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广东揭阳市普宁市红领巾实验学校2025-2026学年度第二学期第一次素质测评数学科试卷
1．水分子的直径为0.0000000004米，这个数用科学记数法表示为（　　）米
A． B． C． D．
2．下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．下列式子中，正确的有（　　）
①②③④
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
4．下列各式计算正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
5．下列多项式乘法，不能用平方差公式的是（　　）
A． B．
C． D．
6．若代数式是完全平方式，则的值为（　　）
A． B． C．或 D．或
7．下列等式中能够成立的是（　　）
A． B．
C． D．
8．若，，a为有理数，则的值是（　　）
A．为正数 B．为负数 C．为非正数 D．不能确定
9．已知，则的值为（　　）
A．27 B．9 C．6 D．1
10．如图，将两张边长分别为6和5的正方形纸片分别按图①和图②两种方式放置在长方形内（图①和图②中两张正方形纸片均有部分重叠），未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示．若长方形中边、的长度分别为m、n．设图①中阴影部分面积为，图②中阴影部分面积为，当时，的值为（　　）
A．6 B．15 C．18 D．30
11．　 　．
12．若，，则　 　．
13．运用简便方法计算：＝　 　．
14．如图，小明制作了一些A类、B类、C类卡片，其中A，B两类卡片都是正方形，C类卡片是长方形．要拼出一个宽为、长为的大长方形，小明需要准备C类卡片　 　张．
15．两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为．当时，则图3中阴影部分的面积　 　．
16．下述四个结论中：其中正确的是　 　（填序号）．
①若与是同类项，则；
②若关于x的多项式的运算结果中不含项，则常数项为；
③已知2个多项式分别为：，，无论x取何值，一定都有；
④若，，则的结果只有一种．
17．计算：
（1）
（2）
18．先化简，再求值：，其中．
19．如图，某校园内有一块长为，宽为的长方形活动场地．计划在场地中间开辟一个长为，宽为的长方形舞台用于文艺表演，舞台之外的阴影部分将铺设塑胶跑道供学生活动．
（1）求铺设塑胶跑道区域（阴影部分）的面积；
（2）若，，铺设塑胶跑道的价格为元，则铺设塑胶跑道共需多少元？
20．一个正方体盒子的棱长为．（答案均用科学记数法表示）
（1）这个正方体的体积是多少？
（2）若有一个小立方块的棱长为，则需要多少个这样的小立方块才能将正方体盒子装满？
21．图①是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形．
（1）用两种方法表示图②中的阴影部分的面积；
（2）请运用你得到的关系式计算：若，，求的值；
（3）若，求的值．
22．阅读下列材料：
利用完全平方公式，可以把多项式（）变形为的形式，进而解决多项式的最大值或最小值问题．
例如：①，
∵，
∴．
∴当时，多项式的最小值为；
②，
∵，
∴．
∴当时，多项式的最大值为．
根据上述材料解决下列问题：
（1）【尝试应用】求多项式的最小值，并求出相应的x的值；
（2）【拓展延伸】如果多项式的最小值是，那么m的值为________；
（3）【迁移升华】：如图，某学校打算用18米长的篱笆围成一个长方形的花坛，如果设花坛的一边米，请求出x 为多少时，该花坛的面积最大，最大面积是多少平方米．
23．如图所示，边长为的正方形中有一个边长为的小正方形，图是由图中阴影部分拼成的一个长方形，设图中阴影部分面积为，图中阴影部分面积为．
（1）请直接用含和的代数式表示________，________；写出利用图形的面积关系所得到的公式___________（用式子表达）；
（2）应用公式计算：；
（3）应用公式计算：．
24．如图，长为，宽为的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为．
（1）小长方形的较长边为 （用代数式表示）；
（2）阴影A的一条较短边和阴影B的一条较短边之和为，是 的（填正确/错误）；阴影A和阴影B的周长值之和与 （填有关/无关），与 （填有关/无关）；
（3）设阴影A和阴影B的面积之和为S，是否存在使得S为定值，若存在请求出的值和该定值，若不存在请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：．
故答案为：C．
【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
2．【答案】D
【知识点】单项式乘单项式；平方差公式及应用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，计算错误，不符合题意；
B、，计算错误，不符合题意；
C、，计算错误，不符合题意；
D、，计算正确，符合题意．
故答案为：D．
【分析】本题主要考查了平方差公式，积的乘方与合并同类项，单项式乘单项式．根据平方差公式、积的乘方、合并同类项法则以及单项式乘以单项式的计算方法进行判断．
3．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：① ∵，式子右边为，
∴①错误．
②∵，式子右边为，
∴②错误．
③∵，，左右两边相等，
∴③正确．
④∵，左右两边相等，
∴④正确．
综上，正确的式子共2个．
故答案为：C.
【分析】根据积的乘方，同底数幂的乘除法、合并同类项进行计算，进而即可求解。
4．【答案】B
【知识点】单项式乘单项式
【解析】【解答】解：A．，故该选项错误，不符合题意；
B．，故该选项正确，符合题意；
C．，故该选项错误，不符合题意；
D．，故该选项错误，不符合题意．
故答案为：B．
【分析】本题考查了单项式与单项式相乘，根据单项式与单项式相乘，把他们的系数分别相乘，相同字母的幂分别相加，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式，计算即可．
5．【答案】C
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A、，相同项为，互为相反数的项为和，符合平方差公式的使用条件，可以用平方差公式计算，故选项A不符合题意；
B、，相同项为，互为相反数的项为和，符合平方差公式的使用条件，可以用平方差公式计算，故选项B不符合题意；
C、，两项都互为相反数，没有相同项，不符合平方差公式的使用条件，不能用平方差公式计算，故选项C符合题意；
D、，相同项为，互为相反数的项为和，符合平方差公式的使用条件，可以用平方差公式计算，故选项D不符合题意．
故答案为：C．
【分析】本题考查了平方差公式、完全平方公式，根据平方差公式、完全平方公式，进行计算即可.
6．【答案】C
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：∵代数式是完全平方式，
∴
①当时，
，
∴
②当时，
，
∴
综上，的值为或．
故答案为：C．
【分析】本题主要考查了完全平方式，先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定k的值．
7．【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：、，该选项等式不成立，不符合题意；
、，该选项等式不成立，不符合题意；
、，该选项等式不成立，不符合题意；
、，该选项等式成立，符合题意．
故答案为：D．
【分析】本题主要考查完全平方公式，根据完全平方公式逐项判断即可．
8．【答案】B
【知识点】整式的加减运算；多项式乘多项式；偶次方的非负性
【解析】【解答】解：∵，
∴
∵为有理数，
∴
∴
∴，
即的值为负数．
故答案为：B．
【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，整式的减法以及非负数的减法，把代入中计算，判断差的正负即可得到结果．
9．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方运算；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：，
，
，
故答案为：B．
【分析】本题主要考查同底数幂的乘除法，先将原式中各幂的底数统一化为3，再利用幂的运算法则对原式变形，结合已知等式得到指数部分的值，最后计算出结果．
10．【答案】B
【知识点】单项式乘多项式；整式的混合运算；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：图①中阴影部分面积，
图②中阴影部分面积，
，
当时，的值为．
故答案为：B．
【分析】根据题意分别表示出图①和图②的阴影部分面积，进而得到，整体代入数值即可求解。
11．【答案】4
【知识点】同底数幂的除法
【解析】【解答】解：．
故答案为：4．
【分析】本题主要考查同底数幂的除法，根据“底数不变，指数相减”的运算法则进行计算即可．
12．【答案】
【知识点】平方差公式及应用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：根据平方差公式可得：
，
将，代入上式得：
，
等式两边同时除以得：．
故答案为：4．
【分析】本题主要考查平方差公式的应用，将分解为，再代入计算即可得到的值．
13．【答案】1
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：原式
．
故答案为：1．
【分析】本题主要考查平方差公式的应用，将原式中的变形，运用平方差公式计算即可．
14．【答案】15
【知识点】多项式乘多项式；单项式除以单项式
【解析】【解答】解：大长方形的面积，
∵C类卡片的面积是，
∴，
∴小明需要准备C类卡片15张．
故答案为：15．
【分析】 本题考查了多项式乘多项式， 根据大长方形的面积公式求出拼成大长方形的面积，再对比卡片的面积，即可求解．
15．【答案】30
【知识点】整式的加减运算；单项式乘多项式
【解析】【解答】解：由题意得，
，，
，
，
，
．
故答案为：30．
【分析】本题主要考查了整式运算的应用以及代数式求值， 根据正方形的面积之间的关系，即可用含a、b的代数式分别表示和，得出，再求出 ，整理后得，再整体代入求值即可．
16．【答案】①②③④
【知识点】整式的加减运算；多项式乘多项式；同类项的概念；化简含绝对值有理数
【解析】【解答】解：①若与是同类项，则相同字母的指数相同，即，，解得，，即，故正确．
②多项式展开后为，不含项，则，解得，常数项为，故正确．
③计算，由于，故，即恒成立，故正确．
④由，得，，原式化为．令，，，则原式．由于且，的值可能为两正一负或两负一正，代入计算均得0，故结果只有一种，故正确．
综上，正确的有①②③④．
故答案为：①②③④．
【分析】本题考查同类项的定义、整式的加减运算、绝对值的化简、多项式的大小比较等知识点，同类项定义是相同字母指数相等，分别列方程求m、n，比较是否相等可判断①；展开多项式合并同类项，令 项系数为0，求a，代入计算常数项可判断②；计算，判断结果是否恒为正数可判断③；利用替换分子分母，化简表达式，分符号情况讨论结果是否唯一可判断④．
17．【答案】（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
【知识点】同底数幂的乘法；零指数幂；负整数指数幂；积的乘方运算
【解析】【分析】本题主要考查整式的加减以及幂的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．（1）原式分别计算，，，然后再合并同类项即可得到答案；
（2）原式分别计算，，，然后计算加减法即可．
（1）
．
（2）
．
18．【答案】解：
；
∵，且，，
∴，，
∴，，
∴原式．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；偶次方的非负性；绝对值的非负性；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】本题主要考查整式的混合运算、偶次方的非负性以及绝对值的非负性，根据多项式乘多项式的乘法法则以及多项式乘以单项式乘法法则，将所求代数式变形为，根据偶次方的非负性以及绝对值的非负性，求得，，再代入计算，进而求得该式的值．
19．【答案】（1）解：∵长方形活动场地的长为，宽为，
∴长方形活动场地的面积为，
∵长方形舞台的长为，宽为，
∴长方形舞台的面积为，
∴塑胶跑道的面积为．
（2）解：∵，，
∴塑胶跑道的面积，
∵铺设塑胶跑道的价格为元，
∴铺设塑胶跑道共需（元）．
【知识点】多项式乘多项式；求代数式值的实际应用
【解析】【分析】 本题考查了整式的混合运算，以及代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
（1）阴影部分即塑胶跑道面积等于长方形活动场地的面积减去长方形舞台的面积，化简得到最简结果；
（2）把 ，代入（1）中所求代数式，得出塑胶跑道的面积，再乘以单价即可得答案．
（1）解：∵长方形活动场地的长为，宽为，
∴长方形活动场地的面积为，
∵长方形舞台的长为，宽为，
∴长方形舞台的面积为，
∴塑胶跑道的面积为．
（2）解：∵，，
∴塑胶跑道的面积，
∵铺设塑胶跑道的价格为元，
∴铺设塑胶跑道共需（元）．
20．【答案】（1）解：，
答：这个正方体的体积是；
（2）解：小立方块的体积为，
（个），
答：需要个这样的小立方块才能将正方体盒子装满．
【知识点】单项式乘单项式；负整数指数幂；单项式除以单项式；科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【分析】本题考查了正方体的体积、科学记数法，有理数的乘方运算和除法运算的应用，解题的关键是正确列出算式并准确计算．
（1）根据正方体的体积公式和单项式乘以单项式的运算法则求解，再利用科学记数法表示计算结果即可；
（2）先求出小立方块的体积，再用（1）的结论除以小立方块的体积即可得出答案． ．
（1）解：，
答：这个正方体的体积是；
（2）解：小立方块的体积为，
（个），
答：需要个这样的小立方块才能将正方体盒子装满．
21．【答案】（1）解：方法一：
阴影部分是边长为的正方形，因此面积为：．
方法二：
大正方形边长为，面积为，
四个小长方形总面积为，
因此阴影部分面积为：．
综上，阴影部分面积可表示为或者．
（2）解：由（1），得．
代入，，
原式
．
（3）解：设，，则
已知，
由完全平方公式：代入，
．
∴．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景；数形结合
【解析】【分析】 本题考查完全平方公式的几何背景，理解完全平方公式的结构特征是解决问题的前提，掌握公式的变形是正确解答的关键．（1）用两种不同的方式表示阴影部分的面积即可解答；
（2）用两种方法表示的阴影部分的面积相等即可解答；
（3）由（2）中的公式代入即可解答．
（1）解：方法一：
阴影部分是边长为的正方形，因此面积为：．
方法二：
大正方形边长为，面积为，
四个小长方形总面积为，
因此阴影部分面积为：．
综上，阴影部分面积可表示为或者．
（2）解：由（1），得．
代入，，
原式
．
（3）解：设，，则
已知，由完全平方公式：代入，
．
∴．
22．【答案】（1）解：，
∵，
∴．
∴当时，代数式的最小值为5；
（2）
（3）解：∵米，
∴（米），
∴长方形的面积，
∵，
∴长方形的面积，
∴当时，长方形的面积的最大值为，
即米时，该花坛的面积最大，最大面积是平方米
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】（2）解：，
∵，
∴，
当时，多项式的最小值为．
∴，
∴，
故答案为：；
【分析】本考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键．
（1）根据阅读材料即可求出答案；
（2），根据阅读材料和已知条件即可求出答案；
（3）由题意得到长方形的面积，根据阅读材料和已知条件即可求出答案．
（1）解：，
∵，
∴．
∴当时，代数式的最小值为5；
（2），
∵，
∴，
当时，多项式的最小值为．
∴
∴
（3）∵米，
∴（米），
∴长方形的面积，
∵，
∴长方形的面积，
∴当时，长方形的面积的最大值为，
即米时，该花坛的面积最大，最大面积是平方米
23．【答案】（1）；；
（2）解：由（1）得：，
原式，
，
，
．
（3）解：根据（1）中所得关系式可得，
原式，
，
，
．
【知识点】平方差公式及应用；平方差公式的几何背景
【解析】【解答】（1）解：依题得：，，
，
利用图形的面积关系所得到的公式为．
故答案为：；；．
【分析】本题考查平方差公式的几何背景与代数应用，通过图形面积关系推导公式，并灵活逆用公式进行连乘运算。
（1）图1的阴影为大正方形挖去小正方形，面积直接用大正方形面积减去小正方形面积；图2为拼接后的长方形，其长为，宽为，面积为长与宽的乘积。两个图形的阴影部分面积相等，由此即可得到平方差公式。
（2）将每一个括号内的利用平方差公式拆分为，拆分后所有的乘积项会形成交错约分的结构，中间的分数项可以全部抵消，仅剩首尾两项，计算首尾两项的乘积即可得到最终结果。
（3）观察式子结构，每一项均为的形式，符合连续使用平方差公式的特征。在原式前乘以（数值为1，不改变原式大小），构造出平方差公式的形式，随后连续套用平方差公式逐步合并计算，最终得到简化后的结果，再加上化简即可。
（1）解：依题得：，，
，
利用图形的面积关系所得到的公式为．
故答案为：；；．
（2）解：由（1）得：，
原式，
，
，
．
（3）解：根据（1）中所得关系式可得，
原式，
，
，
．
24．【答案】（1）
（2）正确，有关，无关
（3）解：∵阴影A的较长边为，较短边为，阴影B的较长边为，较短边为，
∴阴影A的面积为，
阴影B的面积为，
∴阴影A和阴影B的面积之和为
，
∴当时，为定值，定值为．
【知识点】整式的加减运算；多项式乘多项式
【解析】【解答】（1）解：∵大长方形的长为ycm，小长方形的宽为4cm，
∴小长方形的长为，
故答案为：；
（2）解：∵大长方形的宽为xcm，小长方形的长为，小长方形的宽为4cm，
∴阴影A的较短边为，
阴影B的较短边为，
∴阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为；
∵阴影A的较长边为，较短边为，
阴影B的较长边为，较短边为，
∴阴影A的周长为，
阴影B的周长为，
∴阴影A和阴影B的周长之和为，
∴阴影A和阴影B的周长之和与有关，与无关，
故答案为：正确，有关，无关；
【分析】本题考查列代数式与整式的混合运算，结合长方形的周长、面积公式，通过图形的边长关系推导结论。
（1）大长方形的长为，横向排布了3个小长方形的短边与1个小长方形的长边，小长方形短边长为4cm，因此小长方形的长边长度等于大长方形的长减去3个短边的总长度，即。
（2）先分别表示两个阴影的短边：阴影的较短边等于大长方形的宽减去2个小长方形短边的总长度；阴影的较短边等于大长方形的宽减去小长方形的长边长度。将两个短边长度相加并化简，与给出的代数式对比，即可判断正误。再分别根据长方形周长公式，写出阴影和阴影的周长表达式，相加后合并同类项，消去含的项，根据最终表达式即可判断周长和与、的相关性。
（3）分别用“长×宽”表示出阴影和阴影的面积，相加后展开并合并同类项，将式子整理为“含的一次项+常数项”的形式。若为定值，则含的项的系数必须为0，由此列方程解出的值，再代入表达式计算出对应的定值即可。
（1）解：∵大长方形的长为ycm，小长方形的宽为4cm，
∴小长方形的长为，
故答案为：；
（2）解：∵大长方形的宽为xcm，小长方形的长为，小长方形的宽为4cm，
∴阴影A的较短边为，
阴影B的较短边为，
∴阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为；
∵阴影A的较长边为，较短边为，
阴影B的较长边为，较短边为，
∴阴影A的周长为，
阴影B的周长为，
∴阴影A和阴影B的周长之和为，
∴阴影A和阴影B的周长之和与有关，与无关，
故答案为：正确，有关，无关；
（3）解：∵阴影A的较长边为，较短边为，
阴影B的较长边为，较短边为，
∴阴影A的面积为，
阴影B的面积为，
∴阴影A和阴影B的面积之和为
，
∴当时，为定值，定值为．
1 / 1广东揭阳市普宁市红领巾实验学校2025-2026学年度第二学期第一次素质测评数学科试卷
1．水分子的直径为0.0000000004米，这个数用科学记数法表示为（　　）米
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：．
故答案为：C．
【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
2．下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】单项式乘单项式；平方差公式及应用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，计算错误，不符合题意；
B、，计算错误，不符合题意；
C、，计算错误，不符合题意；
D、，计算正确，符合题意．
故答案为：D．
【分析】本题主要考查了平方差公式，积的乘方与合并同类项，单项式乘单项式．根据平方差公式、积的乘方、合并同类项法则以及单项式乘以单项式的计算方法进行判断．
3．下列式子中，正确的有（　　）
①②③④
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：① ∵，式子右边为，
∴①错误．
②∵，式子右边为，
∴②错误．
③∵，，左右两边相等，
∴③正确．
④∵，左右两边相等，
∴④正确．
综上，正确的式子共2个．
故答案为：C.
【分析】根据积的乘方，同底数幂的乘除法、合并同类项进行计算，进而即可求解。
4．下列各式计算正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】单项式乘单项式
【解析】【解答】解：A．，故该选项错误，不符合题意；
B．，故该选项正确，符合题意；
C．，故该选项错误，不符合题意；
D．，故该选项错误，不符合题意．
故答案为：B．
【分析】本题考查了单项式与单项式相乘，根据单项式与单项式相乘，把他们的系数分别相乘，相同字母的幂分别相加，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式，计算即可．
5．下列多项式乘法，不能用平方差公式的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A、，相同项为，互为相反数的项为和，符合平方差公式的使用条件，可以用平方差公式计算，故选项A不符合题意；
B、，相同项为，互为相反数的项为和，符合平方差公式的使用条件，可以用平方差公式计算，故选项B不符合题意；
C、，两项都互为相反数，没有相同项，不符合平方差公式的使用条件，不能用平方差公式计算，故选项C符合题意；
D、，相同项为，互为相反数的项为和，符合平方差公式的使用条件，可以用平方差公式计算，故选项D不符合题意．
故答案为：C．
【分析】本题考查了平方差公式、完全平方公式，根据平方差公式、完全平方公式，进行计算即可.
6．若代数式是完全平方式，则的值为（　　）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：∵代数式是完全平方式，
∴
①当时，
，
∴
②当时，
，
∴
综上，的值为或．
故答案为：C．
【分析】本题主要考查了完全平方式，先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定k的值．
7．下列等式中能够成立的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：、，该选项等式不成立，不符合题意；
、，该选项等式不成立，不符合题意；
、，该选项等式不成立，不符合题意；
、，该选项等式成立，符合题意．
故答案为：D．
【分析】本题主要考查完全平方公式，根据完全平方公式逐项判断即可．
8．若，，a为有理数，则的值是（　　）
A．为正数 B．为负数 C．为非正数 D．不能确定
【答案】B
【知识点】整式的加减运算；多项式乘多项式；偶次方的非负性
【解析】【解答】解：∵，
∴
∵为有理数，
∴
∴
∴，
即的值为负数．
故答案为：B．
【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，整式的减法以及非负数的减法，把代入中计算，判断差的正负即可得到结果．
9．已知，则的值为（　　）
A．27 B．9 C．6 D．1
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方运算；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：，
，
，
故答案为：B．
【分析】本题主要考查同底数幂的乘除法，先将原式中各幂的底数统一化为3，再利用幂的运算法则对原式变形，结合已知等式得到指数部分的值，最后计算出结果．
10．如图，将两张边长分别为6和5的正方形纸片分别按图①和图②两种方式放置在长方形内（图①和图②中两张正方形纸片均有部分重叠），未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示．若长方形中边、的长度分别为m、n．设图①中阴影部分面积为，图②中阴影部分面积为，当时，的值为（　　）
A．6 B．15 C．18 D．30
【答案】B
【知识点】单项式乘多项式；整式的混合运算；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：图①中阴影部分面积，
图②中阴影部分面积，
，
当时，的值为．
故答案为：B．
【分析】根据题意分别表示出图①和图②的阴影部分面积，进而得到，整体代入数值即可求解。
11．　 　．
【答案】4
【知识点】同底数幂的除法
【解析】【解答】解：．
故答案为：4．
【分析】本题主要考查同底数幂的除法，根据“底数不变，指数相减”的运算法则进行计算即可．
12．若，，则　 　．
【答案】
【知识点】平方差公式及应用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：根据平方差公式可得：
，
将，代入上式得：
，
等式两边同时除以得：．
故答案为：4．
【分析】本题主要考查平方差公式的应用，将分解为，再代入计算即可得到的值．
13．运用简便方法计算：＝　 　．
【答案】1
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：原式
．
故答案为：1．
【分析】本题主要考查平方差公式的应用，将原式中的变形，运用平方差公式计算即可．
14．如图，小明制作了一些A类、B类、C类卡片，其中A，B两类卡片都是正方形，C类卡片是长方形．要拼出一个宽为、长为的大长方形，小明需要准备C类卡片　 　张．
【答案】15
【知识点】多项式乘多项式；单项式除以单项式
【解析】【解答】解：大长方形的面积，
∵C类卡片的面积是，
∴，
∴小明需要准备C类卡片15张．
故答案为：15．
【分析】 本题考查了多项式乘多项式， 根据大长方形的面积公式求出拼成大长方形的面积，再对比卡片的面积，即可求解．
15．两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为．当时，则图3中阴影部分的面积　 　．
【答案】30
【知识点】整式的加减运算；单项式乘多项式
【解析】【解答】解：由题意得，
，，
，
，
，
．
故答案为：30．
【分析】本题主要考查了整式运算的应用以及代数式求值， 根据正方形的面积之间的关系，即可用含a、b的代数式分别表示和，得出，再求出 ，整理后得，再整体代入求值即可．
16．下述四个结论中：其中正确的是　 　（填序号）．
①若与是同类项，则；
②若关于x的多项式的运算结果中不含项，则常数项为；
③已知2个多项式分别为：，，无论x取何值，一定都有；
④若，，则的结果只有一种．
【答案】①②③④
【知识点】整式的加减运算；多项式乘多项式；同类项的概念；化简含绝对值有理数
【解析】【解答】解：①若与是同类项，则相同字母的指数相同，即，，解得，，即，故正确．
②多项式展开后为，不含项，则，解得，常数项为，故正确．
③计算，由于，故，即恒成立，故正确．
④由，得，，原式化为．令，，，则原式．由于且，的值可能为两正一负或两负一正，代入计算均得0，故结果只有一种，故正确．
综上，正确的有①②③④．
故答案为：①②③④．
【分析】本题考查同类项的定义、整式的加减运算、绝对值的化简、多项式的大小比较等知识点，同类项定义是相同字母指数相等，分别列方程求m、n，比较是否相等可判断①；展开多项式合并同类项，令 项系数为0，求a，代入计算常数项可判断②；计算，判断结果是否恒为正数可判断③；利用替换分子分母，化简表达式，分符号情况讨论结果是否唯一可判断④．
17．计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
【知识点】同底数幂的乘法；零指数幂；负整数指数幂；积的乘方运算
【解析】【分析】本题主要考查整式的加减以及幂的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．（1）原式分别计算，，，然后再合并同类项即可得到答案；
（2）原式分别计算，，，然后计算加减法即可．
（1）
．
（2）
．
18．先化简，再求值：，其中．
【答案】解：
；
∵，且，，
∴，，
∴，，
∴原式．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；偶次方的非负性；绝对值的非负性；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】本题主要考查整式的混合运算、偶次方的非负性以及绝对值的非负性，根据多项式乘多项式的乘法法则以及多项式乘以单项式乘法法则，将所求代数式变形为，根据偶次方的非负性以及绝对值的非负性，求得，，再代入计算，进而求得该式的值．
19．如图，某校园内有一块长为，宽为的长方形活动场地．计划在场地中间开辟一个长为，宽为的长方形舞台用于文艺表演，舞台之外的阴影部分将铺设塑胶跑道供学生活动．
（1）求铺设塑胶跑道区域（阴影部分）的面积；
（2）若，，铺设塑胶跑道的价格为元，则铺设塑胶跑道共需多少元？
【答案】（1）解：∵长方形活动场地的长为，宽为，
∴长方形活动场地的面积为，
∵长方形舞台的长为，宽为，
∴长方形舞台的面积为，
∴塑胶跑道的面积为．
（2）解：∵，，
∴塑胶跑道的面积，
∵铺设塑胶跑道的价格为元，
∴铺设塑胶跑道共需（元）．
【知识点】多项式乘多项式；求代数式值的实际应用
【解析】【分析】 本题考查了整式的混合运算，以及代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
（1）阴影部分即塑胶跑道面积等于长方形活动场地的面积减去长方形舞台的面积，化简得到最简结果；
（2）把 ，代入（1）中所求代数式，得出塑胶跑道的面积，再乘以单价即可得答案．
（1）解：∵长方形活动场地的长为，宽为，
∴长方形活动场地的面积为，
∵长方形舞台的长为，宽为，
∴长方形舞台的面积为，
∴塑胶跑道的面积为．
（2）解：∵，，
∴塑胶跑道的面积，
∵铺设塑胶跑道的价格为元，
∴铺设塑胶跑道共需（元）．
20．一个正方体盒子的棱长为．（答案均用科学记数法表示）
（1）这个正方体的体积是多少？
（2）若有一个小立方块的棱长为，则需要多少个这样的小立方块才能将正方体盒子装满？
【答案】（1）解：，
答：这个正方体的体积是；
（2）解：小立方块的体积为，
（个），
答：需要个这样的小立方块才能将正方体盒子装满．
【知识点】单项式乘单项式；负整数指数幂；单项式除以单项式；科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【分析】本题考查了正方体的体积、科学记数法，有理数的乘方运算和除法运算的应用，解题的关键是正确列出算式并准确计算．
（1）根据正方体的体积公式和单项式乘以单项式的运算法则求解，再利用科学记数法表示计算结果即可；
（2）先求出小立方块的体积，再用（1）的结论除以小立方块的体积即可得出答案． ．
（1）解：，
答：这个正方体的体积是；
（2）解：小立方块的体积为，
（个），
答：需要个这样的小立方块才能将正方体盒子装满．
21．图①是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形．
（1）用两种方法表示图②中的阴影部分的面积；
（2）请运用你得到的关系式计算：若，，求的值；
（3）若，求的值．
【答案】（1）解：方法一：
阴影部分是边长为的正方形，因此面积为：．
方法二：
大正方形边长为，面积为，
四个小长方形总面积为，
因此阴影部分面积为：．
综上，阴影部分面积可表示为或者．
（2）解：由（1），得．
代入，，
原式
．
（3）解：设，，则
已知，
由完全平方公式：代入，
．
∴．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景；数形结合
【解析】【分析】 本题考查完全平方公式的几何背景，理解完全平方公式的结构特征是解决问题的前提，掌握公式的变形是正确解答的关键．（1）用两种不同的方式表示阴影部分的面积即可解答；
（2）用两种方法表示的阴影部分的面积相等即可解答；
（3）由（2）中的公式代入即可解答．
（1）解：方法一：
阴影部分是边长为的正方形，因此面积为：．
方法二：
大正方形边长为，面积为，
四个小长方形总面积为，
因此阴影部分面积为：．
综上，阴影部分面积可表示为或者．
（2）解：由（1），得．
代入，，
原式
．
（3）解：设，，则
已知，由完全平方公式：代入，
．
∴．
22．阅读下列材料：
利用完全平方公式，可以把多项式（）变形为的形式，进而解决多项式的最大值或最小值问题．
例如：①，
∵，
∴．
∴当时，多项式的最小值为；
②，
∵，
∴．
∴当时，多项式的最大值为．
根据上述材料解决下列问题：
（1）【尝试应用】求多项式的最小值，并求出相应的x的值；
（2）【拓展延伸】如果多项式的最小值是，那么m的值为________；
（3）【迁移升华】：如图，某学校打算用18米长的篱笆围成一个长方形的花坛，如果设花坛的一边米，请求出x 为多少时，该花坛的面积最大，最大面积是多少平方米．
【答案】（1）解：，
∵，
∴．
∴当时，代数式的最小值为5；
（2）
（3）解：∵米，
∴（米），
∴长方形的面积，
∵，
∴长方形的面积，
∴当时，长方形的面积的最大值为，
即米时，该花坛的面积最大，最大面积是平方米
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】（2）解：，
∵，
∴，
当时，多项式的最小值为．
∴，
∴，
故答案为：；
【分析】本考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键．
（1）根据阅读材料即可求出答案；
（2），根据阅读材料和已知条件即可求出答案；
（3）由题意得到长方形的面积，根据阅读材料和已知条件即可求出答案．
（1）解：，
∵，
∴．
∴当时，代数式的最小值为5；
（2），
∵，
∴，
当时，多项式的最小值为．
∴
∴
（3）∵米，
∴（米），
∴长方形的面积，
∵，
∴长方形的面积，
∴当时，长方形的面积的最大值为，
即米时，该花坛的面积最大，最大面积是平方米
23．如图所示，边长为的正方形中有一个边长为的小正方形，图是由图中阴影部分拼成的一个长方形，设图中阴影部分面积为，图中阴影部分面积为．
（1）请直接用含和的代数式表示________，________；写出利用图形的面积关系所得到的公式___________（用式子表达）；
（2）应用公式计算：；
（3）应用公式计算：．
【答案】（1）；；
（2）解：由（1）得：，
原式，
，
，
．
（3）解：根据（1）中所得关系式可得，
原式，
，
，
．
【知识点】平方差公式及应用；平方差公式的几何背景
【解析】【解答】（1）解：依题得：，，
，
利用图形的面积关系所得到的公式为．
故答案为：；；．
【分析】本题考查平方差公式的几何背景与代数应用，通过图形面积关系推导公式，并灵活逆用公式进行连乘运算。
（1）图1的阴影为大正方形挖去小正方形，面积直接用大正方形面积减去小正方形面积；图2为拼接后的长方形，其长为，宽为，面积为长与宽的乘积。两个图形的阴影部分面积相等，由此即可得到平方差公式。
（2）将每一个括号内的利用平方差公式拆分为，拆分后所有的乘积项会形成交错约分的结构，中间的分数项可以全部抵消，仅剩首尾两项，计算首尾两项的乘积即可得到最终结果。
（3）观察式子结构，每一项均为的形式，符合连续使用平方差公式的特征。在原式前乘以（数值为1，不改变原式大小），构造出平方差公式的形式，随后连续套用平方差公式逐步合并计算，最终得到简化后的结果，再加上化简即可。
（1）解：依题得：，，
，
利用图形的面积关系所得到的公式为．
故答案为：；；．
（2）解：由（1）得：，
原式，
，
，
．
（3）解：根据（1）中所得关系式可得，
原式，
，
，
．
24．如图，长为，宽为的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为．
（1）小长方形的较长边为 （用代数式表示）；
（2）阴影A的一条较短边和阴影B的一条较短边之和为，是 的（填正确/错误）；阴影A和阴影B的周长值之和与 （填有关/无关），与 （填有关/无关）；
（3）设阴影A和阴影B的面积之和为S，是否存在使得S为定值，若存在请求出的值和该定值，若不存在请说明理由．
【答案】（1）
（2）正确，有关，无关
（3）解：∵阴影A的较长边为，较短边为，阴影B的较长边为，较短边为，
∴阴影A的面积为，
阴影B的面积为，
∴阴影A和阴影B的面积之和为
，
∴当时，为定值，定值为．
【知识点】整式的加减运算；多项式乘多项式
【解析】【解答】（1）解：∵大长方形的长为ycm，小长方形的宽为4cm，
∴小长方形的长为，
故答案为：；
（2）解：∵大长方形的宽为xcm，小长方形的长为，小长方形的宽为4cm，
∴阴影A的较短边为，
阴影B的较短边为，
∴阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为；
∵阴影A的较长边为，较短边为，
阴影B的较长边为，较短边为，
∴阴影A的周长为，
阴影B的周长为，
∴阴影A和阴影B的周长之和为，
∴阴影A和阴影B的周长之和与有关，与无关，
故答案为：正确，有关，无关；
【分析】本题考查列代数式与整式的混合运算，结合长方形的周长、面积公式，通过图形的边长关系推导结论。
（1）大长方形的长为，横向排布了3个小长方形的短边与1个小长方形的长边，小长方形短边长为4cm，因此小长方形的长边长度等于大长方形的长减去3个短边的总长度，即。
（2）先分别表示两个阴影的短边：阴影的较短边等于大长方形的宽减去2个小长方形短边的总长度；阴影的较短边等于大长方形的宽减去小长方形的长边长度。将两个短边长度相加并化简，与给出的代数式对比，即可判断正误。再分别根据长方形周长公式，写出阴影和阴影的周长表达式，相加后合并同类项，消去含的项，根据最终表达式即可判断周长和与、的相关性。
（3）分别用“长×宽”表示出阴影和阴影的面积，相加后展开并合并同类项，将式子整理为“含的一次项+常数项”的形式。若为定值，则含的项的系数必须为0，由此列方程解出的值，再代入表达式计算出对应的定值即可。
（1）解：∵大长方形的长为ycm，小长方形的宽为4cm，
∴小长方形的长为，
故答案为：；
（2）解：∵大长方形的宽为xcm，小长方形的长为，小长方形的宽为4cm，
∴阴影A的较短边为，
阴影B的较短边为，
∴阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为；
∵阴影A的较长边为，较短边为，
阴影B的较长边为，较短边为，
∴阴影A的周长为，
阴影B的周长为，
∴阴影A和阴影B的周长之和为，
∴阴影A和阴影B的周长之和与有关，与无关，
故答案为：正确，有关，无关；
（3）解：∵阴影A的较长边为，较短边为，
阴影B的较长边为，较短边为，
∴阴影A的面积为，
阴影B的面积为，
∴阴影A和阴影B的面积之和为
，
∴当时，为定值，定值为．
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