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2026年广东省广州市铁一中学中考二模数学试题
1．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（　　）．
A．温州博物馆
B．西藏博物馆
C．广东博物馆
D．湖北博物馆
【答案】A
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：、该图形绕中心旋转后能与原图形重合，是中心对称图形，故本选项符合题意；
、该图形绕中心旋转后不能与原图形重合，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
、该图形绕中心旋转后不能与原图形重合，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
、该图形绕中心旋转后不能与原图形重合，不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故答案为：A．
【分析】本题考查了中心对称图形， 结合中心对称图形的定义对各个选项进行判断即可．
2．太阳的半径约为，将数据696000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：696000用科学记数法表示为：.
故答案为：A.
【分析】根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数判断即可.一般情况下，n等于小数点移动的位数，小数点向左移动时，n为正整数，小数点向右移动，n为负整数.
3．下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】单项式乘多项式；负整数指数幂；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故A错误；
B、不是同类项，不能合并，故B错误；
C、，故C正确；
D、，故D错误；
故答案为：C
【分析】
根据积得乘方得，可判断A；根据同类项得合并法则不是同类项，不能合并，可判断B；根据负指出幂得，可判断C；根据单项式乘以多项式得法则得，可判断D，逐一判断即可解答.
4．如图是根据我市某天七个整点时的气温绘制成的统计图，则这七个整点时气温的中位数和众数分别是（　　）
A．中位数31，众数是22 B．中位数是22，众数是31
C．中位数是26，众数是22 D．中位数是22，众数是26
【答案】C
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：七个整点时数据从小到大排列为：22，22，23，26，28，30，31，
∴中位数为26，众数为22，
故答案为：C．
【分析】中位数是指将一组数据从小到大排列后，位于中间位置的数值。如果数据个数为奇数，则中位数就是正中间的那个数；如果数据个数为偶数，则中位数是中间两个数的平均值。众数是一组数据中出现次数最多的数值。本题先将七个整点时数据从小到大排列，然后根据中位数、众数的定义即可得出答案。
5．已知⊙O的半径是8，点P到圆心O的距离d为方程的一个根，则点P在（　　）
A．的内部 B．的外部
C．上或的内部 D．上或的外部
【答案】A
【知识点】因式分解法解一元二次方程；点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：解方程可得，，，
∵点P到圆心O的距离d为方程的一个根，
∴，
∴点P在的内部，
故选A
【分析】根据题意解一元二次方程得到解，进而根据点与圆的关系结合点到圆心的距离即可求解。
6．《算学启蒙》是我国古代的数学著作，其中有一道题：“今有罗七尺，绫九尺，其价適等，只云绫尺价不及罗尺价三十六文．问：二色尺价各几何？”意思是：7尺罗类丝绸和9尺绫类丝绸的价格相同，每尺绫类丝绸的价格比罗类丝绸少36文，问这两类丝绸每尺的价格各是多少文？设罗类丝绸每尺的价格为x文，绫类丝绸每尺的价格为y文，则可以列出的方程组为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵设罗类丝绸每尺价格为文，绫类丝绸每尺价格为文，
根据“7尺罗类丝绸和9尺绫类丝绸价格相等”，可得，
根据“每尺绫类丝绸的价格比罗类丝绸少36文”，可得，
∴所列方程组为，
故答案为：A．
【分析】 本题考查了列二元一次方程组， 设绫每尺价x文，罗每尺价y文，根据7尺绫类丝绸和9尺罗类丝绸的价格相同， 每尺绫类丝绸的价格比罗类丝绸少36文，即可列出对应方程组．
7．如图，是的直径，是的切线，点B为切点，若，，则劣弧长为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆周角定理；切线的性质；弧长的计算；解直角三角形
【解析】【解答】解：∵是的直径，是的切线，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
∴劣弧的长为．
故答案为：180
【分析】 本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，直角三角形的性质以及弧长公式，是的直径，是的切线得，由得，可求出，得，再由圆周角定理得到，最后根据弧长公式求出劣弧的长为．
8．如图，吊灯外罩呈圆锥形，它的底面周长为，侧面积为，则该吊灯外罩的高是（　　）．
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；圆锥的计算
【解析】【解答】解：∵圆锥的底面周长为，
∴圆锥的底面半径为，
∵侧面积为，
∴圆锥的母线长为，
∴该吊灯外罩的高是．
故答案为：B
【分析】先根据题意求出圆锥的底面半径，进而求出母线，再根据勾股定理即可求解。
9．如图，在平面直角坐标系中，将绕点A顺时针旋转到的位置，点B，O分别落在点，处，点在x轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，……依次进行下去，若点，，则点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】点的坐标；旋转的性质；坐标与图形变化﹣旋转；用代数式表示图形变化规律；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：∵点的坐标为，点的坐标为，点为坐标原点
∴，
∴在中，根据勾股定理可得：
∵ 将绕点顺时针旋转到 ，点在轴上
∴，点的坐标为
∵将 绕点顺时针旋转到 ，点在轴上
∴，点的坐标为
∵将绕点顺时针旋转到，点在轴上
∴，点在的正上方，点的坐标为
∵将绕点顺时针旋转到，点在轴上
∴，点的坐标为，点的坐标为
∵ 将绕点顺时针旋转到 ，点在轴上
∴，点的坐标为
∵ 将绕点顺时针旋转到
∴ ，点在的正上方，所以点的坐标为
通过观察点和 的坐标，可以发现规律：
对于偶数下标点，其坐标恒为，坐标为
即点的坐标为
∵的下标为，是偶数
∴令，解得
∴点的坐标为
∴点的坐标为．
故答案为：B．
【分析】本题考查了勾股定理、图形旋转的性质和点的坐标变化规律探究，先利用勾股定理求出的长度，再求出，，， 的坐标规律，最后根据规律计算的坐标．
10．已知抛物线经过两点，下列结论：①②抛物线在处取得最值；③无论m取何值，均满足；④若为该抛物线上的点，当时，一定成立．正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：当时，抛物线与x轴有两个交点，
∴，
∵m的值不确定，
∴不一定成立，
故①错误；
∵抛物线过两点，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴当时，抛物线取得最值，
故②正确；
∵两点均在抛物线上，
∴，
解得，
故无论m取何值，均满足，
故③正确；
当时，抛物线开口向上，
∴在直线1的左侧，y随x的增大而减小，
∴当时，；
当时，抛物线开口向下，
∴在直线的左侧，y随x的增大而增大，
当时，此时，
故④错误．
故选：B．
【分析】本题考查二次函数的图象与系数关系、二次函数的对称性与增减性，需结合已知两点的坐标特征逐一分析四个结论。抛物线经过两个纵坐标相同的点，仅能说明两点关于对称轴对称，由于的取值不确定，无法判断抛物线与轴的交点个数，因此不一定成立，仅当时两点落在轴上，才能判定抛物线与轴有两个交点。根据抛物线上纵坐标相等的两点关于对称轴对称，由对称轴公式，代入两点横坐标计算可得对称轴为直线，因此抛物线在处取得顶点，对应函数的最值。将两点坐标分别代入抛物线解析式，得到关于的二元方程组，通过加减消元消去参数，即可推导得出，该等式与的取值无关。抛物线的增减性由开口方向决定，即由的符号决定：当时抛物线开口向上，对称轴左侧随的增大而减小，此时时；当时抛物线开口向下，对称轴左侧随的增大而增大，此时时，因此该结论不一定成立。
11．要使 有意义，则x的取值范围是　 　．
【答案】x≥4
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：x﹣4≥0，
解得：x≥4．
故答案为：x≥4．
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，就可以求解．
12．如图，，，垂足为，，则　 　．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵
∴，
故答案为：．
【分析】先根据三角形内角和结合题意求出∠ABC的度数，从而根据平行线的性质即可求解。
13．一次函数的图象经过原点，则y随x的增大而 　 　 .（填“增大”或“减小”）
【答案】增大
【知识点】一次函数的性质
【解析】【解答】解：由题意可得：且，解得
则一次函数为：
因为
所以y随x的增大而增大，
故答案为：增大.
【分析】将点（0，0）代入求出，即可得到一次函数的解析式，再利用一次函数的性质与系数的关系可得答案。
14．如图，在RtABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，线段AB的垂直平分线ED分别交AC、AB于点D、E，连接BD．若CD，则AD的长为　 　．
【答案】2
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵DE垂直平分AB，
∴AD＝BD，
∴∠A＝∠ABD，
∵∠A＝15°，
∴∠ABD＝15°，
∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝15°+15°＝30°，
∵∠C＝90°，CD，
∴BC＝1，
∴BD＝2BC＝2，
∴AD＝BD＝2．
故答案为：2．
【分析】先根据垂直平分线的性质得到AD＝BD，进而结合等腰三角形的性质和含30°角的直角三角形的性质得到BC＝1，从而得到BD，再结合题意即可求解。
15．定义新运算“※”：对于实数m，n，p，q，有，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，例如：．若关于x的方程：有两个实数根，则k的取值范围是　 　．
【答案】且
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】由新定义的运算法则可得出：．
∵，
∴．
∵该方程有两个实数根，
∴且，
∴且．
故答案为：且．
【分析】根据新定义运算得到，进而根据一元二次方程根的判别式结合题意即可求出取值范围。
16．如图，在边长为的正方形的对角线上取一点，使，连结并延长至点，连结，使，与相交于点．有下列结论：①；②；③；④点是边上一动点，连结，将沿翻折，点落在点处，连结交于点，连结，则的最小值为其中正确的结论有　 　．（填序号）
【答案】①②④
【知识点】解直角三角形；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，点是正方形的对角线上的点，
∴，
∴，
∴，故①正确；
如图，在上取一点，使得，
∵四边形是正方形，是对角线，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，故②正确；
如图，连接交于点，则，过点分别作的垂线，垂足分别为，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵在正方形中，，
∴
∴
∵
∴
∴
在中，
∵
∴
∴
∴，故③错误
如图
∵
∴
即
∵点是边上一动点，连结，将沿翻折，点落在点处，
∴
∴
∴在以为直径的圆上运动
取的中点，连接，
∴当在上时，取得最小值，最小值为的长，
∴
∴
∴
∴，故④正确
故答案为：①②④．
【分析】本题考查了折叠的性质，正方形的性质，解直角三角形，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，求一点到圆上的距离的最值问题，勾股定理， 根据正方形的性质得出，利用SAS证明即可判断①，在上取一点，使得，证明是等边三角形，，，再得出NF=EC利用证明，得 ，从而判断②正确； 连接交于点，则，过点分别作的垂线，垂足分别为， 先求出，得，求出，在中得，进而得，求出，求出，然后证明，根据相似三角形的性质即可判断③，取的中点，连接，根据题意得出在以为直径的圆上运动，进而得出当在上时，取得最小值，最小值为的长，勾股定理求得的长，即可求解．
17．解不等式组．
【答案】解：
解不等式①，去括号得，
移项，合并同类项得，；
解不等式②，去分母得，
移项，合并同类项得，；
故不等式组的解集为：．
【知识点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组
【解析】【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，分别求出各不等式的解集，再根据“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”求出其公共解集即可．
18．如图，菱形中，过点分别作边上的高，求证：．
【答案】证明：在四边形是菱形，，
，
，
在和中，
，
∴．
【知识点】菱形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】先利用菱形的性质可得，再结合，利用“AAS”证出，最后利用全等三角形的性质可得.
19．已知．
（1）化简；
（2）若为方程的一个解，求的值．
【答案】（1）解：
．
（2）是方程的解，
，
，
，
．
【知识点】分式的化简求值；一元二次方程的根
【解析】【分析】（1）根据分式的化简与性质结合题意进行通分、合并、约分化简即可求解；
（2）根据题意将代入方程，进而化简即可求解。
（1）解：
．
（2）是方程的解，
，
，
，
．
20．某单位食堂为全体职工提供了A，B，C，D四种套餐，为了解职工对这四种套餐的喜好情况，单位随机抽取240名职工进行“你最喜欢哪一种套餐（必选且只选一种）”问卷调查．根据调查结果绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如下：
（1）扇形统计图中“C”对应扇形的圆心角的大小为_______；
（2）该单位全体职工共960名，请依据本次调查结果估计全体职工中最喜欢B套餐的人数为__________；
（3）现从甲、乙、丙、丁四名职工中任选两人担任“食品安全监督员”，请用树状图或列表法求甲被选到的概率．
【答案】（1）108
（2）336
（3）解：画树状图得出所有等可能的结果，如下图：
一共12种结果，选两人，甲被选到的结果数为6，
甲被选中的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；概率公式；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：喜欢A套餐的人数：（人），
喜欢C套餐的人数：（人），
“C”对应扇形的圆心角为：．
（2）解：喜欢B套餐的人所占的比例，
全体职工中喜欢B套餐的人数为（人）．
【分析】 本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够理解条形统计图和扇形统计图，熟练掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解答本题的关键．
（1）用240乘以扇形统计图中“A”所占的百分比可得最喜欢A套餐的人数；再求出喜欢C套餐的人数，可得出其所占的百分比，再乘以360°即可得扇形统计图中“C”对应扇形的圆心角的大小．
（2）根据用样本估计总体，用960乘以本次调查中B级的学生人数所占的百分比，即可得出答案．
（3）画树状图得出所有等可能的结果数以及甲、乙被选到的结果数，再利用概率公式可得出答案．
（1）解：喜欢A套餐的人数：（人），
喜欢C套餐的人数：（人），
“C”对应扇形的圆心角为：．
（2）解：喜欢B套餐的人所占的比例，
全体职工中喜欢B套餐的人数为（人）．
（3）解：画树状图得出所有等可能的结果，如下图：
一共12种结果，选两人，甲被选到的结果数为6，
甲被选中的概率为．
21．如图，已知在等腰中，，点D为边上一点，且，为的外接圆．
（1）尺规作图：求作（保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）求证：是切线．
【答案】（1）解：作的垂直平分线交于点，以点为圆心，的长为半径作圆，即为所求；
（2）证明：连接，
∵，
∴，
∴是的直径，
∴是的半径，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是的切线．
【知识点】切线的判定；尺规作图-垂直平分线；尺规作图-过不在同一直线上的三点作圆
【解析】【分析】本题主要考查尺规作图-画圆，作线段垂直平分线，证明直线是圆的切线，解答本题的关键是掌握圆的相关性质及线段垂直平分线的尺规作图方法．（1）作的垂直平分线交于点，以点为圆心，的长为半径作圆，即为所求；
（2）连接OC，由CD⊥AC，知∠ACD=90°，AD是⊙O的直径，则OC是⊙O的半径；根据∠A=∠B=30°，OA=OC，可得∠BCO=∠ACB-∠ACO=90°，BC⊥OC，故BC是⊙O的切线．
（1）解：作的垂直平分线交于点，以点为圆心，的长为半径作圆，即为所求；
（2）证明：连接，
∵，
∴，
∴是的直径，
∴是的半径，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是的切线．
22．如图，在矩形中，A，C两点分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上． 反比例函数的图象经过点，一次函数的图象与反比例函数的图象交于B，D两点，已知点D的横坐标为2．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）直接写出一次函数大于反比例时x的取值范围；
（3）在反比例函数的图象上是否存在点P，使得，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵在双曲线上，
∴，
∴反比例函数解析式为：，
当时，，
∴；
∵，在直线上，
∴，
解得：，
∴一次函数的表达式为；
（2）解：观察图象得：当或时，一次函数的图象位于反比例函数图象的上方，
∴一次函数大于反比例时x的取值范围为或；
（3）解：存在；∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
设点的横坐标为，
，
∵，
∴，
解得：或，
当时，；当时，；
∴存在点或，使．
【知识点】坐标与图形性质；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；矩形的性质
【解析】【分析】 本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数与几何的综合应用，矩形的性质 ．正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键．（1）将点的横纵坐标相乘，求出的值，进而求出点坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式即可；
（2）由图象可得即可；
（3）设点的横坐标为，求出，利用可得，解方程即可求出点P的坐标．
（1）解：∵在双曲线上，
∴，
∴反比例函数解析式为：，
当时，，
∴；
∵，在直线上，
∴，解得：，
∴一次函数的表达式为；
（2）解：观察图象得：当或时，一次函数的图象位于反比例函数图象的上方，
∴一次函数大于反比例时x的取值范围为或；
（3）解：存在；
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
设点的横坐标为，
，
∵，
∴，
解得：或，
当时，；当时，；
∴存在点或，使．
23．水果批发市场的水果批发价格每天随市场供需变化而波动．第一次商家甲用600元买某种水果，商家乙用900元买同一种水果，结果乙买到的重量比甲多30千克．
（1）求该水果第一次的批发价格；
（2）若第二次水果价格发生变化，每千克批发价比第一次降低了2元．商家甲仍购买与第一次相同重量的这种水果，商家乙仍花费与第一次相同的金额购买这种水果．分别求甲、乙两次购买这种水果的平均单价；
（3）在水果批发市场中，有人习惯每次进固定重量的货，有人习惯每次花固定金额进货．从长期来看，哪种进货方式更合算 请运用所学的数学知识说明理由．
【答案】（1）解：设该水果第一次的批发价格为a元/千克，商家甲买到的重量为b千克，
根据题意得：，
解得：，
答：该水果第一次的批发价格为10元/千克
（2）解：由（1）得该水果第一次的批发价格为10元/千克，商家甲第一次买到的重量为60千克，商家乙第一次买到的重量为90千克，
所以第二次水果价格为10-2=8（元/千克），
商家甲购买这种水果的平均单价为：（元/千克），
商家乙购买这种水果的平均单价为：（元/千克）
（3）解：由（2）可知，
所以从长期来看，每次花固定金额进货更合算．
【知识点】有理数混合运算的实际应用；解二元二次方程组；有理数大小比较的实际应用
【解析】【分析】（1）依据题意，设该水果第一次的批发价格为a元/千克，商家甲买到的重量为b千克，根据题意列出式子进而计算可以得解；
（2）依据题意，由（1）得，第一次批发价为10元/千克，则第二次批发单价为：10 2＝8（元/千克），又甲第一次购买的重量：600÷10＝60（千克），甲第二次购买花费：60×8＝480（元），故甲两次总花费：600＋480＝1080（元），结合甲两次总重量：60＋60＝120（千克），可得甲的平均单价＝＝9（元/千克），同理计算可得乙的平均单价，进而得解；
（3）依据题意，设两次进货的单价分别为m元/千克、n元/千克（m＞0，n＞0，且m≠n），通过计算两种方式的平均单价进行比较进而得解．
24．已知，如图，抛物线与轴正半轴交于、两点，与轴交于点，直线经过、两点．
（1）直接写出抛物线的解析式；
（2）为抛物线上一点，若点关于直线对称点落在轴上，求点坐标；
（3）现将抛物线平移，保持顶点在直线，若平移后的抛物线与直线交于、两点．
①求证：的长度为定值；
②结合（2）的条件，求的周长的最小值．
【答案】（1）解：在中，令，得，令，得，
∴，；
∵抛物线与x轴正半轴交于A、B两点，与y轴交于点C，
∴将点，坐标代入得：
，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：如图，
∵，
∴，
∵点P关于的对称点Q在y轴上，
∴，
∴，即轴，
∴点P的纵坐标为，
令，
解得或（舍去），
∴；
（3）解：①设平移后的抛物线的顶点为，
∴平移后的抛物线的解析式为，
令，
整理得，
设，，
∴，，
∴，
∴的长度为；
②如图，作，并令，连接，
由（2）得点关于对称，
∴；
由题可知，，，，则只需要求的最小值即可．
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，即的最小值，即的长，
设直线的解析式为，
把，代入得，
解得，
∴设直线的解析式为，
∵，
∴设直线的解析式为，
把代入得，
∴直线的解析式为，
联立方程组，
解得，
∴，
∴，
∴的周长的最小值为．
【知识点】二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式；二次函数-线段周长问题
【解析】【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，抛物线的平移，待定系数法求函数解析式，掌握二次函数的图象及性质，轴对称的性质，正确作出图形是解题关键．
（1）由可求出，，把，代入，可得，解方程组求得，即可得出抛物线的解析式；
（2）由可得，由点P关于的对称点Q在y轴上得轴，得出点P的纵坐标为，列方程，求解得或（舍去），故可得点的坐标；
（3）①先求出平移后的抛物线的解析式为，再利用，得，，最后利用两点间的距离公式求解即可；
②作，连接，先求出的最小值，即的长，最后根据的周长的最小值，即，得解．
（1）解：在中，令，得，令，得，
∴，；
∵抛物线与x轴正半轴交于A、B两点，与y轴交于点C，
∴将点，坐标代入得：
，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：如图，
∵，
∴，
∵点P关于的对称点Q在y轴上，
∴，
∴，即轴，
∴点P的纵坐标为，
令，
解得或（舍去），
∴；
（3）解：①设平移后的抛物线的顶点为，
∴平移后的抛物线的解析式为，
令，
整理得，
设，，
∴，，
∴，
∴的长度为；
②如图，作，并令，连接，
由（2）得点关于对称，
∴；
由题可知，，，，则只需要求的最小值即可．
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，即的最小值，即的长，
设直线的解析式为，
把，代入得，
解得，
∴设直线的解析式为，
∵，
∴设直线的解析式为，
把代入得，
∴直线的解析式为，
联立方程组，
解得，
∴，
∴，
∴的周长的最小值为．
25．某兴趣小组在数学活动中，对四边形内两条互相垂直的线段进行了如下探究：
【问题提出】
（1）如图1，在正方形中，点E、F分别是上的点，连接，，则线段与的数量关系为_____；
【问题研究】
（2）如图2，在矩形中，，，点E、F分别是边上的点，点G是边上一点，连接，若，求的值；
【问题研究】
（3）如图3，在矩形中，，，点E、F分别在边上，将四边形沿翻折，点B的对应点G恰好落在上，点A的对应点是点H，求的最小值．
【答案】解：（1）；
（2）如图2，
作，交于X，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
同理（1）可得：，
∴，
∴，
∴；
（3）如图，连接，，作点B关于的对称点R，连接，，
由对称性可得，，，，
由（2）得，，
∴，
当A、G、R共线时，有最小值，最小值为的长，
∴的最小值为的长，
∴的最小值为的长，
∵，，，
∴，
∴的最小值为，
∴的最小值．
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】（1）解：如图1，设、交于点O，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
【分析】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，折叠的性质，全等三角形的判定和性质， 轴对称的性质等知识，解决问题的关键是作根据轴对称的性质转化线段．
（1）设、交于点O，根据正方形的性质得，，证得，根据可证明，即可得；
（2）作，交于X，证明，得，从而可得答案；
（3）连接，，作点B关于的对称点R，连接，，由对称性可得，，，，由（2）可得由（2）得，，得；当A、G、R共线时，有最小值，即最小，最小值为的长，利用勾股定理求得，进而可求解．
1 / 12026年广东省广州市铁一中学中考二模数学试题
1．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（　　）．
A．温州博物馆
B．西藏博物馆
C．广东博物馆
D．湖北博物馆
2．太阳的半径约为，将数据696000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
3．下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．如图是根据我市某天七个整点时的气温绘制成的统计图，则这七个整点时气温的中位数和众数分别是（　　）
A．中位数31，众数是22 B．中位数是22，众数是31
C．中位数是26，众数是22 D．中位数是22，众数是26
5．已知⊙O的半径是8，点P到圆心O的距离d为方程的一个根，则点P在（　　）
A．的内部 B．的外部
C．上或的内部 D．上或的外部
6．《算学启蒙》是我国古代的数学著作，其中有一道题：“今有罗七尺，绫九尺，其价適等，只云绫尺价不及罗尺价三十六文．问：二色尺价各几何？”意思是：7尺罗类丝绸和9尺绫类丝绸的价格相同，每尺绫类丝绸的价格比罗类丝绸少36文，问这两类丝绸每尺的价格各是多少文？设罗类丝绸每尺的价格为x文，绫类丝绸每尺的价格为y文，则可以列出的方程组为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，是的直径，是的切线，点B为切点，若，，则劣弧长为（ ）．
A． B． C． D．
8．如图，吊灯外罩呈圆锥形，它的底面周长为，侧面积为，则该吊灯外罩的高是（　　）．
A． B． C． D．
9．如图，在平面直角坐标系中，将绕点A顺时针旋转到的位置，点B，O分别落在点，处，点在x轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，……依次进行下去，若点，，则点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
10．已知抛物线经过两点，下列结论：①②抛物线在处取得最值；③无论m取何值，均满足；④若为该抛物线上的点，当时，一定成立．正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．要使 有意义，则x的取值范围是　 　．
12．如图，，，垂足为，，则　 　．
13．一次函数的图象经过原点，则y随x的增大而 　 　 .（填“增大”或“减小”）
14．如图，在RtABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，线段AB的垂直平分线ED分别交AC、AB于点D、E，连接BD．若CD，则AD的长为　 　．
15．定义新运算“※”：对于实数m，n，p，q，有，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，例如：．若关于x的方程：有两个实数根，则k的取值范围是　 　．
16．如图，在边长为的正方形的对角线上取一点，使，连结并延长至点，连结，使，与相交于点．有下列结论：①；②；③；④点是边上一动点，连结，将沿翻折，点落在点处，连结交于点，连结，则的最小值为其中正确的结论有　 　．（填序号）
17．解不等式组．
18．如图，菱形中，过点分别作边上的高，求证：．
19．已知．
（1）化简；
（2）若为方程的一个解，求的值．
20．某单位食堂为全体职工提供了A，B，C，D四种套餐，为了解职工对这四种套餐的喜好情况，单位随机抽取240名职工进行“你最喜欢哪一种套餐（必选且只选一种）”问卷调查．根据调查结果绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如下：
（1）扇形统计图中“C”对应扇形的圆心角的大小为_______；
（2）该单位全体职工共960名，请依据本次调查结果估计全体职工中最喜欢B套餐的人数为__________；
（3）现从甲、乙、丙、丁四名职工中任选两人担任“食品安全监督员”，请用树状图或列表法求甲被选到的概率．
21．如图，已知在等腰中，，点D为边上一点，且，为的外接圆．
（1）尺规作图：求作（保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）求证：是切线．
22．如图，在矩形中，A，C两点分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上． 反比例函数的图象经过点，一次函数的图象与反比例函数的图象交于B，D两点，已知点D的横坐标为2．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）直接写出一次函数大于反比例时x的取值范围；
（3）在反比例函数的图象上是否存在点P，使得，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
23．水果批发市场的水果批发价格每天随市场供需变化而波动．第一次商家甲用600元买某种水果，商家乙用900元买同一种水果，结果乙买到的重量比甲多30千克．
（1）求该水果第一次的批发价格；
（2）若第二次水果价格发生变化，每千克批发价比第一次降低了2元．商家甲仍购买与第一次相同重量的这种水果，商家乙仍花费与第一次相同的金额购买这种水果．分别求甲、乙两次购买这种水果的平均单价；
（3）在水果批发市场中，有人习惯每次进固定重量的货，有人习惯每次花固定金额进货．从长期来看，哪种进货方式更合算 请运用所学的数学知识说明理由．
24．已知，如图，抛物线与轴正半轴交于、两点，与轴交于点，直线经过、两点．
（1）直接写出抛物线的解析式；
（2）为抛物线上一点，若点关于直线对称点落在轴上，求点坐标；
（3）现将抛物线平移，保持顶点在直线，若平移后的抛物线与直线交于、两点．
①求证：的长度为定值；
②结合（2）的条件，求的周长的最小值．
25．某兴趣小组在数学活动中，对四边形内两条互相垂直的线段进行了如下探究：
【问题提出】
（1）如图1，在正方形中，点E、F分别是上的点，连接，，则线段与的数量关系为_____；
【问题研究】
（2）如图2，在矩形中，，，点E、F分别是边上的点，点G是边上一点，连接，若，求的值；
【问题研究】
（3）如图3，在矩形中，，，点E、F分别在边上，将四边形沿翻折，点B的对应点G恰好落在上，点A的对应点是点H，求的最小值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：、该图形绕中心旋转后能与原图形重合，是中心对称图形，故本选项符合题意；
、该图形绕中心旋转后不能与原图形重合，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
、该图形绕中心旋转后不能与原图形重合，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
、该图形绕中心旋转后不能与原图形重合，不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故答案为：A．
【分析】本题考查了中心对称图形， 结合中心对称图形的定义对各个选项进行判断即可．
2．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：696000用科学记数法表示为：.
故答案为：A.
【分析】根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数判断即可.一般情况下，n等于小数点移动的位数，小数点向左移动时，n为正整数，小数点向右移动，n为负整数.
3．【答案】C
【知识点】单项式乘多项式；负整数指数幂；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故A错误；
B、不是同类项，不能合并，故B错误；
C、，故C正确；
D、，故D错误；
故答案为：C
【分析】
根据积得乘方得，可判断A；根据同类项得合并法则不是同类项，不能合并，可判断B；根据负指出幂得，可判断C；根据单项式乘以多项式得法则得，可判断D，逐一判断即可解答.
4．【答案】C
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：七个整点时数据从小到大排列为：22，22，23，26，28，30，31，
∴中位数为26，众数为22，
故答案为：C．
【分析】中位数是指将一组数据从小到大排列后，位于中间位置的数值。如果数据个数为奇数，则中位数就是正中间的那个数；如果数据个数为偶数，则中位数是中间两个数的平均值。众数是一组数据中出现次数最多的数值。本题先将七个整点时数据从小到大排列，然后根据中位数、众数的定义即可得出答案。
5．【答案】A
【知识点】因式分解法解一元二次方程；点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：解方程可得，，，
∵点P到圆心O的距离d为方程的一个根，
∴，
∴点P在的内部，
故选A
【分析】根据题意解一元二次方程得到解，进而根据点与圆的关系结合点到圆心的距离即可求解。
6．【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵设罗类丝绸每尺价格为文，绫类丝绸每尺价格为文，
根据“7尺罗类丝绸和9尺绫类丝绸价格相等”，可得，
根据“每尺绫类丝绸的价格比罗类丝绸少36文”，可得，
∴所列方程组为，
故答案为：A．
【分析】 本题考查了列二元一次方程组， 设绫每尺价x文，罗每尺价y文，根据7尺绫类丝绸和9尺罗类丝绸的价格相同， 每尺绫类丝绸的价格比罗类丝绸少36文，即可列出对应方程组．
7．【答案】C
【知识点】圆周角定理；切线的性质；弧长的计算；解直角三角形
【解析】【解答】解：∵是的直径，是的切线，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
∴劣弧的长为．
故答案为：180
【分析】 本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，直角三角形的性质以及弧长公式，是的直径，是的切线得，由得，可求出，得，再由圆周角定理得到，最后根据弧长公式求出劣弧的长为．
8．【答案】B
【知识点】勾股定理；圆锥的计算
【解析】【解答】解：∵圆锥的底面周长为，
∴圆锥的底面半径为，
∵侧面积为，
∴圆锥的母线长为，
∴该吊灯外罩的高是．
故答案为：B
【分析】先根据题意求出圆锥的底面半径，进而求出母线，再根据勾股定理即可求解。
9．【答案】B
【知识点】点的坐标；旋转的性质；坐标与图形变化﹣旋转；用代数式表示图形变化规律；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：∵点的坐标为，点的坐标为，点为坐标原点
∴，
∴在中，根据勾股定理可得：
∵ 将绕点顺时针旋转到 ，点在轴上
∴，点的坐标为
∵将 绕点顺时针旋转到 ，点在轴上
∴，点的坐标为
∵将绕点顺时针旋转到，点在轴上
∴，点在的正上方，点的坐标为
∵将绕点顺时针旋转到，点在轴上
∴，点的坐标为，点的坐标为
∵ 将绕点顺时针旋转到 ，点在轴上
∴，点的坐标为
∵ 将绕点顺时针旋转到
∴ ，点在的正上方，所以点的坐标为
通过观察点和 的坐标，可以发现规律：
对于偶数下标点，其坐标恒为，坐标为
即点的坐标为
∵的下标为，是偶数
∴令，解得
∴点的坐标为
∴点的坐标为．
故答案为：B．
【分析】本题考查了勾股定理、图形旋转的性质和点的坐标变化规律探究，先利用勾股定理求出的长度，再求出，，， 的坐标规律，最后根据规律计算的坐标．
10．【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：当时，抛物线与x轴有两个交点，
∴，
∵m的值不确定，
∴不一定成立，
故①错误；
∵抛物线过两点，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴当时，抛物线取得最值，
故②正确；
∵两点均在抛物线上，
∴，
解得，
故无论m取何值，均满足，
故③正确；
当时，抛物线开口向上，
∴在直线1的左侧，y随x的增大而减小，
∴当时，；
当时，抛物线开口向下，
∴在直线的左侧，y随x的增大而增大，
当时，此时，
故④错误．
故选：B．
【分析】本题考查二次函数的图象与系数关系、二次函数的对称性与增减性，需结合已知两点的坐标特征逐一分析四个结论。抛物线经过两个纵坐标相同的点，仅能说明两点关于对称轴对称，由于的取值不确定，无法判断抛物线与轴的交点个数，因此不一定成立，仅当时两点落在轴上，才能判定抛物线与轴有两个交点。根据抛物线上纵坐标相等的两点关于对称轴对称，由对称轴公式，代入两点横坐标计算可得对称轴为直线，因此抛物线在处取得顶点，对应函数的最值。将两点坐标分别代入抛物线解析式，得到关于的二元方程组，通过加减消元消去参数，即可推导得出，该等式与的取值无关。抛物线的增减性由开口方向决定，即由的符号决定：当时抛物线开口向上，对称轴左侧随的增大而减小，此时时；当时抛物线开口向下，对称轴左侧随的增大而增大，此时时，因此该结论不一定成立。
11．【答案】x≥4
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：x﹣4≥0，
解得：x≥4．
故答案为：x≥4．
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，就可以求解．
12．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵
∴，
故答案为：．
【分析】先根据三角形内角和结合题意求出∠ABC的度数，从而根据平行线的性质即可求解。
13．【答案】增大
【知识点】一次函数的性质
【解析】【解答】解：由题意可得：且，解得
则一次函数为：
因为
所以y随x的增大而增大，
故答案为：增大.
【分析】将点（0，0）代入求出，即可得到一次函数的解析式，再利用一次函数的性质与系数的关系可得答案。
14．【答案】2
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵DE垂直平分AB，
∴AD＝BD，
∴∠A＝∠ABD，
∵∠A＝15°，
∴∠ABD＝15°，
∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝15°+15°＝30°，
∵∠C＝90°，CD，
∴BC＝1，
∴BD＝2BC＝2，
∴AD＝BD＝2．
故答案为：2．
【分析】先根据垂直平分线的性质得到AD＝BD，进而结合等腰三角形的性质和含30°角的直角三角形的性质得到BC＝1，从而得到BD，再结合题意即可求解。
15．【答案】且
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】由新定义的运算法则可得出：．
∵，
∴．
∵该方程有两个实数根，
∴且，
∴且．
故答案为：且．
【分析】根据新定义运算得到，进而根据一元二次方程根的判别式结合题意即可求出取值范围。
16．【答案】①②④
【知识点】解直角三角形；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，点是正方形的对角线上的点，
∴，
∴，
∴，故①正确；
如图，在上取一点，使得，
∵四边形是正方形，是对角线，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，故②正确；
如图，连接交于点，则，过点分别作的垂线，垂足分别为，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵在正方形中，，
∴
∴
∵
∴
∴
在中，
∵
∴
∴
∴，故③错误
如图
∵
∴
即
∵点是边上一动点，连结，将沿翻折，点落在点处，
∴
∴
∴在以为直径的圆上运动
取的中点，连接，
∴当在上时，取得最小值，最小值为的长，
∴
∴
∴
∴，故④正确
故答案为：①②④．
【分析】本题考查了折叠的性质，正方形的性质，解直角三角形，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，求一点到圆上的距离的最值问题，勾股定理， 根据正方形的性质得出，利用SAS证明即可判断①，在上取一点，使得，证明是等边三角形，，，再得出NF=EC利用证明，得 ，从而判断②正确； 连接交于点，则，过点分别作的垂线，垂足分别为， 先求出，得，求出，在中得，进而得，求出，求出，然后证明，根据相似三角形的性质即可判断③，取的中点，连接，根据题意得出在以为直径的圆上运动，进而得出当在上时，取得最小值，最小值为的长，勾股定理求得的长，即可求解．
17．【答案】解：
解不等式①，去括号得，
移项，合并同类项得，；
解不等式②，去分母得，
移项，合并同类项得，；
故不等式组的解集为：．
【知识点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组
【解析】【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，分别求出各不等式的解集，再根据“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”求出其公共解集即可．
18．【答案】证明：在四边形是菱形，，
，
，
在和中，
，
∴．
【知识点】菱形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】先利用菱形的性质可得，再结合，利用“AAS”证出，最后利用全等三角形的性质可得.
19．【答案】（1）解：
．
（2）是方程的解，
，
，
，
．
【知识点】分式的化简求值；一元二次方程的根
【解析】【分析】（1）根据分式的化简与性质结合题意进行通分、合并、约分化简即可求解；
（2）根据题意将代入方程，进而化简即可求解。
（1）解：
．
（2）是方程的解，
，
，
，
．
20．【答案】（1）108
（2）336
（3）解：画树状图得出所有等可能的结果，如下图：
一共12种结果，选两人，甲被选到的结果数为6，
甲被选中的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；概率公式；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：喜欢A套餐的人数：（人），
喜欢C套餐的人数：（人），
“C”对应扇形的圆心角为：．
（2）解：喜欢B套餐的人所占的比例，
全体职工中喜欢B套餐的人数为（人）．
【分析】 本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够理解条形统计图和扇形统计图，熟练掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解答本题的关键．
（1）用240乘以扇形统计图中“A”所占的百分比可得最喜欢A套餐的人数；再求出喜欢C套餐的人数，可得出其所占的百分比，再乘以360°即可得扇形统计图中“C”对应扇形的圆心角的大小．
（2）根据用样本估计总体，用960乘以本次调查中B级的学生人数所占的百分比，即可得出答案．
（3）画树状图得出所有等可能的结果数以及甲、乙被选到的结果数，再利用概率公式可得出答案．
（1）解：喜欢A套餐的人数：（人），
喜欢C套餐的人数：（人），
“C”对应扇形的圆心角为：．
（2）解：喜欢B套餐的人所占的比例，
全体职工中喜欢B套餐的人数为（人）．
（3）解：画树状图得出所有等可能的结果，如下图：
一共12种结果，选两人，甲被选到的结果数为6，
甲被选中的概率为．
21．【答案】（1）解：作的垂直平分线交于点，以点为圆心，的长为半径作圆，即为所求；
（2）证明：连接，
∵，
∴，
∴是的直径，
∴是的半径，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是的切线．
【知识点】切线的判定；尺规作图-垂直平分线；尺规作图-过不在同一直线上的三点作圆
【解析】【分析】本题主要考查尺规作图-画圆，作线段垂直平分线，证明直线是圆的切线，解答本题的关键是掌握圆的相关性质及线段垂直平分线的尺规作图方法．（1）作的垂直平分线交于点，以点为圆心，的长为半径作圆，即为所求；
（2）连接OC，由CD⊥AC，知∠ACD=90°，AD是⊙O的直径，则OC是⊙O的半径；根据∠A=∠B=30°，OA=OC，可得∠BCO=∠ACB-∠ACO=90°，BC⊥OC，故BC是⊙O的切线．
（1）解：作的垂直平分线交于点，以点为圆心，的长为半径作圆，即为所求；
（2）证明：连接，
∵，
∴，
∴是的直径，
∴是的半径，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是的切线．
22．【答案】（1）解：∵在双曲线上，
∴，
∴反比例函数解析式为：，
当时，，
∴；
∵，在直线上，
∴，
解得：，
∴一次函数的表达式为；
（2）解：观察图象得：当或时，一次函数的图象位于反比例函数图象的上方，
∴一次函数大于反比例时x的取值范围为或；
（3）解：存在；∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
设点的横坐标为，
，
∵，
∴，
解得：或，
当时，；当时，；
∴存在点或，使．
【知识点】坐标与图形性质；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；矩形的性质
【解析】【分析】 本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数与几何的综合应用，矩形的性质 ．正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键．（1）将点的横纵坐标相乘，求出的值，进而求出点坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式即可；
（2）由图象可得即可；
（3）设点的横坐标为，求出，利用可得，解方程即可求出点P的坐标．
（1）解：∵在双曲线上，
∴，
∴反比例函数解析式为：，
当时，，
∴；
∵，在直线上，
∴，解得：，
∴一次函数的表达式为；
（2）解：观察图象得：当或时，一次函数的图象位于反比例函数图象的上方，
∴一次函数大于反比例时x的取值范围为或；
（3）解：存在；
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
设点的横坐标为，
，
∵，
∴，
解得：或，
当时，；当时，；
∴存在点或，使．
23．【答案】（1）解：设该水果第一次的批发价格为a元/千克，商家甲买到的重量为b千克，
根据题意得：，
解得：，
答：该水果第一次的批发价格为10元/千克
（2）解：由（1）得该水果第一次的批发价格为10元/千克，商家甲第一次买到的重量为60千克，商家乙第一次买到的重量为90千克，
所以第二次水果价格为10-2=8（元/千克），
商家甲购买这种水果的平均单价为：（元/千克），
商家乙购买这种水果的平均单价为：（元/千克）
（3）解：由（2）可知，
所以从长期来看，每次花固定金额进货更合算．
【知识点】有理数混合运算的实际应用；解二元二次方程组；有理数大小比较的实际应用
【解析】【分析】（1）依据题意，设该水果第一次的批发价格为a元/千克，商家甲买到的重量为b千克，根据题意列出式子进而计算可以得解；
（2）依据题意，由（1）得，第一次批发价为10元/千克，则第二次批发单价为：10 2＝8（元/千克），又甲第一次购买的重量：600÷10＝60（千克），甲第二次购买花费：60×8＝480（元），故甲两次总花费：600＋480＝1080（元），结合甲两次总重量：60＋60＝120（千克），可得甲的平均单价＝＝9（元/千克），同理计算可得乙的平均单价，进而得解；
（3）依据题意，设两次进货的单价分别为m元/千克、n元/千克（m＞0，n＞0，且m≠n），通过计算两种方式的平均单价进行比较进而得解．
24．【答案】（1）解：在中，令，得，令，得，
∴，；
∵抛物线与x轴正半轴交于A、B两点，与y轴交于点C，
∴将点，坐标代入得：
，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：如图，
∵，
∴，
∵点P关于的对称点Q在y轴上，
∴，
∴，即轴，
∴点P的纵坐标为，
令，
解得或（舍去），
∴；
（3）解：①设平移后的抛物线的顶点为，
∴平移后的抛物线的解析式为，
令，
整理得，
设，，
∴，，
∴，
∴的长度为；
②如图，作，并令，连接，
由（2）得点关于对称，
∴；
由题可知，，，，则只需要求的最小值即可．
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，即的最小值，即的长，
设直线的解析式为，
把，代入得，
解得，
∴设直线的解析式为，
∵，
∴设直线的解析式为，
把代入得，
∴直线的解析式为，
联立方程组，
解得，
∴，
∴，
∴的周长的最小值为．
【知识点】二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式；二次函数-线段周长问题
【解析】【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，抛物线的平移，待定系数法求函数解析式，掌握二次函数的图象及性质，轴对称的性质，正确作出图形是解题关键．
（1）由可求出，，把，代入，可得，解方程组求得，即可得出抛物线的解析式；
（2）由可得，由点P关于的对称点Q在y轴上得轴，得出点P的纵坐标为，列方程，求解得或（舍去），故可得点的坐标；
（3）①先求出平移后的抛物线的解析式为，再利用，得，，最后利用两点间的距离公式求解即可；
②作，连接，先求出的最小值，即的长，最后根据的周长的最小值，即，得解．
（1）解：在中，令，得，令，得，
∴，；
∵抛物线与x轴正半轴交于A、B两点，与y轴交于点C，
∴将点，坐标代入得：
，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：如图，
∵，
∴，
∵点P关于的对称点Q在y轴上，
∴，
∴，即轴，
∴点P的纵坐标为，
令，
解得或（舍去），
∴；
（3）解：①设平移后的抛物线的顶点为，
∴平移后的抛物线的解析式为，
令，
整理得，
设，，
∴，，
∴，
∴的长度为；
②如图，作，并令，连接，
由（2）得点关于对称，
∴；
由题可知，，，，则只需要求的最小值即可．
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，即的最小值，即的长，
设直线的解析式为，
把，代入得，
解得，
∴设直线的解析式为，
∵，
∴设直线的解析式为，
把代入得，
∴直线的解析式为，
联立方程组，
解得，
∴，
∴，
∴的周长的最小值为．
25．【答案】解：（1）；
（2）如图2，
作，交于X，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
同理（1）可得：，
∴，
∴，
∴；
（3）如图，连接，，作点B关于的对称点R，连接，，
由对称性可得，，，，
由（2）得，，
∴，
当A、G、R共线时，有最小值，最小值为的长，
∴的最小值为的长，
∴的最小值为的长，
∵，，，
∴，
∴的最小值为，
∴的最小值．
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】（1）解：如图1，设、交于点O，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
【分析】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，折叠的性质，全等三角形的判定和性质， 轴对称的性质等知识，解决问题的关键是作根据轴对称的性质转化线段．
（1）设、交于点O，根据正方形的性质得，，证得，根据可证明，即可得；
（2）作，交于X，证明，得，从而可得答案；
（3）连接，，作点B关于的对称点R，连接，，由对称性可得，，，，由（2）可得由（2）得，，得；当A、G、R共线时，有最小值，即最小，最小值为的长，利用勾股定理求得，进而可求解．
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