题意可得：
故答案为：A
【分析】设B品牌每个排球的单价为x元，根据题意建立方程即可求出答案.
7．如图，在直径BC为2的圆内有一个圆心角为90°的扇形BAC，其面积为（　　）
A．π B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：由题意可得：
△ABC为等腰直角三角形
∴BC2=AB2+BC2，即4=2AB2
解得：
∴扇形BAC的面积为
故答案为：B
【分析】根据题意可得△ABC为等腰直角三角形，根据勾股定理可得AB，再根据扇形面积即可求出答案.
8．如图，在矩形ABCD中，点E为BC的中点，点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿折线AB-BE向终点E匀速运动。设点P的运动时间为t秒，EP的长为y，y随t的变化图象如图所示，则矩形ABCD的面积为（　　）
A．20 B．36 C．40 D．45
【答案】C
【知识点】勾股定理；通过函数图象获取信息；动点问题的函数图象；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：连接AE
由图象可得，当t=0时，，即
当t=9时，y=0，即点P到达点E，此时运动路程为AB+BE=1×9=9
设AB=x，则BE=9-x
在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2，即
解得：x1=4，x2=5
当AB=4时，BE=5，则BC=2BE=10
∴矩形面积为4×10=40
当AB=5时，BE=4，则BC=2BE=8
∴矩形，面积为5×8=40
综上所述，矩形ABCD的面积为40
故答案为：C
【分析】解：连接AE，由图象可得，当t=0时，，即，当t=9时，y=0，即点P到达点E，此时运动路程为AB+BE=1×9=9，设AB=x，则BE=9-x，根据勾股定理建立方程，解方程可得x值，再根据矩形面积即可求出答案.
9．若2a+b=3，则4a+2b=　 　。
【答案】6
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵2a+b=3
∴4a+2b=2(2a+b)=2×3=6
故答案为：6
【分析】提公因式，再整体代入即可求出答案.
10．为测量广场上一棵树的高度，在阳光下测得广场上一根6m高的灯柱的影长为3m，在同一时刻，他们测得树的影长为2m，则该树的高度为　 　m。
【答案】4
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：设该树的高度为h
由题意可得：
解得：h=4
故答案为：4
【分析】设该树的高度为h，根据比列相等建立方程，解方程即可求出答案.
11．如图所示，仿生机器狗平稳站立时，AB∥CD，∠ABE=135°，∠CDE=145°，此时∠BED的度数为　 　。
【答案】80
【知识点】平行线的性质；平行公理的推论
【解析】【解答】解：如图，过点E作EF∥AB
∵AB∥CD
∴EF∥CD
∵∠ABE=135°，∠CDE=145°
∴∠BEF=180°-∠ABE=45°，∠DEF=180°-∠CDE=35°
∴∠BED=∠BEF+∠DEF=80°
故答案为：80
【分析】过点E作EF∥AB，根据直线平行性质可得∠BEF，∠DEF，再根据角之间的关系即可求出答案.
12．小明先将直角边长为5个单位长度的等腰直角三角板ABC摆放在平面直角坐标系中，使其两条直角边AC，BC分别落在x轴负半轴、y轴正半轴上（如图所示），然后将三角板向右平移a个单位长度，再向下平移a个单位长度后，小明发现A，B两点恰好都落在函数的图象上，则a的值为　 　。
【答案】2或3
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征；沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征
【解析】【解答】解：由题意可得：OA=OB=5
∴A(-5，0)，B(0，5)
设平移后点A，B的对应点分别为A'，B'
根据平移性质可得A'(-5+a，-a)，B'(a，5-a)
∵A'，B'两点恰好落在函数的图象上
∴，解得：a=2或a=3
故答案为：2或3
【分析】由题意可得：OA=OB=5，根据点的坐标可得A(-5，0)，B(0，5)，设平移后点A，B的对应点分别为A'，B'，根据平移性质可得A'(-5+a，-a)，B'(a，5-a)，再将点B'坐标代入函数解析式即可求出答案.
13．如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC上一点，AD⊥AC，BD=3，点E在AD上，连接BE并延长至点F，使得AF⊥BF，G是EF上一点，且AG平分∠BAC，若1则tan∠GAF=　 　。
【答案】
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定；求正切值；相似三角形的性质-对应边；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：延长，交边于点，设线段的长度为，
∵，且平分，
根据等腰三角形顶角平分线与底边上的高、中线重合的性质，可得，。
已知，因此，则，
进而。
∵，
∴，
又，且是与的公共内角，
∴。
由相似三角形的对应边成比例，可得，即。
将、、代入上式：
展开并整理得，
解得（负根不符合线段长度的实际意义，舍去），经检验该解符合题意。
由此可得。
在中，根据勾股定理计算：
已知，因此。
在中，由正切的定义得。
∵，
∴，根据直角三角形两锐角互余，有。
同理，在中，。
又∵与是对顶角，二者相等，
∴，
因此。
故答案为：
【分析】本题考查等腰三角形性质、相似三角形判定与性质、勾股定理及锐角三角函数的综合应用。利用等腰三角形三线合一的性质，由AG平分等腰△ABC的顶角，可得到AH垂直BC且BH与CH长度相等，结合BD的长度用含x的式子表示出CH与CD的长度；借助公共角∠C与两组直角，用两角分别相等判定△ACH与△DCA相似，根据相似三角形对应边成比例的性质列出一元二次方程，求解得到DH的长度；再在直角三角形ABH中运用勾股定理算出AH的长，结合AG的长度得到GH的长度，根据正切的定义求出∠GBH的正切值；最后利用直角三角形两锐角互余的性质与对顶角相等的结论，推导∠GAF与∠GBH度数相等，将所求角的正切值转化为可直接计算的线段比值。
14．计算：
【答案】解：原式
【知识点】负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；实数的绝对值；开立方（求立方根）
【解析】【分析】根据绝对值，立方根，特殊角的三角函数值，负整数指数幂化简，再计算加减即可求出答案.
15．先化简，后求值：，从，0，1，2选一个合适的值，代入求值．
【答案】解：原式
由题可知：，1，2，
，
当时，原式．
【知识点】完全平方公式及运用；分式有无意义的条件；分式的化简求值
【解析】【分析】先根据分式四则混合运算法则进行化简，根据分式有意义的条件，确定出x的值，然后将数据代入求值即可．
16．某学校九年级有12个班，每班50名学生，为了调查该校九年级学生平均每天的睡眠时间，并规定如下：设每个学生平均每天的睡眠时间为t（单位：小时），将收集到的学生平均每天睡眠时间按t≤6、6睡眠时间t（小时） 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5
人数（人） 1 1 2 10 15 9 10 2
（1）组数据的众数和中位数分别是　 　，　 　；
（2）估计九年级学生平均每天睡眼时间t≥8的人数大约为多少
（3）从样本中学生平均每天睡眠时间t≤6的4个学生里，随机抽取2人，画树状图或列表法求抽取的2人每天睡眠时间都是6小时的概率。
【答案】（1）7；7
（2）解：估计九年级学生平均每天睡眠时间t≥8的人是大约为：
答：九年级学生平均每天睡眠超过8小时人数约为144人
（3）解：画树状图如下：
∴由树状图可知，所有等可能结果有12种，2人睡眠时间都是6小时的结果有2种.
【知识点】用列表法或树状图法求概率；平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【解答】解：由表格可得：出现人数最多的为7小时，为15人
∴众数为7
将数据按从小到大的顺序排列，处在最中间的两位数为7，7
∴中位数为：
故答案为：7；7
【分析】（1）根据众数，中位数的定义即可求出答案.
（2）根据总人数乘以对应占比即可求出答案.
（3）画出树状图，求出所有等可能的结果，再求出2人睡眠时间都是6小时的结果，再根据概率公式即可求出答案.
17．根据如表所示素材，探索完成任务。
深圳某电器配件采购方案
素材一 因3C认证移动电源方可登机，出行需求大增，深圳某电商为备战“6.18”购物节，分两次购进A、B两款移动电源，两次同型号进价相同：
采购批次 A数量（件） B数量（件） 采购总费用（元）
第一次 30 40 3800
第二次 40 30 3200
素材二 售价A：30元/件，B：100元/件.
素材三 计划共购进1000件充电器，且A数量不少于B数量的4倍。
问题解决
⑴任务一 求A、B移动电源的每件的成本是多少元。
⑵任务二 求获利最大的进货方案及最大利润。
【答案】解：（1）设A、B移动电源每件进价分别为a元、b元，
由题意可得，
解得
答：A、B移动电源每件进价分别为20元，80元；
（2）设购进A种移动电源x件，则购进B种移动电源（1000-x）件，利润为w元，w=（30-20）x+（100-80）（1000-x）=-10x+20000，
∵-10<0
∴w随x的增大而减小，
∵A数量不少于B数量的4倍，
∴x≥4（1000-x），
解得x≥800，
∴当x=800时，w取得最大值，
此时w=12000，1000-x=200，
答：获利最大的进货方案是购买A种移动电源800件，B种移动电源200件，最大利润是12000元.
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A、B移动电源每件进价分别为a元、b元，根据题意建立方程组，解方程组即可求出答案.
（2）设购进A种移动电源x件，则购进B种移动电源（1000-x）件，根据题意建立函数关系式，再求出x的取值范围，结合一次函数的性质即可求出答案.
18．如图，在平行四边形ABCD中，
（1）实践与操作：作线段AB的垂直平分线，垂足为G，交AD于点E，交CB的延长线于点F，连接AF，BE。（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，标明字母）；
（2）猜想与证明：试猜想四边形AFBE的形状，并加以证明。
【答案】（1）解：如图所示，EF为所求。
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEG=∠BFG，
∵EF垂直平分AB，
∴AG=BG，
在△AGE和△BGF中，
∴△AGE≌△BGF（AAS）；
∴AE=BF，
∵AD∥BC，
∴四边形AFBE是平行四边形，
又∵EF⊥AB，
∴平行四边形AFBE是菱形.
【知识点】三角形全等及其性质；线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质；菱形的判定；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）根据垂直平分线定义作图即可.
（2）根据平行四边形性质可得AD∥BC，则∠AEG=∠BFG，根据垂直平分线性质可得AG=BG，再根据全等三角形判定定理可得△AGE≌△BGF（AAS），则AE=BF，再根据菱形判定定理即可求出答案.
19．晓然同学是一名篮球爱好者，他想知道每次投进的篮球出手到最高点时的离地高度有多少米.当学习到二次函数内容的时候，老师说投篮的弧线可以看成是一条抛物线，他受到了启发，想好了解决问题的思路并且和几位队友开展了探究与实践活动，记录如下：
活动主题 测量某一次投进篮筐的篮球出手后最高点的离地高度
活动准备 1.查询操场上国际标准篮球架上面篮筐的离地高度； 2.准备皮尺、三角板等测量工具。
设计方案 晓然负责把球投进篮筐，同时安排第一位队友负责手持三角板确定球到最高点C对应的地面位置O，安排第二位队友用皮尺测量位置O与晓然同学投篮站立位置点A的水平距离OA，第三位队友负责手持三角板确定篮筐中心D与地面对应点E，并测量水平距离OE。
采集数据 经测量，晓然同学的出手高度AB=2.25米，OA═2.5米，OE═1.5米.经查询篮筐的高度DE=3.05米，且A，O，E在一条直线上，AB和ED都垂直于AE。
确定思路 小组成员经过讨论确定，以点O为原点，OA所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，建立如图2的平面直角坐标系，设抛物线解析式为分析数据得D，B两点的坐标，进而求出抛物线的解析式，再利用解析式求出C点的坐标，从而解决问题。
根据以上信息，解决下列问题：
（1）求抛物线的解析式；
（2）求这次投进篮球的最大离地高度；
（3）如果在晓然同学面前0.5米的地方有一个防守球员想垂直起跳封盖他的投篮，请问最低封盖高度需要达到多少米
【答案】（1）解：∵AB=2.25，OA=2.5，OE=1.5，DE=3.05，
∴D（1.5，3.05），B（-2.5，2.25）
把D（1.5，3.05）和B（-2.5，2.25）分别代入
中得：
解得
∴抛物线的解析式为y=-0.2x2+3.5
（2）解：在中，令x=0，则y=3.5
故抛物线的顶点坐标为（0，3.5），
∵抛物线顶点为最高点，
∴最大离地高度为3.5米
答：最大离地高度为3.5米
（3）解：当x=﹣2.5+0.5=﹣2时，有（米），
答：最低封盖高度为2.7米
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】（1）根据点的坐标可得D（1.5，3.05），B（-2.5，2.25），再根据待定系数法将点B，D坐标代入解析式即可求出答案.
（2）根据二次函数的性质求出顶点坐标即可.
（3）将x=-2代入解析式即可求出答案.
20．【发现问题】在进行综合与实践活动时，学习小组发现：如图1，BD，CE是△ABC的高，若M是BC的中点.则点B，C，D，E就在以点M为圆心的同一个圆上。
【提出并解决问题】学习小组在探究此结论后提出问题：
（1）如图1，若BD，CE的交点为点O，则点A，D，O，E四点是不是也在同一个圆上。如果是，请证明：如果不是，请说明理由。
（2）如图2，锐角△ABC中，BD，CE是高线，DG⊥CE于G，EF⊥BD于F，求证：FG∥BC。
（3）如图3，等边三角形ABC中，AB=6，P为AB边上一动点，PD⊥BC，PE⊥AC，垂足分别为D，E，则DE的最小值为　 　。
（4）【拓展应用】如图4，学习小组完成上面的问题后发现△ABC的两条高BD，CE相交于点O，连接AO并延长交BC于点F。则AF为△ABC的边BC上的高。即三角形的三条高所在直线交于同一点。如图5，已知⊙O是△ABC的外接圆，BD，CE是△ABC的高，BD，CE相交于点P。若BC=m，AP=n，请直接写出⊙O的面积　 　。（结果请用m，n的代数式表示，并保留π）
【答案】（1）证明：点A、D、O、E四点在同一个圆上；理由如下：
如图2，连接AO，取AO的中点N，连接NE，ND，
则
∵BD、CE是△ABC的高，
∴△ADO，△AEO均为直角三角形，
∴AN=NE=NO=ND，
∴点A、D、O、E四点在同一个圆上
（2）证明：锐角△ABC中，BD、CE是高线，DG⊥CE于G，EF⊥BD于F，由于Rt△BCE与Rt△BCD共斜边BC，
∴B、C、D、E四点共圆.
∴∠DBC=∠DEG，
同理Rt△EDF与Rt△DGE共斜边DE，
∴D、E、F、G四点共圆.
∴∠DEG=∠DFG，
∴∠DBC=∠DFG，
∴FG∥BC
（3）
（4）
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；圆内接四边形的性质；圆的面积；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：（3）连接PC，设PC的中点为O，连接OE，OD
∵∠PEC=∠PDC=90°
∴点P，D，C，E四点共圆，CP为直径，O为圆心
∴∠EOD=2∠ACB=120°
∴OE=OD
∴∠ODE=∠OED=30°
设圆的半径为r，过点O作OG⊥DE
∴
∴，即
要使DE最小，则圆O的半径r最小，即直径CP最小
当CP⊥AB时，CP最小
∵三角形ABC为等边三角形，AB=6
∴AP=，AC=AB=6
∴
∴
∴
故答案为：
（4）连接CO并延长交圆O于点Q，连接AQ，BQ
∴∠CBQ=∠CAQ=90°
连接AP并延长交BC于点F，即AF⊥BC
∴BQ∥AF
∵BD⊥AC，∠CAQ=90°
∴AQ∥BD
∴四边形APBQ为平行四边形
∴BQ=AP=n
∴，即圆O的半径为
∴圆O的面积为
故答案为：
【分析】（1）连接AO，取AO的中点N，连接NE，ND，则，根据直角三角形斜边上的中线性质可得，则AN=NE=NO=ND，再根据共圆的特征即可求出答案.
（2）由题意可得B、C、D、E四点共圆，D、E、F、G四点共圆，根据圆内接四边形性质可得∠DBC=∠DEG，∠DEG=∠DFG，则∠DBC=∠DFG，再根据直线平行性质即可求出答案.
（3）连接PC，设PC的中点为O，连接OE，OD，由题意可得点P，D，C，E四点共圆，CP为直径，O为圆心，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得∠EOD，根据等边对等角可得∠ODE=∠OED=30°，设圆的半径为r，过点O作OG⊥DE，根据勾股定理可得EG，，要使DE最小，则圆O的半径r最小，即直径CP最小，当CP⊥AB时，CP最小，根据等边三角形性质可得AP=，AC=AB=6，再根据勾股定理即可求出答案.
（4）连接CO并延长交圆O于点Q，连接AQ，BQ，则∠CBQ=∠CAQ=90°，连接AP并延长交BC于点F，即AF⊥BC，根据直线平行性质可得BQ∥AF，AQ∥BD，根据平行四边形判定定理可得四边形APBQ为平行四边形，则BQ=AP=n，根据勾股定理可得CQ，再根据圆的面积即可求出答案.
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