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广东深圳市福田区深圳高级中学集团2025－2026 学年九年级数学模拟考试（5月）
1．中国人最早使用负数，可追溯到两千多年前的秦汉时期，的倒数是（　　）
A． B． C．2026 D．
2．发展新能源汽车是我国核心战略，比亚迪是技术领先、全球领跑的龙头企业．如图1是其位于深圳坪山的全球总部—六角大楼，该建筑主体是一个正六棱柱（如图2），其示意图的俯视图是（　　）
A． B． C． D．
3．中国邮政于2025年3月14日发行《数学之美》特种邮票1套4枚，邮票图案名称分别为：圆周率、勾股定理、欧拉公式、莫比乌斯带．小明从上述4种不同图案的邮票中随机选择1种购买，购买的邮票图案恰好是莫比乌斯带的概率是（　　）
A． B． C． D．
4．年月日起，市场监管总局（国家标准委）发布的《中小学生午休课桌椅通用技术要求》实施，规定午休时，椅子能展开成躺姿，靠背能放倒到以上．图示为一款可躺睡椅子及其简化结构，椅座平行于地面，支点到地面的距离为厘米，靠背的长为厘米．若，则点到地面的距离的长是（　　）厘米．
A． B．
C． D．
5． 下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．如图，仿生机器狗平稳站立时，，，，此时的度数为（　　）
A． B． C． D．
7．《九章算术》中有如下分钱问题：第一次有x人，平分15元钱；第二次比第一次增加5人，平分40元钱，且第二次每人分得的钱与第一次相同，则可列方程为（　　）
A． B． C． D．
8．如图，把一张长方形纸片的一角沿折叠，使的点D的对应点F落在内部．若，且，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
9． 若 m是方程 的一个根，则 的值　 　。
10．写出一个函数表达式，使它的图象经过，且时，y随x的增大而增大，这个函数表达式可以是　 　．
11．如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，其部分示意图如图2所示，它是以点O为圆心，分别以，为半径，圆心角形成的扇面，若，，则图2中阴影部分的面积为　 　．（结果保留）
12．如图，在平面直角坐标系中，点，分别在反比例函数，的图象上，连接，，，且，作轴于点．轴于点，若，则的值为　 　．
13．在中，，，将线段绕点B逆时针旋转得到线段，连接，则线段的最小值为　 　．
14．计算：．
15．解不等式组：，把解集在数轴上表示出来，并写出它的所有整数解．
16．某校七、八年级各有名学生，为了调查学生对赋能课堂教学的满意度，随机抽取了七、八年级各名学生对赋能课堂教学满意程度赋分（百分制），将收集的赋分成绩按以下六组进行整理（得分用表示）：：，：，：，：，：，：，
并绘制了七年级赋分成绩频数直方图和八年级赋分成绩扇形统计图：
已知八年级样本中赋分成绩为分及以上的学生有人，组中的数据从小到大排列个如下：，，，，，，，，，．请根据以上信息，完成下列问题：
（1）______，______，______；
（2）八年级赋分成绩的中位数是______；
（3）若赋分成绩不低于分，则认定学生对赋能课堂教学“满意”，请估计该校七、八年级对赋能课堂教学“满意”的学生一共多少人？
17．如图，已知是的直径，点在上，点在外．
（1）动手操作：作的角平分线，与圆交于点（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）综合运用，在你所作的图中．若，求证：是的切线．
18． 中华优秀传统文化是中华民族的精神命脉，是涵养社会主义核心价值观的重要源泉。为推进传统文化进校园，某校艺术社团计划采购汉服用于传统礼仪展演。已知采购 1件甲款汉服与 5件乙款汉服共需 500元；采购 3件甲款汉服与 2件乙款汉服共需 460元。
（1）求甲、乙两款汉服的单价；
（2）该社团计划采购两款汉服共 120件，且甲款汉服数量不低于乙款汉服数量的 3倍。请确定采购方案使总费用最少，并求出最少费用。
19．综合与探究
【概念初识】
三隅同角四边形：在平面内，若一个四边形有三个内角的度数相等，则称这个四边形为三隅同角四边形，这三个相等的内角称为该四边形的“同角”，第四个内角称为“异角”．
（1）如图1，在中，，点，分别为边，上的动点，若四边形为三隅同角四边形，则 ▲ ；
【图形判定】
（2）如图2，折叠平行四边形纸片，使顶点，分别落在边，上的点，处，折痕分别为，．求证：四边形是三隅同角四边形；
【综合深研】
（3）如图3，在三隅同角四边形中，且为锐角，，求长的最大值．
20．综合与实践·校本研学探究——低空无人机物资空投的数学建模
【研学背景】
某校开展数学跨学科科创研学活动，探究低空无人机物资投放的运动规律．若忽略空气阻力、风力的影响，物资飞行轨迹为抛物线；无人机悬停投放口为抛物线轨迹的顶点．
【坐标系建构】
以投放口地面竖直投影为原点，水平投放方向为轴正方向，竖直向上为轴正方向，单位：．
无人机物资空投数学建模示意图
（1）【初战实测·个案建模】
如图，首次试飞无人机悬停投放高度为，物资水平飞行后在处落地，求本次物资飞行抛物线的函数解析式；
（2）【校准实验·定点标定】如图，无人机仅竖直升降，抛物线形状、开口不变（与①相同），轨迹经过标定靶点，求此时无人机悬停投放口离地高度；
（3）【全域探究·通用建模】
为探究不同投放参数影响，无人机调整水平初速度与机翼角度，建立全新通用投放轨迹：，场地中段设有高实训障碍墙；地面物资接收区为线段，端点，；要求物资全程飞越障碍墙且不触碰，落地点落在接收区内（含端点，），求投放口高度的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：根据倒数的定义，
∵，
∴ 的倒数是．
故答案为：B．
【分析】本题主要考查求一个数的倒数，由可得的倒数是．
2．【答案】D
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：从几何体的上面可以看到图形如图所示：
．
故答案为：D．
【分析】 本题考查了简单几何体的三视图， 根据俯视图是从物体的上面看到的图形判断即可，注意看到的棱用实线，看不到的棱用虚线．
3．【答案】B
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵有4张邮票，
∴小明从上述4种不同图案的邮票中随机选择1种购买，购买的邮票图案恰好是莫比乌斯带的概率是．
故答案为：B．
【分析】 本题考查了概率公式， 利用概率计算公式进行计算即可．
4．【答案】C
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：根据题意可得，，，，，
如图：
则：，
在中，，
∵由题意可知，
∴四边形为矩形，
∴，
∴．
故答案为：C．
【分析】 本题考查了解直角三角形的应用，根据题意，结合图形，在中求出，结合的长，得到结果．
5．【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；平方差公式及应用；单项式除以单项式；积的乘方运算
【解析】【解答】解：选项 A：
根据平方差公式：(a b)(a+b)=a2 b2，令a=x，b=y，则(x y)(x+y)=x2 y2，计算正确。
选项 B：
根据同底数幂的乘法法则：am an=am+n，所以a3 a3=a3+3=a6，不是a9，计算错误。
选项 C：
根据积的乘方法则：(ab)n=anbn和幂的乘方法则：(am)n=amn，所以(ab2)3=a3 (b2)3=a3b2×3=a3b6，不是a3b5，计算错误。
选项 D：
根据同底数幂的除法法则：am÷an=am n，所以(ab)6÷(ab)2=(ab)6 2=(ab)4=a4b4，不是a3b3，计算错误。
综上，只有选项 A 的计算是正确的。
故答案为：A.
【分析】本题的解题思路是：逐一验证每个选项，根据整式乘法的相关法则（平方差公式、同底数幂乘除、积的乘方、幂的乘方）判断计算是否正确，找出唯一正确的选项。核心是熟练掌握整式运算的各种法则，避免常见的运算错误
6．【答案】B
【知识点】平行线的应用-求角度；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：如图，过作，
，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
，，
，
．
故答案为：B．
【分析】本题主要考查平行线的判定与性质，过作，得，求得，再证明，由平行线的性质得．
7．【答案】D
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：∵第一次有人，平分元钱，
∴第一次每人分得元.
∵第二次比第一次增加人，
∴第二次有人，平分元钱，
∴第二次每人分得元.
∵第二次每人分得的钱与第一次相同，
∴可列方程为．
故答案为：D．
【分析】 本题考查了由实际问题抽象出分式方程， 由两次分钱人数间的关系，可得出第二次有人分钱，利用每人分得的钱数=总钱数÷分钱的人数，结合第二次每人分得的钱与第一次相同，即可列出关于x的分式方程，此题得解．
8．【答案】C
【知识点】解一元一次方程；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：折叠，
，
是长方形，
，
∴，
设，则，
∴，
∴，
解得：，
．
故选：C．
【分析】先根据折叠的性质得到，再根据矩形的性质得到，则，设，则，代入数值求出x，从而即可求解。
9．【答案】2027
【知识点】一元二次方程的根；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：∵ m 是方程 x2 x 1=0 的根，
∴将 x=m 代入方程，得 m2 m 1=0
∴ m2 m=1
将 m2 m=1 直接代入代数式 m2 m+2026 中，
∴m2 m+2026=1+2026=2027
故答案为：2027.
【分析】本题的解题思路是：利用 “方程的根满足方程” 这一性质，将根m代入原方程，通过移项直接得到m2 m的值，再将其整体代入待求的代数式中，即可快速求出结果。
10．【答案】（答案不唯一）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质
【解析】【解答】解：设所求函数为一次函数，表达式为．
时，随的增大而增大，
．
令，可得函数为．
将点代入得，解得．
因此符合条件的函数表达式可以为（答案不唯一）．
故答案为：（答案不唯一）．
【分析】本题主要考查求一次函数解析式，一次函数的性质，充一次函数的解析式为，根据，取一个值，再把点代入解析式，求出的值即可．
11．【答案】
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：
，
故答案为：．
【分析】本题考查了求扇形面积，运用扇形面积公式，用大扇形减去小扇形的面积即可求出 图2中阴影部分的面积．
12．【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积；反比例函数图象上点的坐标特征；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵，轴，轴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵点，分别在反比例函数，的图象上，
故，，
则，，
∴，
即，
解得，
由图可知点在第三象限，，
∴．
故答案为：．
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征， 相似三角形的判定与性质， 证明，得出，根据点，分别在反比例函数，的图象上，得出，，即可求出，由图可知点在第三象限，，则．
13．【答案】
【知识点】二次函数的最值；等边三角形的性质；旋转的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：以为边在上方作等边三角形，连接，
则 ，
由旋转的性质得，，
∴ ，即 ，
∴，
∴，
∵，
∴ ，
设，
∵，
∴ ，
在 中，，
∴，
令，
∵，
∴当时，有最小值，此时，有最小值，
∴的最小值为．
故答案为：．
【分析】本题考查了旋转的性质、二次函数的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识，先以为边在上方作等边三角形，连接，得 ，根据旋转的性质得到，，证明，得，证明，设，得，由勾股定理得，由二次函数的性质得到线段的最小值．
14．【答案】解：原式
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的绝对值；开立方（求立方根）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】本题考查了实数的运算，原式先计算，，，，，再进行加减运算即可．
15．【答案】解：，
由①得，
由②得，
解得，
解集为：，
把解集在数轴上表示出来如图：
所有整数解为
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，一元一次不等式组的整数解，先求出两个不等式的解集，再在数轴上表示不等式组的解集，得其公共解集，然后确定这个范围内的整数解即可．
16．【答案】（1），，
（2）89
（3）解：（人），
答：该校七、八年级对赋能课堂教学“满意”的学生一共人．
【知识点】频数（率）分布直方图；扇形统计图；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：，
，
，
，
故答案为：，，；
（2）解：，
八年级赋分成绩的中位数在组中，是，的平均数，即为，
故答案为：89；
【分析】本题考查频数（率）分布直方图，用样本估计总体，加权平均数，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
（1）由扇形图可求出，八年级总人数为人，由于两个年级抽取人数均为60人，根据直方图则可求得a的值；
（2）由于八年级共60个人，所以中位数应该是第30和第31两个数据的和的，中位数在组中，是，的平均数，即为；
（3）利用样本估计总体的方法列式计算即可．
（1）解：，
，
，
，
故答案为：，，；
（2），
八年级赋分成绩的中位数在组中，是，的平均数，即为；
（3）（人），
答：该校七、八年级对赋能课堂教学“满意”的学生一共人．
17．【答案】（1）解：如图，以点C为圆心BC为半径画弧交AC于点M；以B、M为圆心，大于为半径画弧，交点为N，连接CN交于点D．
（2）解：连接AD，如图
∵为直径
∴
∵
∴
∴
又∵AB为直径
∴AE是的切线．
【知识点】圆周角定理；切线的判定；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】本题考查尺规作角平分线、圆周角定理以及圆的切线判定，需通过角度等量代换推导垂直关系。
（1）尺规作角平分线基于SSS全等的原理：以点为圆心，取适当长度为半径画弧，分别交、于两个交点；再分别以这两个交点为圆心，取大于两点间距一半的长度为半径画弧，两弧交于一点；连接点与该交点并延长，交于点，即为所求的角平分线。
（2）要证明是的切线，只需证明，即。根据同弧所对的圆周角相等，可得；结合已知条件，通过等量代换得到。又因为是直径，由直径所对的圆周角为直角，可得，因此；将替换为，即可推得，即，由此可判定是的切线。
（1）解：如图，以点C为圆心BC为半径画弧交AC于点M；以B、M为圆心，大于为半径画弧，交点为N，连接CN交于点D．
（2）解：连接AD，如图
∵为直径
∴
∵
∴
∴
又∵AB为直径
∴AE是的切线．
18．【答案】（1）解：解：设甲款汉服单价为a元，乙款汉服单价为b元，
根据题意得：
解得：
答：甲款汉服单价为100元，乙款汉服单价为80元
（2）解：设购买甲款汉服x件，总费用为w元，则购买乙款汉服(120-x)件，
∵甲款汉服数量不低于乙款汉服数量的 3 倍，
∴x≥3(120-x)，又120-x>0
解得： 90≤x<120，
总费用w=100x+80(120-x)=20x+9600，
∵20>0，
∴w随x的增大而增大，
∴当x=90时， w取得最小值，最小值为11400，此时120-x=30，
答：该社团购买甲款汉服90件，乙款汉服30件时费用最少，最少费用为11400元
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)是基础的二元一次方程组应用题，设未知数，根据“采购1件甲款与5件乙款共500元”和“采购3件甲款与2件乙款共460元”这两个等量关系列方程组，求解即可得到单价。
(2)是结合一次函数的最值问题，先根据题意列出总费用关于甲款汉服数量的一次函数，再根据“甲款数量不低于乙款的3倍”求出自变量的取值范围，最后利用一次函数的增减性求出总费用的最小值
19．【答案】解：（1）；
（2）证明：如图2，∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
由折叠可知，，
∵，
∴，
∴；
同理，，
∴，
∴四边形是三隅同角四边形．
（3）解：如图3，过点作，，
∴四边形是平行四边形，，
∴，，
∵，，
∴，，，
设，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当时，有最大值，
∴长的最大值为．
【知识点】二次函数的最值；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（1）解：∵四边形为三隅同角四边形，，四边形的内角和为
∴为“异角”
∴；
故答案为：；
【分析】本题主要考查了四边形的定义，折叠的性质，平行四边形的性质，相似三角形的性质，二次函数的性质等，掌握其相关知识点是解题的关键．（1）由 四边形为三隅同角四边形得；
（2）由四边形是平行四边形得，由折叠得，可得，同理得，故可得，从而可得结论；
（3）过点作，，证明，设，，根据相似三角形的性质，表示出，进而根据二次函数的性质，即可求解．
20．【答案】（1）解：由题意设抛物线顶点式，
将落地点代入顶点式，得，
解得．
∴所求解析式为
答：本次物资飞行抛物线的函数解析式为．
（2）解：由题意设抛物线顶点式，将代入顶点式，得：
，
解得
答：此时悬停高度为4米．
（3）解：①令，则，
∵落地区间，
∴
②越障要求：当时，
，，
∵．
∴当时，随着x的增大而增大，
当时，
∴，
由①②得
答：投放高度h的取值范围是米．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】 本题主要考查了二次函数的应用、二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
（1）依据题意，设抛物线顶点式，将落地点代入顶点式，得，进而计算可以得解；
（2）依据题意，设抛物线顶点式，又将代入顶点式，得，进而计算可以得解；
（3）依据题意，先令，则，则，又落地区间，则；结合越障要求：当时，，即，从而求出的范围即可得解．
（1）解：由题意设抛物线顶点式，
将落地点代入顶点式，
得，
解得．
∴所求解析式为
答：本次物资飞行抛物线的函数解析式为．
（2）由题意设抛物线顶点式，将代入顶点式，
得，
解得
答：此时悬停高度为4米．
（3）①令，则，
∵落地区间，
∴
②越障要求：当时，
，，
∵．
∴当时，随着x的增大而增大，
当时，
∴，
由①②得
答：投放高度h的取值范围是米．
1 / 1广东深圳市福田区深圳高级中学集团2025－2026 学年九年级数学模拟考试（5月）
1．中国人最早使用负数，可追溯到两千多年前的秦汉时期，的倒数是（　　）
A． B． C．2026 D．
【答案】B
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：根据倒数的定义，
∵，
∴ 的倒数是．
故答案为：B．
【分析】本题主要考查求一个数的倒数，由可得的倒数是．
2．发展新能源汽车是我国核心战略，比亚迪是技术领先、全球领跑的龙头企业．如图1是其位于深圳坪山的全球总部—六角大楼，该建筑主体是一个正六棱柱（如图2），其示意图的俯视图是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：从几何体的上面可以看到图形如图所示：
．
故答案为：D．
【分析】 本题考查了简单几何体的三视图， 根据俯视图是从物体的上面看到的图形判断即可，注意看到的棱用实线，看不到的棱用虚线．
3．中国邮政于2025年3月14日发行《数学之美》特种邮票1套4枚，邮票图案名称分别为：圆周率、勾股定理、欧拉公式、莫比乌斯带．小明从上述4种不同图案的邮票中随机选择1种购买，购买的邮票图案恰好是莫比乌斯带的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵有4张邮票，
∴小明从上述4种不同图案的邮票中随机选择1种购买，购买的邮票图案恰好是莫比乌斯带的概率是．
故答案为：B．
【分析】 本题考查了概率公式， 利用概率计算公式进行计算即可．
4．年月日起，市场监管总局（国家标准委）发布的《中小学生午休课桌椅通用技术要求》实施，规定午休时，椅子能展开成躺姿，靠背能放倒到以上．图示为一款可躺睡椅子及其简化结构，椅座平行于地面，支点到地面的距离为厘米，靠背的长为厘米．若，则点到地面的距离的长是（　　）厘米．
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：根据题意可得，，，，，
如图：
则：，
在中，，
∵由题意可知，
∴四边形为矩形，
∴，
∴．
故答案为：C．
【分析】 本题考查了解直角三角形的应用，根据题意，结合图形，在中求出，结合的长，得到结果．
5． 下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；平方差公式及应用；单项式除以单项式；积的乘方运算
【解析】【解答】解：选项 A：
根据平方差公式：(a b)(a+b)=a2 b2，令a=x，b=y，则(x y)(x+y)=x2 y2，计算正确。
选项 B：
根据同底数幂的乘法法则：am an=am+n，所以a3 a3=a3+3=a6，不是a9，计算错误。
选项 C：
根据积的乘方法则：(ab)n=anbn和幂的乘方法则：(am)n=amn，所以(ab2)3=a3 (b2)3=a3b2×3=a3b6，不是a3b5，计算错误。
选项 D：
根据同底数幂的除法法则：am÷an=am n，所以(ab)6÷(ab)2=(ab)6 2=(ab)4=a4b4，不是a3b3，计算错误。
综上，只有选项 A 的计算是正确的。
故答案为：A.
【分析】本题的解题思路是：逐一验证每个选项，根据整式乘法的相关法则（平方差公式、同底数幂乘除、积的乘方、幂的乘方）判断计算是否正确，找出唯一正确的选项。核心是熟练掌握整式运算的各种法则，避免常见的运算错误
6．如图，仿生机器狗平稳站立时，，，，此时的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的应用-求角度；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：如图，过作，
，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
，，
，
．
故答案为：B．
【分析】本题主要考查平行线的判定与性质，过作，得，求得，再证明，由平行线的性质得．
7．《九章算术》中有如下分钱问题：第一次有x人，平分15元钱；第二次比第一次增加5人，平分40元钱，且第二次每人分得的钱与第一次相同，则可列方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：∵第一次有人，平分元钱，
∴第一次每人分得元.
∵第二次比第一次增加人，
∴第二次有人，平分元钱，
∴第二次每人分得元.
∵第二次每人分得的钱与第一次相同，
∴可列方程为．
故答案为：D．
【分析】 本题考查了由实际问题抽象出分式方程， 由两次分钱人数间的关系，可得出第二次有人分钱，利用每人分得的钱数=总钱数÷分钱的人数，结合第二次每人分得的钱与第一次相同，即可列出关于x的分式方程，此题得解．
8．如图，把一张长方形纸片的一角沿折叠，使的点D的对应点F落在内部．若，且，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】解一元一次方程；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：折叠，
，
是长方形，
，
∴，
设，则，
∴，
∴，
解得：，
．
故选：C．
【分析】先根据折叠的性质得到，再根据矩形的性质得到，则，设，则，代入数值求出x，从而即可求解。
9． 若 m是方程 的一个根，则 的值　 　。
【答案】2027
【知识点】一元二次方程的根；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：∵ m 是方程 x2 x 1=0 的根，
∴将 x=m 代入方程，得 m2 m 1=0
∴ m2 m=1
将 m2 m=1 直接代入代数式 m2 m+2026 中，
∴m2 m+2026=1+2026=2027
故答案为：2027.
【分析】本题的解题思路是：利用 “方程的根满足方程” 这一性质，将根m代入原方程，通过移项直接得到m2 m的值，再将其整体代入待求的代数式中，即可快速求出结果。
10．写出一个函数表达式，使它的图象经过，且时，y随x的增大而增大，这个函数表达式可以是　 　．
【答案】（答案不唯一）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质
【解析】【解答】解：设所求函数为一次函数，表达式为．
时，随的增大而增大，
．
令，可得函数为．
将点代入得，解得．
因此符合条件的函数表达式可以为（答案不唯一）．
故答案为：（答案不唯一）．
【分析】本题主要考查求一次函数解析式，一次函数的性质，充一次函数的解析式为，根据，取一个值，再把点代入解析式，求出的值即可．
11．如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，其部分示意图如图2所示，它是以点O为圆心，分别以，为半径，圆心角形成的扇面，若，，则图2中阴影部分的面积为　 　．（结果保留）
【答案】
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：
，
故答案为：．
【分析】本题考查了求扇形面积，运用扇形面积公式，用大扇形减去小扇形的面积即可求出 图2中阴影部分的面积．
12．如图，在平面直角坐标系中，点，分别在反比例函数，的图象上，连接，，，且，作轴于点．轴于点，若，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积；反比例函数图象上点的坐标特征；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵，轴，轴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵点，分别在反比例函数，的图象上，
故，，
则，，
∴，
即，
解得，
由图可知点在第三象限，，
∴．
故答案为：．
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征， 相似三角形的判定与性质， 证明，得出，根据点，分别在反比例函数，的图象上，得出，，即可求出，由图可知点在第三象限，，则．
13．在中，，，将线段绕点B逆时针旋转得到线段，连接，则线段的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】二次函数的最值；等边三角形的性质；旋转的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：以为边在上方作等边三角形，连接，
则 ，
由旋转的性质得，，
∴ ，即 ，
∴，
∴，
∵，
∴ ，
设，
∵，
∴ ，
在 中，，
∴，
令，
∵，
∴当时，有最小值，此时，有最小值，
∴的最小值为．
故答案为：．
【分析】本题考查了旋转的性质、二次函数的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识，先以为边在上方作等边三角形，连接，得 ，根据旋转的性质得到，，证明，得，证明，设，得，由勾股定理得，由二次函数的性质得到线段的最小值．
14．计算：．
【答案】解：原式
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的绝对值；开立方（求立方根）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】本题考查了实数的运算，原式先计算，，，，，再进行加减运算即可．
15．解不等式组：，把解集在数轴上表示出来，并写出它的所有整数解．
【答案】解：，
由①得，
由②得，
解得，
解集为：，
把解集在数轴上表示出来如图：
所有整数解为
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，一元一次不等式组的整数解，先求出两个不等式的解集，再在数轴上表示不等式组的解集，得其公共解集，然后确定这个范围内的整数解即可．
16．某校七、八年级各有名学生，为了调查学生对赋能课堂教学的满意度，随机抽取了七、八年级各名学生对赋能课堂教学满意程度赋分（百分制），将收集的赋分成绩按以下六组进行整理（得分用表示）：：，：，：，：，：，：，
并绘制了七年级赋分成绩频数直方图和八年级赋分成绩扇形统计图：
已知八年级样本中赋分成绩为分及以上的学生有人，组中的数据从小到大排列个如下：，，，，，，，，，．请根据以上信息，完成下列问题：
（1）______，______，______；
（2）八年级赋分成绩的中位数是______；
（3）若赋分成绩不低于分，则认定学生对赋能课堂教学“满意”，请估计该校七、八年级对赋能课堂教学“满意”的学生一共多少人？
【答案】（1），，
（2）89
（3）解：（人），
答：该校七、八年级对赋能课堂教学“满意”的学生一共人．
【知识点】频数（率）分布直方图；扇形统计图；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：，
，
，
，
故答案为：，，；
（2）解：，
八年级赋分成绩的中位数在组中，是，的平均数，即为，
故答案为：89；
【分析】本题考查频数（率）分布直方图，用样本估计总体，加权平均数，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
（1）由扇形图可求出，八年级总人数为人，由于两个年级抽取人数均为60人，根据直方图则可求得a的值；
（2）由于八年级共60个人，所以中位数应该是第30和第31两个数据的和的，中位数在组中，是，的平均数，即为；
（3）利用样本估计总体的方法列式计算即可．
（1）解：，
，
，
，
故答案为：，，；
（2），
八年级赋分成绩的中位数在组中，是，的平均数，即为；
（3）（人），
答：该校七、八年级对赋能课堂教学“满意”的学生一共人．
17．如图，已知是的直径，点在上，点在外．
（1）动手操作：作的角平分线，与圆交于点（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）综合运用，在你所作的图中．若，求证：是的切线．
【答案】（1）解：如图，以点C为圆心BC为半径画弧交AC于点M；以B、M为圆心，大于为半径画弧，交点为N，连接CN交于点D．
（2）解：连接AD，如图
∵为直径
∴
∵
∴
∴
又∵AB为直径
∴AE是的切线．
【知识点】圆周角定理；切线的判定；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】本题考查尺规作角平分线、圆周角定理以及圆的切线判定，需通过角度等量代换推导垂直关系。
（1）尺规作角平分线基于SSS全等的原理：以点为圆心，取适当长度为半径画弧，分别交、于两个交点；再分别以这两个交点为圆心，取大于两点间距一半的长度为半径画弧，两弧交于一点；连接点与该交点并延长，交于点，即为所求的角平分线。
（2）要证明是的切线，只需证明，即。根据同弧所对的圆周角相等，可得；结合已知条件，通过等量代换得到。又因为是直径，由直径所对的圆周角为直角，可得，因此；将替换为，即可推得，即，由此可判定是的切线。
（1）解：如图，以点C为圆心BC为半径画弧交AC于点M；以B、M为圆心，大于为半径画弧，交点为N，连接CN交于点D．
（2）解：连接AD，如图
∵为直径
∴
∵
∴
∴
又∵AB为直径
∴AE是的切线．
18． 中华优秀传统文化是中华民族的精神命脉，是涵养社会主义核心价值观的重要源泉。为推进传统文化进校园，某校艺术社团计划采购汉服用于传统礼仪展演。已知采购 1件甲款汉服与 5件乙款汉服共需 500元；采购 3件甲款汉服与 2件乙款汉服共需 460元。
（1）求甲、乙两款汉服的单价；
（2）该社团计划采购两款汉服共 120件，且甲款汉服数量不低于乙款汉服数量的 3倍。请确定采购方案使总费用最少，并求出最少费用。
【答案】（1）解：解：设甲款汉服单价为a元，乙款汉服单价为b元，
根据题意得：
解得：
答：甲款汉服单价为100元，乙款汉服单价为80元
（2）解：设购买甲款汉服x件，总费用为w元，则购买乙款汉服(120-x)件，
∵甲款汉服数量不低于乙款汉服数量的 3 倍，
∴x≥3(120-x)，又120-x>0
解得： 90≤x<120，
总费用w=100x+80(120-x)=20x+9600，
∵20>0，
∴w随x的增大而增大，
∴当x=90时， w取得最小值，最小值为11400，此时120-x=30，
答：该社团购买甲款汉服90件，乙款汉服30件时费用最少，最少费用为11400元
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)是基础的二元一次方程组应用题，设未知数，根据“采购1件甲款与5件乙款共500元”和“采购3件甲款与2件乙款共460元”这两个等量关系列方程组，求解即可得到单价。
(2)是结合一次函数的最值问题，先根据题意列出总费用关于甲款汉服数量的一次函数，再根据“甲款数量不低于乙款的3倍”求出自变量的取值范围，最后利用一次函数的增减性求出总费用的最小值
19．综合与探究
【概念初识】
三隅同角四边形：在平面内，若一个四边形有三个内角的度数相等，则称这个四边形为三隅同角四边形，这三个相等的内角称为该四边形的“同角”，第四个内角称为“异角”．
（1）如图1，在中，，点，分别为边，上的动点，若四边形为三隅同角四边形，则 ▲ ；
【图形判定】
（2）如图2，折叠平行四边形纸片，使顶点，分别落在边，上的点，处，折痕分别为，．求证：四边形是三隅同角四边形；
【综合深研】
（3）如图3，在三隅同角四边形中，且为锐角，，求长的最大值．
【答案】解：（1）；
（2）证明：如图2，∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
由折叠可知，，
∵，
∴，
∴；
同理，，
∴，
∴四边形是三隅同角四边形．
（3）解：如图3，过点作，，
∴四边形是平行四边形，，
∴，，
∵，，
∴，，，
设，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当时，有最大值，
∴长的最大值为．
【知识点】二次函数的最值；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（1）解：∵四边形为三隅同角四边形，，四边形的内角和为
∴为“异角”
∴；
故答案为：；
【分析】本题主要考查了四边形的定义，折叠的性质，平行四边形的性质，相似三角形的性质，二次函数的性质等，掌握其相关知识点是解题的关键．（1）由 四边形为三隅同角四边形得；
（2）由四边形是平行四边形得，由折叠得，可得，同理得，故可得，从而可得结论；
（3）过点作，，证明，设，，根据相似三角形的性质，表示出，进而根据二次函数的性质，即可求解．
20．综合与实践·校本研学探究——低空无人机物资空投的数学建模
【研学背景】
某校开展数学跨学科科创研学活动，探究低空无人机物资投放的运动规律．若忽略空气阻力、风力的影响，物资飞行轨迹为抛物线；无人机悬停投放口为抛物线轨迹的顶点．
【坐标系建构】
以投放口地面竖直投影为原点，水平投放方向为轴正方向，竖直向上为轴正方向，单位：．
无人机物资空投数学建模示意图
（1）【初战实测·个案建模】
如图，首次试飞无人机悬停投放高度为，物资水平飞行后在处落地，求本次物资飞行抛物线的函数解析式；
（2）【校准实验·定点标定】如图，无人机仅竖直升降，抛物线形状、开口不变（与①相同），轨迹经过标定靶点，求此时无人机悬停投放口离地高度；
（3）【全域探究·通用建模】
为探究不同投放参数影响，无人机调整水平初速度与机翼角度，建立全新通用投放轨迹：，场地中段设有高实训障碍墙；地面物资接收区为线段，端点，；要求物资全程飞越障碍墙且不触碰，落地点落在接收区内（含端点，），求投放口高度的取值范围．
【答案】（1）解：由题意设抛物线顶点式，
将落地点代入顶点式，得，
解得．
∴所求解析式为
答：本次物资飞行抛物线的函数解析式为．
（2）解：由题意设抛物线顶点式，将代入顶点式，得：
，
解得
答：此时悬停高度为4米．
（3）解：①令，则，
∵落地区间，
∴
②越障要求：当时，
，，
∵．
∴当时，随着x的增大而增大，
当时，
∴，
由①②得
答：投放高度h的取值范围是米．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】 本题主要考查了二次函数的应用、二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
（1）依据题意，设抛物线顶点式，将落地点代入顶点式，得，进而计算可以得解；
（2）依据题意，设抛物线顶点式，又将代入顶点式，得，进而计算可以得解；
（3）依据题意，先令，则，则，又落地区间，则；结合越障要求：当时，，即，从而求出的范围即可得解．
（1）解：由题意设抛物线顶点式，
将落地点代入顶点式，
得，
解得．
∴所求解析式为
答：本次物资飞行抛物线的函数解析式为．
（2）由题意设抛物线顶点式，将代入顶点式，
得，
解得
答：此时悬停高度为4米．
（3）①令，则，
∵落地区间，
∴
②越障要求：当时，
，，
∵．
∴当时，随着x的增大而增大，
当时，
∴，
由①②得
答：投放高度h的取值范围是米．
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