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广东省深圳市南山区第二外国语学校2025-2026学年七年级下学期数学期中试卷
1．计算7-1的结果是（　　）
A．7 B．-7 C． D．-
【答案】C
【知识点】负整数指数幂
【解析】【解答】解：由负整数指数幂的意义可知，
故答案为：C
【分析】本题考查负整数指数幂的意义，底数不为0时， ，所以 应化为 .
2．下列事件中，属于随机事件的是（　　）
A．同位角相等
B．两个负数的和是正数
C．在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°
D．如果a，b为实数，那么a+b=b+a
【答案】A
【知识点】等式的基本性质；三角形内角和定理；事件的分类；同位角的概念；正数、负数的概念与分类
【解析】【解答】解：A.同位角相等，在没有“两直线平行”条件时，可能成立，也可能不成立，属于随机事件；
B.两个负数的和一定是负数，不可能是正数，是不可能事件；
C.在 中， ，是必然事件；
D.若 为实数，则 ，是必然事件。
故答案为：A
【分析】本题考查随机事件 必然事件和不可能事件的判断。随机事件是指在一定条件下可能发生也可能不发生的事件。”同位角相等”只有在两直线平行时一定成立，题中没有给出平行条件，因此属于随机事件。
3．截至2025年3月，我国已全面掌握14纳米芯片量产技术，7纳米工艺进入风险试产阶段.已知14纳米=0.000000014米，则数据0.000000014用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：
故答案为：D
【分析】本题考查小于1的正数的科学记数法。科学记数法的一般形式为 ，其中 。把小数点向右移动8位得到1.4，所以指数为。
4．将一副三角板按如图所示方式放置于同一平面内，其中∠C=∠DBE=90°，∠A=45°，∠E=30°.若AB∥DE，则∠CBD的度数为（　　）
A．10° B．15° C．20° D．25°
【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：
故答案为：B
【分析】本题考查三角形内角和 平行线性质及角的差。先利用直角三角形内角和求出 和 ，再由 得到同位角相等，最后用大角减小角求出 。
5．人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的道理是（　　）
A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短
C．两直线平行，内错角相等 D．三角形具有稳定性
【答案】D
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：人字梯加上拉杆后，整体结构形成三角形，而三角形具有稳定性。
故答案为：D
【分析】本题考查三角形稳定性的实际应用。人字梯两侧与中间拉杆组成三角形结构，三角形的形状不容易发生改变，因此可以增强梯子的稳定性。
6．下列算式不能用平方差公式计算的是（　　）
A．（2a+b）（2a-b） B．（4y+x）（x-4y）
C．（-m+3n）（-m-3n） D．（-3a+b）（b-3a）
【答案】D
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A. 可看作 ，能用平方差公式；
B. ，能用平方差公式；
C. ，能用平方差公式；
D. ，是完全平方形式，不能用平方差公式。
故答案为：D
【分析】本题考查平方差公式的结构。平方差公式为 ，两个因式必须是“相同项加相反项”和“相同项减相反项”的形式。D项两个因式实际完全相同，不符合平方差公式结构。
7．如图，点D在BC上，AC=AE，且∠1=∠2=∠3=30°，则∠ADE的度数为（　　）
A．60° B．70° C．74° D．75°
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵是的外角，
∴，
又∵，且，
∴。
∵，
∴，即。
在与中，
∴（AAS），
∴，即为等腰三角形。
∵，
∴，
∴。
故答案为：D
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及三角形外角的性质。解题时首先利用三角形外角的性质，结合∠1=∠3的条件，推导出∠ADE与∠B相等；再通过角的和差运算，由∠1=∠2推出∠BAC=∠DAE。结合已知的AC=AE，利用AAS判定定理证明△ABC与△ADE全等，根据全等三角形对应边相等得到AB=AD，即△ABD为等腰三角形。最后根据等腰三角形两底角相等的性质，结合顶角∠1=30°，计算出底角∠B的度数，再由全等三角形对应角相等，得到∠ADE的度数，对应选项D。
8．如图，已知点D、E分别为△ABC的边AC、BC的中点，AF为△ABD的中线.若四边形ACEF的面积为15，AB=6，则在△ABC中，AB边上的高为（　　）
A．4 B．5 C．8 D．10
【答案】C
【知识点】三角形的面积；三角形的中线
【解析】【解答】解：设
为 的中线，
是 的中点，
又 是 的中点，
设 边上的高为 ，
则
即
解得
故答案为：C
【分析】本题考查三角形中线与面积的关系。中线把三角形分成面积相等的两个三角形，因此可以根据中点和中线逐步确定四边形 与整个 的面积关系，再利用三角形面积公式求 边上的高。
9．若xm=2，xn=3，则xm+n=　 　.
【答案】6
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：
故答案为：6
【分析】本题考查同底数幂的乘法。由 ，反过来可得 ，代入已知数值即可。
10．某篮球运动员进行定点投篮训练，其成绩如表；
投篮次数 1 100 1000 10000
投中次数 9 89 905 9012
频率 0.90 0.89 0.91 0.90
则这名运动员定点投篮一次，投中的概率约是　 　（精确到0.1）.
【答案】0.9
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：由表格可知，随着投篮次数增加，投中频率稳定在0.90左右。精确到0.1，投中的概率约为0.9。
故答案为：0.9
【分析】本题考查用频率估计概率。当试验次数足够多时，频率会在某个数值附近稳定，这个稳定值可作为概率的估计值。表中投中频率基本稳定在0.90附近，所以概率约为0.9。
11．光的逆向反射又称再归反射，自行车的尾部通常会安装一种塑料制成的反光镜.夜间骑车时，在车灯照射下，能把光线按原来方向返回（即a∥b），其原理如图所示，且∠1=∠3，∠2=∠4.若∠1=41°，则∠2的度数为　 　.
【答案】49°
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：
又
故答案为：
【分析】本题考查平行线中的角度关系以及等量代换。根据反射角相等可知对应角相等，再结合入射光线与反射光线平行，得到相关角度和为，从而求出 。
12．如图，在△ABC中，∠ABC=60°，角平分线AD，CE相交于点O，AE=25，CD=30，AC=　 　.
【答案】55
【知识点】角平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：在AC上截取，连接OF，
∵AD、CE分别是的角平分线，
∴，，
且。
∴（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和）。
在与中，
∴（SAS），
∴。
∵，
∴，
∴。
在与中，
∴（ASA），
∴。
又∵，
∴。
故答案为：55
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的定义以及三角形内角和定理，属于截长补短类几何模型。解题时采用截长法，在AC边上截取CF=CD，构造全等三角形。首先根据角平分线的定义，结合三角形内角和定理，计算出∠COD的度数为60°；再利用SAS判定△OCF与△OCD全等，得到∠COF=60°，进而推出∠AOF也为60°，与∠AOE相等。然后利用ASA判定△AOF与△AOE全等，得到AF=AE。最后将AC拆分为AF与CF两段，分别代入AE与CD的长度，求和即可得到AC的总长度。
13．如图，在△ABC中，点D为AB边中点，DE⊥AC，垂足为E.以BC为斜边作等腰Rt△BFC，使得直角顶点F恰好在DE上.若AC=20，DF=4，则的值为　 　.
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：过点B作，交ED的延长线于点G，则，
∵D是AB的中点，∴。
∵，∴，
∴。
在与中，
∴（AAS），
∴，。
∵是等腰直角三角形，，∴。
∵，，
∴（同角的余角相等）。
在与中，
∴（AAS），
∴，，
∴。
设，则，，。
∵，，且，
∴，
解得，即，，
∴。
故答案为：
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质以及中点的性质，需要通过作辅助线构造全等三角形求解。解题时首先作BG垂直于ED的延长线，利用中点条件与对顶角相等，通过AAS证明△BDG与△ADE全等，得到DG=DE、BG=AE。再结合等腰直角三角形BF=FC的性质，利用同角的余角相等推导出∠BFG=∠FCE，通过AAS证明△BFG与△FCE全等，得到FG=CE、BG=FE，进而推出AE与FE长度相等。接着设AE为m，用含m的式子表示出CE、DE、DG的长度，根据DG=DE列方程求解得到m的值，最后计算AE与CE的比值即可。
14．计算：
（1）；
（2）7a（a+b）；
（3）9992（用整式的乘法公式简便计算）；
（4）（3x-2y）（x+2y）；
（5）先化简，再求值：[（x+2y）2-（5x+y）（5x-y）-5y2]÷（-2x），其中x=1，y=-3.
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
（5）解：
当 ， 时，
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；多项式乘多项式；完全平方公式及运用；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】(1)本题考查同底数幂的乘法和除法。同底数幂相乘，底数不变，指数相加；同底数幂相除，底数不变，指数相减，所以两个部分都化为 ，再合并同类项。
(2)本题考查单项式乘多项式。将 分别乘括号内的 a 和 b ，再把所得结果相加。
(3)本题考查完全平方公式的简便运算。把999看作 ，利用 计算更方便。
(4)本题考查多项式乘多项式。将第一个多项式的每一项分别乘第二个多项式的每一项，再合并同类项。
(5)本题考查整式化简求值。先利用完全平方公式和平方差公式展开，再合并同类项，最后除以 得到最简式 ，再代入 ， 计算。
15．如图，点C在∠AOB的边OA上一点，请你使用直尺和圆规，过点C作直线OB的平行线．（保留作图痕迹，不要求写画法）．
【答案】解：如图所示，直线CF即为所求的直线．
【知识点】作图-平行线；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【分析】本题考查尺规作平行线。利用“作一个角等于已知角”的方法，使 ，因为这两个角是一组同位角，所以根据“同位角相等，两直线平行”可得 。
16．已知：如图，AD∥BC，∠B+∠BCD=180°，∠BAD的平分线交CD于点F，交BC的延长线于点E.
求证：∠CFE=∠E.
请将下面的证明过程补充完整：
证明：∵AD∥BC（已知），
∴∠2=∠E　 　.
∵AE平分∠BAD（已知），
∴∠1=∠2（角平分线定义）
∴∠E=∠1　 　.
又∵∠B+∠BCD=180°（已知），
∴AB∥　 　　 　.
∴∠1=　 　（两直线平行，同位角相等）.
∴∠CFE=∠E（等量代换）.
【答案】两直线平行，内错角相等；等量代换；CD；同旁内角互补，两直线平行；∠CFE
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解： (已知)，
(两直线平行，内错角相等)。
平分 (已知)，
(角平分线定义)。
(等量代换)。
又 (已知)，
(同旁内角互补，两直线平行)。
(两直线平行，同位角相等)。
(等量代换)。
【分析】本题考查平行线的判定与性质 角平分线定义和等量代换。先由 得到一组内错角相等，再由角平分线得到 ，从而推出 。接着由同旁内角互补判定 ，再利用同位角相等得到 ，最终完成证明。
17．在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黑、白两种球共20个，小颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，如表是“摸到白色球”的频率折线统计图.
（1）请估计：当摸球次数很大时，摸到白球的频率将会接近　 　；
（2）试估算盒子里白、黑两种颜色的球各有多少个？
（3）在（2）条件下，如果要使摸到白球的概率为，需要往盒子里再放入多少个白球？
【答案】（1）0.50
（2）20×0.5=10（个），20-10=10（个）；
答：估算盒子里白、黑两种颜色的球分别有10个、10个
（3）设需要往盒子里再放入x个白球；
根据题意得：，
解得：x=5；
答：需要往盒子里再放入5个白球．
【知识点】分式方程的实际应用；频数（率）分布折线图；利用频率估计概率；概率公式
【解析】【解答】解：由频率统计图可知，随着摸球次数增大，摸到白球的频率逐渐稳定在0.50附近。
故答案为：0.50
【分析】(1)本题考查用频率估计概率。大量重复试验中，频率会逐渐稳定在概率附近，由图可知稳定值约为0.50；
(2)根据摸到白球的概率约为0.50，用总球数乘白球概率即可估算白球个数，再用总数减去白球个数求出黑球个数；
(3)本题考查概率与方程的结合。放入 个白球后，白球数变为 ，总数变为 ，根据目标概率 建立分式方程求解即可。
18．如图，点B，F，C，E在直线l上，AC∥DF，AB∥DE，AB=DE.
（1）求证：BF=CE；
（2）若∠A=100°，∠FED=30°，求∠BFD的度数.
【答案】（1）解：
在和中
在同一直线上，
即
（2）解：由(1)可知， ，
又
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】(1)本题考查平行线性质和三角形全等。由两组平行线得到两组对应角相等，再结合已知边 ，可AAS证明 ，从而得到 。由于点B ， F ， C ， E 共线，两边同时减去公共线段后可得 ；
(2)本题考查全等三角形的对应角相等和三角形外角性质。由全等可得 ，而 是 的外角，外角等于不相邻两个内角之和。
19．对于任意数a，b，c，d，我们规定（a，b）☆（c，d）=a2-bc+d2.
（1）计算（1，2）☆（3，-2）的结果为　 　；
（2）对于数x，y，若x+y=8，（x，x）☆（y，y）=46.
①求xy的值；
②将长方形ABCD和长方形CEFG按照如图方式放置，点E在边CD上，连接BD，BF.若AB=2x，AD=x，EF=2y，FG=y，求图中阴影部分的面积.
【答案】（1）-1
（2）解：①由题意得：
②由图可知，阴影部分面积为
阴影部分面积为
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】（1）解：
故答案为：
【分析】(1)本题考查新定义运算。按照题中规定，把 ，，， 代入 直接计算即可；
(2)①本题考查新定义运算和完全平方公式变形。先把 按定义转化为 ，再利用 将其化为含 的式子，最后解方程求出 ；
②本题考查整式表示几何面积。根据图形把阴影部分面积表示为 ，再利用已求出的 以及 ，通过完全平方公式求出 ，最后代入计算。
20．问题探究
（1）如图①，在直线l的异侧有A，B两点，其距离为4.点P为直线l上的动点，则AP+BP的最小值为　 　；
（2）如图②，已知△ABC边AC上有一点D，且满足AD=CB，过点A作AE∥BC，并截取AE=AC，连接ED，求证：ED=AB；
问题解决
（3）某村为了美化环境，准备在一块等腰三角形的空地上种植花卉，供居民观赏.等腰三角形空地为如图③所示的△ABC，其中CD为原本的一条小路，为种植不同种类的花卉及方便游人观赏，还需再开发两条小路BE和AF，其中点E，点F分别在AC，CD上，且满足AE=CF，为节约成本，要求两条小路的长度和最小，即BE+AF最小.已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC=55°，CD⊥AB，垂足为点D.那么这样的设计要求能否达到？若能，求出当BE+AF最小时，∠AFD的度数；若不能，请说明理由.
【答案】（1）4
（2）证明：∵AE∥BC，
∴∠EAD＝∠C，
在△EAD与△ACB中：
，
∴△EAD≌△ACB（SAS），
∴ED＝AB；
（3）解：如图，以FC为边，C为顶点向下作∠FCG＝∠BAE，并使CG＝AB，连接FG，
∵AE＝CF，
∴△ABE≌△CGF（SAS），
∴BE＝FG，
∴BE+AF＝AF+FG，
∴当A、F、G三点共线的时候，BE+AF最小，此时，F点的位置如图所示：
此时，∠AFD＝∠FAC+∠ACD，
由题，∠FCG＝∠BAC＝55°
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD＝35°，
∴∠ACG＝ACD+FCG＝90°，
∵CG＝AB＝AC，
∴∠FAC＝45°，
∴∠AFD＝∠FAC+∠ACD＝80°．
【知识点】两点之间线段最短；平行线的性质；三角形全等及其性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（1）∵两点之间线段最短，∴当A、P、B三点共线的时候，AP+BP的最小值＝AB＝4，
故答案为：4
【分析】（1）本题考查两点之间线段最短的基本几何事实。解题时根据“两点之间，线段最短”的原理，当A、P、B三点共线时，AP+BP的长度等于线段AB的长度，此时和最小，因此最小值就是A、B两点间的距离4。
（2）本题考查全等三角形的判定与性质，结合平行线的性质证明线段相等。解题时先由AE与BC平行，根据两直线平行内错角相等，得到∠EAD=∠C；再结合已知的AD=CB、AE=AC两组边相等的条件，利用SAS判定定理证明△EAD与△ACB全等，最后根据全等三角形对应边相等，即可证得ED=AB。
（3）本题考查几何最值问题中的逆等线模型，结合全等三角形、等腰直角三角形的性质求解。解题时首先通过构造全等三角形转化线段：以CF为边作∠FCG=∠BAE，且使CG=AB，利用SAS证明△ABE与△CGF全等，将BE转化为FG，因此BE+AF=AF+FG。根据两点之间线段最短，当A、F、G三点共线时，AF+FG最小，即BE+AF最小，说明设计要求可以达到。接下来计算角度：先由CD⊥AB、∠BAC=55°，在直角三角形ACD中求出∠ACD=35°；再由构造的角相等推出∠ACG=90°，结合AC=CG得到△ACG为等腰直角三角形，因此∠FAC=45°；最后利用三角形外角的性质，∠AFD等于∠FAC与∠ACD的和，代入度数计算即可得到∠AFD的度数。
1 / 1广东省深圳市南山区第二外国语学校2025-2026学年七年级下学期数学期中试卷
1．计算7-1的结果是（　　）
A．7 B．-7 C． D．-
2．下列事件中，属于随机事件的是（　　）
A．同位角相等
B．两个负数的和是正数
C．在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°
D．如果a，b为实数，那么a+b=b+a
3．截至2025年3月，我国已全面掌握14纳米芯片量产技术，7纳米工艺进入风险试产阶段.已知14纳米=0.000000014米，则数据0.000000014用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．将一副三角板按如图所示方式放置于同一平面内，其中∠C=∠DBE=90°，∠A=45°，∠E=30°.若AB∥DE，则∠CBD的度数为（　　）
A．10° B．15° C．20° D．25°
5．人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的道理是（　　）
A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短
C．两直线平行，内错角相等 D．三角形具有稳定性
6．下列算式不能用平方差公式计算的是（　　）
A．（2a+b）（2a-b） B．（4y+x）（x-4y）
C．（-m+3n）（-m-3n） D．（-3a+b）（b-3a）
7．如图，点D在BC上，AC=AE，且∠1=∠2=∠3=30°，则∠ADE的度数为（　　）
A．60° B．70° C．74° D．75°
8．如图，已知点D、E分别为△ABC的边AC、BC的中点，AF为△ABD的中线.若四边形ACEF的面积为15，AB=6，则在△ABC中，AB边上的高为（　　）
A．4 B．5 C．8 D．10
9．若xm=2，xn=3，则xm+n=　 　.
10．某篮球运动员进行定点投篮训练，其成绩如表；
投篮次数 1 100 1000 10000
投中次数 9 89 905 9012
频率 0.90 0.89 0.91 0.90
则这名运动员定点投篮一次，投中的概率约是　 　（精确到0.1）.
11．光的逆向反射又称再归反射，自行车的尾部通常会安装一种塑料制成的反光镜.夜间骑车时，在车灯照射下，能把光线按原来方向返回（即a∥b），其原理如图所示，且∠1=∠3，∠2=∠4.若∠1=41°，则∠2的度数为　 　.
12．如图，在△ABC中，∠ABC=60°，角平分线AD，CE相交于点O，AE=25，CD=30，AC=　 　.
13．如图，在△ABC中，点D为AB边中点，DE⊥AC，垂足为E.以BC为斜边作等腰Rt△BFC，使得直角顶点F恰好在DE上.若AC=20，DF=4，则的值为　 　.
14．计算：
（1）；
（2）7a（a+b）；
（3）9992（用整式的乘法公式简便计算）；
（4）（3x-2y）（x+2y）；
（5）先化简，再求值：[（x+2y）2-（5x+y）（5x-y）-5y2]÷（-2x），其中x=1，y=-3.
15．如图，点C在∠AOB的边OA上一点，请你使用直尺和圆规，过点C作直线OB的平行线．（保留作图痕迹，不要求写画法）．
16．已知：如图，AD∥BC，∠B+∠BCD=180°，∠BAD的平分线交CD于点F，交BC的延长线于点E.
求证：∠CFE=∠E.
请将下面的证明过程补充完整：
证明：∵AD∥BC（已知），
∴∠2=∠E　 　.
∵AE平分∠BAD（已知），
∴∠1=∠2（角平分线定义）
∴∠E=∠1　 　.
又∵∠B+∠BCD=180°（已知），
∴AB∥　 　　 　.
∴∠1=　 　（两直线平行，同位角相等）.
∴∠CFE=∠E（等量代换）.
17．在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黑、白两种球共20个，小颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，如表是“摸到白色球”的频率折线统计图.
（1）请估计：当摸球次数很大时，摸到白球的频率将会接近　 　；
（2）试估算盒子里白、黑两种颜色的球各有多少个？
（3）在（2）条件下，如果要使摸到白球的概率为，需要往盒子里再放入多少个白球？
18．如图，点B，F，C，E在直线l上，AC∥DF，AB∥DE，AB=DE.
（1）求证：BF=CE；
（2）若∠A=100°，∠FED=30°，求∠BFD的度数.
19．对于任意数a，b，c，d，我们规定（a，b）☆（c，d）=a2-bc+d2.
（1）计算（1，2）☆（3，-2）的结果为　 　；
（2）对于数x，y，若x+y=8，（x，x）☆（y，y）=46.
①求xy的值；
②将长方形ABCD和长方形CEFG按照如图方式放置，点E在边CD上，连接BD，BF.若AB=2x，AD=x，EF=2y，FG=y，求图中阴影部分的面积.
20．问题探究
（1）如图①，在直线l的异侧有A，B两点，其距离为4.点P为直线l上的动点，则AP+BP的最小值为　 　；
（2）如图②，已知△ABC边AC上有一点D，且满足AD=CB，过点A作AE∥BC，并截取AE=AC，连接ED，求证：ED=AB；
问题解决
（3）某村为了美化环境，准备在一块等腰三角形的空地上种植花卉，供居民观赏.等腰三角形空地为如图③所示的△ABC，其中CD为原本的一条小路，为种植不同种类的花卉及方便游人观赏，还需再开发两条小路BE和AF，其中点E，点F分别在AC，CD上，且满足AE=CF，为节约成本，要求两条小路的长度和最小，即BE+AF最小.已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC=55°，CD⊥AB，垂足为点D.那么这样的设计要求能否达到？若能，求出当BE+AF最小时，∠AFD的度数；若不能，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】负整数指数幂
【解析】【解答】解：由负整数指数幂的意义可知，
故答案为：C
【分析】本题考查负整数指数幂的意义，底数不为0时， ，所以 应化为 .
2．【答案】A
【知识点】等式的基本性质；三角形内角和定理；事件的分类；同位角的概念；正数、负数的概念与分类
【解析】【解答】解：A.同位角相等，在没有“两直线平行”条件时，可能成立，也可能不成立，属于随机事件；
B.两个负数的和一定是负数，不可能是正数，是不可能事件；
C.在 中， ，是必然事件；
D.若 为实数，则 ，是必然事件。
故答案为：A
【分析】本题考查随机事件 必然事件和不可能事件的判断。随机事件是指在一定条件下可能发生也可能不发生的事件。”同位角相等”只有在两直线平行时一定成立，题中没有给出平行条件，因此属于随机事件。
3．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：
故答案为：D
【分析】本题考查小于1的正数的科学记数法。科学记数法的一般形式为 ，其中 。把小数点向右移动8位得到1.4，所以指数为。
4．【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：
故答案为：B
【分析】本题考查三角形内角和 平行线性质及角的差。先利用直角三角形内角和求出 和 ，再由 得到同位角相等，最后用大角减小角求出 。
5．【答案】D
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：人字梯加上拉杆后，整体结构形成三角形，而三角形具有稳定性。
故答案为：D
【分析】本题考查三角形稳定性的实际应用。人字梯两侧与中间拉杆组成三角形结构，三角形的形状不容易发生改变，因此可以增强梯子的稳定性。
6．【答案】D
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A. 可看作 ，能用平方差公式；
B. ，能用平方差公式；
C. ，能用平方差公式；
D. ，是完全平方形式，不能用平方差公式。
故答案为：D
【分析】本题考查平方差公式的结构。平方差公式为 ，两个因式必须是“相同项加相反项”和“相同项减相反项”的形式。D项两个因式实际完全相同，不符合平方差公式结构。
7．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵是的外角，
∴，
又∵，且，
∴。
∵，
∴，即。
在与中，
∴（AAS），
∴，即为等腰三角形。
∵，
∴，
∴。
故答案为：D
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及三角形外角的性质。解题时首先利用三角形外角的性质，结合∠1=∠3的条件，推导出∠ADE与∠B相等；再通过角的和差运算，由∠1=∠2推出∠BAC=∠DAE。结合已知的AC=AE，利用AAS判定定理证明△ABC与△ADE全等，根据全等三角形对应边相等得到AB=AD，即△ABD为等腰三角形。最后根据等腰三角形两底角相等的性质，结合顶角∠1=30°，计算出底角∠B的度数，再由全等三角形对应角相等，得到∠ADE的度数，对应选项D。
8．【答案】C
【知识点】三角形的面积；三角形的中线
【解析】【解答】解：设
为 的中线，
是 的中点，
又 是 的中点，
设 边上的高为 ，
则
即
解得
故答案为：C
【分析】本题考查三角形中线与面积的关系。中线把三角形分成面积相等的两个三角形，因此可以根据中点和中线逐步确定四边形 与整个 的面积关系，再利用三角形面积公式求 边上的高。
9．【答案】6
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：
故答案为：6
【分析】本题考查同底数幂的乘法。由 ，反过来可得 ，代入已知数值即可。
10．【答案】0.9
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：由表格可知，随着投篮次数增加，投中频率稳定在0.90左右。精确到0.1，投中的概率约为0.9。
故答案为：0.9
【分析】本题考查用频率估计概率。当试验次数足够多时，频率会在某个数值附近稳定，这个稳定值可作为概率的估计值。表中投中频率基本稳定在0.90附近，所以概率约为0.9。
11．【答案】49°
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：
又
故答案为：
【分析】本题考查平行线中的角度关系以及等量代换。根据反射角相等可知对应角相等，再结合入射光线与反射光线平行，得到相关角度和为，从而求出 。
12．【答案】55
【知识点】角平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：在AC上截取，连接OF，
∵AD、CE分别是的角平分线，
∴，，
且。
∴（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和）。
在与中，
∴（SAS），
∴。
∵，
∴，
∴。
在与中，
∴（ASA），
∴。
又∵，
∴。
故答案为：55
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的定义以及三角形内角和定理，属于截长补短类几何模型。解题时采用截长法，在AC边上截取CF=CD，构造全等三角形。首先根据角平分线的定义，结合三角形内角和定理，计算出∠COD的度数为60°；再利用SAS判定△OCF与△OCD全等，得到∠COF=60°，进而推出∠AOF也为60°，与∠AOE相等。然后利用ASA判定△AOF与△AOE全等，得到AF=AE。最后将AC拆分为AF与CF两段，分别代入AE与CD的长度，求和即可得到AC的总长度。
13．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：过点B作，交ED的延长线于点G，则，
∵D是AB的中点，∴。
∵，∴，
∴。
在与中，
∴（AAS），
∴，。
∵是等腰直角三角形，，∴。
∵，，
∴（同角的余角相等）。
在与中，
∴（AAS），
∴，，
∴。
设，则，，。
∵，，且，
∴，
解得，即，，
∴。
故答案为：
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质以及中点的性质，需要通过作辅助线构造全等三角形求解。解题时首先作BG垂直于ED的延长线，利用中点条件与对顶角相等，通过AAS证明△BDG与△ADE全等，得到DG=DE、BG=AE。再结合等腰直角三角形BF=FC的性质，利用同角的余角相等推导出∠BFG=∠FCE，通过AAS证明△BFG与△FCE全等，得到FG=CE、BG=FE，进而推出AE与FE长度相等。接着设AE为m，用含m的式子表示出CE、DE、DG的长度，根据DG=DE列方程求解得到m的值，最后计算AE与CE的比值即可。
14．【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
（5）解：
当 ， 时，
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；多项式乘多项式；完全平方公式及运用；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】(1)本题考查同底数幂的乘法和除法。同底数幂相乘，底数不变，指数相加；同底数幂相除，底数不变，指数相减，所以两个部分都化为 ，再合并同类项。
(2)本题考查单项式乘多项式。将 分别乘括号内的 a 和 b ，再把所得结果相加。
(3)本题考查完全平方公式的简便运算。把999看作 ，利用 计算更方便。
(4)本题考查多项式乘多项式。将第一个多项式的每一项分别乘第二个多项式的每一项，再合并同类项。
(5)本题考查整式化简求值。先利用完全平方公式和平方差公式展开，再合并同类项，最后除以 得到最简式 ，再代入 ， 计算。
15．【答案】解：如图所示，直线CF即为所求的直线．
【知识点】作图-平行线；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【分析】本题考查尺规作平行线。利用“作一个角等于已知角”的方法，使 ，因为这两个角是一组同位角，所以根据“同位角相等，两直线平行”可得 。
16．【答案】两直线平行，内错角相等；等量代换；CD；同旁内角互补，两直线平行；∠CFE
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解： (已知)，
(两直线平行，内错角相等)。
平分 (已知)，
(角平分线定义)。
(等量代换)。
又 (已知)，
(同旁内角互补，两直线平行)。
(两直线平行，同位角相等)。
(等量代换)。
【分析】本题考查平行线的判定与性质 角平分线定义和等量代换。先由 得到一组内错角相等，再由角平分线得到 ，从而推出 。接着由同旁内角互补判定 ，再利用同位角相等得到 ，最终完成证明。
17．【答案】（1）0.50
（2）20×0.5=10（个），20-10=10（个）；
答：估算盒子里白、黑两种颜色的球分别有10个、10个
（3）设需要往盒子里再放入x个白球；
根据题意得：，
解得：x=5；
答：需要往盒子里再放入5个白球．
【知识点】分式方程的实际应用；频数（率）分布折线图；利用频率估计概率；概率公式
【解析】【解答】解：由频率统计图可知，随着摸球次数增大，摸到白球的频率逐渐稳定在0.50附近。
故答案为：0.50
【分析】(1)本题考查用频率估计概率。大量重复试验中，频率会逐渐稳定在概率附近，由图可知稳定值约为0.50；
(2)根据摸到白球的概率约为0.50，用总球数乘白球概率即可估算白球个数，再用总数减去白球个数求出黑球个数；
(3)本题考查概率与方程的结合。放入 个白球后，白球数变为 ，总数变为 ，根据目标概率 建立分式方程求解即可。
18．【答案】（1）解：
在和中
在同一直线上，
即
（2）解：由(1)可知， ，
又
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】(1)本题考查平行线性质和三角形全等。由两组平行线得到两组对应角相等，再结合已知边 ，可AAS证明 ，从而得到 。由于点B ， F ， C ， E 共线，两边同时减去公共线段后可得 ；
(2)本题考查全等三角形的对应角相等和三角形外角性质。由全等可得 ，而 是 的外角，外角等于不相邻两个内角之和。
19．【答案】（1）-1
（2）解：①由题意得：
②由图可知，阴影部分面积为
阴影部分面积为
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】（1）解：
故答案为：
【分析】(1)本题考查新定义运算。按照题中规定，把 ，，， 代入 直接计算即可；
(2)①本题考查新定义运算和完全平方公式变形。先把 按定义转化为 ，再利用 将其化为含 的式子，最后解方程求出 ；
②本题考查整式表示几何面积。根据图形把阴影部分面积表示为 ，再利用已求出的 以及 ，通过完全平方公式求出 ，最后代入计算。
20．【答案】（1）4
（2）证明：∵AE∥BC，
∴∠EAD＝∠C，
在△EAD与△ACB中：
，
∴△EAD≌△ACB（SAS），
∴ED＝AB；
（3）解：如图，以FC为边，C为顶点向下作∠FCG＝∠BAE，并使CG＝AB，连接FG，
∵AE＝CF，
∴△ABE≌△CGF（SAS），
∴BE＝FG，
∴BE+AF＝AF+FG，
∴当A、F、G三点共线的时候，BE+AF最小，此时，F点的位置如图所示：
此时，∠AFD＝∠FAC+∠ACD，
由题，∠FCG＝∠BAC＝55°
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD＝35°，
∴∠ACG＝ACD+FCG＝90°，
∵CG＝AB＝AC，
∴∠FAC＝45°，
∴∠AFD＝∠FAC+∠ACD＝80°．
【知识点】两点之间线段最短；平行线的性质；三角形全等及其性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（1）∵两点之间线段最短，∴当A、P、B三点共线的时候，AP+BP的最小值＝AB＝4，
故答案为：4
【分析】（1）本题考查两点之间线段最短的基本几何事实。解题时根据“两点之间，线段最短”的原理，当A、P、B三点共线时，AP+BP的长度等于线段AB的长度，此时和最小，因此最小值就是A、B两点间的距离4。
（2）本题考查全等三角形的判定与性质，结合平行线的性质证明线段相等。解题时先由AE与BC平行，根据两直线平行内错角相等，得到∠EAD=∠C；再结合已知的AD=CB、AE=AC两组边相等的条件，利用SAS判定定理证明△EAD与△ACB全等，最后根据全等三角形对应边相等，即可证得ED=AB。
（3）本题考查几何最值问题中的逆等线模型，结合全等三角形、等腰直角三角形的性质求解。解题时首先通过构造全等三角形转化线段：以CF为边作∠FCG=∠BAE，且使CG=AB，利用SAS证明△ABE与△CGF全等，将BE转化为FG，因此BE+AF=AF+FG。根据两点之间线段最短，当A、F、G三点共线时，AF+FG最小，即BE+AF最小，说明设计要求可以达到。接下来计算角度：先由CD⊥AB、∠BAC=55°，在直角三角形ACD中求出∠ACD=35°；再由构造的角相等推出∠ACG=90°，结合AC=CG得到△ACG为等腰直角三角形，因此∠FAC=45°；最后利用三角形外角的性质，∠AFD等于∠FAC与∠ACD的和，代入度数计算即可得到∠AFD的度数。
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